Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 3 pdf

39
bao trong nớc sâu bằng một nửa tốc độ đỉnh sóng, nên khoảng
thời gian hai đỉnh sóng kế tiếp đi qua đỉnh đờng bao sẽ l hai
lần chu kỳ sóng (xem hình 4.3). Nếu các sóng tại đỉnh đủ lớn để
đổ, ta thấy khoảng thời gian giữa hai sóng đổ bằng
T
2. Hiện
tợng ny có thể quan sát thấy trong sóng bạc đầu (Donelan,
LonguetHiggins v Turner, 1972).



Chơng 3 - Khúc xạ do sự biến đổi chậm của độ
sâu hoặc của dòng chảy

Khi một chuỗi các sóng đơn phẳng lan truyền vo một vùng
độ sâu b
iến đổi chậm, số sóng có thể thay đổi theo độ sâu theo
nh phơng trình (4.8), chơng 1, kết quả l lm thay đổi dần
dần tốc độ pha. Nhìn chung, khoảng cách giữa các đờng đồng
pha v biên độ của các đỉnh sóng hoặc chân sóng sẽ biến đổi từ
nơi ny đến nơi khác. Những biến đổi tơng tự cũng có thể xảy
ra khi các sóng lan truyền vo một vùng có nền dòng chảy với
cờng độ thay đổi theo phơng ngang. Những hiện tợng ny,
chủ yếu liên quan đến sự thay đổi tốc độ pha, đã rất quen thuộc
trong quang học v âm học v đợc gọi l
khúc xạ. Trong
chơng ny, chúng tôi sẽ phát triển một phép xấp xỉ gọi l
lý
thuyết tia

(hay lý thuyết quang hình học) về các hiệu ứng của độ
sâu biến đổi (các mục 3.1 v 3.4) v của dòng chảy biến đổi (các
mục 3.6 v 3.7) đối với sự lan truyền của các sóng biên độ nhỏ.
Các phơng trình tiến triển sẽ đợc rút ra bằng một phơng
pháp đợc gọi l WKB, một dạng đặc biệt của phơng pháp đa
quy mô (
multiple-scales method). Thờng thì trong các bi toán
thực tế, các phơng trình ny đợc giải bằng phơng pháp số,
còn ở đây, thông qua một số thí dụ giải tích, chúng tôi muốn
lm sáng tỏ một số khía cạnh vật lý từ những phơng trình ny.
Trong phần ny, cũng chỉ trong phần liên quan đến hiệu ứng độ
sâu biến đổi, chúng tôi sẽ đề cập ngắn gọn đến một số giải pháp
cục bộ cần thiết khi phép xấp xỉ tia gặp khó khăn. Khi xử lý số
trị với địa hình tự nhiên, khó khăn ny có thể khắc phục triệt
để hơn bằng cách tính đến sự nhiễu xạ trong một phơng trình
đợc gọi l
phơng trình độ nghiêng nhỏ (mild

slope equation),
m chúng tôi sẽ rút ra trong mục 3.5. Những khía cạnh khác,
chuyên hơn về toán học, không đề cập ở đây, độc giả có thể tìm
xem trong các công trình hon hảo của Meyer (1979a) về độ sâu
biến đổi v của Peregrine (1976) về dòng chảy biến đổi.
3.1 Phép xấp xỉ quang hình cho các sóng tiến
trên nền đáy biến đổi đều
Ta giả sử rằng bớc sóng điển hình nhỏ hơn nhiều so với
qui mô biến đổi độ sâu phơng ngang. Có thể đa ra một tham
số nhỏ nh sau:
1 <<

=
kh
h
O . (1.1)
Để cho tổng quát, ta cũng chấp nhận sự điều biến thời gian
chậm. Theo Keller (1958), ta đa ra các toạ độ chậm:
ttyyxx

=

=

= ,, (1.2)
Các phơng trình mô tả tuyến tính hoá trở thnh
()
()
0 0
2
<<=++ zyxh
zzyyxx
,, , (1.3)
0 0
2
==+ zg

z
tt
, , (1.4)
()
),(, yxhzhh
yyxxz
=+=
2
. (1.5)
Bớc mấu
chốt thứ hai của phơng pháp WKB l đa ra

40
phép khai triển sau đây với giả thiết các sóng l sóng tiến:
[
]

+++=
/
)()(
iS
eii
2
2
10
, (1.6)
trong đó
),,,( tzyx
jj

=

với ,,, 210=j v
),,( tyxSS =
.
Cơ sở kinh nghiệm cho giả thiết ny l k
hi biên độ sóng
biến thiên theo các toạ độ chậm
tyx ,,
, thì pha biến thiên theo
các toạ độ nhanh
()
1


tyx ,,
. Lấy vi phân trực tiếp, ta có
==
tttt
i
22
)(
{
++++= ))()((
2
2
10
2
iiS

t

++++ )
10
)(()[( iSi
tt

]
++


+

+ ) 2
10 ttt
iS )((
}

++
/
)()(
iS
tt
ei
0
2
,
[]
[]

++


+++=
/
)( )(
iS
ei
Si
i
1010
,
[]
{
[]
[]
[]
}
)(
)()(
)(
)()(
.)(.
/

++










+
+++

+
+


+++
+++=
==
iS
ei
Si
SiS
i
Si
i
ii
i

10
2
10
10
1
2
0
22
22
1

Ta định nghĩa:
S=k , (1.7a)
t
S=
, (1.7b)
những đại lợng ny tuần tự đại diện cho vectơ số sóng địa
phơng v tần số. Thế các phơng trình (1.7a,b) vo các
phơng trình (1.3)
(1.5) v tách biệt các bậc đại lợng, ta thu
đợc tại bậc
)(O
0
i :
0 0
0
2
0
<<= zhk
zz

,
, (1.8)
0 0
0
2
0
==

z
g
z
, , (1.9)
hz
z
==

0
0
,
; (1.10)
v tại bậc
)(O

i :
()
0 k
001
2
1
<<+= zhk

zz
,k , (1.11)
[]
0
0
0
1
2
1
=
+
=

z
gg
tt
z
,
)(
, (1.12)
hzh
z
== k
01
, . (1.13)
Các phơng trình (1.8)
(1.10) v (1.11)(1.13) xác định hai
bi toán giá trị biên đợc mô tả bằng các phơng trình vi phân
thờng. Nghiệm của hệ các phơng trình (1.8)
(1.10) l:

kh
hzkigA
ch
ch
0
)( +

=
(1.14)
với
khgk th
2
= (1.15)
Nh vậy,
),,( tyx

v ),,( tyxk có quan hệ với độ sâu địa
phơng
),( yxh thông qua quan hệ tản mát, nếu nh h l hằng
số. Còn biên độ
),,( tyxA thì vẫn l tuỳ ý.
Để thu đợc điều k
iện về
A
, ta xem xét tính khả giải của
1


bằng cách áp dụng công thức Green [phơng trình (4.11),
chơng 2] với

*
0

v
1

. Sử dụng tất cả các điều kiện (1.8)(1.10)
v (1.11)
(1.13), ta đợc

41
[]
[]
{
}
.)(
)()(
*
*
h
g
dz
hz
z
tt
h
+=
=+
=
=

k
1

2
0
0
0
0
0
0
000
kk

Sử dụng quy tắc Leibniz
bzaz
a
b
a
b
fDbfDadzfDdzfD
==
+=

))(())(( , (1.16)
trong đó
D
có thể l
x

t





, hoặc l
y

; tích phân ở vế trái v
thnh phần cuối của vế phải có thể kết hợp lại, cho kết quả
[]


=
=


+
0
0
2
0
2
0
0
1

h
z

tg
dz k .
Sử dụng các phơng
trình (1.14) v (1.15), v các định
nghĩa của
E
v
g
C [phơng trình (5.14) v (5.6), chơng 1), dễ
dng thấy rằng
0=








+








E
t

C
E
g
. (1.17)
Trong cơ học cổ điển về nguồn dao động, một tỉ số tơng t
ự
giữa năng lợng v tần số đợc gọi l
tác động (action) v đồng
thời l bất biến hm khi các tính chất của nguồn dao động thay
đổi chậm. Vậy

/E
l tác động sóng (wave action) v phơng
trình (1.17) mô tả sự bảo ton của nó trong khi nó đợc vận
chuyển đi với tốc độ nhóm.
Một cách sơ lợc, hm pha của các sóng
nớc biến đổi
chậm đợc mô tả bằng phơng trình (1.15), với
k
v

đợc
cho bằng phơng trình (1.7). Nh vậy
S
đợc xác định bằng
một phơng trình vi phân bậc một phi tuyến; phơng trình
dạng ny trong quang học đợc gọi l phơng trình
eikonal.
Một khi đã tìm đợc pha, thì biên độ sẽ đợc giải từ phơng
trình tác động sóng (1.7).

