giai bai tap bang phuong phap don hinh ppsx

Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Bài 1: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
Giải
f(x) = x
1
- 2x
2
+ 2x
3
+0 x
4
 min
x
j
≥ 0, j = 1 4
Ta có cơ sở đơn vị là: {}.
Ta có bảng đơn hình sau:
Cơ sở Hệ
Số
Phương
án
1 -2 2 0
x
1
x
2
x
3
x
4
A

1
A
2
1
2
6
8
1
0
1
2
0
1
4
5
f(x) 22 0 7 0 14
Đã xuất hiện phương án rối ưu
Phương án tối ưu là: x = (6, 8, 0, 0)
Giá trị tối ưu: f(x) = 22
Bài 2:Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
Giải
f(x) = -5x
1
- 4x
2
+ 0x
3
–0 x
4
+ 2x

5
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,5
Trong hệ ràng buộc đã có sẵn cơ sở đơn vị
Cơ sở Hệ số Phương
án
-5 -4 0 0 2
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
A
1
A
2
A
3
-4
-5
0
10
12

15
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
3
1
3
1
f(x) -98 (6) -1 3 0 0
NHÓM: 10 Trang 1
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là: x = (10,12,15,0,0)
Giá trị tối ưu: f(x) = - 98
Bài 3: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = -2x
1
- 4x
2
+ x
3
– x

4
+ 0x
5
+0x
6
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,5
Giải
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
5
, A
6
, A
4
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 4, 3, 3)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ
Sở
Hệ
Số
Phương
án
-2 -4 1 -1 0 0
x
1
x
2

x
3
x
4
x
5
x
6
A
5
A
6
A
4
0
0
-1
4
3
3
1
2
0
3
1
1
0
-1
4
0

0
1
1
0
0
0
1
0
f(x) -3 2 3 -5 0 0 0
A
2
A
6
A
4
-4
0
-1
4/3
5/3
5/3
1/3
5/3
-1/3
1
0
0
0
-1
4

0
0
1
1/3
-1/3
-1/3
0
1
0
f(x) -7 (1) 0 -5 0 -1 0
A
2
A
1
A
4
-4
-2
-1
1
1
2
0
1
0
1
0
0
1/5
-3/5

19/5
0
0
1
2/5
-1/5
-2/5
-1/5
3/5
1/5
f(x) -8 0 0 -22/5 0 -4/5 -3/5
Đã xuất hiện dấu hiệu tối ưu
Phương án tối ưu là x=(1, 1, 0, 2, 0, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = -8
Bài 4:Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = x
1
- x
2
+ 2x
3
– 2x
4
- 3x
6
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Giải

Trong hệ ràng buộc đã có sẵn cơ sở đơn vị (A
1
, A
2
, A
3
)
NHÓM: 10 Trang 2
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Phương án cực biên ban đầu: x = (2, 12, 0, 0, 9, 0)
Bảng đơn hình
Hệ
Số
Cơ
Sở
Phương
án
1 -1 2 -2 0 -3
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6

1
-1
0
A
1
A
2
A
5
2
12
9
1
0
0
0
1
0
1
0
4
1
1
2
0
0
1
-1
1
3

f(x) -10 0 0 -1 (2) 0 1
-2
-1
0
A
4
A
2
A
5
2
10
5
1
-1
-2
0
1
0
1
-1
2
1
0
0
0
0
1
-1
2

5
f(x) -14 -2 0 -3 0 0 3
-1
2
0
A
2
A
3
A
5
3
8
1
0,6
-0,2
-0,4
0
1
0
1,4
-1,8
0,4
1
0
0
0,2
-0,4
0,2
0

0
1
f(x) -17 -0,8 0 -42 0 -4,2 0
Đã xuất hiện dấu hiệu tối ưu
Phương án tối ưu là x = (0, 3, 8, 0, 1, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = - 17
Bài 5:Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = -x
1
+ x
2
- x
3
– x
4
+2x
5
+2x
6
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Giải:
Trong hệ ràng buộc đã có sẵn cơ sở đơn vị (A
1
, A
2
, A
3

)
Phương án cực biên ban đầu: x = (5, 3, 5, 0, 0, 0)
Bảng đơn hình
Cơ
Sở
Hệ
Số
Phương
án
-1 1 -1 -1 2 2
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
A
1
A
2
A
5
-1
1

