Tài liệu Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ và vectơ 25.02 (Bài tập và hướng dẫn giải) pdf

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094) 2222-408
Hà Nội, ngày 25 tháng 02 năm 2010
BÀI TẬP VỀ NHÀ NGÀY 25.02
Giải các bài toán sau bằng phương pháp tọa độ, vecto.
Bài 1: ( Đề thi ĐHCĐ khối A-2007)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Mặt bên (SAD) là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là các
trung điểm của SB,BC,CD. Tính thể tích tứ diện CMNP=?
Bài 2:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’=h.
Tính thể tích tứ diện BDD’C’=?
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 độ. Trên cạnh SA lấy
điểm M sao cho
3
3
a
AM
=
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tìm thể tích khối
chóp S.BCNM=?
Bài 4: ( Đề thi TS CĐSP Tây Ninh-2006)
Cho trong mặt phẳng (P) hình vuông ABCD cạnh a. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên d lấy điểm S sao cho:
3
2
a
SI
=

.
a) Tính thể tích hình chóp S.ACD=?
b) Tìm khoảng cách từ C đến (SAD)=?
………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
………… , ngày ….tháng… năm …..
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ NHÀ

Các bài toán về góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Trước hết chúng tôi xin có một lưu ý nhỏ khi giải các bài toán loại này như sau:
Với loại bài tập này xin khẳng định việc tính toán hoàn toàn không khó, song các bạn cần chọn
góc tam diện cho phù hợp. Để thuận lợi cho việc này chúng tôi đưa ra cho các bạn 2 nguyên
tắc như sau:
 Có 3 tia chung gốc, không đồng phẳng, đôi một vuông góc với nhau.
 Nếu ta đứng thẳng theo chiều dương của trục Oz, mắt hướng theo
chiều dương của trục Oy thì khi giơ tay phải vuông góc với thân
người ngón tay sẽ chỉ chều dương của trục Ox
Bài 1: Chọn góc tam diện là: (A,AB,AD,AS) ta có:

3
2 2 2
4 4 4
.
6

( , ) ; . ( ; ;2 ) ( , )
6
2
.
SC BD BC
a a
d SC BD SC BD a a a d SC BD
a a a
SC BD
 
 
 
= = ⇒ = =
 
 
+ +
 
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Bài 2: Chọn góc tam diện là: (O;OB;OC;OA)

4
4 4
2
2 2
2
2
.
3 5

4
( ) ; . ( ; ; ) ( )
2 5
4
a
a a
SB BE
a a
d S BE SB BE a a d S BE
BE
a
a
+ +
 
 
 
→ = = − − − ⇒ → = =
 
+
uur uuur
uur uuur
uuur
Bài 3: Chọn góc tam diện là: (O,OB,OC,OA).
3
2 2 2
2 2
3
.
3 3 3 15
2

( , ) ; . ( ; ; ) ( , )
2 2 2 5
9 3
.
4 2
a
AB OM OA
a a a a
d AB OM AB OM d AB OM
a a
AB OM
 
 
 
= = − ⇒ = =
 
 
 
+
uuur uuuur uuur
uuur uuuur
uuur uuuur
Bài 4: Gọi K là trung điểm của SA. Chọn góc tam diện là: (I;ID;IA;IK)
Page 2 of 5
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
………… , ngày ….tháng… năm …..

2 2 2
2 2 2

3 2 6 3
. ( ; ; )
( )
4 4 2
3 2 6 3
. ( ; ; )
( )
4 4 2
( ) ( )
2 2 2
18 6 3
0
16 16 4
.
a a a
SA SB
SAB
a a a
SA SD
SAD
SAB SAD
a a a
n
n
n n
 
= −
 
− −
 

= −
 
⇒ = − − =
=
=
uur uur
uur uuur
r
r
r r
Vậy :
( ) ( )SAB SAD
⊥
Bài 5: Chọn góc tam diện (A,AB,AD, AA’)


2 2 2
3
4 4 4
'. '
( ', ') ; '. ' ( ; 2 ; )
'. '
6
( ', ')
6
4
AB BC AB
d AB BC AB BC a a a
AB BC
a a

d AB BC
a a a
 
 
 
= = − −
 
 
 
⇒ = =
+ +
uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur
uuuur uuuur
Bài 6: Chọn tam diện (A,AB,AD, AA1)

