Phần 1: Lý thuyết-Đạo hàm riêng đạo hàm hợp đạo hàm ẩn pps

1

PHẦN I LÝ THUYẾT
ĐẠO HÀM RIÊNG ĐẠO HÀM HỢP ĐẠO HÀM ẨN
ĐẠO HÀM RIÊNG
Coi hàm z=z(x,y)xác định và liên tục tại M
0
(x
0
,y
0
)nếu cho biến y=y
0
không
đổi,lúc này hàm z(x,y) là hàm một biến theo x và ta có thể lấy đạo hàm 1 biến
(đã biết) theo biến x
0
0 0 0
'
0 0
0
( , ) ( , )
lim ( , )
x
x
z x x y z x y
z x y
x
 
  




Và ta kí hiệu
'
x
z
z
x



là đạo hàm riêng theo biến x
Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng theo biến y:
'
y
z
z
y




Ví dụ
2
' 2 '
, 2 1
x y
z xy y z y z xy
     

ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC CAO
a-đạo hàm hỗn hợp
Lấy đạo hàm theo biến x của hàm
'
( , )
y
z x y
ta được
''
( , )
yx
z x y
là đạo hàm 2 lần theo
biến y trước rồi tới biến x sau.Vậy thì giữa
''
( , )
xy
z x y
và
''
( , )
yx
z x y
có khác nhau
không?
Định lý (Schwarz)
Giả sử
' ' ''
, ,

x y xy
z z z
tồn tại lien tục thì có
''
yx
z
và
'' ''
xy yx
z z


Ví dụ
3 4 '' 2 3 '' 2 3
yx
12 , 12
xy
f x y f x y f x y
   

b-tương tự ta có thể lấy đạo hàm cấp n theo biến x,cấp m theo biến y kí hiệu
là
n m
n m
x y
f

và có tất cả



!
! !
n m
n m

cách biểu diễn
n m
n m
x y
f



2

ĐẠO HÀM HỢP
1 1 1
( , , ) , ( , , ) , ( ) ( , , )
m m
m m n
t t t R x x x R z z x z x x R
      

( ) ( )
m n
R t x x t g t R
   

ta có đạo hàm hợp của z
0

g(t) như sau:
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
1 2
' ' ' ' ' ' '
1 2
' ' ' ' ' ' '
1 2
' ' ' ' ' ' '
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )


( ) ( ) ( )
n
n
m m m n m
t x t x t x n t
t x t x t x n t
t x t x t x n t
z z x z x z x
z z x z x z x
z z x z x z x
   
   
   

Ta có thể viết đạo hàm hợp của z
0

g(t)dưới dạng ma trận như sau:
1 1
1 2
1 2 1 2
1 2
1 0 1 1
' ' '
1 1 1
' ' '
2 2 2
' ' ' ' ' '
' ' '
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m
m
n n
m
m n n m m
t t t
t t t
t t t x x x
n t n t n t
M z g z g M M M
x x x
x x x
z z z z z z
x x x

   
       
 
 
 
   

 
   
 
 
 


 
   


Ví dụ
2 3 2 2 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( , ) ,( , ) (3 , )
z z x z x x x x x x t t t t
      

Tính
1 2
' '
,
t t

z z

1 2
1 2 1 2
1 2
' '
1 1
2
' ' ' ' 2
1 2
3
' '
1 2
2 2
( ) ( )
3 2
2 3
2 4
( ) ( )
t t
t t x x
t t
x x
t
z z z z x x
t t
x x
 
 
   

 
  
 
 
 
   
 
 
 

1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
' ' ' ' ' 2 2 2 4 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2
' ' ' ' ' 2 3 2 2 4 2 3
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2
( ) ( ) 2 3 ( 3 ) 2 18 6 6( )
( ) ( ) 2 2 ( 3 ) 4 4(3 ) 12( )
t x t x t
t x t x t
z z x z x x x t t t t t
z z x z x x t x t t t t t t t
          
          

Chú ý:
Các công thức về các đạo hàm bậc cao hỗn hợp như
2
'' '''
, ,

uv
v u
z z
rất khó biễu diễn bằng công thức tổng
quát ,nhưng trong bài toán cụ thể ta có thể chuyển biến x,y về biến u,v sau đó lấy đạo hàm theo biến u,v.

