CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN pptx

GIỚI HẠN
1. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG
CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN
1.
∫
x
dx
sin
= ln + C
2.
∫
cox
dx
= ln






+
42
π
x
tg
+ C
3.
∫
−
22
xa

dx
= arcsin
a
x
+ C ( a > 0)
⇒
22
xa −
dx =
2
x
+
2
2
a
arcsin
a
x
+ C
4.
∫
+
22
xa
dx
=
a
1
arctg
a

x
+ C
5. =
a2
1
ln
xa
xa
−
+
+ C ( a≠ 0)
6. = ln
xax
++
2
+ C
⇒

∫
+ ax
2
dx =
2
x
ax +
2
+
∫
x
dx

sin
ln
axx ++
2
+ C
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ:
1.
∫
− ax
A
dx = A ln
ax −
+ C
2.
( )( )
∫
++ bxax
dx
=
ba −
1
ln
ax
bx
+
+
+ C
3.
∫
++ cbxax

dx
2
=
a
1
∫
−
+






+
2
2
2
4
4
2
a
bac
a
b
x
dx
* Nếu
∆
= b

2
– 4ac < 0
đặt
2
2
4
4
a
bac −
= k
2
> 0 và x +
a
b
2
= u
⇒
I =
a
1

∫
+
22
ku
du
=
ak
1
arctg

k
u
+ C với k =
a
bac
2
4
2
−
⇒
I =
2
4
2
bac −
arctg
2
4
2
bac
bax
−
+
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
1.
∫
nxdxmx cossin
;
∫
nxdxmxsinsin

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng rồi lấy tích phân của một tổng số.
2. I =
( )
dxxxR
∫
cos,sin
với R (u,v) là hàm hữu tỉ theo u,v
đặt t = tg
2
x

⇒

2
x
= arctg t
⇒
x = 2arctg t
⇒
dx =
2
1
2
t
tdt
+
dx =
2
1
2

t+
dt . Ta có sinx =
2
1
2
t
t
+
, cosx =
2
2
1
1
t
t
+
−
3.
∫
xdxx
nm
cossin
a. Nếu ít nhất một trong 2 số m, n lẻ:
Nếu m lẻ: ta đặt t = cosx ; nếu n lẻ ta đặt t = sinx
b. Nếu m, n đều chẵn ta đặt t = tg x
c. Nếu m, n đều chẵn và dương ta dùng công thức sau để biến đổi hàm dưới dấu tích phân:
sin
2
x =
2

2cos1 x−
cos
2
x =
2
2cos1 x+
sinx cosx =
2
1
sin2x
4. hay
∫
coxnxdxxP )(
trong đó P(x) là 1 đa thức
Dùng pp tích phân từng phần bằng cách đặt:
u = p(x)
⇒
du = P’(x) dx
dv = sinmxdx
⇒
v =
m
1
cosmx
Ta được
∫
mxdxxP sin)(
= - P(x)cosx +
m
1

∫
mxdxxP cos)('
Lại tiếp tục tích phân từng phần ta sẽ hạ bậc đa thức và cuối cùng đi đến tích phân
∫
coxnxdxxP )(
hoặc
∫
mxdxxP sin)(
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
1. =
dxxR
m
∫








+
+
δγ
βα
,
R(x,y) là hàm hữu tỉ, : hằng số
Đặt
δγ

βα
+
+
m
= t
⇒
δγ
βα
+
+
t
m
hay = φ(t)
⇒
dx = φ’ (t) dt. Do đó
dxxR
m
∫








+
+
δγ
βα

,
=
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.Phương trình vi phân tách biến:
dạng: f
1
(x).dx + f
2
(y)dy = 0 (1) hoặc y’ = f(x) với f
1
(x), f
2
(y) là các hàm liên tục
Cách giải: từ (1)
⇒
f
2
(y)dy = - f
1
(x)dx. Lấy tích phân 2 vế:
⇒
∫
f2(y)dy
= -
∫
f1(x).dx
+ C
2. Phương trình vi phân đẳng cấp:
dạng: y’ = f







x
y
(2)
đặt u =
x
y
trong đó u là hàm theo x.
⇒
ux = y
⇒
u’x + u = y’ (6)
Ta có (6)
⇒
u’x + u = f(u)
⇒
u’x = f(u) – u

⇒

dx
xdu
= f(u) – u
* Nếu f(u) – u ≠ 0 ta chia 2 vế
uuf
du

−)(
=
x
dx
Lấy tích phân 2 vế:
∫
− uuf
du
)(
=
∫
x
dx
+ ln
c
* Nếu f(u) - u = 0
⇒
f(u) = u
Từ ý =
x
y

⇒

x
dy
=
x
dx
Lấy tích phân 2 vế

∫
y
dy
=
∫
x
dx

⇒
ln
y
= ln
x
+ C
⇒
y = Cx
3. Phương trình vi phân tuyến tính:
dạng : ý + P ( x) y = q (x) (1) (không thuần nhất)
ý + P ( x) y = 0 ( thuần nhất)
Cách giải 1: Nhân 2 vế của (1) cho e
∫
dxpx)(
ta có:
y’ e

+ P (x) dx e
∫
dxpx)(
. y = q (x) e
∫

dxpx)(
. Lấy tích phân 2 vế ta có:






∫
e.
p(x)dx
y
’
x
=
∫
∫
e (x) q
p(x)dx
dx + C
y = e
−
∫
dxpx)(
.
∫
∫
e (x) q
p(x)dx
dx + C

Cách giải 2: giải phương trình (2) ( thuần nhất) ta được nghiệm tổng quát
y = C. e
−
∫
dxpx)(
( 3) Dùng pp biến thiên hằng số Lagrante
Trong biểu thức ( 3) ta coi C = C (x)
⇒
y = C (x) . e
−
∫
dxpx)(
thay vào (1) ta tìm được C (x) rồi thay C (x) vào y ta nhận
được nghiểm tổng quát của phương trình ( 1) có dạng:
y = e
−
∫
dxpx)(

THỐNG KÊ
1. Nếu cho dạng 2 cột X, Y thi công thức như sau: