Thủy văn học và phân tích vùng ngập lụt ( ĐH Quốc Gia Hà Nội ) - Chương 4 pptx

Chơng 4. Diễn toán lũ

ảnh:Hồ Livingston Dam và trận lũ 1990 trên sông Trinity
4.1.
Diễn toán thuỷ văn và thuỷ lực
Sự chuyển động sóng lũ trong một lòng dẫn hoặc qua một hồ chứa kết hợp với sự
thay đổi theo thời gian hay sự bẹt dần của sóng lũ là một vấn đề quan trọng của thuỷ
văn học lục địa. Sự hiểu biết về các mặt lí thuyết và thực tế của quá trình truyền lũ là
cần thiết để dự báo sự thay đổi theo không gian và thời gian của sóng lũ. Các công thức
diễn toán lũ cũng có thể dùng để dự báo đờng quá trình lu lợng chảy ra từ một lu
vực phụ thuộc vào tổng lợng ma đã biết.
Bằng chú giải trong hình 4.1 khái niệm diễn toán lợng trữ đợc hiểu một cách
dễ dàng hơn. Đồ thị lu lợng dòng ra và vào đối với một hồ nhỏ mặt nớc giới hạn đợc
vẽ trên cùng một hệ toạ độ. Diện tích A biểu diễn thể tích nớc làm tăng lợng trữ có
sẵn cho đến thời gian t
1
. Lu lợng dòng vào lớn hơn lu lợng dòng ra hồ chứa đợc
làm đầy - ở thời gian t
1
, lu lợng dòng vào và ra cân bằng đạt tới lợng trữ lớn nhất.
Sau thời gian t
1
, lu lợng dòng ra lớn hơn lu lợng dòng vào lợng trữ giảm dần.
Diện tích C thể hiện thể tích nớc ra khỏi hồ chứa và phải bằng diện tích A nếu mực
nớc trong hồ ở thời điểm đầu và cuối bằng nhau. Đỉnh của đồ thị lu lợng dòng ra từ
một hồ chứa sẽ cắt ngang đồ thị lu lợng dòng vào nh hình 4.1 bởi vì lu lợng dòng
223
ra chỉ đợc xác định qua lợng trữ hoặc mực nớc.

Hình 4.1. a) Kho nớc b) Dòng vào và dòng ra từ kho nớc, c) Tích trong kho nớc
Chúng ta sẽ thấy rằng diễn toán lợng trữ qua một hồ chứa thông thờng đỉnh

của đồ thị lu lợng dòng ra và thời gian trễ pha sẽ giảm so với đồ thị dòng vào. Tỉ lệ
thay đổi lợng trữ có thể đợc viết theo phơng trình liên tục:

t
S
OI



=
( 4.1 )
trong đó: I : lu lợng vào
O: lu lợng ra
224
S : lợng trữ biến đổi trong thời gian t
t : thời gian biến đổi.
Ví dụ 4.1 thể hiện chi tiết các khái niệm lợng trữ hồ chứa.
Ví dụ 4.1.
Tính toán lợng trữ
Đồ thị lu lợng dòng vào và ra của một hồ chứa đợc mô tả trong hình E.4.1(a).
a) Xác định lợng trữ trung bình trong khoảng thời gian là một ngày (t = 1 ngày). Vẽ
đồ thị lợng trữ theo thời gian đối với trờng hợp này. Giả thiết So = 0 (lợng trữ ban
đầu bằng 0).
b) Lợng trữ lớn nhất đạt đợc trong khoảng thời gian nghiên cứu là bao nhiêu?
Giải
a) Tỉ lệ thay đổi lợng trữ bằng lu lợng dòng vào trừ đi lu lợng dòng ra. Đầu
tiên chúng ta lập bảng các giá trị của I và Q rồi tính giá trị sai khác giữa chúng. Lợng
trữ chính bằng diện tích giới hạn bởi 2 đờng cong biểu diễn lu lợng vào và ra, hoặc:
S =

(I Q)dt
Tích phân này có thể tính xấp xỉ bằng:


= tQIS )(
ở đây
QI,
là các giá trị trung bình ngày. Công thức này đợc sử dụng để xác định
thể tích nớc giới hạn bởi các đờng cong. Để cho sai số là nhỏ nhất, giá trị của
QI,
đợc tính trung bình vào tra mỗi ngày.

Hình E.4.1 a.
Với t = 1 ngày, lợng trữ sau ngày đầu tiên là:

tQISS += )(
1101

= 0 + 250 (ft
3
/s) (1 ngày) (24h/ngày) (3600 s/h)(ac/ 43.560 )
= 496 ac- ft
Đối với ngày thứ 2, lợng trữ luỹ tích bằng:
225

tQISSS ++= )(
11102

= 0 + 496 + (2500) (24) (3600) ac-ft = 5455 ac-ft
Thời gian (ngày) Itb(ft

3
/s) Qtb (ft
3
/s)
S /t (ft
3
/s)
0.5 500 250 250
1.5 3500 1000 2500
2.5 9000 3000 6000
3.5 9750 4500 5250
4.5 8000 5750 2250
5.5 4500 6000 -1500
6.5 2250 5250 -3000
7.5 1250 4250 -3000
8.5 250 3250 -3000
9.5 0 2500 -2500
10.5 0 1500 -1500
11.5 0 1000 -1000
12.5 0 750 -750
13.5 0 0 0