Lu ý rằng,
định nghĩa (1.7) có nghĩa l
0=ì k , (1.18)
0


=+


t
k
. (1.19)
Dạng một chiều của phơng trình (1.19)
0




=



+


x
t
k
(1.20)
rất dễ lý giải ý nghĩa vật lý. Theo định nghĩa, k l số các đờng

đồng pha trên một kh
oảng cách đơn vị, tức
mật độ của các
đờng đồng pha
. Cũng theo định nghĩa,

l số các đờng đồng
pha đi qua một vị trí cố định, tức
thông lợng của các đờng
đồng pha
(flux of equal phase lines). Giữa hai điểm x v
xdx + , số đờng đồng pha thực có (net rate of out-flux of phase
lines
) bằng xd
x



)(


, trong khi đó tốc độ giảm của các đờng
pha trong khối đang xét bằng
xd
t
k



)(

. Rõ rng, phơng
trình (1.20) chính l luật bảo ton đỉnh sóng.
Trong một số mục tiếp sau đây, chúng ta sẽ tập trung vo
các sóng
dạng sin thực sự v nghiên cứu một số thí dụ tơng tự
nh trong quang học (Luneberg, 1964). Do việc suy diễn ra các
phơng trình xấp xỉ đã đợc thực hiện, nên không cần thiết
phải phân biệt các biến chậm với các biến vật lý. Tất cả các gạch
ngang trên đầu các biến bây giờ sẽ đợc loại bỏ.
Bi tập 1.1:
Một đại dơng phân hai lớp với mật độ

v


, có đáy biến
đổi chậm ),( yxhz = . Mặt phân cách tại 0=z , mặt tự do trung
bình nằm tại hz

= . Hãy thực hiện phép xấp xỉ rigidlid v
phân tích một chuỗi sóng nội, tiến bằng phơng pháp xấp xỉ

42
WKB. Chứng minh rằng tại bậc dẫn đầu
)(O
0

, năng lợng
2
2
1
AgE = với




=

, trong khi quan hệ tản mát v tốc
độ nhóm tuần tự bằng:
khhk
kg
cth cth

2
+




= ,

+





+= )( khhhkh
g
C
C
g
22
2
csh csh 1
2
.
Từ điều kiện khả giải tại )(O

, hãy chứng minh rằng
phơng trình (1.17) l đúng.
3.2 Lý thuyết tia cho các sóng dạng sin, nguyên
lý Fermat
Nếu các sóng ổn định, 0 = t/ , thì phơng trình (1.19) có
nghĩa l const=

. Bi toán ở đây liên quan đến các sóng dạng
sin thuần tuý theo thời gian. Từ phơng trình (1.17), sự thay
đổi biên độ đợc diễn tả bằng phơng trình
0= )(
g

EC . (2.1)
Tởng tợng mặt phẳ
ng y
x
đợc lấp đầy các vectơ số
sóng k thay đổi cả độ lớn v hớng qua từng vị trí. Xuất phát
từ một điểm cho trớc, ta vẽ một đờng cong tiếp tuyến với các
vectơ k địa phơng tại mỗi điểm dọc theo đờng cong. Đờng
cong nh vậy đợc gọi l
tia sóng v nó luôn vuông góc với các
đờng đỉnh sóng hoặc các đờng pha địa phơng const=S . Từ
những điểm bắt đầu khác nhau có thể vẽ đợc các tia sóng khác
nhau. Hai tia cạnh nhau lm thnh một
kênh tia (ray channel).
Xem xét một đoạn của kênh tia, chúng có độ rộng tại hai đầu l
0
d v d (hình 2.1). Tích phân phơng trình (2.1) dọc theo
đờng khép kín tạo bởi các biên của đoạn kênh tia đang xét.
Theo định lý phân kỳ của Gauss v thực tế l
g
C tiếp tuyến với
tia sóng, thấy rằng, các dòng năng lợng qua hai đầu của đoạn
kênh tia l nh nhau
const
0
== )( dECdEC
gg
. (2.2)
Do đó, biến thiên của biên độ dọc
theo tia sóng tuân theo luật:

21
0
0
0
/
)(










=
d
d
C
C
A
A
g
g
(2.3)
trong đó tỷ số
0
dd / đợc gọi l nhân tố tách tia.

Hình 2.1 Sơ đồ đoạn kênh tia v các đờng đẳng sâu
Vấn đề bây giờ l tìm ra các tia, hay các đờng trực giao của
chúng, tức chính l các đờng pha const=),( yxS
. Khi các tia
đợc định vị v biên độ sóng tại trạm 0 đã biết, thì biên độ tại
bất kỳ điểm no dọc theo tia cũng có thể xác định đợc.
Bình phơng phơng trình (1.7a), ta thu đợc một
phơng
trình vi phân phi tuyến đối với S :
2
2
kS = hay
2
2
2
k
y
S
x
S
=

+








, (2.4)

43
vế phải của phơng trình sẽ biết đợc từ quan hệ tản mát.
Phơng trình (2.4) gọi l
phơng trình eikonal, phơng pháp
chung nhất để giải phơng trình ny l phơng pháp các đờng
đặc trng. Dới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách tiếp cận
đơn giản hơn.
Giả sử )(xy đại
diện một tia cụ thể; độ nghiêng của nó sẽ l
x
S
y
S
dx
dy
y

==

.
Từ phơng trình (2.4) suy ra:
()
xS
k
y

21
2
1

=

+
/
v
()
y
S
y
yk



21
2

1


=

+

/
.
Đạo hm của phơng trình thứ hai
ở trên cho ta:
()
=














+

=



+


=

+

x
S
y
S
y
S
x
S
xy
S
y
y
S
xy
S
y
yk

xd
d





2
22
2
22
21
2
1
/

21 22
1
2
1





/
)()( y
y
k
x

S
S
y

+










=











= ,
hay
()

y
k
y
y
yk
xd
d




21
2
212
1
1


+=







+

/
/

)(
với
()
)(, xyxkk =
. (2.5)
Phơng trì
nh (2.5) l một phơng trình vi phân thờng, phi
tuyến đối với tia )(xy . Khi điểm ban đầu đã biết, thì đờng đi
của tia có thể tìm bằng cách giải số trị.
Trớc khi phân tích các thí dụ cụ thể, ta cần thiết lập sự
phù hợp giữa phơng trình (2.5) v nguyên lý Fermat nổi tiếng,
nói rằng: Nếu
0
P

v
1
P l hai điểm trên một tia v

=
1
0

P
P
sdkL (2.6)
l một tích phân dọc theo một đờng dẫn cụ thể nối
0
P v
1

P ,
thì L l một cực trị nếu v chỉ nếu đờng dẫn đó trùng với tia.
Từ phơng pháp của phép tính biến phân (xem Hildebrand,
1964, tr. 355), thấy rằng phiếm hm
[]


=
1
0


P
P
xdxyxyxFL )(),(, (2.7)
sẽ cực trị khi v chỉ khi
F
thoả mãn phơng trình Euler sau
đây:
y
F
y
F
xd
d

=











. (2.8)
Nếu ta đặt


+=
1
0

212
1
P
P
xdykL
/
)(

v xác định

21 2
1
/
)( ykF

+= ,
thì phơng trình (2.5) chính xác l phơng
trình Euler cho
nguyên lý Fermat.
Bây giờ ta thấy phơng trình
eikonal v nguyên lý Fermat
l hai cách diễn tả của cùng một sự vật. Ta sẽ xét một số trờng
hợp thể hiện rõ ứng dụng của hình học tia. Thật ra, tất cả các
trờng hợp đều có bản sao của mình trong quang học
(Luneberg, 1964).
3.3 Các đờng đẳng sâu thẳng v song song
3.3.1 Hình dạng các tia
Giả sử tất cả đờng đẳng sâu song song với trục y v do đó
)(xhh = v )(xkk = . Phơng trình Euler (2.5) sẽ cho:

44
0
1
2 1 2


=

+

/
)( y
yk
xd
d
, (3.1)
có nghĩa l
const
1
21 2

==

+

K
y
yk
/
)(
. (3.2)
Vì
==

+

sin
)(
/

sd
yd
y
y


21 2
1
, (3.3)
trong đó

l góc giữa tia sóng v chiều dơng trục
x
, dễ dng
thấy phơng trình (3.2) giống nh luật Snell nổi tiếng:
00
== sinsin kKk
hay
0
0
CC

=

sin
sin
, (3.4)
ở đây,
0
k v

0
tham chiếu đến một điểm biết trớc ),(
00
yx
trên tia sóng. Giải ra y

từ phơng trình (3.2), ta có
21 22


/
)( Kk
K
xd
yd


= . (3.5)
Kết quả trên cũng có thể thu đợc một cách
đơn giản hơn.
Thực vậy, phơng trình (3.4) chính l hệ quả của phơng trình
(1.18) với
0 = y , trong khi phơng trình (3.5) nhận đợc từ
định nghĩa hình học một tia:


=
cos
sin
k

k
xd
yd


.
Phơng trìn
h của tia sau khi tích phân sẽ l:
[]


=
x
x
Kxk
xdK
yy
0

21
22
0

/
)(
. (3.6)
Rõ rng rằn
g, một tia chỉ tồn tại khi
22
Kk >

.
Mặt khác, do đờng pha sóng l trực
giao với các tia, độ
nghiêng của nó phải l:
21 22
1


/
)( Kk
K
x
d
yd
=
.
Phơng trình của đờng pha do đó l

+=
x
KkxdKy const
2122

/
)(
.
Một kết quả tốt đã nhận đợc từ
các phơng trình (3.5) v
(3.6) cùng với việc không có giới hạn no cho )(xk
. Các trờng

hợp sau đây cho ta những ý tởng về sự đa dạng có thể xảy ra.
Trờng hợp 1: Sóng phẳng tiến đến một dải đất hay một bãi
biển
Một sóng phẳng tới từ phía trái,
x
. Các tia tới song
song v tiến đến một luống đất tại
0
0
<= xx
với góc
0

. Vì
kKk <=
00
sin
ở mọi nơi, giá trị căn bậc hai
2/122
)( Kk luôn
luôn l số thực, v do 0
>xdyd / , nên phải lấy dấu dơng trong
các phơng trình (3.5) v (3.6). Khi h giảm, thì k tăng v
xdyd
/ giảm; vậy, khi tia sóng vợt qua dải đất, trớc tiên nó
dần dần tiến tới vuông góc với các đờng đẳng sâu. Sau khi đỉnh
vợt qua, tia sóng không còn thẳng góc nữa. Các đờng dẫn tia
đợc phác hoạ trên hình 3.1.
Một trờng hợp tới hạ
n, khi đỉnh của dải đất nhô cao hơn

mực nớc trung bình, thì ở hai phía của dải đất l bãi biển. Xét
một tia với
0
kk = tại
0
xx = đi tới từ phía trái với góc tới
0
. Tia
tiến đến các đờng đẳng sâu v cuối cùng lao vuông góc vo
đờng bờ vì k nếu 0h .
Sự lựa chọn k dới đây theo Pocinki (1950) l mộ
t mô hình
đặc biệt đối với một bãi biển bắt đầu tại a
x
= v kết thúc tại
đờng bờ bx = .
ax
k
k
<= ,1
0
,