-1
5
3
5
1
0
0
0
1
0
0
0
1
-1
2
2
0
-3
-5
-2
1
6
f(x) -7 0 0 0 0 0 -5
Đã xuất hiện dấu hiệu tối ưu
NHÓM: 10 Trang 3
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Phương án tối ưu là x = (5, 3, 0, 0, 5, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = - 7
Bài 6: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = -2x

1
+ 3x
2
- x
3
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,3
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = -2x
1
+ 3x
2
- x
3
+ 0x
4
+ 0x
5
+ 0x
6
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có sẵn cơ sở đơn vị (A
4
, A

5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 15, 20, 10)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
-2 3 -1 0 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
A
4
A
5
A
6
0
0
0

15
20
10
1
3
4
-5
2
0
1
-2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
f(x) 0 2 -3 1 0 0 0
A
4
A
5
A
1
0
0

-2
25/2
25/2
5/2
0
0
1
-5
2
0
¾
-11/4
1/4
1
0
0
0
1
0
-1/4
-3/4
1/4
f(x) -5 0 -3 1/2 0 0 -1/2
A
4
A
5
A
3
0

0
-1
5
40
10
-3
11
4
-5
2
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
-1
2
1
f(x) -10 -2 -3 0 0 0 -1
Đã xuất hiện dấu hiệu tối ưu:
Phương án tối ưu là x=(0,0,10,5,40,0)
Giá trị tối ưu; f(x) = -10
NHÓM: 10 Trang 4
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Bài 7: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình

f(x) = x
1
- 2x
2
+ 2x
3
+ 0x
4
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,4
Giải
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
1
, A
3
)
Phương án cực biên ban đầu x = (1, 0, 2, 0)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương án 1 -2 2 0
x
1
x
2
x
3
x
4
A

1
A
3
1
2
6
8
1
0
1
2
0
1
4
5
f(x) 0 7 0 14
A
4
A
3
0
2
3/2
1/2
1/4
-5/4
1/4
3/4
0
1

1
0
f(x) -7/2 7/2 0 0
A
4
A
2
0
-2
4/3
2/3
2/3
-5/3
0
1
-1/3
4/3
1
0
f(x) 7/3 0 -14/3 0
A
1
A
2
1
-2
2
4
1
0

0
1
-1/2
1/2
3/2
5/2
f(x) -6 0 0 -7/2 -7/2
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(2, 4, 0, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = - 6
Bài 8: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 2x
1
+ 3x
2
+ x
3
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,3
Giải
NHÓM: 10 Trang 5
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = 2x
1
+ 3x
2
+ x

3
+ 0x
4
+ 0x
5
+ 0x
6
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
4
, A
5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 6, 7, 5)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
2 3 1 0 0 0
x
1
x
2
x
3
x

4
x
5
x
6
A
4
A
5
A
6
0
0
0
6
7
5
1
2
-1
-5
2
2
1
-2
1
1
0
0
0

1
0
0
0
1
f(x) 0 -2 -3 -1 0 0 0
A
4
A
5
A
2
0
0
3
37/2
2
5/2
-3/2
3
-1/2
0
0
1
7/2
-3
1/2
1
0
0

0
1
0
5/2
-1
1/2
f(x) 15 -7/2 0 1/2 0 0 3/2
A
4
A
1
A
2
0
2
3
39/2
2/3
17/6
0
1
0
0
0
1
2
-1
0
1
0

0
1/2
1/3
1/6
2
-1/3
1/3
f(x) 0 0 -3 0 7/6 7/6
A
3
A
1
A
2
1
2
3
39/4
125/12
17/6
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1/2

1/2
0
1/4
7/12
1/6
1
2/3
1/3
f(x) 469/12 0 0 0 3/2 23/12 10/3
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(125/12, 17/6, 39/4, 0, 0, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = 469/12
Bài 9:Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 2x
1
+ x
2
+ x
3
+ 3x
4
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,4
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = 2x
1
+ x

2
+ x
3
+ 3x
4
+ 0x
5
 max
NHÓM: 10 Trang 6
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
x
j
≥ 0, j = 1 ,5
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
1
, A
5
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 16, 8)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
2 1 1 3 0
x
1
x
2
x
3
x