( ) ( )
2 2
1 1
2 2
1 1
0
0 0 0
1 1 1
. ( ;0; )
( )
1
. (0; ; )
( )
1

1
( ) ( )
os 60
( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( )
; ; ( ),( ) 180 60 120
.
. .
.
A B AC a a
A BC
A D AC a a
A DC
SAB SAD
c
SAB SAD SAB SAD
SAB SAD
B A C D A BC A DC
n
n
n n
n n n n
n n
 
=
 
 
=
 

   
⇒ = ⇒ ∠ =
 ÷  ÷
   
⇒ ∠ = − =
=
=
=
uur uuur
uur uuur
r
r
r r
r r r r
r r

Tính thể tích khối đa diện bằng phép tính tọa độ, vecto
Bài 1: Gọi O là trung điểm của AD . Chọn hệ trục Oxyz sao cho:
(O, Ox, Oy, Oz) trùng với (O,OD,ON,OS).
Ta có:

3
; ; ), (0; ;0), ( ; ;0)
4 2 4 2 2
3
( ;0;0), ( ; ;0), ( ; ;0), ( ;0;0), (0;0; )
2 2 2 2 2
(
a a a a a
N a P

a a a a
A B a C a D S a
M
− −
−
Page 3 of 5
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
………… , ngày ….tháng… năm …..
Vì:
1
. .
6
CMNP CM CN CPV
 
=
 
uuuuruuuur uuur
với
2 2
3
. (0; ; )
8 4
a a
CM CN
 
=
 
uuuuruuuur
và

( ; ;0)
4 2
a a
CP
= −
uuur
Vậy:
3
3
96
a
CMNPV =
Bài 2: Chọn góc tam diện là (A, AB, AD, AA’) ta có:

( ; ;0); ' ( ; ; ); ' (0; ; )BD a a BD a a h BC a h
= − = − =
uuur uuuur uuuur
Mà :
1
DD' ' . ' '
6
B C BD BD BC
V
 
=
 
uuur uuuur uuuur
với
. ' ( ; ;0)BD BD ah ah
 

=
 
uuur uuuur
Vậy :
2
DD' '
6
ha
B C
V
=

Bài 3: Gọi S(a;0;x)
( ;0; )SB a x
⇒ = −
uur

( )
0 0 0
60 ,( ) 90 , , 30
( ) ( )
SB ABCD SB SB
ABCD ABCD
n n
   
= ∠ = − ∠ ⇒ ∠ =
 ÷  ÷
   
uuur uuur
r r

0
2 2
.
os30 3
.
SB n x
c x a
SB n
x a
= = ⇒ =
+
uuurr
uuur r
Vì:

1 1
. . .
6 6
S BCMN SM SC SB SM SC SNV
   
= +
   
uuur uuur uur uuur uuur uuur
Chọn góc tam diện là (A,AB,AD,AS)
Ta có:
( )
. (1;0; 3) : 3 3 0
( )
BC MN BCM x z a

BCM
n
 
= ⇒ − − =
 
=
ur
uuur uuuur
Tìm giao của (BCM) với (SD) trong đó :

0
2 3
( ) : (0; ; )
3 3
3
x
a a
SD y a at N
z a t

=

= + ⇒ −


= −

Ta có:
Page 4 of 5
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN

A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
………… , ngày ….tháng… năm …..

2 2
2 2 3
2 3 2 3
. ; ;0
3 3
1 2 3 4 3 10 3
.
6 3 9 27
a a
SM SC
a a a
S BCMN
V
 
 
= −
 ÷
 
 ÷
 
 
⇒ = + =
 
 
uuur uuur
Bài 4:
a) Gọi O là trung điểm của AB; M là trung điểm của CD

Chọn góc tam diện là: (O;OB;OM;OS)

2
2
3 3
1 3
. ; . (0; ; )
6 2
1 3 3
6 2 12
a
SACD SC SD SA SC SD a
a a
SACD
V
V
   
= =
   
−
⇒ = =
uuur uuur uur uuur uuur
b)
3
. ( 3;0; 1) ( ) : 3 0
2
a
SA SD SAD x z
 
= − ⇒ − + =

 
uur uuur

( )
3
( )
2
a
d C SAD
⇒ → =
………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 5 of 5