45
bxa
bx
ba
k
k
<<

=
1
1
0
, .
Thế vo phơng trình (3.5), ta đợc
()
[]
[]
()
{}
bxa
bxba
babx
dx
dy
>>


=
111
11
21
22
0
0

,
/)/(/)(sin
)/(/)(sin
/
.
Đặt
b
y
b
x
ba
==


= 1
1
0
,,
/
sin
,
khi đó phơng trình vi
phân tia trở thnh
()
()
21
22
21
22
1

1
1



/
/


=


= d
d
d
v rất dễ tích phân, cho ta:
2
22
1

=+ )(
c

hay
()
0
2
2
2
2

=+
sin
)(
)(
ab
yybx
c

Nh vậ
y, các tia sóng l một họ các cung tròn có tâm tại
bx = v
c
yy = . Tham số
c
y liên hệ với toạ độ
0
y tại đó tia sóng
cắt đờng đẳng sâu tại a
x
= . Bằng cách đặt a
x
= v
0
yy =
trong công thức cuối cùng, ta tìm đợc
00
ctg = )( abyy
c

.





Hình 3.1 Tia sóng vợt
qua một dải đất ngầm: a)
Thay đổi của )(xk ; b) Tia
sóng tới với
min
kkK =<
0

Trờng hợp 2: Bẫy sóng trên một dải đất
Nếu
minmax
sin kkKk >=>
00
(hình 3.2a), thì các tia sóng chỉ
có thể tồn tại trong vùng axb << , tại đó Kk > . Giả sử tia đó
xuất phát từ
0
x với góc
0
, 20
0
/<< . Từ
0
x đến a ,

0/ >dxdy v y đợc cho bằng phơng trình (3.6) với dấu dơng.
Tia sóng tiếp cận điểm
a
x
= v
a
yy = , ở đây


+=
a
x
a
Kk
Kdx
yy
0
2122
0
/
)(

Với trờng hợp đáy khá thoải,
k có thể đợc khai triển
thnh chuỗi Taylor tại lân cận
a
x
= :
+

+=
a
kaxKk ))((
222
nếu
()
0
22




=ax
a
kk )( , (3.7)
tích phân ny l hữu hạn. Tuy n
hiên, độ nghiêng dxdy / l vô
hạn; do đó đờng a
x
= l đờng bao của tất cả các tia sóng v
đợc gọi l một đờng tụ tia. Do sự cắt ngang của các tia lân
cận, phơng trình biến thiên biên độ (2.3) không còn hiệu lực.

46
Trong mục 3.3.3 sẽ trình by về một cách xử lý tinh tế hơn đối
với vùng lân cận điểm tụ tia. Phía sau điểm ),(
0
ya , 0 <xdyd / ;
tia sóng quay ngợc lại v đợc diễn tả bằng phơng trình (3.6)
với dấu âm cho đến khi nó đạt tới đờng bx = , đó l một điểm

tụ tia khác bao tất cả các tia. Vậy l tia sóng uốn đi, uốn lại
giữa hai điểm tụ tia trong khi tiến theo hớng chiều dơng của
trục y (hình 3.2b). Không thể có các sóng điều ho đơn no với
K
nh trên nằm ngoi khoảng axb << . Hiện tợng ny đợc
gọi l bẫy sóng.


Hình 3.2 Bẫy sóng trên một dải đất: a) thay đổi của
k khi sóng vợt qua dải đất;
b) một tia bị bẫy với
minmax
kKk >>
Nguyên nhân bên ngoi lm cho các sóng bị bẫy có thể l do
các lực khí quyển tác động lên mặt tự do (khí áp hoặc gió). Với
những giá trị cao của )
min
kK >( sẽ không có một sóng đơn điều
ho no ở ngoi dải đất. Theo cơ chế tuyến tính, thì không thể
kích hoạt sóng dải đất bằng một sóng đơn điều ho từ bất kỳ
phía no của dải đất.
Trờng hợp 3: Máng ngầm
Với một máng nối hai phía có độ sâu bằng nhau, )(xk thay
đổi nh trên hình 3.3a. Nếu một sóng tới có ==
00
sinkK
min
kK <
2
, nó sẽ đổi hớng, lúc đầu uốn cong về phía trục máng,

sau đó rời xa trục máng v vợt qua máng về phía bên phải nh
trên hình 3.3b. Tuy nhiên, nếu
1
KK =
l đủ lớn, thì không tia
no có thể tồn tại trong vùng Kk < v đờng
1
xx = , nơi
11
Kxk =)( l một điểm tụ tia. Tia sóng khi đó đó phải quay lại
phía m nó xuất phát. Với
min
kk >
0
cố định, một giá trị đủ lớn
của
K
có thể đạt đợc nếu góc tới
0
khá gần với 2/ . Tia tới
khi đó tạo một góc nhọn cực nhỏ với các đờng đẳng sâu; hiện
tợng ny gọi l lớt tới. Tại giá trị tới hạn
min
sin kk =
00
, tia
tới trở thnh suýt soát song song với các đờng đẳng sâu.
3.3.2 Sự biến thiên biên độ
Trong trờng hợp đơn giản ny, 0 = y/ v phơng trình
(2.1) có thể đợc tích phân v ta đợc

const
2
1
2
== coscos
gg
CAgEC . (3.8)
Giả sử chỉ số ( )
0
chỉ các giá trị tại độ sâu tham chiếu
0
h ,
khi đó tỷ số biên độ sẽ l:
21
00
0
/
cos
cos)(










=

g
g
C
C
A
A
=
21
0
0
0
2 sh21
2 sh21


/
/
)/(
cos
cos






+
+

khkh
khkh
k
k
. (3.9)

47

Hình 3.3 Các tia sóng trên một máng ngầm
Trong vùng nớc rất nông,
1>cos ,
21/
)(ghCC
g
v
()
41
21
0
0
/
/
)(cos

ghC
A
A
g
, (3.10)
vậy biên độ tăng khi độ sâu giảm. Sự phụ thuộc mũ 4/1 thờng

đợc gọi l định luật
Green. Kết hợp với bớc sóng giảm,
])([
/ 21


hgk , độ dốc sóng sẽ tăng khi độ sâu giảm theo luật
4/3
hkA . Với độ sâu đủ nhỏ, giả thiết sóng biên độ nhỏ l cơ sở
của lý thuyết sóng tuyến tính không phù hợp nữa v các hiệu
ứng phi tuyến trở nên quan trọng. Với một bãi biển có độ
nghiêng đáy không đổi, giả thiết 1
1
<<

khxdhd )/( đặc trng
trong phơng pháp WKB cũng đổ vỡ hon ton. Trong những
điều kiện cụ thể sẽ bn ở chơng 10, các sóng tiến có thể đổ ở
vùng nớc rất nông. Với sóng tới đổ bộ vuông góc vo bãi biển
phẳng, những thí nghiệm của Eagleson (1956) đã khẳng định
phơng trình (3.9) đúng đến dải sóng đổ đầu tiên.
3.3.3 Lân cận đờng tụ tia
Sự thiếu xót của phép xấp xỉ tia có thể dễ dng khắc phục ở
lân cận đờng tụ tia. Dới góc độ các biến chậm đã định nghĩa
trong phơng trình (1.2), ta đặt trục
y trùng đờng tụ tia, các
tia tới v phản xạ ở phí trái của đờng ny. Khi đó ở lân cận
điểm
0=x , ta có thể xấp xỉ
xKk

22
với 0>

, (3.11)
đảm bảo dxdk / không bị triệt tiêu tại
0=x . Suy ra
21
1

/
)( xk = v
23 21
1

3
2
//
)( xxdk =

, (3.12)
trong đó
1
k l thnh phần theo trục
x
của k .
Theo phép xấp xỉ tia (3.9), ta có
4141
21
0
21

0
1
0



//
/
/
)()(

=

















= xx

C
K
k
kC
AA
x
g
g
. (3.13)
Mặt tự do ở phía trái của đờng tụ tia l















+

=
23
21
23
21
41
3
2
3
2

/
/
/
/
//
)(exp)(exp)( xiRxiex
yiK

(3.14)
trong đó số hạng thứ nhất trong dấu ngoặc nhọn l sóng
tới v
số hạng thứ hai l sóng phản xạ với biên độ phức
R
cha biết.