Quá trình tính toán đợc thực hiện tơng tự đối với các ngày tiếp theo và các giá
trị tính đợc cho trong bảng sau:
Thời gian (ngày) Lợng trữ (ac-ft)
1 496
2 5455
3 17356
4 27769
5 32232

6 29256
7 23306
8 17356
9 11405
10 6446
11 3471
12 1488
13 0
14 0
b) Từ bảng giá trị và hình vẽ ta có lợng trữ lớn nhất đạt đợc là 32232(ac-ft) và
xuất hiện vào ngày thứ 5. Nếu xét từ phơng trình
226

QI
dt
dS
=

S
max
sẽ xuất hiện khi dS/ dt = 0 tức là khi I = Q, trên đồ thị ta thấy đẳng thức này
xảy ra vào ngày thứ 5 trong khoảng thời gian nghiên cứu.

Hình E4.1 b.
Diễn toán sông ngòi khác với diễn toán hồ chứa ở chỗ lợng trữ trong một đọan
sông có chiều dài L phụ thuộc nhiều hơn vào dòng chảy ra. Đỉnh của đồ thị lu lợng
nớc ở mặt cắt ra của đoạn sông nghiên cứu thờng bị hạ thấp và trễ pha hơn so với đồ
thị lu lợng vào. Bởi vì lợng trữ trong một đoạn sông là một hàm của việc có hay
không các giai đoạn lũ lên hoặc lũ xuống, trong trờng hợp này là một hàm của cả lu
lợng ra và vào của đoạn sông nghiên cứu (xem phần 4.3). Ngoài ra, trong các giai đoạn

lũ lên cao vợt qua hai bờ sông làm ngập các đồng bằng ngập lũ, tốc độ dòng chảy trên
đồng bằng ngập lũ giảm mạnh so với trong lòng dẫn chính. Ví dụ 4.2 sẽ thể hiện rõ sự
khác nhau giữa diễn toán sông ngòi và hồ chứa.

Ví dụ 4.2
Các khái niệm diễn toán sông ngòi và hồ chứa
Hình E.4.2 minh hoạ một số điểm khác nhau giữa các diễn biến trong sông ngòi
và hồ chứa. Chứng minh rằng đối với một hồ chứa cân bằng, đỉnh của đồ thị lu lợng
dòng ra phải cắt đồ thị lu lợng dòng vào.
Giải
Lợng trữ trong một hồ chứa có thể xác định đợc từ cao trình mặt nớc trong hồ
(xem hình E.4.2 ). Đối với ví dụ này, trong một hồ chứa cân bằng, A
r
là một hàm của độ
sâu:
S = f(H) =

A
r
(H) dH
227
và A
r
=
dH
dS

Trong khi lu lợng vào làm tăng trữ lợng nớc trong hồ chứa cân bằng, lu
lợng ra có thể đợc xác định nếu nh biết trữ lợng trong hồ mà không cần xét đến
lu lợng dòng vào.

Hình E4.2a
Q = f(S)
nhng S = f(H)
và do đó: Q = f(H)
Từ phơng trình liên tục:
I Q =
dt
dS
= A
r
(H)
dt
dH

228
I = Q khi
dt
dS
= 0

Hình E.4.2b

Bởi vì S phụ thuộc trực tiếp vào H nên:

dt
dH
= 0 khi
dt
dS

= 0
và vì Q cũng phụ thuộc trực tiếp vào H nên:

dt
dQ
= 0 khi
dt
dH
= 0
Vì vậy:

dt
dQ
= 0 khi
dt
dS
= 0
Điều này xuất hiện khi S và Q đạt giá trị lớn nhất hoặc I = Q ( hình E.4.2(a)).
Các phơng pháp diễn toán thuỷ văn
Kỹ thuật diễn toán có thể đợc phân chia thành hai loại chính: phơng pháp đơn
giản là diễn toán thuỷ văn và một phơng pháp phức tạp hơn là diễn toán thuỷ lực.
Diễn toán thuỷ văn sử dụng phơng trình liên tục dựa trên cơ sở sự cân bằng của lu
lợng dòng chảy vào, ra và thể tích trữ lợng. Trong phơng pháp cũng cần thiết một
quan hệ thứ hai đó là quan hệ giữa tỉ lệ lu lợng ra và lợng trữ. Diễn toán thuỷ văn
đợc ứng dụng nhiều trong việc dự báo lũ, thiết kế và vận hành các hồ chứa, các công
trình điều tiết, mô phỏng lu vực, và trong quy hoạch đô thị. Nhiều mô hình tính đợc
xây dựng với đầu vào là lợng ma qua hệ thống sẽ lập đợc đồ thị lu lợng dòng ra.
Các phơng pháp diễn toán thuỷ văn thờng đợc sử dụng cho những mạng lới sông
suối hoặc hồ chứa phức tạp. Những ứng dụng này đợc đề cập chi tiết trong chơng 5
và chơng 6.

Các phơng pháp diễn toán thuỷ lực
Diễn toán thuỷ lực phức tạp hơn nhng chính xác hơn phơng pháp diễn toán
thuỷ văn trên cơ sở giải phơng trình liên tục và phơng trình động lợng đối với dòng
chảy không ổn định trong lòng dẫn hở. Các phơng trình vi phân này hay còn gọi là hệ
229
phơng trình St.Venant đợc đề cập lần đầu tiên vào năm 1871 thờng đợc giải bằng
các phơng số ẩn hoặc hiện trên máy tính mà không tồn tại các phơng pháp giải khép
kín.
Sóng triều, sóng lũ, thời kỳ nớc cờng hoặc do dự vận hành của các hồ chứa tạo
nên sự chuyển động của các sóng dài làm cho dòng chảy trong sông ngòi, hồ chứa, các
vùng cửa sông không ổn định. Hình dạng của những loại sóng này chỉ có thể đợc mô tả
đầy đủ bằng các phơng trình một chiều St. Venant, điều này sẽ đợc đề cập chi tiết
hơn trong phần 4.4. Trong nhiều trờng hợp, các phơng trình cơ bản có thể đợc đơn
giản hoá thành phơng trình liên tục một chiều và một quan hệ dòng đều với giả thiết
rằng lu lợng có thể đợc tính nh là một hàm đơn trị của độ sâu. Đây là phơng
pháp diễn toán sóng động học. Gần đây, phơng pháp diễn toán sóng động học đã đợc
sử dụng trong mô hình HEC 1.
Dòng đều biểu hiện sự cân bằng giữa trọng lực và các lực ma sát trong sông. Giả
thiết này không phải luôn đúng, đặc biệt đối với các kênh dốc đứng không thể bỏ qua
ảnh hởng của độ dốc mặt nớc. Những trờng hợp đó không thể bỏ qua các điều kiện
khác của phơng trình động lợng trong diễn toán thuỷ lực nh:
1) Sự chuyển động ngợc dòng của sóng triều và trong thời kỳ nớc cờng,
2) ảnh hởng của nớc vật từ các hồ chứa hạ lu và sự gia nhập của các dòng
chảy nhánh,
3) Sóng lũ trong các kênh với độ dốc đứng rất lớn (2 3 ft/mi ) và
4) Các sóng tăng nhanh đột ngột do sự xả nớc bất ngờ từ các hồ chứa hoặc các
đập tràn
Sử dụng hệ phơng trình St. Venant sẽ giải quyết một cách hoàn chỉnh đối với các
tr
ờng hợp này. Nhng hiện nay chỉ có một số mô hình tính trên máy có thể giải đợc

các phơng trình này.
4.2.
Diễn toán thuỷ văn sông ngòi
Khi một sóng lũ truyền qua một đoạn sông, đỉnh của đờng tập trung nớc ở mặt
cắt cửa ra thờng thấp hơn và trễ pha so với đờng tập trung nớc ở mặt cắt cửa vào
bởi vì sự cản trở do ma sát và khả năng trữ nớc của lòng dẫn. Xét cho cùng, lợng trữ
tổng cộng đạt đợc trong một đoạn kênh bằng tỉ lệ thay đổi lợng trữ trong đoạn sông
(thể hiện trong phơng trình 4.1 ). Sự khác nhau giữa tung độ của đồ thị lu lợng vào
ra thể hiện bằng vùng bôi đen tronh hình 4.2. Giá trị của tỉ số S /t trong phơng
trình liên tục là dơng khi lợng trữ tăng, âm khi lợng trữ giảm và S có thể đợc coi
nh là một hàm của thời gian. Phơng trình (4.1) có thể đợc viết dới dạng sai phân
hữu hạn nh phơng trình (4.2), trong đó t là thời đoạn diễn toán, chỉ số 1, 2 biểu diễn
các giá trị ở thời điểm đầu và cuối thời đoạn:

2
1
(I
1
+ I
2
) -
2
1
(O
1
+ O
2
) =
t
S

S

)(
12
(4.2)
Nếu lợng trữ và lu lợng ra của một đoạn sông đợc vẽ trên cùng một hệ toạ độ
230
thờng sẽ tạo thành một hình vòng dây nh hình 4.2. Vòng dây này thể hiện lợng trữ
lớn hơn trong suốt giai đoạn lũ xuống so với trong suốt thời gian lũ lên. Nếu nhận thấy
đờng mặt nớc dốc ở những thời điểm khác nhau trong suốt quá trình truyền của một
sóng lũ thì khái niệm lợng trữ hình lăng trụ và lợng trữ hình nêm đợc sử dụng. Các
khái niệm này đợc minh hoạ trong hình 4.3.


Hình 4.2. Lợng trữ trên sông

Một thể tích nớc lớn của lợng trữ hình nêm có thể tồn tại trong suốt quá trình
lũ lên trớc khi lu lợng đầu ra tăng. Trong quá trình lũ xuống, lu lợng đầu vào
giảm nhanh hơn đầu ra và lợng trữ hình nêm trở thành âm. Vì vậy trong diễn toán
thuỷ văn sông ngòi cần thiết một quan hệ lợng trữ để thừa nhận khái niệm lợng trữ
hình nêm. Điều này đợc thực hiện bằng việc coi lợng trữ nh là một hàm của cả lu
231
lợng đầu ra và vào nh trong phơng pháp diễn toán lũ Muskingum ( Mc. Carthy,
1938 ). Phơng pháp này chịu một số hạn chế từ việc giả thiết một đờng cong tỉ lệ đều
tại vị trí uốn khúc nh trong hình 4.2.

