phuong phap giai bai toan con lac don pot

CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
CON LẮC ĐƠN
DẠNG 1: CHU KÌ CON LẮC ĐƠN
Chu kì con lắc đơn:
l
g
T
π
2=
,
n
t
T =
Tần số góc:
l
g
=
ω
Ví dụ 1: Con lắc lò xo có chiều dài
1
l
dao động điều hòa với chu kì
s,T 51
1
=
, con lắc có chiều dài
2
l

dao động điều hòa với chu kì

s,T 90
2
=
. Tính chu kì của con lắc chiều dài
12
ll −
tại nơi đó.
Giải:
Con lắc chiều dài
1
l
có:
2
2
1
1
1
1
4
2
π
π
gT
l
g
l
T =⇔=
Con lắc chiều dài
2
l

có:
2
2
2
2
2
2
4
2
π
π
gT
l
g
l
T =⇔=
Con lắc có chiều dài
l
có:
2
2
4
2
π
π
gT
l
g
l
T =⇔=

Từ
)(2,19,05,1
444
222
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
21
sTTT
gTgT
gT
lll =+=−=⇒−=⇔−=
πππ
Ví dụ 2: Hai con lắc đơn dao động trên cùng mặt phẳng có hiệu chiều dài là 14(cm). Trong cùng một
khoảng thời gian: khi con lắc I thực hiện được 15 dao động thì con lắc II thực hiện được 20 dao động.
a. Tính chiều dài và chu kì của hai con lắc. Lấy
)/(86,9
2
smg =
b. Giả sử tại thời điểm t hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều thì sau đó bao lâu cả hai
con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều như trên.
Giải:

a. Ta có:
2121
21
21
9
16
16924232015 llll
g
l
.
g
l
.TTt =⇔=⇔=⇔==∆
ππ
Mặt khác ta có:
)(3214
121
cmlll =⇒=−
;
)(18
2
cml =
)(13,1
86,9
32,0
22
1
1
s
g

l
T ===⇒
ππ
;
)(85,0
86,9
18,0
22
2
2
s
g
l
T ===
ππ
b. Gọi thời gian cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều (còn gọi là khoảng thời gian
giữa hai lần trùng phùng liên tiếp), ta có:
2211
TNTNt ==
∆
(với
1
N
và
2
N
số dao động con lắc I và II thực hiện trong thời gian
t
∆
)

Mà
1221
3
4
3
4
NNTT =⇒=
Ta thấy khi con lắc I thực hiện được 4 dao động thì con lắc 2 thực hiện được 3 dao động
)(52,413,1.44
1
sTt ===∆⇒
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Ví dụ 3: Một con lắc đơn có chu kì 2(s). Nếu tăng chiều dài con lắc thêm 20,5(cm) thì chu kì dao động là
2,2(s). Tìm gia tốc trọng trường nơi làm thí nghiệm
Giải:
Con lắc có chiều dài
1
l
dao động với chu kì
22
2
1
1
1
1
4
202
ππ

π
g
gT
l)s(,
g
l
T ==⇔==
Con lắc có chiều dài
2
l
dao động với chu kì
22
2
2
2
2
2
211
4
222
ππ
π
g,
gT
l)s(,
g
l
T ==⇔==
Mà
)/(625,9205,0

21,1
205,0
2
22
12
smg
gg
ll =⇔+=⇒+=
ππ
Ví dụ 4: Một con lắc đơn chiều dài 99(cm) có chu kì dao động 2(s) tại A.
a. Tính gia tốc trọng trường tại A.
b. Đem con lắc đến B, ta thấy con lắc thực hiện 100 dao động mất 199(s). Hỏi gia tốc trọng trường tại B
tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với gia tốc trọng trường tại A.
c. Muốn con lắc dao động tại B với chu kì 2(s) thì ta phải làm như thế nào?
Giải:
a.
?g;sT;m,l
AA
=== 2990
Từ
)/(76,9
4
99,0.44
2
2
2
2
2
2
sm

T
l
g
g
l
T
A
A
A
A
===⇒=
ππ
π
b. Chu kì con lắc tại B:
)(99,1
100
199
s
n
t
T
B
===
010869
991
99044
2
2
2
2

2
,
g
gg
g
g
s/m,
,
,.
T
l
g
A
AB
A
B
B
=
−
=
∆
⇒===
ππ
Vậy gia tốc trọng trường tại B tăng 1% so với gia tốc trọng trường tại A
c. Để
)(1
76,9
86,9.99,0
.
'

'
'
m
g
gl
l
g
l
g
l
TT
A
B
AB
AB
===⇔=⇒=
Vậy cần tăng chiều dây thêm đoạn:
)(1)(01,099,01' cmmlll ==−=−=∆
.
Ví dụ 5: Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng thời gian
t∆
, con
lắc thực hiện được 60 dao động toàn phần, thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44(cm) thì cũng trong
khoảng thời gian
t
∆
, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Tìm chiều dài ban đầu của con lắc.
Giải:
Chu kì con lắc đơn ban đầu:
1

1
1
2
N
t
g
l
T
∆
==
π
(1)
Chu kì con lắc khi thay đổi:
2
2
2
2
N
t
g
l
T
∆
==
π
(2)
Lấy (1) chia (2) theo từng vế
36
25
60

50
)2(
)1(
2
2
1
2
2
1
=






=








=⇔
N
N
l
l

(3)
Từ (3)
44
1212
+=⇒>⇒ llll
(4)
Giải hệ (3) và (4) ta được
)(100
1
cml =
và
)(144
2
cml =
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI CHU KÌ CON LẮC ĐƠN
1. Chu kì con lắc thay đổi theo độ cao, độ sâu h so với mặt biển
• Chu kì con lắc khi đưa con lắc từ mặt đất lên độ cao h so với mặt nước biển:
Ở mặt đất:
g
l
T
π
2=
với
2
R
GM

g =
Ở độ cao h:
'g
l
'T
π
2=
với
( )
2
hR
GM
'g
+
=
R
h
T
T
R
h
R
hR
g
g
T
T
=
∆
⇔+=

+
==⇒ 1
'
'
• Chu kì con lắc khi đưa con lắc xuống độ sâu h so với mặt nước biển:
Ở mặt đất:
g
l
T
π
2=
với
DRGg
3
4
π
=
Ở độ sâu h:
'
2'
g
l
T
π
=
với
( )
DhRGg −=
π
3