4
x
5
A
1
A
5
2
0
16
8
1
0
2
1
1
4
0
2
0
1
f(x) 32 0 3 1 -3 0
A
1
A
4
2
3
16
4

1
0
2
1/2
1
2
0
1
0
1/2
f(x) 44 0 9/7 7 0 3/2
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(16, 0, 0, 4, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = 44
Bài 10:Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = - 2x
1
- 4x
2
+ x
3
–x
4
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,4
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = 2x

1
- 4x
2
+ x
3
+ x
4
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
5
, A
6
, A
4
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 4, 3, 3)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
-2 -4 1 1 0 0
x
1
x
2
x
3
x

4
x
5
x
6
A
5
A
6
0
0
4
3
1
2
3
1
0
-1
0
0
1
0
0
1
NHÓM: 10 Trang 7
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
A
4
1 3 0 2 4 1 0 0

f(x) 3 2 6 3 0 0 0
A
2
A
6
A
4
-4
0
1
4/3
5/3
1/3
1/3
5/3
-2/3
1
0
0
0
-1
4
0
0
1
1/3
-1/3
-2/3
0
1

0
f(x) -11/3 0 0 3 0 -8/3 0
A
2
A
6
A
3
-4
0
1
4/3
5/3
1/12
1/3
9/6
-1/6
1
0
0
0
0
1
0
1/4
1/4
1/3
-1/3
-1/6
0

1
0
f(x) -21/4 ½ 0 0 -3/4 -9/6 0
A
2
A
1
A
3
-4
-2
1
26/27
10/9
29/108
0
1
0
1
0
0
0
0
1
-1/18
1/6
5/18
11/27
-2/9
-11/54

-2/9
6/9
1/9
f(x) -209/36 0 0 0 -1/2 -25/18 -1/3
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(10/9, 26/27, 29/108, 0, 0, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = -209/36
Bài 11:Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = x
1
- 7x
2
- 2x
3
+ 6x
4
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,4
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = x
1
- 7x
2
- 2x
3
+ 6x
4

- M(x
7
+ x
8
) max
x
j
≥ 0, j = 1 ,8
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
1 -7 -2 6 0 0 -M -M
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
A

7
A
8
-M
-M
10
15
1
2
3
5
1
1
1
4
-1
0
0
-1
1
0
0
1
-3 -8 -2 -5 1 1 0 0
NHÓM: 10 Trang 8
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
-1 7 2 -6 0 0 0 0
A
7
A

2
-M
-7
1
3
-1/5
2/5
0
1
2/5
1/5
-7/5
4/5
-1
0
3/5
-1/5
1
0
-3/5
1/5
1/5 0 -2/5 7/5 1 -3/5 0 8/5
-19/5 0 3/5 -58/5 0 7/5 0 -7/5
A
6
A
2
0
-7
5/3

10/3
-1/3
1/3
0
1
2/3
1/3
-7/3
1/3
-5/3
-1/3
1
0
5/3
1/3
-1
0
0 0 0 0 0 0 1 1
-10/3 0 -1/3 -25/3 7/3 0 -7/3 0
A
4
A
3
0
6
25
10
2
1
7

3
3
1
0
1
-4
-1
1
0
4
1
-1
0
60 0 0 0 0 0 0 1 1
5 25 8 0 -6 0 -6 1
Vậy bài toan này không có phương án tối ưu
Bài 12:Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 4x
1
+ 6x
2
+ 5x
3
+ 3x
4
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,4
Giải

Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = 4x
1
+ 6x
2
+ 5x
3
+ 3x
4
+ M (x
7
+ x
8
) min
x
j
≥ 0, j = 1 ,8
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
7
, A
8
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 3)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
4 6 5 3 0 0 M M
x
1
x

2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
A
7
A
8
M
M
5
3
1
1
1
4
3
2
2
1
-1

0
0
-1
1
0
1
0
2 5 5 3 -1 -1 0 0
4 6 5 3 0 0 0 0
A
7
M 1/2 -1/2 -5 0 1/2 -1 3/2 1 -3/2
NHÓM: 10 Trang 9
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
A
3
5 3/2 1/2 2 1 1/2 0 -1/2 0 1/2
-1/2 -5 0 1/2 -1 3/2 0 -5/2
-3/2 4 0 -1/2 0 -5/2 0 5/2
A
6
A
3
0
5
1/3
5/3
-1/3
1/3
-10/3