Hình 4.3 . Lợng trữ lăng trụ và nêm lợng trữ
Phơng pháp Muskingum
Phơng pháp Muskingum đợc xây dựng bởi Mc. Carthy (1938 ) cũng sử dụng
phơng trình liên tục và một quan hệ lợng trữ phụ thuộc vào cả lu lợng đầu vào và

ra. Lợng trữ trong một đoạn sông ở thời điểm cho trớc có thể đợc biểu diễn bởi
(Chow 1959 ):
232
S =
[
]
nm
nmnm
a
OxxIb
/
//
)1( +

trong đó: Lu lợng vào và ra liên hệ với ay
n
từ phơng trình Manning, với a, n là
các hằng số. Lợng trữ trong đoạn sông liên hệ với by
m
, với b, m cũng là các hằng số.
Tham số x chỉ rõ trọng số tơng đối của lu lợng đầu ra và vào trong việc xác định thể
tích lợng trữ trong đoạn sông. Phơng pháp Muskingum giả thiết rằng m/n = 1 và b/a
= K, kết quả là một quan hệ tuyến tính đợc thiết lập:
S = K[ x.I + (1 x )O] (4.4)
trong đó: K : thời gian chảy truyền đối với đoạn sông; x : trọng số, có giá
trị thay đổi từ 0 đến 0.5 đối với đoạn sông đã cho.
Đối với trờng hợp diễn toán tuyến tính hồ chứa trong đó S chỉ phụ thuộc vào lu
lợng đầu ra thì trong phơng trình ( 4.4 ) x = 0. Trong các kênh dòng chảy ổn định
đều, x = 0.5 mang lại từ sự cân bằng trọng lợng đối với lu lợng đầu vào và ra, kết
quả này mang tính lí thuyết trong sự chuyển động thuần nhất của sóng. Đối với hầu

hết các sông suối tự nhiên x = 0.2. Quá trình diễn toán sử dụng dạng sai phân hữu hạn
của phơng trình liên tục (4.2 ) kết hợp với phơng trình (4.4 ) ta có:
S
2
S
1
= K[ x.(I
2
I
1
) + (1 x )(O
2
O
1
)] (4.5)
để đa ra phơng trình diễn toán Muskingum đối với một đoạn sông:
O
2
= C
0
+ C
1
I
2
+ C
1
I
1
+ C
2

I
0
(4.6)
trong đó:
C
0
=
D
tKx

+

5.0
(4.7)
C
1
=
D
tKx

+
5.0
(4.8)
C
2
=
D
tKxK

5.0
(4.9)
D = K- Kx + 0.5 t (4.10)

Quá trình tính toán này đợc xây dựng và cài đặt hoàn thiện trong máy tính hoặc
máy tính cá nhân. Chú ý rằng K và t phải có cùng đơn vị, tổng các hệ số C
0
, C
1
, và C
2

phải bằng 1 và đợc tính toán từ các giá trị K và t đã biết. Quá trình diễn toán đợc
hoàn tất bởi việc giải phơng trình (4.6) đối với các thời đoạn liên tiếp, với O
2
của thời
đoạn diễn toán trớc trở thành O
1
của thời đoạn diễn toán tiếp theo. Ví dụ 4.3 thể hiện
sự tính toán hàng theo hàng và một chơng trình máy tính trong phụ lục E.

Ví dụ 4.3
Diễn toán Muskingum
Diễn toán đờng tập trung nớc ở mặt cắt cửa vào của đoạn sông nghiên cứu và
thiết lập thành một bảng với các giá trị x = 0.2, K = 2 ngày, t = 1 ngày và giả thiết
rằng lu lợng đầu vào và ra cân bằng nhau trong ngày đầu tiên.
233

Thời gian

(ngày)
Lu lợng vào
(ft
3
/s)
1 4000
2 7000
3 11000
4 17000
5 22000
6 27000
7 30000
8 28000
9 25000
10 23000
11 20000
12 17000
13 14000
14 11000
15 8000
16 5000
17 4000
18 4000
19 4000
20 4000
Giải
Đầu tiên, chúng ta xác định các hệ số C
0
, C
1

và C
2
đối với đoạn sông đã cho
(phơng trình 4.9):
C
0
=
D
t
K
x

+

5.0

C
1
=
D
tKx

+
5.0

C
2
=
D
tKx

K



5.0

D = K- Kx + 0.5 t
với K = 2 ngày, t = 1 ngày và x = 0.2:
D = 2 2
ì
0.2 + 0.5
ì
1
= 2.1
C
0
=
1.2
15.02.0)2(
ì
+
ì


234
= 0.0476
C
1
=
1.2

15.02.02
ì
+
ì

= 0.4286
C
2
=
1.
15.02.022
ì

ì


2
= 0.5238

Thời gian Lu lợng vào
(ft
3
/s)
Lu lợng ra
(ft
3
/s)
1 4000 4000
2 7000 4143
3 11000 5694

4 17000 8506
5 22000 12789
6 27000 17413
7 30000 22121
8 28000 25778
9 25000 26693
10 23000 25792
11 20000 24319
12 17000 22120
13 14000 19390
14 11000 16758
15 8000 13873
16 5000 10934
17 4000 8061
18 4000 6127
19 4000 5114
20 4000 4583
Chú ý: Q
P
trễ pha so với I
P
là 2 ngày và xấp xỉ bằng K.
Chúng ta phải kiểm tra quá trình tính toán bằng việc kiểm nghiệm sao cho tổng
các hệ số C
0
, C
1
và C
2
bằng 1.