3

Câu 1: Tìm vi phân cấp 1 của hàm z=x
2
+4
y

'
'
2
4 ln 4
2 4 ln 4
x
y
y
y
z x
z
dz xdx dy


  

Câu 2:Tìm vi phân cấp 1 của hàm

ln( )
z x y
 

'
'
1
2( )
1
2( )
1 1
2( ) 2( ) 2( )
x
y
z
x y
z
x y
dx dy
dz dx dy
x y x y x y






   
  

Câu 10:tìm vi phân cấp 2 d
2
z của hàm hai biến z=x
2
+xcos
2
y
2
2
' 2 ''
' ''
'
2 2 2
2 os , 2
sin 2 , 2 cos 2
sin 2
2 2sin 2 2 cos2
x
x
y
y
xy
z x c y z
z x y z x y
z y
d z dx ydxdy x ydy
  
   
 
   

Câu 11:Tìm vi phân cấp 2 của hàm hai biến:z=x
2
y
3

2
2
' 3 '' 3
' 2 2 '' 2
' 2
2 3 2 2 2 2
2 , 2
3 , 6
6
2 12 6
x
x
y
y
xy
z xy z y
z x y z x y
z xy
dz y dx xy dxdy x ydy
 
 

  

Câu 41 Tìm cực trị của hàm
2
( 1) 3 2
z x y x
   
với điều kiện x-y+1=0

4

2
'
' 2
'
1 2
( 1) 3 2 ( 1) 0
1
2
2 ( 1) 3 0
1
0
1
1
0
1
( 1,0), (1,2)
x
y
L x y x x y
x
y

L x y
L x
x
L x y
y
M M






       
 







    





   

 





  










 

Tại M
1
(-1,0)
2 2
'' '' ''
2 2
2, 0, 2
2 4
xy
x y
L L L
dz dx dxdy
    

   

Mà :
2 2 2
1 0
2 4 6 0
x y
dx dy dz dx dxdx dx
  
        

Vậy tại M
1
(-1,0) hàm số đạt cực đại
Tại M
2
(1,2)
2 2
'' '' ''
2
0, 0, 2
4
xy
x y
L L L
dz dxdy
  
 

Mà :

2 2
1 0
4 4 0
x y
dx dy dz dxdx dx
  
     

Vậy tại M
2
(1,2)hàm số đạt cực tiểu
Câu 42:Tìm cực trị của hàm
2 2
2 2 2
z x y y
   
với điều kiện
1 0
x y
   

2 2
2 2 2 ( 1) 0
L x y y x y

        


5

'
'
'
2
3
4 0
1
2 2 0
3
1 0
8
3
x
y
x
L x
L y y
L x y








  





     
 
 
    






2 1
( ; )
3 3
M



Ta có:
2 2
'' '' ''
2 2 2
4, 2, 0
4 2
xy
x y
L L L
dz dx dy
  
  

Mà
2 2 2 2
x y 1 0
4 2 6 0
dx dy
dz dx dx dx
     
    

Vậy tại
2 1
( ; )
3 3
M

hàm số đạt cực tiểu
PHẦN II TÍCH PHÂN BỘI
Câu 50:Xác định cận của tích phân
( , )
D
I f x y dxdy


trong đó D là miền giới hạn bỡi các
đường
2
2, 3
y x y x
  

Phương trình hoành độ giao điểm
2
1
2 3
2
x
x x
x


  




Trong đoạn [1;2] ta có y=3x > y=x
2
+2 do đó:
2
2 3
1
2
( , ) ( , )
x
D
x
I f x y dxdy dx f x y dy

 

  


6

Câu 51 Xác định cận của tích phân
( , )
D
I f x y dxdy


trong đó D là miền giới hạn bỡi các
đường x=3;x=5;3x-2y+4=0;3x-2y+1=0
Ta có
1 2
1 2 1 2
3 4 3 1
,
2 2
3 4 3 1
1.5 0
2 2
x x
y y
x x
y y y y
 
 
 
      

Do đó
3 4
5
2
3 1
3
2
( , ) ( , )
x
x
D
I f x y dxdy dx f x y dy


 
  

Câu 52:Xác định cận của tích phân
( , )
D
I f x y dxdy


trong đó D là miền giới hạn bỡi các
đường
2 2
: 1, 0, 0
D x y x y
   

Ta có:
2
1
y x
  
vì
0, 0
x y
 
nên
2
1 1
0 0
( , ) ( , )
x
D
I f x y dxdy dx f x y dy

 
  