1/3
0
1
1/3
2/3
-2/3
-1/3
1
0
2/3
1/3
-1
0
0 0 0 0 0 0 -1 -1
-7/3 -13/3 0 1/3 -5/3 0 5/3 0
A
4
A
3
3
5
1
1
-1
1
-10
7
0
1
1

0
-2
1
3
-2
2
-1
-3
2
8 0 0 0 0 0 0 -1 -1
-2 -1 0 0 -1 -1 1 1
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x= (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = 8
Bài 13:Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 15x
1
+ 19x
2
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,2
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = 15x
1
+ 19x
2
+ 0x

3
+ 0x
4
+ 0x
5
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,5
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
3
, A
4
, A
5
)
Phương án cực biên ban đầu x = ( 0, 0, 0, 3, 2, 7)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
15 19 0 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x

5
A
3
A
4
A
5
0
0
0
3
2
7
3
1
3
1
1
4
1
0
0
0
1
0
0
0
1
f(x) 0 -15 -19 0 0 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu

Phương án tối ưu là x= (0, 0, 3, 2, 7)
NHÓM: 10 Trang 10
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Giá trị tối ưu; f(x) = 0
Bài 14:Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 2x
1
+ x
2
+ x
3
+ 3x
4
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,4
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = 2x
1
+ x
2
+ x
3
+ 3x
4
 max
x
j

≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
1
, A
5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (16, 0, 0, 0, 8, 20)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
2 1 1 3 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
A
1
A
5
A

6
2
0
0
16
8
20
1
0
0
-2
2
1
1
4
2
0
1
3
0
1
0
0
0
1
f(x) 32 0 -5 1 -3 0 0
A
1
A
2

A
6
2
1
0
24
4
16
1
0
0
0
1
0
5
2
0
1
½
5/2
1
½
-1/2
0
0
1
f(x) 52 0 0 11 2 2 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x= (24, 4, 0, 0, 0, 16)
Giá trị tối ưu; f(x) = 52

Bài 15:Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 3x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ 7x
4
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,5
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
NHÓM: 10 Trang 11
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
f(x) = 3x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ 7x
4
+ 0x
5
+ 0x
6
+ 0x

7
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,7
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
6
, A
7
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 0, 0, 15, 19)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phươn
g án
3 3 2 7 0 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
A

6
A
7
0
0
15
19
3
1
2
2
1
1
3
4
2
1
1
0
0
1
f(x) 0 -3 -3 -2 -7 0 0 0
A
6
A
4
0
7
3/4
19/4

9/4
1/4
1/2
2/4
1/4
1/4
0
1
5/4
1/4
1
0
-3/4
1/4
f(x) 133/4 -5/4 ½ -1/4 0 7/4 0 7/4
A
1
A
4
3
7
1/3
14/3
1
0
2/9
4/9
1/9
2/9
0

1
5/9
1/9
0
0
-1/3
1/3
f(x) 101/3 0 7/9 -1/9 0 22/9 0 4/3
A
3
A
4
2
7
3
4
9
-2
2
0
1
0
0
1
5
-1
0
0
-3
1

f(x) 34 1 1 0 0 0 0 1
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x= (0, 0, 3, 4, 0, 0, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = 34
Bài 16: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = - 3x
1
- 6x
2
 min
x
j
≥ 0, j = 1, 2
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = - 3x
1
- 6x
2
+ 0x
3
+ 0x
4
 min
x
j
≥ 0, j = 1, 4
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
3
, A

4
)
NHÓM: 10 Trang 12
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 54, 12)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương án -3 -6 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
A
3
A
4
0
0
54
12
9
-3
6
4
1
0
0

1
f(x) 0 3 6 0 0
A
3
A
2
0
-6
36
3
27/2
-3/4
0
1
1
0
-3/2
1/4
f(x) -18 15/2 0 0 -3/2
A
1
A
2
-3
-6
8/3
5
1
0
0