Từ kết quả trên cho thấy biên độ tăng không giới hạn khi
0x . Do đó, một lý cục bộ hon thiện thêm cho vùng gần
đờng tụ tia phải duy trì đạo hm bậc cao nhất của biên độ theo
x . Thế biểu thức












+


=
ti
yKi
kh
hzkxXgi



ch
ch
exp

)()(
(3.15)

48
vo phơng trình (1.3) v giữ lại các thnh phần chủ đạo v các
đạo hm bậc cao nhất theo
x , ta đợc
0
222
+ XKkX
xx
)(
. (3.16)
Bây giờ thì (
22
Kk ) sẽ đổi dấu tại 0=x , nhận dấu dơng
khi
0<x , âm khi 0>x . Nghiệm sẽ l dao động khi 0<x v đơn
điệu khi
0>x . Điểm 0=x trong phơng trình toán lý đợc gọi l
một điểm ngoặt. Tính tới phơng trình (3.11), từ phơng trình
(3.16), ta có
0
2
XxX
xx
. (3.17)
Đây l một
phép xấp xỉ tốt trong vùng
32 /

)(O =x , có nghĩa
l )(O
/ 31
=x . Với biến mới
3231

//
= x
, (3.18)
phơng trìn
h (3.17) trở thnh phơng trình Airy
0 =

XX
(3.19)
có nghiệm tổng quát l
)(Bi)(Ai +=
baX . (3.20)
Hm Airy Ai đã đợc vẽ
trong hình 1.5, chơng 2. Ta cũng
biết rằng, với
lớn

~,exp~)(
//
/

3
2
2
1
2341
21
Ai
(3.21a)








+


~,)(sin)(~
//
/

43
21
2341
21
(3.21b)
v











~,exp~)(
//
/

3
2
2
1
2341
21
Bi
(3.22a)

+


~,)(cos~
//
/

43
21
2341
21
(3.22b)
Nếu không có những đờng tụ tia
khác hoặc các biên cứng
khác trong vùng
0
32
>=
/
)(Ox
, thì nghiệm )(Bi phải đợc loại
bỏ; vậy

=
/
)(
yiK
eAia

. (3.23)
Hệ số a v bi
ên độ
R
của sóng phản xạ phải đợc tìm bằng
cách xứng hợp phơng trình (3.23) với (3.14) với 1>> . Với
phơng trình (3.21b) ta viết phơng trình (3.23) thnh

+


ì
ì













//
/
/

/
/
/
/
/
)(exp)(exp
yik
e
i
xi
i
xi
x
i
a
23
21
23
21
41
32
31
21

43
2

43
2

2

(3.24)
cho trờng hợp

~ . Phơng trình (3.14) v phơng trình
(3.24) bây giờ cần đợc xứng hợp, do đó:
61421
2
///
)(

=
i
eia , (3.25a)
v
2 /
=
i
eR . (3.25b)
Với một sóng tới cho trớc tại
0
xx = , đã biết. Hệ số có
thể tìm đợc ngay. Thật thú vị l biên độ lớn nhất bây giờ l
hữu hạn v xuất hiện phía trớc đờng tụ tia. Sóng phản xạ có
cùng biên độ nh sóng tới, nhng khác pha

2
1
.

Đối với một rãnh ngầm có thể có hai đờng tụ tia song song.
Nếu khoảng cách giữa
chúng không quá lớn, thì hiệu ứng d
của Ai(

) từ đờng tụ tia phía trái có thể xâm nhập sang đờng
tụ tia phía phải, tạo ra sóng thấm qua. Việc xử lý tơng tự với
đờng tụ tia bên phải cũng sử dụng cả
Ai v Bi . Một trờng
hợp khác, nếu
0
2
=xdkd / , còn 0
222
xdkd / sẽ phức tạp hơn
nhiều, nhng về nguyên tắc vẫn có thể phân tích đợc bằng

49
cách biến thể phơng trình (3.11).
3.4 Các đờng đẳng sâu dạng cung tròn
Lớp bi toán ny lần đầu tiên đợc Arthur (1946) nghiên
cứu đối với trờng hợp sóng trên nớc; những thí dụ tơng
đơng cũng thấy trong quang học (Luneberg, 1964).
3.4.1 Hình dạng các tia
Trong hệ toạ độ cực ),( r , độ sâu nớc, v do đó, độ lớn của
véctơ số sóng, chỉ phụ thuộc vo
r
, tức )(rhh = , )(rkk = . Muốn
có phơng trình Euler cho tia, ta xuất phát từ nguyên lý
Fermat v cực trị hoá tích phân

drrrkL
2122
1
/
)()(



+= , (4.1)
ở đây
drd /




. Do đó, phơng trình Euler sẽ l
[]
01
21
22


=

+




/
( rk
rd
d
,
hay
==


+


const
1
21 22
22

/
)( r
rk
(4.2)
dọc theo một tia, trong đó

l hằng số đặc trng cho tia đó.

Giải với ẩn l


, ta đợc
21 222




/
)(

=

rkrrd
d
. (4.3)
Phơng trì
nh vi phân ny có thể tích phân một cách thông
thờng cho ta


=
r
r
rkr
rd
0

21 222
0

/
)(
(4.4)
trong đó
0
r v
0
tham chiếu đến điểm đã biết m tia sóng đã đi
qua.
Độ lớn của hằng số

l bao nhiêu? Theo hình (4.1), phơng
trình (4.2) có thể viết lại nh sau:



Hình 4.1 Đáy trơn với các đờng
đẳng sâu dạng cung tròn
=

=
+

= sin
)(
/
rk

sd
rd
rk
drrd
dr
rk







21 222
(4.5)
với
l góc giữa tia v vectơ (bán kính) pháp tuyến với đờng
đẳng sâu tại điểm m tia cắt đờng đẳng sâu. Nếu tại điểm
00
,r
góc tới l
0
=
, thì
000
=

sinrk (4.6)
Vậy hằng số

đợc xác định bằng vị trí v hớng ban đầu tia
sóng.
Tơng phản với trờng
hợp các đờng đẳng sâu thẳng v song
song,
r
xuất hiện ở phía phải của công thức Snell (4.5) nh một
nhân tố thêm vo. Để hiểu rõ sự khác biệt ny, ta khảo sát một
cách đơn giản trờng hợp đáy có độ sâu biến đổi từng nấc đối xứng
toả tia, tức
3 2 1 const
1
,,,, ===

irrrkk
iii
.
ở đây các chỉ số 1, 2, 3 chỉ các vùng chứ không phải l các thnh

phần của vectơ. Xét một tia đi qua các vùng 1, 2 v 3 (xem hình
4.2). Tia ny ở vùng
i rời khỏi điểm gián đoạn tại
1
=
i
rr dới

50
một góc
1

i
v tới tại
i
rr = với góc
i


, l một đoạn thẳng trong
khoảng ny.
áp dụng luật Snell tại mối nối
1
rr = , ta đợc
1211
sinsin


kk =

. (4.7)
Phải chú ý rằng l
21



; thực tế từ hình 4.2 có thể thấy rằng
A
C
r
A

C
AB
A
C
r
A
C
CD

==


==
1
2
2
1
sin,sin
,
vì vậy
2211


= sinsin rr
. (4.8)
Kết hợp phơng trình (4.8) với phơng trình (4.7), ta có
222112111


==

sin)sin(sin rkrkrk .
Rõ rng, lập luận tơng tự
có thể mở rộng cho các vòng tiếp
theo, vì thế
constsin =

nnn
rk

, đây chính l dạng gián đoạn của
phơng trình (4.5). Nh vậy, sự xuất hiện của
r
l do sự uốn
cong của các đờng đẳng sâu.

Hình 4.2 Đáy dạng cung tròn từng nấc
Từ phơng trình (4.4), rõ rng các tia chỉ tồn tại trong các
vùng m
222

>rk
. Bán kính tới hạn tại đó bằng
*
222
, rrrk ==

(4.9)
sẽ đợc k
ý hiệu bằng

*
r v tơng ứng với

l
*

với


=
*
0
2/1222
0*
)(

r
r
rkr
dr



. (4.10)
Từ phơng trình (4.3),
0=ddr / tại ),(
**
r ; tia ny hoặc l
gần nhất hoặc l xa nhất so với gốc. Việc chọn dấu trong công
thức trên đây có thể đợc thực hiện bằng cách xem xét dấu của

drd /
nh sẽ minh hoạ trong các thí dụ dới đây.
Ta sẽ rút ra phơng trình cho các đờng hằng số pha.
Ký
hiệu tia bằng
)(= fr v đờng hằng số pha bằng )(= gr , sử
dụng một thực tế l hai đờng ny trực giao, ta đợc
[][]
0= )()( grfr ,
hay
f
r
g

=

2
.
Vì
2/1222
)()0(


=

rk
r
f
phơng trìn
h vi phân cho một đờng pha sẽ l

21 222



/
)(

=
rk
r
d
rd
(4.11)
Phơng trình ny có th
ể đợc tích phân cho ta
const
21 222

=

/
)( rk
r
rd
. (4.12)
Bây giờ ta khảo sát một vi k
iểu của k để lm sáng tỏ ý
nghĩa vật lý.
Trờng hợp 1: << rk 0 v rk đơn điệu theo
r

51
Trong vùng nớc rất nông, k ~
2/1
h ; ta có 0 rk khi 0r
ngay khi 0
21

/
hr . Một bãi cạn dạng cung tròn cũng thuộc
dạng ny. Giả sử điểm
),(
000
rP l điểm ban đầu. Khi đó


=
r
r
rkr
dr
0
21222
0


/
)(
, (4.13)

ở đây dấu âm đợc chọn vì
0 <drd / . Phơng trình ny hợp lệ
đến tận điểm
*
P , tại đây
*
rr =

l nhỏ nhất. Phía ngoi điểm ny
tia đợc cho bằng biểu thức



=
r
r
rkr
rd
*
/
*
)(
21222



, (4.14)
ở đây dấu dơng đợ
c chọn. Vì tia đối xứng qua vectơ bán kính
*

= , ta có thể sát nhập cả hai nhánh của tia vo một phơng
trình



=
r
r
rkr
rd
*
/
*
)(
21222



(4.15)
Hình dạng của tia đợc vẽ trên hình 4.3.
Giả sử có một sóng tới phẳng đi từ

x
~ về phía một vùng
nớc nông dạng cung tròn. Phía ngoi
0
rr = , đáy đợc giả thiết
nằm ngang, tức
0
kk = với

0
rr > . Các tia tới lúc đầu song song
với trục
x
. Trong số các tia ny, những tia no lúc đầu nằm
ngoi rìa
0
ry sẽ không cắt đờng tròn
0
rr = v tiến tiếp tục,
không bị chệch hớng. Ta xét một tia ban đầu nằm trong
khoảng
0
0
<< yr
đi vo vùng nông với một góc
0

với vectơ
bán kính; trớc tiên nó sóng uốn cong về tâm v sau đó, khi đạt
đợc giá trị nhỏ nhất
*
r lại xa dần tâm. Vì tia sóng phải đối
xứng qua véctơ bán kính nhỏ nhất
*
= , nên góc giữa tia đi ra
với véctơ bán kính tại điểm thoát ra phải bằng
0

(xem hình

4.3). Giả sử góc tổng cộng m tia đã bị lệch hớng l

. Rõ rng
00


+=

,
trong đó


0
hớng tại điểm, nơi tia sóng thoát khỏi vùng
nông:



=

0

21222
0
r
r
rkr
dr
*
/

*
)(
.