Câu 60 Đổi thứ tự tích phân
2
2
1 1
( , )
x
I dx f x y dy


 

Ta có
1 1
1
2 2
2
2 2
1
1 1
1
& &
2
4
x
y y
x
x
y x y x
x y

 


 



   


   


 


Vậy
2
2 4
1 1 1 1
( , ) ( , )
y
x
I dx f x y dy dy f x y dx
 
   

Câu 61 Đổi thứ tự tích phân
2 4
1 2
( , )
x
I dx f x y dy


 

Ta có

7

1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 2 1
& &
2 4 3 4
x y y x
x y x y x y
   
   

   
     
   

Vậy
4
2 4 3
1 2 2 1
( , ) ( , )
y
x
I dx f x y dy dy f x y dx


 
   

Câu 62:Đổi thứ tự tích phân
3

1
0 0
( , )
x
I dx f x y dy

 

Ta có
1
1
1 1
3
3
2 2
2
2
0
0
0 0
& &
1 1
x
y
x y
x y
y x
x y

 

 

 


   
 



 



Vậy
3
3
1 1
0 0 0 0
( , ) ( , )
y
x
I dx f x y dy dy f x y dx
 
   

Câu 80:Tính tích phân
2
1
2

0 0
3
y
xy
I dy y e dx

 

 
2
2
3 3
1 1 1
1
2 2 2 2 3
0
0 0 0 0
0
3 3 (3 3 ) 2
y
y
xy xy y y
I dy y e dx y e y e y dx e y e
       
   

Câu 81 Tính tích phân
1 2
0 0
3( )

x
I dx x y dy
 
 

1 2 1 1
2
1
2 3
0
0 0 0 0
3( ) 3 ( ) 3 4 4 4
2
x
y
I dx x y dy xy dx x dx x
      
   

Câu 82 Tính tích phân
0 0
3 sin
x
I dx x ydy


 

2
1

0 0 0 0
0
3
3 sin 3 cos (3 cos 3 )
2
x
x
I dx x ydy x y dx x x x dx I
  

       
   

Tính I
1

1
0 0
0
3 cos 3 sinx 3sin 6
I x xdx x xdx

 
     
 


8

2

3
6
2
I

  

Câu 90 Tính tích phân
ln
D
x
I ydxdy
y


trong đó D là hình chữ nhật
0 2,1
x y e
   

2
2
2
0
1
0 1
ln
ln ln 2
e
e

D
x y
I ydxdy xdx dy x y
y y
   
  

Câu 91 Tính tích phân
5 10
sin cos
D
I x ydxdy


trong đó D là là hình chữ nhật
0 2 ;0
4
x y


   

2
4
5 10 2 2 10
0 0
sin cos (1 os ) sin x os
D
I x ydxdy c x dx c ydy



  
  

Vì tích phân
2
2 2
0
(1 os ) sin x
c x dx



=0 nên I=0
Câu 92 Tính tích phân
x y
D
I e dxdy



trong đó D là hình vuông
0 1;0 1
x y
   

 
1
1 1
1

1 1 2 2
0
0 0
0
( ) 1 ( 1)
x y x y x x x x
D
I e dxdy e dx e e dx e e e e e e
   
           
  

Câu 100 tính tích phân


D
I x y dxdy
 

trong đó D là miền được giới hạn bỡi các đường
x=-1,x=0,y=0,y=2
 
2
0 2 0 0
2
1 0 1 1
0
( ) (2 2) 1
2
D

y
I x y dxdy x y dxdy xy dx x dx
  
 
        
 
 
   

Câu 101 Tính tích phân
D
I dxdy


trong đó D là miền định bỡi D:
0 ;0
x a y x
   

3
3
2
0 0 0
0
2 2
3 3
a
a x a
D
I dxdy dx dy xdx x a

    
   


9

Câu 102 tính tích phân
D
y
I dxdy
x


trong đó D là miền định bỡi D:
2 4; 2
x x y x
   

2
4 2 4 4
2
4
2
2
2 2 2
1 3 3
9
2 2 4
x
x

D x
x
y y y
I dxdy dxdy dx xdx x
x x x
 
     
 
 
    

Câu 110 Tính tích phân
y
x
D
I e dxdy


trong đó D là tam giác giới hạn bỡi các đường
x=1,y=0,y=x
 
1 1 1
0 0 0 0
0
1
2
x
x
y y y
x x x

D
e
I e dxdy e dxdy x e dx xe x dx
 

     
 
 
   

Câu 111 Tính tích phân
D
I xdxdy


trong đó D là tam giác với các đỉnh
O(0;0);A(1;0);B(1;0)
1
1 1 1
2 3
0 0 0
0
1
(1 )
2 3 6
x
D
x x
I xdxdy xdxdy x x dx


 
      
 
 
   
với y=1-x là phương trình AB
Câu 112 tính tích phân
2
D
I xydxdy


trong đó D là miền giới hạn bỡi đường thẳng y=x
và parabol
y x


Phương trình hoành độ giao điểm
1
2
0
1
x
x x
x


 





Mặt khác trên đoạn [0;1] đường
y x

nằm trên đường
y x

nên ta có tích phân:
 
1 1 1 1
2 2
2 3
0 0 0 0
1
2 2 2 2 ( )
2 2 12
x
x
D x
x
y x x
I xydxdy xydxdy x dx x dx x x dx
 

      
 
 
     

Câu 120 Tính tích phân
2
1
1
2 2
0 0
( )
y
I dx x y dy

 
 

Vì tích phân được giới hạn bỡi
1
4
đường tròn thuộc góc phần tư thư nhất nên ta đặt

10

os
,0 1,0
sin
2
x rc
J r r
y r







     




2
1
1 1
2
2 2 2
0 0 0 0
( )
8
y
I dx x y dy d r rdr




   
   

Câu 121 Tính tích phân bội 2
2 2
D
I x y dxdy
 


trong đó D là phần hình tròn
2 2
4
x y
 
thuộc góc phần tư thứ nhất
Đặt:
cos
;0 2;0
sin
2
x r
J r r
y r






     




2
2
3
2 2

2 2
0 0 0
0
4
3 3
D
r
I x y dxdy d rrdr d
 

 
 
    
 
 
   

Câu 122 Tính tích phân
2
2
2 4
0
4
x
x
I dx dy

 

 

Tích phân được giới hạn bỡi đường tròn
2 2
4
x y
 
nên đặt :
cos
;0 2;
sin
2 2
x r
J r r
y r

 





     




2
2
2 4 2
2

0 0
4
2
2
x
x
I dx dy d rdr


 


 
  
   

Câu 130 Tính diện tích của miền giới hạn bỡi các đường
2
2 1; 1 0
y x x x y
     

Hoành độ giao điểm

1
2
1
0
x
x

 





Dựa vào đồ thị ta có

11

2
0 1 0
2
1 1
2 1
1
( )
6
x
x x
S dx dy x x dx

 
 
    
  


Câu 131
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bỡi các đường

; 2
y x x y x
  


Hoành độ giao điểm
1
2
0
1
x
x






dựa vào đồ thị ta có
 
1
1 2 1
2
3
0 0
0
2 1
2 3 6
x
x x

x
S dx dy x x dx x

 
     
 
 
  





12


Câu 132 Tính diện tích của hình
Phẳng giới hạn bỡi các đường
; ; 1
x x
y e x y e x x

    


Hoành độ giao điểm
1
2
0
1

x
x






Dựa vào đồ thị ta có
 
1 1
0 0
1
2
x
x
e x
x x
e x
S dx dy e e dx e
e




     
  


TÍCH PHÂN BỘI 3

Câu 140 Xác định cận của tích phân
( , , )
f x y z dxdydz


trong đó Ω là miền giới hạn bỡi
các mặt x=1;y=2;z=1;z=2;x=0;y=0
1 2 2
0 0 1
( , , ) ( , , )
I f x y z dxdydz dx dy f x y z dz

 
   


13

Câu 142 xét tích phân bội ba
( , , )
f x y z dxdydz


trong đó Ω là miền trong không gian được
giới hạn bỡi các mặt
2 2
0; 1; 0; 1; 0;
x x y y z z x y
      

2 2
1 1
0 0 0
( , , ) ( , , )
x y
I f x y z dxdydz dx dy f x y z dz


 
   

Câu 150 tính tích phân bội 3
sin 2
x ydxdydz


trong đó Ω là miền:
0 1;0 ;0 2
2
x y z

     

1 2 2
2 2
0 0 0 0 0
sin 2 sin 2 2sin 2 1
I x ydxdydz dx dy x ydz xdx ydy
 


   
     