0.0476 + 0.4286 + 0.5238 = 1.000
Thay các giá trị trên vào phơng trình (4.6) ta đợc:
O
2
= (0.0476)I
2
+ (0.4286)I
1
+ (0.5238)O
1
Với t = 1 ngày:
O
1
= I
1
= 4000 (ft
3
/s)
235
Với t = 2 ngày:
O
2
= 0.0476
ì
4000 + 0.4286
ì
11000 + 0.5238
ì
4000
= 4143 (ft

3
/s)
Với t = 3 ngày:
O
3
= 0.0476 ì11000 + 0.4286
ì
7000 + 0.5238
ì
4143
= 5694 (ft
3
/s)
Quá trình này đợc tiếp tục cho tới t = 20 ngày, các giá trị tính toán đợc ghi
trong bảng.
Nếu biết lu lợng đầu vào lần lợt là I
1
, I
2
, I
n
ta có thể tính đợc lu lợng
đầu ra ở một thời điểm bất kỳ. Phơng trình (4.6) có thể đợc viết một cách tổng quát
nh sau:
O
n
= C
0
I
n

+ C
1
I
n-1
+ C
2
O
n-1
và O
n-1
= C
0
I
n-1
+ C
1
I
n-2
+ C
2
O
n-2
(4.11)
Sự tính toán đợc lặp lại đối với O
n-2
, O
n-3
, theo phơng trình:
O
n

= K
1
I
n
+ K
2
I
n-1
+ K
3
I
n-2
+ + K
n
I
1
(4.12)
trong đó: K
1
= C
0
K
2
= C
0
C
2
+ C
1
K

3
= K
2
C
2
K
i
= K
i-1
C
2
với i > 2
Xác định các hằng số lợng trữ
Tham số K trong phơng pháp Muskingum thờng đợc ớc lợng từ thời gian
chảy truyền của một sóng lũ trên đoạn sông nghiên cứu, và x = 0.2 đối với dòng chảy tự
nhiên. Nếu số liệu lu lợng đầu vào và ra có sẵn thì các giá trị của K và x đợc xác
định chính xác hơn qua việc sử dụng các phơng pháp đồ giải. Lợng trữ S và trọng số
lu lợng xI + (1 x)O đợc vẽ trên cùng một hệ toạ độ đối với một số giá trị lựa chọn
của x và đồ thị này mang lại một đờng cong đơn trị tuyến tính nhất cung cấp giá trị
của x tối u nhất. Phơng pháp Muskingum giả thiết rằng đờng cong này là một
đờng thẳng với độ dốc nghịch đảo K.
Hình 4.4 và ví dụ 4.4 thể hiện cách thức lựa chọn x và K. Phơng pháp
Muskingum giả thiết lợng trữ là một hàm đơn nhất của trọng số lu lợng vào và ra.
Vì vậy thông thờng một con sông đợc chia thành một vài đoạn để áp dụng phơng
pháp diễn toán Muskingum với điều kiện dòng chảy thay đổi chậm theo thời gian.
Phơng pháp này đựơc ứng dụng đối với các dòng chảy tự nhiên với độ dốc nhỏ tơng
ứng với đờng cong lợng trữ lu lợng gần nh tuyến tính cho kết quả khá tốt. Tuy
nhiên, trong những trờng hợp sông suối có độ dốc lớn, trung bình hoặc chịu ảnh hởng
của nớc vật, những ảnh hởng động học của dòng chảy hoặc sự biến đổi đột ngột của
sóng rõ nét thì sử dụng các phơng pháp diễn toán thuỷ lực sẽ cho kết quả tốt hơn các

phơng pháp diễn toán thuỷ văn. Nh
sự lựa chọn sử dụng phơng pháp Muskingum
Cunge (xem phần 4.7).

236

Hình 4.4 Lựa chọn hệ số Muskingum

Ví dụ 4.4
Xác định các hệ số diễn toán Muskingum
Các giá trị lu lợng vào ra và trữ lợng đối với một đoạn sông thành phần của
con sông nghiên cứu đợc cho trong bảng dới đây. Sử dụng phơng pháp diễn toán
Muskingum xác định các hệ số K và x.

Hình E4.4
Giải
Để xác định các hệ số trên, giả thiết các giá trị của x rồi vẽ đồ thị quan hệ [xI + (1
x)Q] và S. Đồ thị khép kín nhất có dạng gần một đờng thẳng thì đợc chọn để xác
định giá trị của K, x. Đối với các sông ngòi tự nhiên giá trị trung bình của x = 0.2. Do
đó, chúng ta lấy các giá trị của x nằm trong khoảng từ 0.1 đến 0.3. Vẽ đồ thị của [xI + (1
x)Q] và S với x = 0.1, x = 0.2, và x = 0.3 theo số liệu cho trong bảng (xem hình E4.4).
237
Thời gian
(ngày)
Lu lợng TB đầu vào
(ft
3
/s)
Lu lợng TB đầu ra
(ft

3
/s)
Lợng trữ
(ft
3
/s)
1 59 42 17
2 93 70 40
3 129 76 94
4 205 142 157
5 210 183 184
6 234 185 233
7 325 213 345
8 554 293 606
9 627 397 836
10 526 487 875
11 432 533 774
12 400 487 687
13 388 446 629
14 270 400 499
15 162 360 301
16 124 230 195
17 102 140 157
18 81 115 123
19 60 93 90
20 51 71 70

Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng đồ thị ứng với x = 0.3 là thẳng nhất. K
bằng nghịch đảo của độ dốc đờng thẳng nói trên:

K
1
=
400750
300490


= 0.543
K = 1.8 ngày
Đối với hầu hết sông suối, sự thu hẹp vòng dây sẽ ảnh hởng lớn đến các giá trị
của x. Vì vậy phải lựa chọn một quan hệ tuyến tính nhất để xác định K và x.
[xI + (1 x)Q] (ft
3

/s)
Lợng trữ
(ft
3
/s-ngày)
x = 0.1 x = 0.2 x = 0.3
17 43 45 47
40 72 74 77
94 81 86 92
157 148 155 161
184 186 188 191
233 190 195 200
238
[xI + (1 x)Q] (ft
3
/s)
Lợng trữ
(ft
3
/s-ngày)
x = 0.1 x = 0.2 x = 0.3
345 224 235 247
606 319 345 371
836 420 443 466
875 491 495 499
774 523 513 503
687 478 470 461
629 440 434 429
499 387 370 361
301 340 320 301

195 219 209 198
157 136 132 129
123 112 108 105
90 89 86 83
70 89 67 65
4.3.
Diễn toán thuỷ văn hồ chứa
Phơng pháp biểu thị lợng trữ
Diễn toán hồ chứa hay kho nớc đợc thực hiện dễ dàng hơn diễn toán sông ngòi
bởi vì quan hệ lợng trữ lu lợng qua các cống ngầm, đập chắn, đập tràn là những
hàm đơn nhất không phụ thuộc vào lu lợng đầu vào. Vì vậy, một phơng pháp đơn
giản: phơng pháp biểu thị lợng trữ hay phơng pháp Puls sử dụng dạng sai phân
hữu hạn của phơng trình liên tục kết hợp với một đờng cong biểu thị lợng trữ (2
t
S


+ O và O). Phơng trình (4.2) có thể đợc khái quát hoá theo dạng sai phân hữu hạn đối
với 2 bớc thời gian:
(I
n
+ I
n+1
) + (
t
S

2
- O
n

) = (
t
S

2
+ O
n+1
) (4.13)
Trong đó các giá trị S
n+1
, O
n+1
ở vế phải của phơng trình trên cha biết, I đợc
cho với tất cả các bớc thời gian n và S
n
, O
n
đã biết ở thời điểm ban đầu của mỗi bớc
thời gian, do đó vế phải của phơng trình (4.13) có thể xác định đợc. Các giá trị S
n+1
,
O
n+1
rồi đợc sử dụng nh là đầu vào của vế trái và quá trình tính toán đợc lặp lại đối
với các bớc thời gian tiếp theo. Đờng cong biểu thị lợng trữ là đồ thị của 2
t
S

+ O và
O nh trong ví dụ 4.5. Vì vậy, một khi vế phải của phơng trình (4.13) xác định thì một

giá trị tơng ứng của O có thể đợc xác định trực tiếp từ đờng cong nói trên. Giá trị
239
của 2
t
S

- O ở vế trái của phơng trình (4.13) đợc tính bằng cách lấy giá trị 2
t
S

+ O
tơng ứng trừ đi 2(O). Quá trình tính toán đợc thể hiện chi tiết trong ví dụ 4.5.

Vídụ 4.5
Diễn toán chỉ thị lợng trữ
Diễn toán đờng tập trung nớc đầu vào (minh hoạ trong hình E4.5(a)) qua một
hồ chứa, biểu hiện một vùng tiêu chuẩn. Giả sử ở thời điểm ban đầu lợng trữ trong hồ
bằng 0 (S
0
= 0). Sử dụng các giá trị độ sâu, lợng trữ, lu lợng ra cho trong bảng sau.
Xác định mực nớc lớn nhất đạt đợc trong hồ ứng với lu lợng vào đã cho? Cho
biết t = 10 phút.
Độ sâu
(ft)
Trữ lợng
(ac-ft)
Lu lợng ra
(ft
3
/s)

0 0 0
1.0 1.0 15
2.0 2.0 32
3.0 3.0 55
4.0 4.0 90
5.0 5.0 125
6.0 6.0 158
7.0 7.5 185
8.0 10.5 210
9.0 12.0 230
10.0 13.5 250
11.0 20.0 270
12.0 22.0 290
Giải
Đầu tiên, chúng ta xây dựng đờng cong biểu thị lợng trữ. Đây là đồ thị của
(2
t
S

+ Q) và Q. Đối với trờng hợp: Q= 90 ft
3
/s, S = 40 ac-ft và:
2
t
S

+ Q =
[
]
)60(10

))560.43(42
+ 90 (ft
3
/s) = 671 (ft
3
/s)
Đồ thị minh hoạ và bảng số liệu đối với đờng cong biểu thị lợng trữ đợc thể
hiện trong hình E4.5(b) và theo bảng trên.
Viết lại phơng trình (4.13):
(I
n
+ I
n+1
) + (
t
S
n

2
- Q
n
) = (
t
S
n

+1
2
+ Q
n+1

)
240

Q (ft
3
/s)
2
t
S
∆
+ Q (ft
3
/s)
0 0
15 160
32 322
55 491
90 761
125 851
158 1029
185 1274
210 1735
230 1972
250 2210
270 3174
290 3484

víi t
n
= 0, I

n
= 0, t
n+1
= 10 phót vµ I
n+1
= 60 (ft
3
/s), nh− trong h×nh E4.5(a). Ta cã:
60 + 0 =
t
S
n
∆
+1
2
+ Q
n+1
⇒
t
S
n
∆
+1
2
+ Q
n+1
= 60
Tõ ®−êng cong biÓu thÞ l−îng tr÷ øng víi:
2
t