1
2/27
1/18
-1/9
1/6
f(x) -108/3 0 0 -5/9 -2/3
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x= (8/3, 5, 0, 0 )
Giá trị tối ưu; f(x) = -108/3
Bài 17: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 5x
1
+ 4x
2
+ 5x
3
+ 2x
4
+x
5
+ 3x
6
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Giải
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
4
, A

5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 150, 60, 36)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
5 4 5 2 1 3
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
A
4
A
5
A
6
2
1
3

150
60
36
2
4
1
4
2
0
3
3
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
f(x) 468 6 6 7 0 0 0
A
4
A
3
A
6
2
5

3
90
20
16
-2
4/3
-1/3
2
2/3
-2/3
0
1
0
1
0
0
-1
1/3
-1/3
0
0
1
f(x) 328 -13/3 4/3 0 0 -7/3 0
A
4
A
2
A
6
2

4
3
50
30
36
-6
2
1
0
1
0
-3
3/2
1
1
0
0
-2
1/2
0
0
0
1
NHÓM: 10 Trang 13
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
f(x) 328 -6 0 -2 0 -3 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x= (0, 30, 0, 50, 0, 36 )
Giá trị tối ưu; f(x) = 328
Bài 18: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình

f(x) = 2x
1
+ 2x
2
+ x
3
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,3
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = 2x
1
+ 2x
2
+ x
3
+ 0x
4
+ 0x
5
+ 0x
6
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
4

, A
5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 3, 7, 10)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
2 -4 1 0 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
A
4
A
5
A
6
0
0

0
3
7
10
1
-4
0
2
1
5
4
-3
5
1
0
0
0
1
0
0
0
1
f(x) 0 -2 4 -1 0 0 0
A
2
A
5
A
6
-4

0
0
3/2
11/2
5/2
1/2
-9/2
-5/2
1
0
0
2
-5
8
1/2
-1/2
-5/2
0
1
0
0
0
1
f(x) -6 -4 0 -9 -2 0 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x= (0, 3/2, 0, 0, 11/2, 5/2)
Giá trị tối ưu; f(x) = -6
Bài 19: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
NHÓM: 10 Trang 14
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh

f(x) = 50x
1
+ 60x
2
 max
x
j
≥ 0, j = 1, 2
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc
f(x) = 50x
1
+ 60x
2
+ 0x
3
+ 0x
4
+ 0x
5
 max
x
j
≥ 0, j = 1, 5
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
3
, A
4
, A
5

)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 8, 5, 36,)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
50 60 0 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
A
3
A
4
A
5
0
0
0
8
5
36
1
1

9
2
1
4
1
0
0
0
1
0
0
0
1
f(x) 0 -50 -60 0 0 0
A
2
A
4
A
5
60
0
0
4
1
20
1/2
1/2
7
1

0
0
½
-1/2
-2
0
1
0
0
0
1
f(x) 240 -20 0 30 0 0
A
2
A
1
A
5
60
50
0
3
2
6
0
1
0
1
0
0

1
-1
5
-1
2
-14
0
0
1
f(x) 280 0 0 10 40 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(2, 3, 0, 0, 6 )
Giá trị tối ưu; f(x) = 280
Bài 20: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 2x
1
+ x
2
- x
3
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,3
Giải
NHÓM: 10 Trang 15
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Lập bài toán M
f(x) = 2x
1

+ x
2
- x
3
+ M(x
5
+ x
6
+ x
7
)

 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,7
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
6
, A
5
, A
7
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 0, 10, 12, 20,)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
2 -1 -1 0 0 M M
x
1

x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
A
6
A
5
A
7
12
10
20
-4
-2
1
-1
2
-2
2
-1
-1/2

-1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
f(x) 32M -3M -2 -3M-1 3/2M+1 -M 0 0 0
A
3
A
5
A
7
-1
0
M
6
16
23
-2
-4
0
-1/2
3/2

-9/4
1
0
0
½
-1/2
1/4
0
1
0
0
0
1
f(x) 23M-6 0 -94M-1/2 0 -1/4M+1/2 0 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(0, 0, 6, 0, 16, 0, 23 )
Bài toán chính vô nghiệm vì ẩn giả:x
7
=23>0
Bài 21: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = -3x
1
- 2x
2
- 4x
3
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,2

Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc
f(x) = -3x
1
- 2x
2
- 4x
3
+ 0x
4
+ 0x
5
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,5
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
6
, A
5
, A
7
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 8, 10, 13)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương -3 -2 4 0 0
NHÓM: 10 Trang 16
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
án x
1

x
2
x
3
x
4
x
5
A
3
A
4
A
5
-4
0
0
8
10
13
2
1
5
1
3
2
1
0
0
0

1
0
0
0
1
f(x) -32 -5 -2 0 0 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(0, 0, 8, 10, 13 )
Giá trị tối ưu; f(x) = -32
Bài 22: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = -4x
1
+ 5x
2
- 3x
3
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,3
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc
f(x) = -4x
1
+ 5x
2
- 3x
3
+ 0x
4

+ 0x
5
+ 0x
6
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
4
, A
5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 9, 16, 12)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
-4 5 -3 0 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5

x
6
A
4
A
5
A
6
0
0
0
9
16
12
2
1
2
-3
4
1
-2
-4
3
1
0
0
0
1
0
0

0
1
f(x) 0 4 -5 3 0 0 0
A
1
A
5
A
6
-4
0
0
9/2
23/2
3
1
0
0
-3/2
11/2
4
-2/2
-3
5
½
-1/2
-1
0
1
0

0
0
1
f(x) -18 0 1 7 -2 0 0
A
1
A
5
A
3
-4
0
-3
51/10
133/10
3/5
1
0
0
-7/10
97/10
4/5
0
0
1
1/5
-11/10
-1/5
0
1

0
1/5
3/5
1/5
f(x) -111/5 0 -23/5 0 -1/5 0 -7/5
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(51/10, 0, 3/5, 0, 133/10, 0 )
NHÓM: 10 Trang 17
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Giá trị tối ưu; f(x) = -111/5
Bài 23: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,3
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc
f(x) = x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 0x

4
+ 0x
5
+ 0x
6
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
4
, A
5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 6, 9, 7)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
1 2 3 0 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x

5
x
6
A
4
A
5
A
6
0
0
0
6
9
7
2
3
4
-3
2
0
1
2
1
1
0
0
0
1
0

0
0
1
f(x) 0 -1 -2 -3 0 0 0
A
4
A
3
A
6
0
3
0
1/2
9/2
5/2
1/3
3/2
5/2
-4
2/2
-1
0
1
0
1
0
0
-1/2
1/2

-1/2
0
0
1
f(x) 27/2 7/3 1 0 0 3/2 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(0, 0, 9/2, 1/2, 0, 5/2 )
Giá trị tối ưu; f(x) = 27/2
Bài 24: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 2x
1
+ 4x
2
+ 3x
3
+ x
4
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,5
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc
f(x) = 2x
1
+ 4x
2
+ 3x
3
+ x

4
+ 0x
5
+ 0x
6
 min
NHÓM: 10 Trang 18
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị ( A
5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 0, 7, 5)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
2 4 3 1 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x

5
x
6
A
5
A
6
0
0
7
5
1
1
3
2
2
4
1
2
1
0
0
1
f(x) 0 -2 -4 -3 -1 0 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(0, 0, 0, 0, 7, 5 )
Giá trị tối ưu; f(x) = 0
Bài 25: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 3x
1

- 5x
2
- 4x
3
+ 2x
4
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,4
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc
f(x) = 3x
1
- 5x
2
- 4x
3
+ 2x
4
+ 0x
5
+ 0x
6
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị ( A
5

, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 0, 12, 15)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
3 -5 -4 2 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
A
5
A
6
0
0
12
15
2
1

5
3
3
2
1
2
1
0
0
1
f(x) 0 -3 5 4 -2 0 0
A
1
A
6
3
0
6
9
1
0
5/2
½
3/2
1/2
½
3/2
½
-1/2
0

1
f(x) 18 0 25/2 17/2 -1/2 3/2 0
A
1
3 3 1 7/3 4/3 0 2/3 -1/3
NHÓM: 10 Trang 19
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
A
4
2 6 0 1/3 1/3 1 -1/3 2/3
f(x) 21 0 38/3 26/3 0 4/3 1/3
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(3, 0, 0, 6, 0, 0 )
Giá trị tối ưu; f(x) = 21
Bài 26: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = -2x
1
+ 3x
2
- 5x
3
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,3
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc
f(x) = -2x
1
+ 3x