4
.'
R
h
T
T
R
h
hR
R
T
T
22
1
'
2
1
=
∆
⇔+=






−
=⇒
2. Chu kì con lắc thay đổi theo nhiệt độ
Ở nhiệt độ

1
t
:
g
l
T
1
2
π
=
với
( )
101
1 tll
λ
+=
;
λ
là hệ số nở dài
Ở nhiệt độ
2
t
:
g
l
T
2
2
π
=

với
( )
202
1 tll
λ
+=
( ) ( )
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
1
1
−
++=
+
+
== tt
t
t
l

l
T
T
λλ
λ
λ
Áp dụng công thức gần đúng:
( )
εε
n
n
+=+ 11
21
2
12
1
2
12
1
2
4
1
2
1
2
1
1
2
1
1

2
1
1 tttt
T
T
tt
T
T
λλλλλ
−−+=⇔






−






+=
Do giá trị
21
4
1
ttλ
rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua

( )
t
T
T
tt
T
T
∆=
∆
⇔−+=⇒
λλ
2
1
2
1
1
1
12
1
2
3. Chu kì con lắc khi đưa con lắc từ mặt đất có nhiệt độ
1
t
lên độ cao h có nhiệt độ
Ở mặt đất, nhiệt độ
1
t
:
g
l

T
π
2=
với
2
R
GM
g =
;
( )
10
1 tll
λ
+=
Ở độ cao h, nhiệt độ
2
t
:
'g
'l
'T
π
2=
với
( )
2
hR
GM
'g
+

=
;
( )
20
1 tl'l
λ
+=
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
( ) ( ) ( )
121212
1
2
2
1
2
1
1
2
1
11
1
1
tt
R
h
tt
R
h

T
'T
tt
R
h
t
t
R
hR
l
'l
'g
g
T
'T
−⋅+−++=⇔






−+






+=

+
+
⋅
+
=⋅=⇒
λλλ
λ
λ
Do giá trị
( )
12
2
1
tt
R
h
−⋅
λ
rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua
( ) ( )
1212
2
1
2
1
1 tt
R
h
T
T

tt
R
h
T
'T
−+=
∆
⇔−++≈⇔
λλ
Chú ý:
0>∆T
: Chu kì tăng, đồng hồ chạy chậm
0
<∆
T
: Chu kì giảm, đồng hồ chạy nhanh
0=∆T
: Đồng hồ chạy đúng
Thời gian đồng hồ chạy nhanh (chậm) trong một ngày đêm là:
( )
s.
T
T
360024
2
⋅
∆
=
θ
, thường

12
TT ≈
nên
)(3600.24
1
s
T
T
⋅
∆
=
θ
4. Chu kì con lắc thay đổi khi đem con lắc từ nơi này sang nơi khác (g thay đổi một lượng rất
nhỏ)
Khi con lắc ở vị trí A:
g
l
T
π
2=
Khi con lắc ở vị trí B:
'g
l
'T
π
2=
với
gg'g ∆+=
g
g

T
T
g
g
g
g
'g
g
T
'T ∆
⋅−=
∆
⇔
∆
⋅−=
∆
+
==⇒
2
1
2
1
1
1
1
Chú ý:
Khi cả nhiệt độ và g thay đổi lượng rất nhỏ, kết hợp dạng 2 và 3 ta có:
g
g
t

T
T ∆
⋅−∆=
∆
2
1
2
1
α
5. Chu kì con lắc khi chiều dài dây treo thay đổi một đoạn rất nhỏ
Khi dây treo có chiều dài
1
l
:
g
l
T
1
1
2
π
=
Khi dây có chiều dài
2
l
:
g
l
T
2

2
2
π
=
với
lll ∆+=
12
11111
2
1
2
2
1
2
1
11
l
l
T
T
l
l
l
l
l
l
T
T
∆
⋅=

∆
⇒
∆
⋅+=
∆
+==⇒
Chú ý: Khi cả l và g thay đổi một lượng rất nhỏ, kết hợp dạng 3 và 4 ta có:
g
g
l
l
T
T ∆
⋅−
∆
⋅=
∆
2
1
2
1
Ví dụ 1: Con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất, khi đưa con lắc lên độ cao
)(6,1 kmh =
thì một ngày đêm
đồng hồ chạy nhanh chậm bao nhiêu? Biết bán kính trái đất
)(6400 kmR =
Giải:
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân

Ta có:
00
6400
61
>∆⇒>==
∆
T
,
R
h
T
T
. Chu kì tăng, đồng hồ chạy chậm. Thời gian đồng hồ chạy chậm
trong một ngày đêm là:
)(6,2186400
6400
6,1
864003600.24
1
s
R
h
T
T
=⋅=⋅=⋅
∆
=
θ
Ví dụ 2: Con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất, khi đưa con lắc xuống độ sâu
)(640 mh =

so với mặt
nước biển thì sau một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Biết bán kính trái đất
)(6400 kmR =
Giải:
Ta có:
00
6400.2
64,0
2
>∆⇒>==
∆
T
R
h
T
T
. Chu kì tăng, đồng hồ chạy chậm. Thời gian đồng hồ chạy
chậm trong một ngày đêm là:
s
R
h
T
T
32,486400
6400.2
64,0
86400
2
3600.24 =⋅=⋅=⋅
∆

=
θ
Ví dụ 3: Ở mặt đất một con lắc đơn có chu kì
)(2 sT =
. Biết khối lượng Trái đất gấp 81 lần khối lượng
Mặt trăng và bán kính Trái đất gấp 3,7 lần bán kính Mặt Trăng. Tìm chu kì con lắc khi đưa con lắc lên
Mặt trăng.
Giải:
Chu kì con lắc khi ở Trái đất:
g
l
T
π
2=
với
2
R
GM
g =
Chu kì con lắc khi ở Mặt trăng:
'
2'
g
l
T
π
=
với
2
2

.81
7,3.
'
R
GM
g =
)(86,42.43,243,2'43,2
7,3
81
'
'
2
sTT
g
g
T
T
===⇒===⇒
Vậy chu kì con lắc khi ở mặt trăng là:
)(86,4 s
Ví dụ 4: Một đồng hồ quả lắc chỉ đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là
C°32
. Con lắc của
đồng hồ có thể xem là con lắc đơn và có chiều dài ở
C°0
là
)(1
0
ml =
. Hệ số nở dài của con lắc

15
10.2
−−
= K
λ
. Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là
C°17
. Hỏi đồng hồ sẽ chạy nhanh hay chậm bao
nhiêu sau
h12
?
Giải:
15
21
1021732
−−
=°=°= K.;Ct;Ct
λ
Ta có:
( )
0
2
1
2
1
12
1
<−=∆=
∆
ttt

T
T
λλ
. Chu kì giảm nên đồng hồ chạy nhanh. Thời gian đồng hồ chạy
nhanh trong
h12
là:
360012
1
.
T
T
⋅
∆
=
θ
do
12
TT ≈
nên
)(48,63600.12.
2
1
3600.12
12
1
stt
T
T
=−=⋅