S
∆
+ Q = 60
⇒ Q = 5 (ft
3
/s)
víi t
n
= 10 phót, t
n+1
= 20 phót, I
n
= 60 (ft
3
/s) vµ I
n+1
= 120 (ft
3
/s):

t
S
n
∆
2
- Q
n
= (
t
S

n
∆
2
+ Q
n
) - 2 Q
n
= 60 (ft
3
/s) – 2. 5 (ft
3
/s)
= 50 (ft
3
/s)
Tõ ph−¬ng tr×nh:
I
n
+ I
n+1
+
t
S
n
∆
2
- Q
n
=
t

S
n
∆
+1
2
+ Q
n+1

⇒ 60 + 120 + 50 =
t
S
n
∆
+1
2
+ Q
n+1
⇒
t
S
n
∆
+1
2
+ Q
n+1
= 230
Tõ ®−êng cong biÓu thÞ l−îng tr÷ øng víi:
241
2

t
S

+ Q = 230
Q = 22 (ft
3
/s)
Để xác định cao trình mặt nớc lớn nhất trong suốt quá trình diễn toán, ta dựng
một đờng cong độ sâu lu lợng từ số liệu đã có. Xem hình E4.5(c). Lu lợng đầu ra
lớn nhất là 231 (ft
3
/s). Độ sâu tơng ứng với giá trị này là 9.0 (ft).
Quá trình tính toán đợc làm tơng tự kết quả đợc cho trong bảng.
Thời gian
(phút)
I
n

(ft
3
/s)
I
n
+ I
n+1
(ft
3
/s)
t
S

n

2
- Q
n
(ft
3
/s)
t
S
n

+1
2
+ Q
n+1
(ft
3
/s)
Q
n+1
(ft
3
/s)
0 0 60 0 0
10 60 180 50 60 5
20 120 300 186 230 22
30 180 420 378 486 54
40 240 540 568 798 115
50 300 660 774 1108 167

60 360 680 1046 1434 194
70 320 600 1306 1726 210
80 280 520 1458 1906 224
90 240 440 1516 1978 231
100 200 360 1498 1956 229
110 160 280 1418 1858 220
120 120 200 1282 1698 208
130 80 120 1090 1482 196
140 40 40 854 1210 178
150 0 0 628 894 133
160 0 0 464 628 82
170 0 0 362 462 51
180 0 0 288 362 37
190 0 0 232 288 28
200 0 0 186 232 23

Hình E4.5c
242
Diễn toán lu vực
Mục đích diễn toán lũ đối việc thiết kế các bồn chứa nớc là để xác định lu lợng
đầu ra và lợng trữ trong hồ thay đổi nh thế nào khi biết đồ thị lu lợng vào. Một sơ
đồ diễn toán số giải phơng trình liên tục và phơng trình lợng trữ chính xác hơn là
kỹ thuật diễn toán Range Kutta (Chapra và Canale, 1985). Các phơng trình vi phân
thờng trong phơng pháp Range Kutta có thể đợc khai triển để giải theo các
phơng trình với mức độ chính xác khác nhau (1, 2, 3, 4). Phơng trình liên tục đợc
viết:

dt
dV
= Q

in
(t) - Q
out
(H) (4.14)
trong đó: V: thể tích lợng trữ hồ chứa.
Q
in
(t): Lu lợng vào hồ chứa nh là một hàm của thời gian
Q
out
(H): Lu lợng ra khỏi hồ chứa là một hàm của cột nớc H trong hồ.
Sự thay đổi thể tích dV liên quan với sự thay đổi độ sâu dH có thể đợc biểu diễn
bằng:
dV = A
r
(H) dH (4.15)
Trong đó: A
r
(H): là diện tích bề mặt tơng ứng với H. Viết lại phơng trình liên
tục dới dạng:

dt
dH
=
)(
)()(
HA
HQtQ
t
r

outin


(4.16)
Hình 4.5(a) minh hoạ kỹ thuật diễn toán R-K-1. Phơng trình (4.16) có thể viết
gọn thành:

dt
dH
= f(H
n
, t
n
)
trong đó: H: biến số phụ thuộc
t: biến số phụ thuộc
Trong phơng pháp Runge Kutta thứ nhất, khoảng thời gian giới hạn
đợc
lựa chọn trớc sau đó:
t

=

H
f(H
n,
, t
n
)
t

H
n+1
= H
n
+
H

(4.17)
Giả thiết rằng cột nớc ban đầu H
n
đợc biết. Tuy nhiên, vì
H
không phải là
hằng số nhng thay đổi theo thời gian, sai số gặp phải đợc thể hiện trong hình 4.5(a).
Vì vậy, phơng pháp Runge Kutta thứ nhất chỉ tơng đối chính xác đối với những
khoảng thời gian tơng đối nhỏ (xem ví dụ 6.10).
Kỹ thuật diễn toán Runge Kutta thứ hai sẽ làm giảm những sai số gặp phải ở
trên, nh minh hoạ ở hình 4.5(b), ở đây
H