Hình 4.3 Vùng nớc nông ngầm: a) địa hình;
b) biến thiên kr theo r ; c) hnh vi của tia
Một cách tơng tự, các tia đi vo vùng nớc nông từ khoảng
0
0 ry << lúc đầu sẽ uốn cong về phía tâm vùng nông, sau đó xa
dần khỏi tâm của vùng nông. Nh vậy, ở phía sau của vùng

52
nông, các tia từ hai phía đối diện của trục
x
sẽ cắt nhau v các
sóng tiến liên quan tới các tia ny sẽ giao thoa. Thí dụ, tại điểm
bất kỳ trên phần dơng trục
x
biên độ tổng cộng tăng gấp đôi vì
các tia đơn đối xứng. Tại một điểm không nằm trên trục
x
, các
tia cắt nhau có thể giao thoa theo kiểu triệt tiêu hay kiểu cộng
thêm tuỳ thuộc vo các pha sóng.
Xét các tia từ cùng một phía của trục
x, thí dụ 0
0
<< yr .
Do không chệnh hớng v 0
=

đối với hai giá trị cực trị của
0
: (thẳng góc đi vo) v 2/ (song song đi vo), v do 0>


đối với các giá trị trung gian của
0
, nên phải có một cực đại
dơng của

. Tơng tự, một tia tiến vo nửa phía trên của vùng
nông phải có một cực đại âm của

. Suy ra, một chùm tia từ
cùng một phía của trục
x phải cắt nhau v cắt các tia từ phía
bên kia của trục
x
. Một đờng tụ quang tựa mũi nhọn sẽ sinh
ra ở phía sau của vùng nông v ta phải xây dựng một giải pháp
cục bộ phức tạp hơn so với trong mục 3.3.3 để nhận đợc biên độ
hữu hạn.
Trờng hợp 2:
kr
lúc đầu giảm đến một giá trị cực tiểu, sau
đó tăng lên
Đây l trờng hợp các đảo tròn với đờng bờ tại
br =
(xem

hình 4.4). Giả sử 0
h khi 0 br , khi đó từ quan hệ tản mát
2/1
hk v
2/1
bhkr .
Tại giá trị
r
lớn, rkkr
0
. Tất cả các tia tới cắt vòng tròn
ngoi
a
r
= có

nhỏ hơn
ak
0
. Những tia đủ gần với trục đảo
sẽ thoả mãn
22
min
)(kr< , thnh thử chúng tiến tới bờ một cách
bình thờng. Tuy nhiên, những tia xa trục đảo hơn sẽ thoả mãn
2
0
22
)()(
min

akkr << v sẽ bị đảo khớc từ, không tiếp cận đợc
bờ. Tia tới hạn l tia có góc
C
00
=
, trong đó
=
C
0
sin

00
rkkr /)(
min
.
Trờng hợp 3: Bẫy sóng trên rãnh đất hình xuyến
Nếu độ sâu biến đổi nh trên hình 4.5a, thì một cực đại địa
phơng của
kr có thể đạt tại một
r
hữu hạn no đó. Một tia
xuất phát tại
00
,

r , với góc nghiêng


<
0

, lúc đầu đợc cho
bằng



=
r
r
rkr
rd
0


21222
0
/
)(


Hình 4.4 Đảo tròn. a) địa hình; b) biến thiên
rk theo
r
; c) hnh vi tia

53
sao cho
0 >drd /
cho đến tận
11

== ,rr . Sau đó tia ny quay
trở lại
r
lớn hơn với



=


r
r
rkr
rd
1


21222
1
/
)(
,
v tiến theo chiều kim đồng hồ, dập dờn giữa hai đờng tròn tụ
tia
1
rr = v
2
rr = . Các lập luận trớc đây cho thấy rằng, tia
sóng đối xứng qua vectơ bán kính

1


= v
2


, v v.v Rõ rng
rằng hình dạng của tia lặp lại sau mỗi khoảng:


=
2
1
2/1222
)(
2
r
r
rkr
dr


.

Hình 4.5 Các sóng bị bẫy trên một rãng đất hình xuyến. a) địa hình; b) biến thiên
rk theo
r
; c) hnh vi tia
Ngoi ra, nếu l một bội số hữu tỉ của 2, thì tia sẽ quay

lại điểm gốc của nó v tạo thnh một đờng cong khép kín. Nh
vậy, điều kiện
,,,,, 3 2 1
2
==


nm
m
n

xác định các giá trị riêng của dao động tự do bị bẫy trên rãnh
đất. Cá
c sóng ngắn hoặc các sóng khí tợng trực tiếp có thể kích
hoạt các mốt ny, tạo mối nguy hiểm tiềm tng cho các công
trình biển đợc xây dựng trên rãnh đất.
3.4.2 Biến đổi biên độ
Xét nhân tố phân tách tia đối với một sóng phẳng tiến đến
một vùng tròn khúc xạ có
0
rr
. Đặt các tia tới song song với
chiều âm của trục
x
. Từ hình (4.3) nhận thấy rằng
00

+=
với
00

=

. Từ phơng trình (4.4) rút ra



+=
r
r
rkr
dr
0
21222
0


/
)(
, (4.16)
trong đó
000000
== sinsin rkrk
v một tia
tán xạ đợc đặc trng bằng điểm đi vo
00
,r hoặc
0

của nó.
Xét hai tia cạnh nhau với các góc tới hơi khác nhau một

chút l
0

v
00

+

d . Từ hình 4.6, ta có tại đờng tròn
0
rr <
bất kỳ

const
0
0

=










===
r

drrdABd coscoscos
vì
d đợc đo dọc theo đờng tròn bán kính
r
. Tại vòng tròn

54
ban đầu
0
rr = ,
0

= dd v
0000000
== coscos drBAd
Nh vậy nh
ân tố phân tách l
tr
r
r
d
d
cons
0000
=

=


cos
cos
.
Vì const
=

=

sinkr v
21
2
1
/
cos

=
kr
, ta có
()
1
00
0
21
2
0
1

=

=

cos
/
r
kr
r
d
d
constr
(4.17)
trong đó
0

có thể thu đợc từ phơng trình (4.16).

Hình 4.6 Hnh vi của tia sóng tiến tới các đờng đẳng sâu tròn
Thí dụ mẫu: Một đảo tròn (Pocinki, 1950)
Lấy
,,
,,
)/(ln
)/(ln
rark
arb
br
ba
akkr
<=
<<=

0
0
(4.18)
sao cho đờng bờ trùng với
br = v chân đảo trùng với a
r
= .
Sự biến thiên thể hiện trên hình (4.7a).
ở gần bờ br = , độ sâu
nhỏ,
h
~
2
k
~
brr /ln
22
v
rdhd /
~
0
khi
br
. Vậy bãi biển rất
phẳng. Rõ rng rằng trong trờng hợp ny tất cả các tia đi vo
chân đảo thực sự cắt đờng bờ với một góc vuông.
Với

k
chọn nh vậy, phơng trình tia dễ dng tính phân:
()
() ()
[]
() ( )() ()
[]

=
=


=
rr
ar
brakbaak
akbrdbr
21
2
0
2
2
0
2
2
0
00
0

/

/lnsin/ln
sin/ln/ln
, (4.19)
ở đây dấu + () l chọn cho các tia
đi vo vùng nớc nông ở góc
phần t thứ hai (thứ ba). Nếu đặt
b
r
ba
D
ln,
sin
)/ln(
=

=
0
, (4.20)
ta viết lại v tích phân phơng trìn
h (4.19):
()
()

=


=
)/ln(
)/ln(
//
/
lnln
br
ba
b
r
D
b
a
D
D
d
21
22
21
22
21

22
0
.
(4.21)
hay tơng đơng với
()
21
2
21
22
0
2
/
/
lnln

=
b
a
DD
b
r
.
Chia hai vế cho
)/ln( ba , cuối cùng ta có

55
00
21
2
0
0
0
2
ctgcosec

+=


















= ,
)/(ln)/(ln
)/(ln
/
baba
br
,
(4.22)
biểu thức ny đợc vẽ trên hình 4.
7c (theo Pocinki).