∆
=
λθ
Ví dụ 5: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại một nơi ngang mặt biển, có
)/(86,9
2
smg =
và nhiệt độ
Ct °= 30
1
. Thanh treo quả lắc nhẹ, làm bằng kim loại có hệ số nở dài
15
102
−−
= K.
λ
. Đưa đồng hồ lên
cao 640(m) so với mặt nước biển, đồng hồ lại chạy đúng. Hãy giải thích hiện tượng và tính nhiệt độ ở độ
cao ấy. Coi trái đất hình cầu, bán kính
)(6400 kmR =
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Giải:
Đưa đồng hồ lên cao 0,64km so với mặt nước biển, đồng hồ lại chạy đúng vì: khi đưa đồng hồ lên cao
gia tốc trọng trường giảm nên chu kì tăng nhưng ở trên cao nhiệt độ giảm. Sự tăng chu kì do độ cao
được bù trừ với sự giảm chu kì do nhiệt độ nên chu kì con lắc không thay đổi nên đồng hồ vẫn chạy
đúng.
Ở mặt đất, nhiệt độ
1

t
:
g
l
T
π
2=
với
2
R
GM
g =
;
( )
10
1 tll
λ
+=
Ở độ cao h, nhiệt độ
2
t
:
'g
'l
'T
π
2=
với
( )
2

'
hR
GM
g
+
=
;
( )
20
1 tl'l
λ
+=
Để đồng hồ chạy đúng khi ở độ cao h thì
( )
2
2
22
hR
R
l
'l
g
'g
l
'l
g
l
'g
'l
T'T

+
=⇔=⇔=⇔=
ππ
( )( ) ( ) ( )
R
h
tt
R
h
tt
R
h
tt
R
h
t
t
2
11
2
11
2
1111
1
1
1212
1
12
2
1

2
−=−+⇔−=−+⇔−=++⇔






+=
+
+
⇔
−
λλλλ
λ
λ
C
R
h
tt °=−=−=⇔
−
20
6400.10.2
64,0.2
30
2
5
12
λ
Ví dụ 6: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội

( )
sT 2=
, ở nhiệt độ trung bình bằng
C
°
20
gồm
vật nặng m và thanh treo mảnh, nhẹ bằng kim loại có hệ số nở dài
15
102
−−
= K.
λ
. Đưa đồng hồ vào
thành phố Hồ Chí Minh có nhiệt độ trung bình
C°30
thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm so với Hà Nội
và nhanh chậm mỗi ngày bao nhiêu? Biết gia tốc trọng trường ở thành phố Hồ Chí Minh là
)/(787,9'
2
smg =
và ở Hà nội là
)/(793,9
2
smg =
Giải:
Đưa đồng hồ từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh do nhiệt độ và gia tốc trọng trường g thay đổi nên
đồng hồ sẽ chạy sai.
Xét sự thay đổi chu kì theo nhiệt độ:
Ở Hà Nội nhiệt độ

1
t
:
g
l
T
1
2
π
=
Ở TP Hồ Chí Minh nhiệt độ
2
t
:
g
l
T
2
2
π
=
với
( ) ( )
2
1
1
2
1
2
12

111 tt
l
l
T
T
tll ∆+=∆+==⇒∆+=
λλλ
Áp dụng công thức gần đúng:
( )
εε
n
n
+=+ 11
t
T
T
t
T
T
∆=
∆
⇔∆+=⇒
λλ
2
1
2
1
1
11
2

Xét sự thay đổi chu kì theo gia tốc trọng trường g:
Ở Hà Nội:
g
l
T
π
2=
Ở TP Hồ Chí Minh:
'g
l
'T
π
2=
với
gg'g ∆+=
g
g
T
T
g
g
g
g
'g
g
T
'T ∆
⋅−=
∆
⇔

∆
⋅−=
∆
+
==⇒
2
1
2
1
1
1
1
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Vậy độ biến đổi chu kì của con lắc khi đưa từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh là:
( )
( )
010064
7939
79397879
2
1
2030102
2
1
2
1
2
1

45
>=
−
⋅−−⋅=
∆
⋅−∆=
∆
−
.,
,
,,

g
g
t
T
T
λ
⇒
Chu kì tăng, nên đồng hồ chạy chậm trong một ngày đêm là:
)(358640086400
12
s
T
T
T
T
=⋅
∆
≈⋅

∆
=
θ
Ví dụ 7: Con lắc của một đồng hồ coi như một con lắc đơn. Đồng hồ chạy đúng khi ở mặt đất. Ở độ cao
)(2,3 km
nếu muốn đồng hồ vẫn chạy đúng thì phải thay đổi chiều dài con lắc như thế nào? Biết bán kính
trái đất
)(64000 kmR =
Giải:
Ở mặt đất:
g
l
T
π
2=
với
2
R
GM
g =
Ở độ cao h:
'g
l
'T
π
2=
với
( )
2
hR

GM
'g
+
=
Để đồng hồ chạy đúng khi ở độ cao h thì
g
g
l
l
g
l
g
l
TT
''
2
'
'
2' =⇔=⇔=
ππ
( )
1000
1
6400
2,3.222
11
'
2
2
2

−=−=−=
∆
⇔−≈






+=
+
=⇔
R
h
l
l
R
h
R
h
hR
R
l
l
Vậy cần phải giảm chiều dài dây một đoạn bằng
1000
1
chiều dài ban đầu
DẠNG 3: CHU KÌ CON LẮC KHI CÓ LỰC LẠ TÁC DỤNG
Khi chưa có lực lạ F

Ở vị trí cân bằng:
gmPTTP




−=−=⇔=+ 0
Chu kì con lắc:
g
l
T
π
2=
Khi có lực lạ F
Ở vị trí cân bằng:
( )
FPTFTP



+−=⇔=++ 0
Đặt
'gmFP'P


=+=
(*)
Ta coi con lắc dao động trong trong trọng lực hiệu
Do đó chu kì con lắc là:
'

2'
g
l
T
π
=
Khi lực
F

cùng chiều với
P

: (Hình a)
Từ (*)
m
F
ggFPP +=⇔+=⇒ ''
Khi lực
F

ngược chiều với
P

: (Hình b)
Từ (*)
m
F
ggFPP −=⇔−=⇒ ''
Vũ Văn Phát
T


P

F

T

F

P

Hình a Hình b
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Khi lực
PF

⊥
: (Hình c)
Từ (*)
222
' TPP +=⇒
2
'







+=⇔
m
F
gg
hay
α
cos
'
g
g =
Với
α
là góc hợp bởi dây treo và phương
thẳng đứng và
P
F
=
α
tan
Các loại lực lạ F
Lực quán tính:
amF
qt