Câu 151 Tính tích phân bội ba
z
xye dxdydz


trong đó Ω là miền:
0 1;0 2;0 ln3
x y z
     

1 2 ln3
0 0 0
3
z z
I xye dxdydz xdx ydy e dz

  
   

Câu 160 Tính tích phân
cos
I xy zdxdydz



trong đó Ω là hình hộp
0 1;0 2;0

2
x y z

     
 
1
2
1 2
2 2
2
2
0
0 0 0
0 0
cos cos sin 1
2 2
x y
I xy zdxdydz xdx ydy zdz z



   
   
   
   
   

Câu 161:Tính tích phân
2
( 1)

I x y tgzdxdydz

 

trong đó miền Ω
1 1;0 2;0
4
x y z

      

 
 
1
2
1 2
2 3
4
2 2
4
0
1 0 0
1 0
( 1) 1 ln(cos ) 0
2 3
x y
I x y tgzdxdydz xdx y tgzdz y z


 


   
       
   
   
   


14

Câu 170 Cho Ω là phần hình trụ
2 2
1;1 4
x y z
   
Đặt:
( , , )
I f x y z dxdydz



Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân
Đặt:
cos
sin 0 2 ;0 1;1 4
x r
y r r z
z z

  




       





2 1 4
0 0 1
( , , ) ( os , sin , )
I f x y z dxdydz d rdr f rc r z dz

  

 
   

Câu 171 Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân
( , , )
I f x y z dxdydz



trong đó Ω là miền giới hạn bỡi các mặt
2 2 2 2
2 , , 0
x y x z x y z
    

Đặt:
2
2 2 2
cos
sin ; ;0 2 os ;0
2 2
x r
y r J r r c z r
z z x y r

 
  
 


        


   



2
2 os
2
0 0
2
( , , ) ( os , sin , )
c

r
I f x y z dxdydz d rdr f rc r z dz



  


 
   

Câu 172 Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân
2 2
( , )
I f x y z dxdydz

 

; trong đó Ω là phần chung cua hai hình cầu
 
2
2 2 2 2 2 2 2
,
x y z R x y z R R
      

Ta có
2 2 2
1
( )

z R x y
  
và
2 2 2
2
( )
z R x y R
   

Dựa vào đồ thị ta tính được

15

2
2
3
4 2
R
r R R
  





Đặt:
2 2 2 2 2
cos
3
sin ;0 2 ;0 ;

2
x r
y r J r r R R r z R R r
z z

  



           





2 2
2 2
3
2
2
2 2 2
0 0
( , ) ( , )
R
R r
R R r
I f x y z dxdydz d rdr f r z dz





 
  
   

Câu 180 Gọi V là thể tích miền Ω phần nằm trong mặt nón
2 2
z x y
 
được giới hạn
bỡi mặt cầu
2 2 2 2
x y z a
  

Đặt
2
sin os
sin sin sin ;0 2 ;0 ar cos ;0
4
cos
x c
z
y J c a
z
  

        

 




         





2
4
2
0 0 0
sin
a
V d d d


    
 
  

Câu 181 gọi V là thể tích miền Ω được giới hạn bỡi các mặt
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
; (0 );
x y z a x y z b a b z x y
         

2
sin os

sin sin sin ;0 2 ;0 ar cos ;
4
cos
x c
z
y J c a b
z
  

        

 



         






16

2
4
2
0 0
sin
b

a
V d d d


    
 
  

Câu 182 Tính thể tích V của vật thể Ω:
0 1;0 2 ;0
x y x z y
     

2 1
1 2 1 2 1
2 3
0 0 0 0 0 0
0 0
2 2
2 3 3
x
y
x x
y x
V dx dy dz dx ydy dx
   
    
   
   
     

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Câu 190 Tính tích phân đường
( )
C
I x y dl
 

trong đó C có phương trình x+y=1,
0 1
x
 
.
'2 2
1 ( ) 1 ( 1) 2
ds y x dx dx
     

1
0
( ) ( (1 )) 2 0
C
I x y dl x x dx
     
 

Câu 192 Tính tích phân đường
5 2
C
I x y dl



trong đó C có phương trình y=x,
0
x a
 

'2
1 ( ) 2
ds y x dx dx
  

5 2 5 2 8
0
2
2
8
a
C
I x y dl x x dx a
  
 

Câu 201 Tính tích phân đường
2
(2 3 )
C
I x y dl
 


trong đó C là đoạn thẳng nối các điểm
A(0,0) và B(1,1)
Phương trình AB:y=x
'2
1 ( ) 2
ds y x dx dx
  