Hình 4.7 Đảo tròn (Pocinki): (a) đáy; (b)
kr theo
r
; (c) hình tia sóng; (d) hình
vẽ cực của
()
2/1
0
/

dd tại bờ br =
Giả sử ),(
hh
r l điểm m tia phía ngoi cùng đi vo vùng
nớc nông ở góc phần t thứ ba
,( =

2
1
0
tức )=
2
3
0
cắt
đờng bờ. Vì
1
0
=

sin
v
0ctg
0
=

, từ phơng trình (4.21), ta có
b
a
b
ln=


2
3
.
Vì
2
3
>
b
nên đã chọn dấu cộng. Tơng tự, tia ngoi cùng
đi vo vùng nớc nông ở góc phần t thứ hai
,( =

2
1
0
tức
)=

2
1
0
cắt đờng bờ tại điểm br = v
b
a
b
ln

=

2
.
Nếu 2
/)/ln( <ba , thì có một phần đờng bờ trong khoảng
[]
)/(ln/)/(ln/ baba 22 << bị che khuất khỏi các sóng
tới, khoảng ny đợc gọi l bờ khuất (Arthur, 1946).
Nếu 2
/)/(ln >ba , thì các tia từ phía ny của trục sẽ cắt các
tia tơng ứng ở phía kia tại phần khuất của đảo. Biên độ kết quả
có thể tính bằng cách cộng sóng v tính toán chính xác các pha.
Tại giá trị 2
/)/(ln =ba hay 81,4)/( ba , thì các tia ngoi cùng
từ cả hai phía của trục sẽ gặp bờ tại
0=
; v bờ khuất sóng sẽ
biến mất.
Để tìm nhân tố phân tách, ta lại xét các tia đi vo từ góc
phần t th

ứ ba. Lấy vi phân phơng trình (4.21) phù hợp với
phơng trình (4.17), ta đợc
21
22
0
21
22
0
//
lnln










=

b
r
D
D
D
b
r
D
,
vì thế

=


21
22
21
22
00
1
//
lnln
b
r
D
b
a
D
D
D
.
Bây giờ từ định nghĩa đối với
D
ta thấy
0
2
0

0
=



sinlncos
b
aD
.
Sau một số phép toán đại số, ta đợc
()

+=


21
0
22
0
0
2
0
1
11

/
sin
cos
sin
)/(ln
R
ba
(4.23)
trong đó

56
)/(ln
)/(ln
ba

br
R


.
Do đó nhân tố phân tách l
[]












=




=


00
21
2

0
22
0
000
1
cos
)/(sin)(
cos
cos
/
a
krakr
a
r
d
d
(4.24)
với
0

/ đợc xác định theo phơng trình (4.23). Căn bậc hai
của phơng trình (4.24) đợc phác hoạ với
br =
trên hình 4.7d.
Cách tiếp cận trong các mục 3.3 v 3.4 l các
h tiếp cận bán
nghịch đảo, trong đó giả định một số dạng thích hợp của
k
v
biến thiên của độ sâu phải đợc tìm từ quan hệ tản mát. Nh

vậy, với những tần số khác nhau, cùng một
k
sẽ tơng ứng với
một số độ sâu. Bi toán cụ thể hơn về diễn tả

v )(xh thờng
phải giải bằng các phơng pháp số. Với các đờng đẳng sâu
thẳng hoặc tròn thì đó không phải l một nhiệm vụ khó. Với
trờng hợp các đờng đẳng sâu tổng quát, các phơng pháp số
đã đợc các tác giả nh Skovgaard, Jonsson, v Bertelsen
(1976) phát triển; các tác giả còn tính thêm cả những hiệu ứng
của ma sát đáy.
Trên một địa hình tổng quát, có thể có nhiều kiểu tụ tia.
Mặc dù
một giải pháp cục bộ hay một phép xấp xỉ đúng cho ton
vùng hon ton có thể thực hiện đợc về nguyên tắc (Ludwig,
1966), song trong thực tế xây dựng một chơng trình tính tới
tán xạ thì rất nặng nhọc. Trong mục tiếp theo, sẽ rút ra một
phơng trình gần đúng cho trờng hợp độ sâu đáy biến đổi
chậm, nhng không có giả định về các tia nh trong phơng
trình (1.6). Vì phơng trình mới ny có thể giải một cách hữu
hiệu bằng các phơng pháp số hiện đại, lý thuyết phức tạp về tụ
tia có thể bị không còn hiệu lực đối với trờng hợp địa hình tổng
quát v ở đây ta sẽ không tiếp tục xem xét nữa.
3.5 Phơng trình gần đúng kết hợp khúc xạ v
tán xạ trên nền đáy biến đổi chậm
Phơng trình
độ nghiêng nhỏ
Ưu điểm của phép xấp xỉ tia l giản ớc bi toán ba chiều
thnh các bi toán một chiều dọc theo các đoạn tia. Song, ở gần

điểm tụ tia, phải đa ra giả thiết bổ sung về những biến thiên
ngang hớng tia. Vậy l ít nhất bi toán cũng trở thnh bi
toán hai chiều cục bộ trên mặt phẳng ngang. Ngoi ra, còn có
những tình huống lm cho bi toán thực sự l bi toán hai
chiều, thí dụ bi toán về sự cản trở của cột trụ đứng đối với các
sóng tới trên nền đáy biển biến đổi chậm. Những hiệu ứng hai
chiều ny liên quan đến nhiễu xạ, sẽ đợc trình by kỹ hơn ở
cuối sách ny. Vì vậy, chúng tôi muốn có đợc một mô hình xấp
xỉ có tính tới sự biến thiên chậm của nền đáy v cho phép các
trờng sóng biến thiên phơng ngang nhanh do nhiễu xạ.
Trong trờ
ng hợp độ sâu không đổi, thế vận tốc có thể viết
nh sau
f
ig


= , (5.1)
trong đó
khgk
kh
hzk
f
th
ch
ch
2
=
+
= ,

)(
. (5.2)
Từ phơng
trình Laplace, có thể tìm đợc
()
yx,

thoả mãn
phơng trình Helmholz hai chiều
0
22
=+ k ; (5.3)
phơng trình ny mô tả sự nhiễu xạ. Sẽ hợp lý nếu cho rằng, với
độ sâu biến đổi chậm, các phơng trình (5.1) v (5.2) vẫn áp
dụng đợc với
k
v
h
tham chiếu đến các giá trị địa phơng của
chúng. Dựa trên ý tởng ny, Berkhoff (1972) đã rút ra một

57
phơng trình thích hợp cho
()
yx, . Schonfeld (1972), Jonsson
v Brink-Kjaer (1973), Smith v Sprinks (1975), Lozano v
Meyer (1976) cũng công bố một số cách khác dẫn tới cùng kết
quả.
ở đây, chúng tôi sẽ trình by những lập luận theo Smith
v Sprinks.

Các phơng trình chính xác đối với

có thể viết nh sau:
,,,,












==+


yx
zh
z
0 0
2
2
2
(5.4a)
0 0
2

==




z
gz
, , (5.4b)
hzh
z
==






,
, (5.4c)
trong khi
f thoả mãn các phơng trình (1.8)(1.10). Nếu coi
phơng trình (5.4a) nh một phơng trình vi phân thờng theo
z
v áp dụng công thức Green đối với

v f , sử dụng các
phơng trình (5.4a)(5.4c) v (1.8)(1.10), ta nhận đợc
()
()

h
h
hfdzffk


=+


0
22
. (5.5)
Bây giờ sử dụng các phơng trình (
5.1) v (5.2) v chú ý các
biểu thức









+

= h
h
f
f
ig

,











+


+


+

=
h
h
f
h
h
f
h
h

f
f
ig
22
2
2
22
2 )( ,
thì phơng trình (5.5) có thể viết thnh
=






+


+


+


+


0
2222

2
2
22
2
h
dzfkh
h
f
hh
h
h
hh
h
f
ff )(
h
h
h
f
fhfh




=



22
)( (5.6)

Theo quy tắc Leibniz, hai số hạng đầu ở vế trái phơng trình

(5.6) có thể kết hợp với số hạng thứ nhất ở vế phải v ta đợc:
=+


0
22
0

hh
dzfkdz












=
0
2
0
2
2

2
2









hh
h
zdh
h
f
fzdh
h
f
fh
h
f
f )()( .
Vì 1
<<

= )(O/ khh v )(O/ 1=


k , mọi số hạng ở vế phải

của phơng trình (5.6) có bậc
)(O
2
so với vế trái v ta có thể bỏ
qua.
Nếu lấy tích phân v
sử dụng phơng trình (5.12), chơng
1, cuối cùng ta nhận đợc:
0
2
=+ cb )( , (5.7)
trong đó
g
CC
kh
kh
kh
kh
ghb =






+=
2 sh
2
1
2

1 th
(5.8a)
C
C
kh
kh
c
g
=






+=
2sh
2
1
2
1
(5.8b)
Smith v Sprinks (197
5) đã tiếp tục đánh giá cái gọi l các
hi bé
(xem mục 7.4.1) đại diện cho các hiệu ứng địa phơng, có
bậc
)(O
2
v do đó có thể bỏ qua (xem phần 7.4.1). Họ chỉ ra

rằng trong khi phơng trình (5.7) đúng với sai số
)(
2
O , thì
nghiệm có thể chỉ đúng tới bậc
)(

O do sai số tích luỹ về pha
sóng có thể đạt
)(

O sau quãng đờng có bậc )/(

1O.
Trong trờ
ng hợp đặc biệt hằng số kh tuỳ ý, phơng trình
(5.7) giản hoá thnh phơng trình Helmholtz (5.3). Mặt khác,
với độ sâu nhỏ nhng biến đổi
1<<kh , phơng trình (5.7) đợc

58
giản hoá thnh
()
0
2
=

+
g
h

; (5.9)
trong chơng 4 sẽ cho thấy rằng phơng trình ny sẽ đúng cho
cả trờng h
ợp thậm chí nếu
)1(O/ = khh . Do đó, phơng trình
(5.7) cho một nội suy đối với ton khoảng của bớc ứng trong
trờng hợp độ nghiêng đáy biển nhỏ, v ngy nay phơng trình
ny đợc biết đến với tên gọi
phơng trình độ nghiêng nhỏ
(Jonsson v Skovgaard, 1979).
Bằng phép biến đổi đơn giản
=
21 /
b , (5.10)
phơng trình (5.7) có thể viết lại
0
22
=+ , (5.11)
trong đó
2
2
22
2
42

b
b
b
b
b

c
yx

+



=
),( . (5.12)
Phơng trình (5.11) p
hổ biến trong âm học môi trờng bất
đồng nhất, với

l chỉ số khúc xạ. Trong vật lý cổ điển có nhiều
phơng pháp giải tích gần đúng để giải với những lớp giá trị cụ
thể của