−=
•
qt
F


ngược chiều với
a

•
a

cùng chiều chuyển động khi vật chuyển động nhanh dần
•
a

ngược chiều chuyển động khi vật chuyển động chậm dần
Lực điện trường:
EqF

=
•
F

cùng chiều
E

khi
0>q
•
F

ngược chiều
E

khi

0<q
Lực Acsimet:
DVgF
A
=

Trong đó
•
D
là khối lượng chất lỏng (hay chất khí) bị chiếm chỗ
•
V
là thể tích vật chiếm chỗ
•
g
là gia tốc trọng trường
Ví dụ 1: Con lắc đơn dài
)(1 ml =
, vật nặng khối lượng m=50(g) mang điện tích
)(10.2
5
Cq
−
−=
,
)/(86,9
2
smg =
Đặt con lắc vào vùng điện trường
E


có độ lớn
)/(25 cmVE =
. Tính chu kì con lắc
khi:
a.
E

có hướng thẳng đứng hướng xuống
b.
E

có hướng thẳng đứng hướng lên
c.
E

có hướng nằm ngang
Giải:
Lực điện trường tác dụng lên quả cầu tích điện
q
có độ lớn:
)(05,02500.10.2
5
NEqF ===
−
a.
E

có hướng thẳng đứng hướng xuống:
do

0<q
nên lực điện trường
F

có hướng thẳng đứng hướng lên trên nên
E

ngược chiều
P

Ta có gia tốc hiệu dụng:
)/(86,8
05,0
05,0
86,9'
2
sm
m
F
gg =−=−=

Chu kì của con lắc:
)(11,2
86,8
1
2
'
2' s
g
l

T ===
ππ
b.
E

có hướng thẳng đứng hướng lên:
do
0<q
nên lực điện trường
F

có hướng thẳng đứng hướng lên trên nên
E

cùng chiều
P

Vũ Văn Phát
F

P

T

α
Hình c
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Ta có gia tốc hiệu dụng:
)(86,10

05,0
05,0
86,9' cm
m
F
gg =+=+=
Chu kì của con lắc:
)(91,1
86,10
1
2
'
2' s
g
l
T ===
ππ
d. Khi
E

có hướng nằm ngang
PF

⊥⇒
Ta có gia tốc hiệu dụng:
)/(91,9186,9'
22
2
2
2

sm
m
F
gg =+=+=
Chu kì của con lắc:
)(995,1
91,9
1
2
'
2' s
g
l
T ===
ππ
Ví dụ 2: Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy tại nơi có
)/(86,9
s
smg =
. Khi thang máy
đứng yên thì chu kì con lắc là
)(2 s
. Tìm chu kì con lắc khi:
a. Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc
)/(14,1
2
sm
b. Thang máy đi lên đều
c. Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc
)/(86,0

2
sm
Giải:
Chu kì con lắc khi thang máy đứng yên:
g
l
T
π
2=
(1)
Con lắc đặt trong thang máy chuyển động với gia tốc
a

sẽ chịu thêm lực quán tính có độ lớn:
maF
qt
=
a. Khi thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc
)/(14,1
2
sm
:
Do thang máy chuyển động nhanh dần đều nên gia tốc
a

cùng chiều chuyển động (hướng lên), mà
qt
F


ngược chiều
a

qt
F

⇒
hướng xuống
qt
F

⇒
cùng chiều
P

Ta có, gia tốc hiệu dụng:
)/(1114,186,9'
s
qt
smag
m
F
gg =+=+=+=
Chu kì của con lắc:
'
2'
g
l
T
π

=
(2)
Lập tỉ số
)1(
)2(
ta được
)(89,1
11
86,9
.2'
'
'
sT
g
g
T
T
==⇒=
b. Khi thang máy chuyển động đều:
)(20 sTa =⇒=
c. Khi thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc
)/(86,0
2
sm
:
Do thang máy chuyển động chậm dần đều nên gia tốc
a

cùng ngược chuyển động (hướng xuống), mà
qt

F

ngược chiều
a

qt
F

⇒
hướng lên
qt
F

⇒
ngược chiều
P

Ta có gia tốc hiệu dụng:
)/(986,086,9"
2
smag
m
F
gg
qt
=−=−=−=
Chu kì của con lắc:
''
2''
g

l
T
π
=
(3)
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Lập tỉ số
)1(
)3(
ta được
)(093,2
9
86,9
.2''
''
''
sT
g
g
T
T
==⇒=
Ví dụ 3: Một con lắc đơn dài
)(1 ml =
, quả nặng khối lượng
)(400 gm =
mang điện tích
)(10.4

6
Cq
−
−=
a. Khi vật ở vị trí cân bằng bền, người ta truyền cho nó vận tốc
0
v
, vật dao động điều hoà quanh vị trí
cân bằng này. Tìm chu kì dao động của con lắc, lấy
)/(10
2
smg =
.
b. Đặt con lắc vào vùng không gian có điện trường đều (có phương trùng với phương của trọng lực) thì
chu kì dao động của con lắc là
)(04,2 s
. Xác định hướng và độ lớn của điện trường.
Giải:
a. Chu kì:
)(986,1
10
1
22 s
g
l
T ===
ππ
b. Khi con lắc đặt vào điện truờng đều
E


, con lắc chịu tắc dụng của lực điện trường
EqF

=
Ở vị trí cân bằng:
( )
FPTFTP



+−=⇒=++ '0
Đặt
( )
'' mgFPP =+=

(1)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng:
'' mgP =
, với
'g
là gia tốc trọng trường hiệu dụng
⇒
Chu kì của con lắc là:
'
2'
g
l
T
π
=

Do
TT >'
nên
m
Eq
gggg −=⇒< ''
(2)
F

⇒
ngược chiều
P

mà
0<q
nên
E

ngược chiều
F

. Vậy
E

cùng chiều
P

(hay
E


có hướng thẳng
đứng hướng xuống )
Từ (2)
⇒
)/(10.48,8
10.4
4,0
04,2
1.4
10
'
4
'
4
5
62
2
2
2
2
2
mV
q
m
T
l
gE
m
Eq
g

T
l
=⋅








−=⋅








−=⇔−=
−
πππ
Ví dụ 4: Có ba con lắc cùng chiều dài dây treo, cùng khối lượng. Con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai
mang điện tích
1
q
và
2
q

, con lắc thứ ba không mang điện tích. Chu kì dao động điều hoà của chúng
trong điện trường có phương thẳng đứng lần lượt là
1
T
,
2
T
và
3
T
với
31
3
1
TT =
,
32
3
2
TT =
. Tính
1
q
và
2
q
biết rằng
)(10.4,7
8
21

Cqq
−
=+
Giải:
Khi đặt con lắc vào điện trường đều
E

, con lắc chịu tác dụng của lực điện trường
EqF

=
Ở vị trí cân bằng:
( )
FPTFTP



+−=⇒=++ '0
Đặt
( )
'' mgFPP =+=

(1)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng:
'' mgP =
, với
'g
là gia tốc trọng trường hiệu dụng
⇒
Chu kì của con lắc là:

'
2'
g
l
T
π
=
Do
E

cùng phương với
P

nên:
m
qE
gg +='
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Con lắc thứ nhất mang điện tích
1
q
có chu kì:
1
1
2
g
l
T

π
=
với
m
Eq
gg
1
1
+=
g
Con lắc thứ nhất mang điện tích
2
q
có chu kì:
2
2
2
g
l
T
π
=
với
m
Eq
gg
2
2
+=
g

Con lắc thứ ba không mang điện tích có chu kì:
g
l
T
π
2
3
=
Theo đề ta có
E
gm
qg
m
Eq
gggTT
8
99
3
1
1
1
131
=⇔=+⇔=⇒=
E
gm
qg
m
Eq
gggTT
4

5
9494
3
2
2
2
232
=⇒=






+⇔=⇒=
Suy ra
4,6
2
1
=
q
q
mặt khác ta lại có:
)(10.4,6)(10.4,7
8
1
8
21
CqCqq
−−

=⇒=+
,
)(10
8
2
Cq
−
=
Ví dụ 5: Một con lắc đơn khi dao động nhỏ chu kì là 2(s). Cho con lắc ở ngay mặt đất, quả cầu mang
điện tích
q
. Đặt con lắc vào vùng điện trường đều
E

, hướng xuống,
)(9810 mVE =
. Khi đó chu kì
con lắc ở độ cao 6,4(km). Tìm giá trị và dấu của
q
. Cho
)/(81,9
2
smg =
(ở mặt đất),
)(6400 kmR =
,
)(100 gm =
Giải:
Khi đặt con lắc vào điện trường đều
E


, con lắc chịu tác dụng của lực điện trường
EqF

=
Ở vị trí cân bằng:
( )
FPTFTP




+−=⇒=++ 0
Đặt
'' gmFPP


=+=
(*)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng
'' mgP =
, với
'g
là gia tốc trọng trường hiệu dụng
Chu kì con lắc là:
'
2'
g
l
T

π
=
Do
E

cùng phương với
P

nên:
m
qE
gg +='
Khi ở độ cao
h
:
( )
2
''
hR
GM
g
+
=
, ở mặt đất:
2
R
GM
g =
( )







−=⇒−≈
+
=⇒
R
h
gg
R
h
hR
R
g
g 2
1''
2
1
''
2
2
Để ở mặt đất khi con lắc đặt trong điện trường
E

có chu kì bằng chu kì khi ở độ cao
h
thì
''' gg =

)(10.2
9810.6400
1,0.81,9.4,6.22
7
C
RE
hgm
q
−
−=−=−=⇒
Ví dụ 6: Một con lắc đơn có chiều dài
)(1 m
treo vào điểm O cố định. Khi dao động con lắc luôn chịu tác
dụng của lực
F

không đổi, có phương vuông góc với trọng lực
P

và có độ lớn bằng
3
P
. Tìm vị trí cân
bằng và chu kì con lắc. Lấy
)/(10
2
smg =
Giải:
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN

Trường THPT Nghĩa Dân
Khi chưa có lực
F

Ở vị trí cân bằng:
gmPTTP




−=−=⇔=+ 0
Chu kì con lắc là:
g
l
T
π
2=
Khi có lực
F

Ở vị trí cân bằng:
( )
FPTFTP




+−=⇒=++ 0
Đặt
'' gmFPP



=+=
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng
'' mgP =
,
với
'g
là gia tốc trọng trường hiệu dụng
Ta có chu kì con lắc là:
'
2'
g
l
T
π
=
Do
PF

⊥
và
3
P
F =
nên
3
2
3
'

2
222
PP
PFPP =+=+=
)(849,1
547,11
1
2'/547,1110
3
2
3
2
'
2
sTsmgg ==⇒=⋅==⇒
π
Ở vị trí cân bằng, góc giữa dây treo và phương thẳng đứng là
α

với
°=⇒= 30
3
1
tan
αα
Ví dụ 7: Một con lắc đơn có chiều dài
)(64,0 m
dao động ở nơi có
)/(8,9
2

smg =
. Quả nặng của con lắc
là quả cầu nhỏ bằng sắt non, khối lượng 10(g). Con lắc dao động trong từ trường đều, lực từ tác dụng
vào quả cầu có cường độ
)(002,0 N
và có phương thẳng đứng. Tính chu kì con lắc.
Giải:
Lực từ tác dụng vào quả cầu
)(002,0 NF =
Khi con lắc chịu tác dụng của lực từ
F
Ở vị trí cân bằng:
( )
FPTFTP



+−=⇒=++ '0
Đặt
( )
'' mgFPP =+=

(*)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng:
'' mgP =
,
với
'g
là gia tốc trọng trường hiệu dụng
⇒

Chu kì của con lắc là:
'
2'
g
l
T
π
=
Khi lực
F

cùng chiều với
P

: (Hình a)
Từ (*)
m
F
ggFPP +=⇔+=⇒ ''
2
/10
01,0
002,0
8,9' sm
m
F
gg =+=+=⇔
Chu kì con lắc:
)(59,1
10

64,0
2' sT ==
π
Vũ Văn Phát
F

P

T

α
'P

T

P

F

T

F

P

Hình a Hình b
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Khi lực
F


ngược chiều với
P

: (Hình b)
Từ (*)
)/(6,9
01,0
002,0
8,9'''
2
smg
m
F
ggFPP =−=⇔−=⇔−=⇒
Chu kì con lắc :
)(62,1
6,9
64,0
2' sT ==
π
Ví dụ 8: Con lắc đơn có chiều dài
)(1 ml =
dao động điều hoà được treo trong một xe chạy trên mặt
phẳng nghiêng góc
°=
30
α
so với mặt ngang. Khối lượng quả cầu là
)(3100 gm =

. Tìm vị trí cân
bằng, lực căng dây và chu kì dao động nhỏ của con lắc khi xe trượt không ma sát xuống mặt phẳng
nghiêng.
Giải:
Khi xe trượt không ma sát xuống mặt phẳng nghiêng thì xe chuyển động nhanh dần đều với gia tốc:
α
sin.ga =
Ở vị trí cân bằng:
0


=++
qt
FTP
(*)
Chiếu (*) lên
Ox
:
0cossin =−
αβ
qt
FT
(1)
Chiếu (*) lên
Oy
:
0sincos =−+ PFT
qt
αβ
(2)