1
2 2
0
(2 3 ) (2 3 ) 2 2 2
C
I x y dl x x dx    
 


17

Câu 212 Tính tích phân đường
L
I xydl


trong đó L là đường biên của tam giác với các
đỉnh A(-1,0),B(0,1) và C(1,0).
0 1
1 0
1 1 1 1
(1 ) (1 ) 0 0

2 3 2 3
L AB BC AC
I xydl xydl xydl xydl x x dx x x dx

              
     

Câu 220:Tính khối lượng M của đoạn thẳng AB với A(-2,0);B(0,-2) và tỉ số tuyến tính là
2
( , ) ( )
x y x y

 

Phương trình AB y=-x-2
0
2
2
( , ) ( ( 2)) 2 8 2
AB
M x y ds x x dx


     
 

Câu 221: Tính khối lượng M của đoạn thẳng AB trong đó AB là phần đường thẳng
x+y=a(a>0) được giới hạn bỡi các trục tọa độ và có tỉ khối tuyến tính là
1
( , )x y

x y




0
1
( , ) 2 2
a
AB
M x y ds dx
x a x

  
 
 

Câu 222 Cho điểm A(0,1) và B(1,1) tính tích phân đường
3 3
(2 4 1) (2 4 1)
AB
I xy x dx xy y dy
     


Lấy theo đường y=1 đi từ điểm A đển B
y=1 nên dy=0dx
1
3 3 3
0

(2 4 1) (2 4 1) (2 4 1) 3
AB
I xy x dx xy y dy x x dx
         
 

Câu 230 Tính tích phân đường loại 2
2
(4 1) 2( 1)
OA
I x y dx x dy
   

ở đây OA là cung
parabol
2
4
x
y 
từ O(0,0) đến A(2,1)
Ta có
2
xdx
dy 


18

2
2

2 2
0
(4 1) 2( 1) (4 1) 2( 1) 0
4 2
OA
x xdx
I x y dx x dy x dx x
         
 

Câu 232 Tính
2 2
4 ( ) 2( )
OA
I x x y dx x y dy
   

lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến
A(2,1).
Phương trình OA:
2 2
x dx
y dy  

2 2
2 2 2 2 3 2
0 0
4 ( ) 2( ) 4 ( ) 2( ) (4 3 ) 9
2 2 2 2
OA

x x dx x
I x x y dx x y dy x x dx x x x dx
            
  

Câu 240 Tính tích phân đường
AB
I ydx xdy
 

lấy theo đường
2
2 1
y x
 
từ A(0,1) đến
B(1,3)
Ta có
4
dy xdx


1 1
2 2 2
0 0
(2 1) 4 (6 1) 4
AB
I ydx xdy x dx x dx x dx
        
  

Câu 241 Cho
2 2 2
( ) ( )
C
I x y dx x y dy
   


,trong đó C là biên của hình tròn D.
2 2 '
( ) 2
y
P x y P y
   

2 '
( ) 2( )
x
Q x y Q x y
    

Áp dụng công thức GREEN ta có
2 2 2 ' '
( ) ( ) ( ) 2
x y
C D D
I x y dx x y dy Q P dxdy xdxdy
      
  



Câu 250 cho C là elip
2
2
1
16
x
y
 
tính tích phân đường loại hai:
(3 4cos ) (4 5cos )
C
I y x dx x y dy
   



P=3y-4cosx;Q=4x+5cosy

19

' '
(3 4cos ) (4 5cos ) ( )
x y
C C C
I y x dx x y dy Q P dxdy dxdy
      
  


Đặt
4 cos
4 ;0 1,0 2
sin
x r
J r r
y r





    




2 1
0 0
4 4
I d rdr

 
 
 

Câu 251 cho C là hình tròn
2 2
( 1) ( 2) 4

x y
   
Tính tích phân đường loại hai
(2 )
y y
C
I e dx x e dy
  



, (2 )
y y
P e Q x e
  

' '
( ) 2
x y
C C
I Q P dxdy dxdy
   
 

Đặt
1 cos
;0 ,0 2,
2 sin
x r
r J r

y r

 

 

    

 


2
0 0
2 4
I d rdr

 
  
 

Câu 262 Tính tích phân đường
(2,3)
( 1,2)
I ydx xdy

 