. Với các bi toán kỹ thuật bờ biển thì thờng áp dụng
các phơng pháp số. Trong chơng 4, sẽ trình by một trong các
phơng pháp giải đó với phơng trình (5.9);còn Houston (1981)
đã tiến hnh một số cải biến cần thiết để giải các phơng trình
(5.7) hoặc (5.11).
3.6 Xấp xỉ quang hình đối với khúc xạ do dòng
chảy v độ sâu biến đổi chậm
Ngoi sự biến thiên của độ sâu, sự tồn tại của dòng chảy
trong đại dơng cũng ảnh hởng đến quá trình lan truyền
sóng. Một trong những vấn đề quan tâm trong thực tiễn l dòng
chảy triều gần cửa sông hoặc ở cửa vo của các cảng. Trong kỳ
triều lên, dòng chảy v sóng có cùng hớng, kết quả l lm tăng
bớc sóng di v giảm độ cao sóng. Trái lại, trong kỳ triều

xuống các sóng bị ngắn lại v dốc hơn do truyền ngợc hớng
dòng chảy, khoảng sóng đổ mở rộng ra (xem ảnh máy bay của
vịnh Humboldt, California, Johnson, 1947). Nếu có các dải đất
ngầm ở luồng vo cảng, thì hiệu ứng kết hợp nớc nông v dòng
chảy trên dải đất có thể tạo thnh dao động đáng kể trên mặt
nớc v do đó gây hiểm hoạ đối với hng hải. Rất nhiều luồng
vo cảng ở bờ Bắc Thái Bình Dơng của nớc Mỹ thuộc loại khó
đi lại đối với loại ng thuyền nhỏ trong pha triều xuống về mùa
đông (Issacs, 1948). Thời gian tốt nhất cho thuyền qua lại l vo
đoạn cuối của pha triều lên, khi đó nớc sâu nhất v tốc độ dòng
chảy nhỏ nhất.
Trong mục ny, chúng tôi sẽ xây
dựng cơ sở lý thuyết kết
hợp ảnh hởng của dòng chảy v độ sâu lên các sóng biên độ
nhỏ. Đặc biệt, sẽ tập trung chú ý vo các dòng chảy mạnh có
tác động lên sóng, nhng không bị ảnh hởng của sóng. Ta cũng
giả sử, giống nh trong tự nhiên thờng xảy ra, rằng thời gian
v khoảng cách đặc trng dòng chảy lớn hơn nhiều lần so với
thời gian v khoảng cách đặc trng của sóng. Một lý thuyết có
hệ thống về lớp bi toán ny lần đầu tiên đợc LonguetHiggins
v Stewart (1961), Whitham (1962) đề xuất, còn Bretherton v
Garrett (1969), Phillips (1977) thì phát triển mở rộng rất nhiều.
Dới đây sẽ dẫn lập những phơng trình cơ bản theo một cách
khác, qua thủ tục hình thức của phơng pháp KWB ở mục 3.2.
Trong mục ny, để mô
tả độ lớn của một đại lợng, ta luôn
căn cứ vo bớc sóng đặc trng
k/2 v chu kỳ sóng

/2

(những đặc trng ny liên quan với nhau theo quan hệ tản

59
mát). Ta sẽ giả thiết rằng độ sâu h biến đổi chậm trong toạ độ
ngang
i
x ( 2 ,1=i ), còn dòng chảy biến đổi chậm theo cả
i
x v
t
.
Các qui mô độ di v thời gian ký hiệu l
L v
T
sao cho:
1
)( T
1
)(kL 1<<= )(
L
h
. (6.1)
Khi các thnh phần vậ
n tốc theo phơng ngang của dòng chảy
mạnh
i
U
có bậc l
2/1
)(O gh , v các vận tốc sóng nhỏ

i
u
v w có
bậc l
[
]
2/1
))((O ghkA , để ngắn gọn ta gọi l
i
U
, h có bậc O(1), v
i
u v
w
có bậc )(kA . Tơng tự, các toán tử
t /
v
i
x /
( =
i 1, 2) sẽ có bậc )(

khi tác động lên một đại lợng liên quan
đến dòng chảy v có bậc l
)1( khi tác động lên một đại lợng
liên quan đến sóng, thí dụ
,,
i
j
i

x
h
x
U
t
U










)(

;
,
ij
i
x
w
x
u

)(kA ;
còn
)(1

=


z

khi tác động lên tất cả các đại lợng.
Trớc hết xét dòng
chảy ),( WU
i
=U , không có sóng. Nếu bỏ
qua quá trình tiêu tán, thì các phơng trình mô tả sẽ l
0



=


+

z
W
x
U
i
i
, (6.2)
2 1
1

,, =



=


+


+


i
x
P
z
U
W

x
U
U
t
U
i
i
j
i
j
i
, (6.3)
g
z
P
z
W
W
x
W
U
t
W
j
j




=

+


+








1
. (6.4)
Dựa vo phơng trìn
h (6.1) v tính liên tục, thì tốc độ thẳng
đứng của dòng chảy sẽ nhỏ,
)(

=W . Từ phơng trình (6.4) suy
ra rằng áp suất sẽ tựa thuỷ tĩnh:
)()(
2
+= zgP , (6.5)
ở đây
li độ mặt tự do gây bởi dòng chảy. Tại mặt tự do v tại
đáy, các điều kiện biên động học l:
j

j
x
U
t
W






+


= ,
),( txz
i
= , (6.6)
j
j
x
h
UW




= ,
)(
i

xhz = . (6.7)
Bây giờ ta véctơ xoáy sẽ có các thn
h phần ngang nh sau:
1
1
2
2
2
1





x
W
z
U
z
U
x
W





=

= ,
. (6.8)
Số hạng
j
xW / ở trên có bậc l )(
2
O ; nếu
)(
2

j
, (6.9)
thì
j
U không phụ thuộc vo
z
đến bậc l )(
2
O , tức
)(
2


=


z

U
j
. (6.10)
Giả sử ta sử dụng phơng trình (6.9). Tuy nhiên, hãy n
hớ rằng
thnh xoáy thẳng đứng chỉ đợc phép có bậc
)(

. Với phơng
trình (6.10), các phơng trình động lợng phơng ngang có thể
đợc xấp xỉ bằng
)(
i
ij
i
j
i
U
xx
U
U
t
U
2




1
+

=


+


. (6.11)
Tích phân phơng trình liên tục
theo phơng thẳng đứng từ
hz = đến
=z
v sử dụng các phơng trình (6.6), (6.7), ta đợc

60
0


=+


+


)]([ hU
xt
i
i

. (6.12)
Các phơng trình (6.5),
(6.11) v (6.12) tạo thnh lý thuyết
Airy về các sóng di biên độ hữu hạn, sẽ đợc bn kỹ hơn trong
chơng 11. Còn với mục đích hiện tại
i
U v

sẽ giả định l đã
biết. Ta chỉ cần chứng minh rằng li độ mặt tự do
có bậc l
O(
h). Trờng hợp đặc biệt dòng chảy ổn định 0 = t/ , phơng
trình (6.11) có thể đợc viết lại
0
2


=






+


g
UU

x
U
ii
j
j
,
điều ny có nghĩa rằng
const
2
+=
g
UU
ii
(6.13)
dọc theo đờng dòng.
Tiếp theo, xét các dao động sóng diễn ra trên nền dòng
chảy. Các t
hnh phần vận tốc
) ,( wu
i
v áp suất
p
của trờng
sóng nhỏ hơn những thnh phần tơng ứng trong dòng chảy
theo nhân tử
)(kA . Tính liên tục đòi hỏi phải có:
0

=


+


z
w
x
u
i
i
. (6.14)
Các phơng trình động lợng có
thể đợc tuyến tính hoá bằng
việc loại bỏ
2
)(kA . Tiếp theo, ta loại bỏ các số hạng tuyến tính
hoá bậc
)( kA
2
hoặc nhỏ hơn, tức l zUw
i
/ ,
ii
xWu / , v
thu đợc
ij
i

j
i
j
i
j
i
x
p
x
U
u
z
u
W
x
u
U
t
u








1

=


+


+


+


, (6.15)
z
p
z
W
w
z
w
W
x
w
U
t
w
j
j

1



=


+


+


+


. (6.16)
Các số hạng còn lại chứa
)(kA v )( kA

. Nếu lấy vi phân các

phơng trình (6.15) v (6.16), sau đó cộng các kết quả lại, loại
bỏ một lần nữa các số hạng bậc
)( kA
2
, ta có












+




=


+


z
W

z
w
x
U
x
u
z
p
xx
p
i
j
j
i
ii








2
2
22
. (6.17)
Phơng tr
ình (6.17) đợc coi nh l phơng trình mô tả áp suất
p

.
Tại đáy biển, trờng sóng cũng
không có tốc độ pháp tuyến
)(,
i
j
j
xhz
x
h
uw


=


= . (6.18)
Từ điều kiện ny, ngờ
i ta muốn rút ra một điều kiện biên đối
với áp suất
p
. Lấy vi phân phơng trình (6.18) theo
j
x v chú ý
rằng
w v
i
u đã đợc ớc lợng tại )(
i
xhz = , ta nhận đợc

)( kA
x
h
x
u
z
w
x
h
x
w
ij
i
jj
2











+

=







.
Với kết quả ny, sau khi đã sử
dụng các phơng trình (6.7),
(6.15) v (6.18), phơng trình (6.16) có thể viết lại thnh
=

+


+




=




j
j
ij
i
j
j
j
j
j
x
U
w
x
h
x

u
U
z
w
W
x
h
U
x
h
t
u
z
p














1

=+










+


+


=
)( kA
x
u
U
t
u
x
h
j
i
j
i

i
2








)( kA
x
p
x
h
ii
2





1
+




=
. (6.19)

Trên mặt tự do, điều kiện biên động học chính xác phát biểu
rằng:
wW
x
uU
t
j
jj
+=+


+++


)()()(

tại +=z .