Từ (1) và (2)
mgma
ma
+−
=⇒
α
α
β
sin
cos
tan
α
αα
β
α
αα
22
cos
cossin
tan
sin
cossin
=⇔
+−
=
gg
g
βααβ
=⇔=⇒ tantan
Vậy khi con lắc ở vị trí cân bằng phương

sợi dây hợp với phương thẳng đứng gớc
°== 30
βα
, hay phương sợi dây vuông
góc với mặt phẳng nghiêng.
Lực căng dây:
Từ (1)
α
αα
β
α
sin
cossin
sin
cos
mg
F
T
qt
==⇒
)(5,1
2
3
.10.3.1,0cos Nmg ===
α
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng
)/(66,8
3.1,0
5,1
'''

2
sm
m
T
gTmgP ===⇒==
Chu kì con lắc là:
)(13,2
66,8
1
2
'
2' s
g
l
T ===
ππ
DẠNG 4: NĂNG LƯỢNG CON LẮC ĐƠN – LỰC CĂNG DÂY
Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng:
Cơ năng:
tđ
WWW +=
Thế năng:
mghW
t
=
với
( )
α
cos1. −= lh
Vũ Văn Phát

T

α
β
β
x
y
qt
F

α
P

I
a

O
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Động năng:
2
2
1
mvW
đ
=
• Ở biên độ B:
0max
mghWW
đB

==
với
( )
00000
cos1.cos
αα
−=−=−== lllIHIOOHh
( )
0max
cos1
α
−==⇒ mglWW
tB
• Ở vị trí cân bằng O:
2
2
0
max0
mv
WW
đ
==
(với
0
v
là vận tốc cực đại)
• Ở vị trí bất kì A:
2
2
mv

mghW
A
+=
với
( )
αα
cos1cos −=−=−== lllIHIOHOh
( )
2
cos1
2
mv
mglW
A
+−=⇒
α
Tổng quát: cơ năng của con lắc
( )
2
)cos1(
2
cos1
2
0
2
0
0
mv
mgl
mv

mglW +−=+−=
αα
Ứng dụng của định luật bảo toàn cơ năng tìm vận tốc:
• Vận tốc khi con lắc qua vị trí cân bằng:
Gọi
B
W
là cơ năng ở biên độ;
o
W
là cơ năng ở vị trí cân bằng
Theo định luật bảo toàn cơ năng:
( )
2
cos1
2
2
0
0
2
0
0
mv
mgl
mv
mghWW
OB
=−⇔=⇔=
α
( ) ( )

000
2
0
cos12cos12
αα
−=⇔−=⇒ glvglv
• Vận tốc khi con lắc ở A có góc lệch
α
:
Theo định luật bảo toàn cơ năng:
BA
WW =
( )
hhgvmgh
mv
mgh −=⇔=+⇔
0
2
0
2
2
2
( ) ( )
00
2
coscos2coscos2
αααα
−=⇔−=⇒ glvglv
Ứng dụng của định luật bảo toàn cơ năng tìm lực căng dây:
• Lực căng dây T:

Theo định luật II Newton:
amTP


=+
(*)
Chiếu (*) lên phương sợi dây, chiều dương
hướng vào tâm, ta được:
ht
maTP =+
α
cos
α
cos
2
mg
l
v
mT +=⇒
Chứng minh để có:
( )
0
2
coscos2
αα
−= glv
0
cos2cos3
αα
mgmgT −=⇒

Ở vị trí cân bằng:
0max
cos230
αα
mgmgT −=⇒=
Ở vị trí biên:
0min0
cos
ααα
mgT =⇒=
Vũ Văn Phát
0
H
l
B
A
H
O
I
A
O
T

P

α
α
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Ví dụ 1: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng

)(200 gm =
, chiều dài dây
)(25.0 ml =
treo tại
nơi có
)/(10
2
smg =
. Bỏ qua ma sát.
a. Tính cơ năng của con lắc.
b. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc
°= 90
0
α
rồi thả không vận tốc đầu. Tính vận tốc vật khi
vật qua vị trí cân bằng và khi góc lệch dây treo là
°60
.
c. Tính góc lệch
α
khi động năng bằng 3 thế năng.
d. Giả sử khi con lắc đi đến vị trí có góc lệch
°
60
thì dây treo tuột ra. Lập phương trình quỹ đạo của
vật.
Giải:
a. Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng.
Cơ năng:
( ) ( )

)(5,090cos1.25,0.10.2,0cos1
0
JmglE =°−=−=
α
b. Chứng minh để có:
( )
0
coscos2
αα
−±= glv
Ở vị trí cân bằng:
10coscos0 =°=⇒=
αα
( ) ( )
)/(590cos125,0.10.2cos12
00
smglv ±=°−±=−±=
α
Khi góc
°= 60
α
ta có:
( )
)/(5,20
2
1
25,0.10.2coscos2
0
smglv ±=







−±=−±=
αα
c. Khi động năng bằng ba lần thế năng:
td
WW 3=
( ) ( )
°=⇒=
+
=⇔−=−⇔=⇒+= 4,4175,0
4
cos3
coscos14cos14
0
0
α
α
ααα
mglmglWWWWW
ttd
d. Khi con lắc đi lên vị trí có góc lệch
°
60
thì lúc này vận tốc của vật là
)/(5,2 smv =
; dây treo tuột

ra; chuyển động tiếp theo của vật là chuyển động của vật được coi như ném xiên góc
°= 60
α
so với
phương ngang.
Chọn gốc tọa độ
xyO'
với
xO'
nằm ngang,
yO'
thẳng đứng hướng lên. Chuyển động của vật là tổng
hợp của hai chuyển động:
• Thẳng đều theo phương ngang
xO'
, với:



==
=
α
α
cos
cos
'
'
tvtvx
vv
xO

xO
(2)
• Biến đổi đều theo phương thẳng đứng
yO'
, với
ga −=
với:





−=
=
2
sin
sin
2
'
gt
vty
vv
yO
α
α
(3)
Từ (2)
α
cosv
x

t =⇒
; thế vào (3) ta được:
22
2
2
22
83
60cos.5,2.2
10
3
cos2
tan xxx
v
g
y −=
°
−=−=
α
α
(*)
Phương trình (*) là phương trình quỹ đạo chuyển động của vật.
Ví dụ 2: Một con lắc đơn chiều dài
l
, vật nặng có khối lượng
m
. Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng góc
0
α
rồi thả không vận tốc đầu. Bỏ qua ma sát.
a. Thiết lập biểu thức tính lực căng dây ứng với góc lệch

α
b. Với
°= 60
0
α
, hãy tìm tỉ số của lực căng dây lớn nhất và nhỏ nhất của dây treo.
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Giải:
a. Thiết lập biểu thức tính lực căng dây:
0
cos2cos3
αα
mgmgT −=
b. Ở vị trí cân bằng:
0max
cos230
αα
mgmgT −=⇒=
Ở vị trí biên:
4
cos
cos23
cos
0
0
min
max
0min0