Phương trình AB
7

3 3
x
y
 

(2,3)
2 2
( 1,2) 1 1
7 2 7
( ) ( ) 8
3 3 3 3 3
x dx
I ydx xdy dx x x dx
  
       
  

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
Câu 280 Tính tích phân mặt loại 1
s
I ds


trong đó S là mặt
2 ,0 1,0 2
z x x y
    


20

   
1 2 1 2
2 2
' '
0 0 0 0
1 5 2 5
x y
I z z dxdy dxdy    
 

Câu 282 Tính tích phân mặt loại 1
2
( )
S
I xy y yz ds
  

trong đó s là mặt
1,0 1,0 2
x y z y x
      

   
2 1 2 1
2 2
2 ' '
0 0 0 0
( (1 )) 1 3 3
x y

I xy y y x y z z dxdy ydxdy        
 

Câu 290 Tính
(3 4 )
S
I x y z ds
  

trong đó s là mặt
2 2
3 4 3 0; 1
x y z x y
     

(3 4 (3 3 4 ) 26
s
I x y x y dxdy
    


Đặt
cos
0 2 ;0 1;
sin
x r
r J r
y r

 




     




2 1
0 0
3 26 3 26
I d rdr

 
  
 

Câu 291 Tính
3
S
I xds


trong đó s là mặt
0, 1, 0; 0
z x x y x y
     

1 1
0 0

2
3 3 2
2
x
S
I xds xdxdy

  
  

Câu 300 Tính tích phân mặt loại 1:
s
I xyzds


trong đó s là mặt của hình lập phương
[0,1] [0,1] [0,1]
 

1 1
0 0
1
4
s
I xyzds xydxdy
  
 

Câu 302 Tính tích phân mặt loại 1:
( )

S
I x y z ds
  

trong đó S là mặt
2,0 1,0 1
x y z x y
      


21

1 1
0 0
( ) ( (2 )) 3 2 3
S
I x y z ds x y x y dxdy        
 

Câu 310 Tính diện tích S của mặt
2 2 1,0 1,0 2
x y z x y
      

1 2
0 0
1 4 4 6
S dxdy
   


Câu 312 Tính diện tích S của mặt
2 2
2
x y x
 
,z=2
2cos
2
0
2
S d rdr



 

 
 

Câu 320 Tính diện tích s của mặt
0, 1, 0, 0
x y x y x y
     

1
0 1
2
x
x

S dxdy

 
 

Câu 321 Tính diện tích S của mặt
2 2
2 2 1; 1
16 9
x y
x y z
    

2 1
0 0
12 1 4 4 36
S d r dr

 
   
 

Câu 322 Tính diện tích S của mặt
2 1, 1, 0, 0
x y z x y x y
      

1 1
0 1 2
3

1 4 1
2
x
x
S dxdy


   
 

Câu 331 Tính tích phân mặt
S
I dxdy


trong đó S là mặt trên của mặt
2 2
2
x y
 
,z=4
Vì
cos( , ) cos 0
n z

 
 

Nên ta có
2 2

0 0
2
S
I dxdy rdr


  
  

Câu 340 Tính tích phân mặt
s
I dxdy


trong đó S là mặt dưới của mặt

22

2
2
1, 2
9
y
x z
  

Vì
cos( , ) cos 0
n z


 
 
nên
2 1
0 0
3 3
S
I dxdy d rdr

 
    
  

Câu 341 Tính tích phân mặt
S
I dxdy


trong đó S là mặt trên của mặt
2 2 2
4, 0
x y z z
   

cos( , ) cos 0
n z

 
 
nên

2 2
0 0
4
S
I dxdy d rdr

 
  
  

Câu 350 Tính tích phân mặt
( 2 )
S
I zdxdy xdydz ydzdx
  

trong đó S là mặt biên ngoài
của hình hộp
: 0 1,0 2,0 3
x y z
      

Ta có
, 2 ,
z x y
R z P x Q y
  

Vậy
1 2 3

' ' '
0 0 0
( 2 ) ( ) (2 1 1) 24
x y z
S S
I zdxdy xdydz ydzdx P Q R dxdydz dx dy dz
         
    

Câu 351 Tính tích phân mặt
( 3 3 )
S
I zdxdy xdydz ydzdx
  

trong đó s là mặt biên ngoài
của hình trụ
2 2
: 4,0 4
x y z
    

Ta có
, 3 , 3
z x y
R z P x Q y
   

2 2 4
' ' '