2
- 5x
3
+ 0x
4
+ 0x
5
+ 0x
6
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
4
, A
5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 8, 9, 15)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
-2 3 -5 0 0 0
x
1
x
2
x

3
x
4
x
5
x
6
A
4
A
5
A
6
0
0
0
8
9
15
2
4
2
3
-1
-1
-4
1
3
1
0

0
0
1
0
0
0
1
f(x) 0 2 -3 5 0 0 0
A
4
A
5
A
3
0
0
-5
28
4
5
14/3
10/3
2/3
5/3
-2/3
-1/3
0
0
1
1

0
0
0
1
0
4/3
-1/3
1/3
f(x) -25 -4/3 -4/3 0 0 0 -5/3
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(0, 0, 5, 28, 4, 0 )
Giá trị tối ưu; f(x) = -25
Bài 27: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = x
1
- x
2
– 2x
4
+ 2x
5
- 3x
6
 min
NHÓM: 10 Trang 20
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Giải

Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
1
, A
2
, A
3
)
Phương án cực biên ban đầu x = (2, 12, 9, 0, 0, 0)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
1 -1 0 -2 2 -3
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
A
1
A
2
A
3

1
-1
0
2
12
9
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
2
1
0
4
-1
1
3
f(x) -10 0 0 0 2 -1 1
A
4
A
2
A

3
-2
-1
0
2
10
5
1
-1
-2
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
-1
2
-1
2
5
f(x) -14 -2 0 0 0 -3 3
A
4
A
2

A
6
2
-1
-3
3
8
1
3/5
-1/5
-2/5
0
1
0
1/5
-2/5
1/5
1
0
0
7/5
-9/5
2/5
0
0
1
f(x) -17 -4/5 0 -3/5 0 -21/5 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(0, 8, 0, 3, 0, 1)
Giá trị tối ưu; f(x) = -17

Bài 28: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = x
2
- 3x
3
+ 2x
5
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Giải
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
1
, A
4
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (7, 0, 0,12, 0, 10)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
0 1 -3 0 2 0
x
1
x
2
x
3

x
4
x
5
x
6
A
1
A
4
0
0
7
12
1
0
1
-4
-1
4
0
1
1
0
0
0
NHÓM: 10 Trang 21
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
A
6

0 10 0 -5 3 0 1 1
f(x) 0 0 -1 3 0 -2 0
A
1
A
3
A
6
0
-3
0
10
3
1
1
0
0
0
-1
-2
0
1
0
1/4
1/4
1/4
1
0
1
0

0
1
f(x) -9 0 2 0 -3/4 -2 0
Bài toán này không có phương án tối ưu
Bài 29: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 3x
1
- x
2
– 2x
3
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Giải
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
4
, A
5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 7, 10, 12)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
-3 1 2 0 0 0
x
1

x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
A
4
A
5
A
6
0
0
0
7
10
12
-1
3
4
3
-4
-2
1
8

0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
f(x) 0 3 -1 -2 0 0 0
A
4
A
5
A
1
0
0
-3
10
1
3
0
0
1
5/2
-5/2
-1/2
1

8
0
1
0
0
0
1
0
1/4
-3/4
1/4
f(x) -9 0 ½ -2 0 0 -3/4
A
2
A
5
A
1
1
0
-3
4
11
5
0
0
1
1
0
0

2/5
9
1/5
2/5
1
1/5
0
1
0
1/10
-1/2
3/10
f(x) -11 0 0 -11/5 -1/5 0 -4/5
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(5, 4, 0, 0, 11, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = -11
NHÓM: 10 Trang 22
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
Bài 30: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
Một xí nghiệm dự định sản xuất ba loại sản phẩm A, B và C. Các sản phẩm này
được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III. Số lượng các nguyên liệu I, II, III, lần lượt là
57, 88, 52. Số lượng các nguyên liệu cần để sản xuất một đơn vị sản phẩm A, B, C được
cho ở bản sau
NL
SP
I II III
A 4 1 3
B 2 6 2
C 3 5 3
Hỏi xí nghiệp phải sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm A, B, C để thu được tiền