đợc tính ở thời điểm ban đầu và cuối mỗi
bớc thời gian,
H

là giá trị trung bình của

H
1

và

H
2
(chú ý rằng đờng thẳng ở
bớc thứ nhất tiếp tuyến với f(H
n
, t
n
) ở t
n
. Đờng thẳng ở bớc thời gian thứ hai tiếp
tuyến với f(H
n
, t
n
) ở t
n+1
). Đầu tiên,

H
1
đợc tính từ:


H
1
= f(H
n
, t

n
) t


Bởi vì H
n+1
không thể tính ngay đợc nên

H
2
không có thể xác định ở điểm này.
Nhng
H

2
đợc ớc lợng bằng phơng trình (4.17) theo H
n
+

H
1
và t
n
+ : t
243

H

2
= f(H

n
+

H
1
, t
n
+ t

)
Sau đó tính:

H

=
2
21
HH +



H
n+1
= Hn

+
H

(4.18)

Hình 4.5. a) Kỹ thuật Runge Kutta thứ nhất, b) Kỹ thuật Runge Kutta thứ hai
áp dụng kỹ thuật diễn toán này cho phơng trình (4.16), ta có:

t
HA
HQtQ
H
nr
n
t
ounin


=
)(
)()(
1


t
HHA
HHQttQ
H
nr
n
t
ounin

+

+


+
=
)(
)()(
1
1
2
(4.19)
244
Giải phơng trình (4.16) bằng phơng pháp Runge Kutta thứ hai đợc thể hiện
chi tiết hơn trong sơ đồ khối hình 4.6.

Hình 4.6. Sơ đồ khối minh hoạ kỹ thuật Runge Kutta thứ hai
Các phơng pháp diễn toán Runge Kutta 3 và 4 đợc xây dựng bằng những lập
luận tơng tự nhng đã cố gắng ớc lợng
H

chính xác hơn. Trong Runge Kutta 3
ớc lợng:

H
n+1
= H
n
+
6

1
(k
1
+ 4k
2
+ k
3
)
t

(4.20)
Trong đó:
k
1
= f(t
n
, H
n
)
245
k
2
=f(t
n
+
t

/2, H
n
+

2
1
k
1
t

)
k
3
= f(t
n
+
t

, H
n
k
1
t

+ 2k
2
t

)

Trong Runge Kutta thứ t ớc lợng:

H
n+1

= H
n
+
6
1
(k
1
+ 2k
2
+ 2k
3
+ k
4
)
t

(4.21)
Trong đó:
k
1
= f(t
n
, H
n
)
k
2
=f(t
n
+

t

/2, H
n
+
2
1
k
1
t

)
k
3
=f(t
n
+
t

/2, H
n
+ k
2
t

)
k
4
= f(t
n

+
t

, H
n
+ k
3
t

) (4.22)
Sử dụng Runge Kutta thứ t sẽ cho kết quả chính xác hơn các phơng pháp
Runge Kutta còn lại. Ví dụ 4.6 thể hiện việc giải bài toán bằng Runge Kutta thứ t
và một chơng trình máy tính đợc giới thiệu trong phụ lục E.

Ví dụ 4.6
Phơng pháp Runge - Kutta-thứ 4
Thời gian (h) Lu lợng vào (ft
3
/s)
12 40
24 35
36 37
48 125
60 340
72 575
84 722
96 740
108 673
120 456
132 250

144 140
156 10
Lu vực Bull Creek có một hồ chứa với quan hệ lợng trữ:
S = A.H,
trong đó: A: diện tích (300 ac)
H: độ sâu hoặc cột nớc trong hồ (ft)
Diện tích đợc giả thiết là không đổi, nhng cũng có thể là một hàm của H. Lu
246
lợng đầu ra đợc cho bởi phơng trình:
Q = 56.25 H
3/2
Q có đơn vị là ft
3
/s. Sử dụng phơng pháp Runge Kutta thứ t diễn toán đồ thị
lu lợng vào với các giá trị cho trong bảng sau.
Giải
Phơng trình cơ bản là:

)(
)()(
HA
HQtQ
t
H
r
outin

=

Phơng pháp R-K-4 sẽ sử dụng các phơng trình (4.21) và (4.22). Giả sử H
o
= 0 và
Q
out
(H
o
) = 0. Các giá trị lu lợng vào cần phải nội suy, giá trị Q
out
đợc xác định từ
phơng trình Q = 56.25.H
3/2
Với n = 0:

t

= 12 (h)
t
o
= 12 (h)
H
o
= 0
k
1
= f(t
o
, H
o

)
=
)0(
)0()12(
r
outin
A
QQ

=
300
040


= 0.1333(ft
3
/s/ac)(1ac-in/1ft
3
/s-h)
k
1
= 0.1333 (in/h)
k
2
= f[(12+6), (0+0.5(0.1333 in/h)(12h)(1ft/2in)]
=
300
)0667.0()18(
outin
QQ

=
300
679.05.37


= 0.1218 (in/h)
k
3
= f[(12+6), (0+0.1218(in/h).12(h).(1ft/12in))/2]
=
300
)0609.0()18(
outin
QQ

=
300
8454.05.37


= 0.1222 (in/h)
k
4
= f[(12+12), (0+0.1222(in/h).12(h).(1ft/12in))]
=
300
)1222.0()24(
outin
QQ

= 0.1048 (in/h)
Ta có:
247