0 0 0
( 3 3 ) ( ) 16
x y z
S S
I zdxdy xdydz ydzdx P Q R dxdydz d rdr dz

 
       
    

Câu 360 Tính
(3 2 )
S
I xdxdy xdydz ydzdx
  

trong đó S là mặt biên ngoài của ellipsoid
2 2
2
: 1
4 9
y z
x
   

Ta có
3 , 2 ,
z x y
R x P x Q y
   

23

2 1
' ' ' 2
0 0 0
(3 2 ) ( ) 2.3. sin 8
x y z
S S
I xdxdy xdydz ydzdx P Q R dxdydz d d r dr
 
   
       
    

Câu 361 Tính
(4 3 )
S
I zdxdy ydydz ydzdx
  

trong đó s là mặt biên ngoài của ellipsoid
2 2
2
: 1
4 9
y z
x
   

Ta có
4 , 3 ,
z x y
R z P y Q y
   

2 1
' ' ' 2
0 0 0
(4 3 ) ( ) 3 2.3. sin 24
x y z
S S
I zdxdy ydydz ydzdx P Q R dxdydz d d r dr
 
   
       
    

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Câu 370 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 2xydx+dy=0
2
2xydx dy 0
2 2
ln
dy dy
xdx xdx
y y
x y C
 

     
  
 

Câu 381 Chọn cách đổi biến đúng,thích hợp để giải phương trình vi phân
2 2
'
2
x y
y
y xy



(1)
Chia tử và mẫu (1) cho xy (1) trở thành
'
1
x y
y x
y
y
x




Đặt y=ux ,
3
' ' '

2
1
1
1 ( )
u
u
u
y u xu u
u x u u


    
 

Câu 382 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
2
'
2
y y
y
x x
 

Đặt y=ux

24

' ' 2 2
2
1

ln
ln
du du dx
y u xu u u x u
dx u x
x
x C y
u C x
          
    

 

Câu 390 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn
phần
( ln ) 0
x
x dy y y dx
y
 
   
 
 

=P(x,y) y lny ( ln ) yx ln ( )
u
u y y dx x y C y
x

       




' '
( ) ( , ) ( )
( ) ln
yx ln ln yx 2 ln
u x x
x C y Q x y x C y
y y y
C y x y C
u x y x y C x y C

       

   
       

Câu 392 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
'
2 0
y
y
x
 

Đặt y=ux
' '
3 3
2

2 3
3
ln ln ln ln ln
du du dx
y u xu u x u
dx u x
C
u x C x u C y
x
         
       
 

Câu 400 tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1+sinx)y’+ycosx=0(1)
(1)trở thành
'
cos
0
1 sinx
x
y y
 


cos
( )
1 sinx
1
( )
1 sinx

x
dx
p x dx
A x e e





  


( ) 0
1 sinx
C
Q x y  


Câu 410 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy’+2y=3x

25

'
xy’ 2y 3x 2 3
y
y
x
    

2

( )
2
1
( )
dx
p x dx
x
A x e e
x




  

2
3 3
2
1
( ) 3 ( )
dx
x
B x e dx x C y x C
x

     


Câu 411 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
'' '

2 5 0
y y y
  

Phương trình đặc trưng
2
2 5 0
K k
  
Phương trình có 2 nghiệm phức
1 2
k i
 

Vậy nghiệm tổng quát của Phương trình trên là


1
os2 sin 2
x
y e C c x C x
 

Câu 412 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
''
4 0
y y
 

Phương trình đặc trưng

2
4 0
k
 
phương trình có 2 nghiệm phức
2
k i
 

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
1 2
os2 sin 2
y C c x C x
 

Câu 451 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
'' '
3 2 0
y y y
  

Phương trình đặc trưng
2
3 2 0 1, 2
k k k k
     

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
2
1 2

x x
y C e C e
 

Câu 452 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
'' '
3 18 27 0
y y y
  

Phương trình đặc trưng
2 2
3 18 27 0 3( 3) 3
k k k k
       

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
3 3
1 2
x x
y C e C xe
 
 

Câu 460 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
''
6
y x

(1)

Phương trình đặc trưng
2
0 0
k k
  
Vậy nghiệm của phương trình tương ứng là
1 2
y C xC
 

Nghiệm riêng của phương trình trên có dạng
3
1
ax
y 

Lấy đạo hàm 2 vế rồi thay vào phương trình (1)a6x=6x vậy nghiệm riêng là y
1
=x
3