lãi là lớn nhất:
Biết rằng là 40 triệu đồng cho một đơn vị sản phẩm loại A, 41 triệu đồng cho một
đơn vị sản phẩm loại B, 47 triệu đồng cho một đơn vị sản phẩm loại C.
Giải
Gọi x
1
, x
2
, x
3
lần lượt là số đơn vị sản phẩm A, B, C theo bài ra ta có bài toán quy
hoạch tuyến tính
f(x) = 40x
1
+ 41x
2
+ 47x
3
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,3
Từ bài toán trên ta có bài toán phụ:
f(x) = 40x
1
+ 41x
2
+ 47x
3
+ 0x

4
+ 0x
5
+ 0x
6
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Đây là bài toán chuẫn
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
4
, A
5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 57, 88, 52)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương 40 41 47 0 0 0
NHÓM: 10 Trang 23
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
án x
1
x
2
x
3
x
4

x
5
x
6
A
4
A
5
A
6
0
0
0
57
88
52
4
1
3
2
6
2
3
5
3
1
0
0
0
1

0
0
0
1
f(x) 0 -40 -41 -47 0 0
A
4
A
5
A
3
0
0
47
5
4/3
52/3
1
-4
1
0
8/3
2/3
0
0
1
1
0
0
0

1
0
f(x) 2444/3 7 -29/9 0 0 0
A
4
A
2
A
3
0
41
47
5
1/2
51/3
1
-3/2
2
0
1
0
0
0
1
1
0
0
f(x) 4917/3 -15/2 0 0 0
A
1

A
2
A
3
40
41
47
5
8
7
1
0
0
0
1
0
0
0
1
f(x) 857 0 0 0
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(5, 8, 7, 0, 0, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = 587
Bài 31: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = 20x
1
+ 21x
2
+ 45x
3

 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,3
Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc
f(x) = 20x
1
+ 21x
2
+ 45x
3
+ 0x
4
+ 0x
5
+ 0x
6
 max
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
4
, A
5
, A
6
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 55, 66, 42)

Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
20 21 45 0 0 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
A
4
0 55 1 2 3 1 0 0
NHÓM: 10 Trang 24
Trường Đại Học Công Nghiệp TP Hồ Chí Minh
A
5
A
6
0
0
66
42
1

3
4
2
5
3
0
0
1
0
0
1
f(x) 0 -20 -21 -45 0 0 0
A
4
A
3
A
6
0
45
0
77/5
66/5
12/5
2/5
1/5
12/5
-2/5
4/5
-2/5

0
1
0
1
0
0
-3/5
1/5
-3/5
0
0
1
f(x) 594 -11 15 0 0 9 0
A
4
A
3
A
1
0
45
20
15
13
1
0
0
1
-1/3
5/6

-1/6
0
1
0
1
0
0
-1/2
1/4
-1/4
-1/6
-1/12
5/12
f(x) 605 0 79/6 0 0 25/4 55/72
Đã xuất hiện phương án tối ưu
Phương án tối ưu là x=(1, 0, 13, 15, 0, 0)
Giá trị tối ưu; f(x) = 605
Bài 32: Giải bài tập quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
f(x) = -2x
1
- 6x
2
+ x
3
– 3x
4
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,3

Giải
Ta đưa bài toán về dạng chính tắc
f(x) = -2x
1
- 6x
2
+ x
3
– 3x
4
+ 0x
5
+ 0x
6
 min
x
j
≥ 0, j = 1 ,6
Trong hệ ràng buộc đã có cơ sở đơn vị (A
5
, A
6
, A
4
)
Phương án cực biên ban đầu x = (0, 0, 0, 3, 5, 4)
Ta lập bảng đơn hình
Cơ sở Hệ số Phương
án
-2 -6 1 -3 0 0

x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
A
5
A
6
A
4
0
0
-3
5
4
3
1
2
0
4
2
1

0
-1
3
0
0
1
1
0
0
0
1
0
f(x) -9 2 3 -10 0 0 0
A
2
A
6
A
4
-6
0
-3
5/4
3/2
3/2
1/4
3/2
-1/4
1
0

0
0
-1
3
0
0
1
1/4
-1/2
-1/4
0
1
0
NHÓM: 10 Trang 25