=
−
=⇒=⇒=
α
α
ααα
T
T
mgT
Ví dụ 3: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc
0
α
, tại nơi có gia tốc trọng trường
g
,
Biết lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần lực căng dây cực tiểu, Tìm
0
α
Giải:
Lực căng dây cực đại:
( )
00max
cos23cos23
αα
−=−= mgmgmgT
Lực căng dây cực tiểu:
0min
cos
α
mgT =

Lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần lực căng dây cực tiểu
minmax
02,1 TT =
( )
°=⇒=−⇔=−⇒ 6,6cos02,1cos23cos02,1cos23
00000
ααααα
mgmg
DẠNG 5: KHẢO SÁT CON LẮC ĐƠN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Điều kiện để con lắc đơn dao dộng điều hòa là góc lệch cực đại của dây treo
°≤ 10
0
α
. Lúc này cố thể
coi vật nặng dao động trên đoạn thẳng
'BB
• Chọn gốc tọa độ O ở vị trí cân bằng, trục Os trùng với BB’
Phương trình dao động của con lắc là
( )
ϕω
+= tSs cos
0
(1)
với
ls
α
=
là li độ của dao động
lS .
00

α
=
là biên độ của dao động
l
g
=
ω
là tần số góc của dao động
⇒
Phương trình dao động theo li độ góc:
( )
ϕωαα
+= tcos
0
Phương trình vận tốc:
( )
ϕωω
+−== tSsv sin'
0
(2)
0max
Sv
ω
±=⇒
( Khi ở vị trí cân bằng)
Phương trình gia tốc:
( )
stSva
2
0

2
cos'
ωϕωω
−=+−==
sa
2
max
ω
±=⇒
(Khi ở hai biên)
Từ (1) và (2)
2
22
0






+=⇒
ω
v
sS
• Năng lượng dao động của con lắc:
22
2
00
2
αω

mglSm
W ==
Thế năng:
22
222
αω
mglsm
W
t
==
Động năng:
2
2
mv
W
đ
=
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Chú ý: Với
°≤
10
α
thì
2
1cos
2
α
α

−≈
, do đó từ công thức tính năng lượng con lắc
( )
0
cos1
α
−= mglW
, thay
2
cos
1cos
2
0
0
α
α
−≈
ta được
2
2
0
α
mgl
W =
Ví dụ 1: Một con lắc đơn treo một vật nặng có khối lượng 100(g), chiều dài dây treo là 1(m), treo tại nơi
có
)/(86,9
2
smg =
. Bỏ qua mọi ma sát. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc

0
α
rồi thả không vận
tốc đầu. Biết con lắc dao động điều hòa với năng lượng
4
10.8
−
=W
(J).
a. Lập phương trình dao động điều hòa của con lắc, chọn gốc thời gian lức vật nặng có li độ cực đại
dương. Lấy
10
2
=
π
b. Tính lực căng dây khi vật nặng qua vị trí cân bằng.
Giải:
a. Phương trình dao động:
( )
ϕω
+= tSs cos
0
Tần số góc:
)(86.,9 rad
l
g
πω
===
Biên độ dao động
0

S
:
Từ
)(4)(04,0
.1,0
10.8.22
2
2
4
2
0
2
0
2
cmm
m
W
S
Sm
W ====⇒=
−
πω
ω
Tìm
0: =t
ϕ
,
0
Ss =

01cos =⇒=⇒
ϕϕ
Vậy
( )
ts
π
cos4=
c. Lực căng dây:
0
cos2cos3
αα
mgmgT −=
Ở vị trí cân bằng:
0max
cos230
αα
mgmgT −=⇒=
, với
°≈=== 3,204,0
1
04,0
0
0
rad
l
S
α
)(76,23,2cos.1,0.286,9.1,0.3
max
NT ≈°−=⇒

Ví dụ 2: Một con lắc đơn gồm quả cầu nặng 200(g), treo vào đầu sợi dây dài l . Tại nơi có
)/(86,9
2
smg =
con lắc dao động với biên độ nhỏ và khi qua vị trí cân bằng có vận tốc
)/(28,6
0
scmv =

và khi vật nặng đi từ vị trí cân bằng đến li độ
0
5,0
αα
=
mất thời gian ngắn nhất là
)(
6
1
s
.
a. Tính chiều dài l của dây treo.
b. Viết phương trình dao động của con lắc, biết tại
0=t
thì
0
αα
=
, đồng thời quả cầu đang chuyển
động ra xa vị trí cân bằng. Bỏ qua ma sát và sức cản không khí
Giải:

a. Dùng liên hệ chuyển động tròn đều và dao động điều hòa ta tính được thời gian vật nặng đi từ vị trí
câng bằng đến li độ
0
5,0
αα
=
(hay
0
5,0 Ss =
) mất hời gian ngắn nhất là
)(2
6
1
12
sT
T
=⇒=
Chiều dài của con lắc
)(1
14,3.2
86,9.2
4
2
2
2
2
m
gT
l ===
π

b. Phương trình dao động của con lắc là
( )
ϕω
+= tSs cos
0
•
)/( srad
πω
=
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
• Vận tốc con lắc khi qua vị trí cân bằng
)(228,6
00max
cmSSv =⇒==
ω
• Tại thời điểm
0
=
t
,
00
5,05,0 Ss =⇒=
αα
, quả cầu đang chuyển động ra xa vị trí cân bằng
3
0sin
2
1

cos
0sin
15,0cos2
0
0
0
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕω
ϕ
=⇒





>
=
⇔



<−=
===
⇒>⇒
Sv
Ss
v

Vậy phương trình dao động của con lắc
)(
3
cos2 cmts






+=
π
π
Ví dụ 3: Một con lắc đơn dài
20=l
(cm) treo tại một điểm có định. Kéo con lắc khỏi phương thẳng
đứng một góc bằn 0,1(rad) về phía bên phải rồi chuyền cho một vận tốc 14(cm/s) theo phương vuông
góc với dây về phía vi trí cân bằng. Coi con lắc dao động điều hòa, viết phương trình dao động đối với li
độ dài của con lắc. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng từ vị trí cân bằng sang phía
bên phải, gốc thời gian là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng lần thứ nhất. Cho gia tốc trọng trường
)/(8,9
2
smg =
.
Giải:
Phương trình dao động:
( )
ϕω
+= tSs cos
0