61
áp dụng tuyến tính hoá v sử dụng phơng trình (6.6), ta đợc
z
W
w
x
u
x
U
t
j
j

j
j








+=


+


+


tại
=z
. (6.20)
Điều kiện biên động lực học: áp suất tổng không thay đổi khi nó
cùng chất lỏ
ng chuyển động dọc theo mặt tự do
+


++

++


z
p
wW
x
p
uU
t
p
j
jj






)()(
zzg
z
wW
x
uU
t
j
jj
+==

++


++


+ 0


,)()()( .
Với sự trợ giúp của phơng trình
(6.6), phơng trình trên có thể
đợc tuyến tính hoá thnh
==

+


+


+


zkA
z
W
w
x
p
ug
z
p
W
x
p
U
t

p
j
j
j
j

2












,)(
.
(6.21)
Để biểu diễn điều kiện biên chỉ đối với áp suất
p
, ta sẽ lấy vi
phân phơng trình (6.21) v sử dụng các phơng trình (6.16),
(6.20). Một lần nữa ta thấy rằng
=

+


=


z
j
i
j
i
i
i
tzxW
zx
tzxW
x
txW
x

),,(),,(),,( (6.22a)
v
=










+


=


z
iii
tzxW
zt
tzxW
t
txW
t

),,(),,(),,( . (6.22b)
Nh vậy, trên bề mặt tự do ta đợc điều k
iện biên nh sau:
,02









2
=


+

+




+










+


z
p
g
x

p
x
g
x
U
t
p
z
Wp
x
U
t
jjj
j
j
j

=z
(6.23)
trong đó các đạo hm theo
t
v
i
x đợc thực hiện trớc khi đặt
=z
.
Bây giờ ta đa ra các
biến chậm
ii
xx

=
v
tt

=
, sao cho
),( txUU
ijj
= , ),( tx
i
= , v )(
i
xhh = , v giả sử các khai triển
WKB l:

++=
/
])([),,(
iS
i
epiptzxp
10
, (6.24a)

++=
/
])([),,(
iS
ii

euiutzxu
ii

10
, (6.24b)
trong đó
v

0000
),(
),,,(),,,(
txSS
tzxuutzxpp
i
ii
ii
=
==
(6.25)
Khi các phơng trình (6
.24a) v (6.24b) đợc thế vo các phơng
trình (6.17), (6.19) v (6.23), ta thu đợc một loạt các phơng
trình nhiễu động. Nếu lấy đến bậc đại lợng
)(
0

, ta có
<<=

zh pk
z
p
0
0
2
2
0
2

, , (6.26)
==




zp
gz
p
0
0
2
0


, , (6.27)
h z
z
p
==

0


0
, , (6.28)
trong đó
jj
kU

= , (6.29)
với
2





kkk
t
S
x
S
k
ii
i
i
=

,, .
Ta sẽ tuần tự gọi

l tần số tuyệt đối v

l tần số nội tại.
Từ các định nghĩa ny, rõ rng rằng
0




=


+


i
i
xt
k
, (6.30)

62
điều ny có nghĩa các đỉnh sóng đợc bảo ton v

i
j
j
i
x
k
x
k






=


, (6.31)
tức l
k không quay. Nghiệm của các phơng trình (6.26)
(6.28) l
hk
hzk
Agp
ch
ch


0
)( +

= , (6.32)
trong đó
),( txAA
i
= ,
hh +=
l độ sâu trung bình tổng cộng v
hkgk th
2
= . (6.33)
Từ phơng trình động lợng phơng ngang (6.
15) có thể thấy

=
0
pk
u
i
o
i
. (6.34)
Ký hiệu tốc độ nhóm liên quan đến dòng chảy bằng

+

=


=
hk
hk
kk
C
h
g
2 sh
2
1
2
1



(6.35)
v
k
k
Cc
i
gg
i
= .
Tại giai đoạn ny, có

thể suy ra hai kết quả hữu dụng về động
học của sóng. Lấy vi phân phơng trình (6.29) theo thời gian v
sử dụng các phơng trình (6.30) v (6.31), ta đợc
t
h
h
t
U
k
x
CU
t
k
i
i
i
gi
i

+


=


++


)(
. (6.36)
Khi dòng chảy ổn định, tần số tuyệt đối

không thay đổi đối với
ngời quan sát di chuyển với tốc độ nhóm tuyệt đối
g
CU + . Cách
khác, ngời ta cũng có thể xuất phát từ phơng trình (6.30), sau
khi sử dụng tính không quay của
k (từ phơng trình 6.31) để
nhận đợc
ikj
i
j
j
i
gj
i
x
h

h
x
U
k
x
k
CU
t
k
j















=


++

)( . (6.37)
Về nguyên tắc, phơng trình (6.37
) có thể giải bằng số cho các
tia sóng tiếp tuyến với véctơ
k cục bộ tại mội nơi.
Bây giờ ta phân tích về biến thiên biên độ sóng
),( txA
i
.
Muốn đạt đợc điều đó, thì bậc đại lợng của bi toán phải bằng
)(

:










+


+

+


=


j
j
i
i
j
j
j
jj
j
x
U
uk
x
U
uk
x
p
kpk
x
pk
z
p
ii

00
0
01
2
2
1
2
2)( ,
<< zh , (6.38)
+

=


)()(
0
00
01
2
1






2 pk
tx
p
U
t
p
p
t
p
z
p

g
j
j
j












+


+

+


+
0
0
0




pk
x
U
U
t
U
x
p
kpk
x
UU
i
j
i
j
i
j
ii
j

ji
)(
=
















+


zpk
x
g
z
p
kU
x
U

t
j
j
ii
j
j
2
0
0









,)(
, (6.39)
v
hzp
x
h
k
z
p
j
j
=

=



0
1




, . (6.40)
Trong phơng trình (6.39), các đạo hm của
0
p theo
t
v
i
x
đợc thực hiện trớc khi đặt
),( txz
i
= . Sử dụng phơng trình
(6.22), ta có thể thu gọn vế phải của phơng trình (3.39) thnh
+

)()(
0
00
0





2 pk
tx
p
U
t
p

p
t
j
j
j


63
j
j
j
i
ji
j
j
j
ii
j
ji
x
pkg
x
U
Uk
t
U
kp
x
p
kpk

x
UU






00
0
0













+


+

+


+ )(

trong đó
0
p
bây giờ xác định tại =z trớc khi các đạo hm
đợc thực hiện theo
t v
i
x
. áp dụng công thức Green cho
0
p

v
1
p , v sau khi sắp xếp lại một chút, ta thu đợc
+

++



+







+


+

i
gigi
i
x
CU
t
EE
CU
x
E
t
ii





2
2
)()(
0
2
12

2


=

+



+
ji
gjig
j
i
C
C
k
kk
C

C
x
U
E
(6.41)
với
2
2
1
gAE =
. Nh trong chơng 10 sẽ thảo luận kỹ hơn, đại lợng

















+=
ij

gjig
ij
C
C
k
kk
C
C
ES
2
1

2
(6.42)
l một thnh phần của tenxơ ứn
g suất sóng liên quan đến các
dòng động năng trung bình trong một chuỗi sóng dạng sin.
Phơng trình (6.41) có thể viết lại thnh
+

+


+







E
CU
x
E
t
i
gi
i
)(


0
22

2
=













+








++



+
j

i
ij
i
gi
x
U
S
x
CU
t
E
i
)( . (6.43)
Bằng cách lấy đạo hm p
hơng trình (6.33) v sử dụng các
phơng trình (6.36), (6.37), (6.12), có thể chứng minh rằng
(Bretherton v Grarrett, 1968) các đại lợng trong cặp dấu ngoặc
thứ hai trong phơng trình (6.43) đồng nhất triệt tiêu, do đó
0

=







+

+







E
CU
x
E
t
i
gi
i
)( . (6.44)
Tác động sóng đợc định nghĩa với
tần số nội tại

một lần nữa
đợc bảo ton! Sử dụng chính đồng nhất thức đó, chú ý rằng
jiij
SS = , ta có thể viết lại phơng trình (6.43)
[]
0
2
1

=










+


++


+


i
j
j
i
ijgi
i
x
U
x
U

SECU
xt
E
i
)( . (6.45)
Kết quả ny lần đầu
tiên do LonguetHiggins v Stewart
(1961) rút ra v về ý nghĩa vật lý có nghĩa rằng công do ứng
suất sóng thực hiện để phát sinh dòng chảy có xu thế lm giảm
năng lợng sóng.
Nh trong mục 3.1, tham số bậc
đại lợng

có thể bỏ đi
trong các kết quả cuối cùng v các toạ độ gốc đợc giữ nguyên.
Phơng trình (6.44) l k
hởi điểm để tiếp tục phân tích. Về
nguyên tắc, ngời ta tính đợc
k
trớc tiên; khi đó phơng
trình (6.44) đợc tích phân dọc theo đờng cong tia sóng để thu
đợc biên độ của sóng. Nhằm mục đích ny, trong thực tiễn có
một số phơng pháp số (xem Dingemans, 1978). Trong mục tiếp
theo, chúng ta sẽ chỉ xét một vi thí dụ giải tích.
Luật bảo ton tác động sóng l một kết quả r
ất tổng quát
đúng đắn trong nhiều tình huống thực liên quan với môi trờng
thay đổi chậm. Thực tế phơng trình (6.44) đợc Bretherton v
Garrett (1969) rút ra cho các hệ động lực tổng quát không tiêu
hao năng lợng, bằng cách áp dụng các khai triển WKB.

3.7 Các hiệu ứng vật lý của dòng chảy đơn giản
ổn địng lên sóng
Khi dòng chảy v sóng đều ổn định, 0 = t/ , từ các phơng
trình (6.29) v (6.30) ta có
kU +== const . (7.1)
Giả sử
)(xyy = l phơng trình của một tia sóng. Với phơng
trình (7.1), phơng trình (2.5) có thể đợc giải bằng số với chú ý