•
)/(7
2,0
8,9
srad
l
g
===
ω
• Từ
2
2
22
0
222
2
0
2
222
ω
ω
ω
v
sS
mvsm
Sm
WWW
tđ
+=⇔+=⇔+=
Với

ls
α
=
,
)(22)/(14
0
cmSscmv =⇒=
• Tại thời điểm
0=t
lúc con lắc qua vị trí cân bằng lần thứ nhất nên
0,0 <= vs
2
0sin
0cos
0sin
0cos
0
0
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕω
ϕ
=⇒



>
=

⇔



<−=
==
⇒
Sv
Ss
Vậy phương trình dao động của con lắc là:
)(
2
7cos22 cmts






+=
π
Ví dụ 4: Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng 200(g) treo tại nơi có
)/()/(86,9
222
smsmg
π
==
. Bỏ
qua mọi ma sát. Con lắc dao động điều hòa theo phương trình
)(

3
2cos05,0 radt






−=
π
πα
a. Tính chiều dài dây treo và năng lượng dao động của con lắc.
b. Tại
0
=
t
vật có vận tốc và li độ bằng bao nhiêu.
c. Tính vận tốc và gia tốc vật khi dây treo có góc lệch
)(
3
0
rad
α
α
=
.
d. Tìm thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí mà tại đó động năng cực đại đến vị trí mà tại đó động
năng bằng 3 thế năng.
Giải:
a. Từ phương trình

)(05,0)(
3
2cos05,0
0
radradt =⇒






−=
α
π
πα
và
)/(2 srad
πω
=
Vũ Văn Phát
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Chu kì dao động
)(
2
2
122
2
ml
g

l
g
l
T =⇒=⇔==
ππ
ω
π
cmmlS 5,3035,0
00
===⇒
α
Năng lượng dao động điều hòa của con lắc đơn:
3
22
2
0
2
0
2
10.87,9
2
035,0.4.2,0
22
−
====
π
αω
mglSm
W
(J)

b. Phương trình dao động của con lắc
)(
3
2cos5,3 cmts






−=
π
π
Tại







=






−−=
=







−=
⇒=
)/(19
3
sin.2.5,3
)(75,1
3
cos5,3
0
scmv
cms
t
π
π
π
c. Vận tốc và gia tốc khi
3
)(
3
00
S
srad =⇒=
α
α

;
Từ
)/(36,10
3
2
0
22
0
2
2
22
0
scmSvsSv
v
sS ==⇔−=⇒+=
ωω
ω
Gia tốc
)/(78.79
3
5,3
)2(
3
22
0
22
scm
S
sa =⋅−=−=−=
πωω

d. Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí
maxđ
W
đến vị trí
tđ
WW 3=
• Khi
maxđ
W
thì vật ở vị trí cân bằng
0
=⇒
s
• Khi
22
4
2
43
0
22
2
0
2
S
s
sm
Sm
WWWW
ttđ
±=⇔⋅=⇔=⇒=

ω
ω
Thời gian ngắn nhất để vật đi rừ vị trí cân bằng đến vị trí có
2
0
S
s −=
hoặc
2
0
S
s =
là như nhau.
Chọn
0=t
khi
⇒−=⇒



<
=
⇔>=
2
0sin
0cos
0,0
π
ϕ
ϕ

ϕ
vs
Phương trình dao động:






−=
2
cos
0
π
π
tSs
Khi
232
1
2
cos
2
min
0
ππ
π
π
π
+±=⇒=







−⇒= tt
S
s
(do
4
0
T
t ≤≤
)
)(
6
1
min
st =⇒
Chú ý: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều
và dao động điều hòa tìm khoảng thời gian ngắn nhất
của con lắc khi đi từ vị trí cân bằng đến
2
0
S
s =
Khoảng thời gian ngắn nhất khi vật đi từ
0
M
đến

1
M
Góc quét
)(
6
rad
π
α
=
)(
6
1
6
min
st ===
π
π
ω
α
(hoặc có thể dùng phương trình đề cho để tìm thời gian ngắn nhất)
Vũ Văn Phát

1
M
2
M
s
0
S
−

2
0
S
0
S
0
M
O
CON LẮC ĐƠN
Trường THPT Nghĩa Dân
Ví dụ 5: Một con lắc đơn quay tròn theo một hình nón và quả cầu chuyển động theo đường tròn có bán
kính
r
. Chứng minh rằng chuyển động của con lắc là một dao động điều hòa với biên độ là
r
, biết
chiều dài sợi dây là
l
Giải:
Khi quả cầu chuyển động theo vòng tròn bán kính
r
thì hợp lực của
trọng lực và lực căng dây treo sẽ tạo ra gia tốc hướng tâm cho nó.
Ta có
αα
tan tan
2
rgvmg
r
mv

=⇒=
Chu kì quay của quả cầu theo quỹ đạo tròn là
α
π
π
tan.
2
.2
g
r
v
r
T ==
Vì góc
α
rất nhỏ (do
r
rất nhỏ so với
l
) nên ta có
l
r
=≈
αα
sintan
. Thay kết quả vào biểu thức trên ta nhận
được biểu thức chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn
g
l
T

π
2=
Chú ý: Nếu chiếu một chùm sáng song song nằm ngang lên mặt
phẳng vuông góc với mặt đáy của hình nón ta sẽ nhận được bóng
của quả cầu dao động điều hòa như con lắc đơn với biên độ bằng
bán kính của đường tròn.
Ví dụ 6: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ bằng thép, khối lượng
m
treo vào đầu một sợi dây
mềm, nhẹ, không giãn, chiều dài
1=l
(m). Phía dưới điểm treo O, trên phương thẳng đứng có một chiếc
đinh được đóng chắc vào điểm
'O
cách O một đoạn
40'
=
OO
(cm) sao cho con lắc vấp vào đinh khi dao
động. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc
°= 5
α
rồi thả ra. Bỏ qua mọi ma sát.
a. Tính chu kì dao động của quả cầu. Lấy
)/(10
2
smg =
b. Tìm tỉ số biên độ dao động của quả cầu hai bên vị trí cân bằng.
Giải:
a. Gọi

1
==
OAl
(m) là chiều dài của dây treo
b.
6,04,01''' =−=−== OOOAAOl
(m) là phần chiều dài phần dây
tính từ đinh đến quả cầu. Dao động của con lắc gồm hai giai đoạn:
• Nửa dao động với chu kì
)(986,1
10
1
.14,3.22 s
g
l
T ===
π
• Nửa dao động với chu kì
)(538,1
10
6,0
.14,3.22 s
g
l
T ===
π
⇒
Chu kì con lắc:
( ) ( )
)(762,1538,1986,1

2
1
'
2
1
0
sTTT =+=+=
c. Ta có
'BB
WW =
29,1
6,0
1
'
'
2
'
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0

==⇔=⇔=⇔=⇔
α
β
α
β
βα
βα
l
l
ll
mglmgl
Vũ Văn Phát
gm

l
r


β
'O


B
'B