Khái niệm số phức potx

Số phức
Số phức
C
R
Q
Z
N


N
0 2 3……… n1


0 2 3…… n1-1-2-3
Z


0 2 3…… n1-1-2-3
Q
0
0
1/2
1/4
0
1/3= ?
2/7= ?

0
R
0
0
8
+
8


Số Phức
Số Phức
1.
1.
Định nghĩa số phức
Định nghĩa số phức
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi
đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được
đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được
gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo
gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo
của số phức
của số phức
z
z
-
-
Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu
Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu

là Re(z
là Re(z
).
).
-Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là
-Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là
Im(z
Im(z
)
)
.
.
2.
2.
Định nghĩa số i
Định nghĩa số i
Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho:
Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho:
1i
2
−=


Dạng đại số của số phức
Dạng đại số của số phức



Hai số phức bằng nhau
Hai số phức bằng nhau

Hai số phức được gọi là bằng nhau
Hai số phức được gọi là bằng nhau
nếu chúng có phần thực và phần ảo
nếu chúng có phần thực và phần ảo
tương ứng bằng nhau.
tương ứng bằng nhau.

Ví dụ:
Ví dụ:
Cho
Cho
tìm tất cả các số thực a để
tìm tất cả các số thực a để
Giải :
Giải :
i3az;i35z
21
+=+=
21
zz
=
5
33
5
335
21
=⇔




=
=
⇔+=+⇔= a
a
iaizz


Dạng đại số của số phức
Dạng đại số của số phức

Phép cộng và phép trừ của hai số phức
Phép cộng và phép trừ của hai số phức


Cho hai số phức:
Cho hai số phức:
Z
Z
1
1
= a
= a
1
1
+ b
+ b
1
1
i và Z
i và Z

2
2
= a
= a
2
2
+ b
+ b
2
2
i khi đó
i khi đó
- Phép cộng: a
- Phép cộng: a
1
1
+ b
+ b
1
1
i + a
i + a
2
2
+ b
+ b
2
2
i
i

=
=
(a
(a
1
1
+ a
+ a
2
2
)
)


+ (b
+ (b
1
1
+ b
+ b
2)
2)
i .
i .


- Phép trừ (tương tự)
- Phép trừ (tương tự)

Tóm lại :Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng
Tóm lại :Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng
(trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng.
(trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng.


Dạng đại số của số phức
Dạng đại số của số phức

Ví dụ :
Ví dụ :
( ) ( )
i56i93z
+++=
( ) ( )
14zI m;12zRe
i1412i56i93z
==⇒
+=+++=
Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
Gi
ải :


Dạng đại số của số phức
Dạng đại số của số phức

Phép nhân
Phép nhân
Cho hai số phức:

Cho hai số phức:
Z
Z
1
1
= a
= a
1
1
+ b
+ b
1
1
i và Z
i và Z
2
2
= a
= a
2
2
+ b
+ b
2
2
i khi đó
i khi đó


-

Phép nhân
Phép nhân
(a
(a
1
1
+ b
+ b
1
1
i).(a
i).(a
2
2
+ b
+ b
2
2
i) = (a
i) = (a
1
1
a
a
2
2
- b
- b
1
1

b
b
2
2
) + (a
) + (a
1
1
b
b
2
2
+ b
+ b
1
1
a
a
2
2
)i
)i
-
Tóm lại :
Tóm lại :
Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai
Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai
biểu thức đại số với chú ý:
biểu thức đại số với chú ý:
i²= -1

i²= -1




Dạng đại số của số phức
Dạng đại số của số phức

Định nghĩa số phức liên hợp:
Định nghĩa số phức liên hợp:
-Số phức
-Số phức
được gọi là số phức liên hợp của số phức
được gọi là số phức liên hợp của số phức
- Ví dụ:Tìm số phức liên hợp của số phức
- Ví dụ:Tìm số phức liên hợp của số phức
Z= (2- 5i)(1+ 3i)
Z= (2- 5i)(1+ 3i)


Giải : z= 17+ i
Giải : z= 17+ i
vậy số phức liên hợp là
vậy số phức liên hợp là
biaz
−=
biaz
+=
i17z
−=

Dạng đại số của số phức
Dạng đại số của số phức

Phép chia hai số phức
Phép chia hai số phức
Cho z = a + bi , w = c + di (w 0) ta có
Cho z = a + bi , w = c + di (w 0) ta có
( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên
( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên
hợp của mẫu )
hợp của mẫu )
≠
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
222222
22
2
dc
iadbc
dc
bdac
dc
iadbcbdac
dc
bdibciadiac

dicdic
dicbia
dic
bia
w
z
+
−
+
+
+
=
+
−++
=
+
−+−
=
−+
−+
=
+
+
=


Dạng lượng giác
Dạng lượng giác


Định nghĩa Môdun của số phức:
Định nghĩa Môdun của số phức:
Môdun của số phức z = a + bi là một số thực
Môdun của số phức z = a + bi là một số thực
dương được định nghĩa như sau:
dương được định nghĩa như sau:
ký hiệu
ký hiệu

vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ
vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ
điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ .
điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ .
( )
22
barzMod
+==
z


Dạng lượng giác
Dạng lượng giác

Ví dụ:
Ví dụ:
Tìm môdun của số phức sau
Tìm môdun của số phức sau

Giải :

Giải :
Ta có a = 4 , b = 3
Ta có a = 4 , b = 3
vậy Mod(z) =
vậy Mod(z) =
iz 34 +=
534
22
=+


Dạng lượng giác
Dạng lượng giác

Định nghĩa argument của số phức :
Định nghĩa argument của số phức :








+
+
+
+=+=
2222
22

ba
bi
ba
a
babiaz
Trong đó .
( )
isincosrz
ba
b
sin
ba
a
cos
bar
22
22
22
ϕ+ϕ=⇒












+
=ϕ
+
=ϕ
+=
là dạng lượng giác
Mọi nghiệm của hệ phương trình







+
=ϕ
+
=ϕ
22
22
ba
b
sin
ba
a
cos
gọi là argument của số phức
biaz
+=
0

≠


Dạng lượng giác
Dạng lượng giác

Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần
Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần
2∏ và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị
2∏ và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị
argument trùng với véctơ bán kính của điểm
argument trùng với véctơ bán kính của điểm
M. Góc
M. Góc
φ
φ
được giới hạn trong khoảng
được giới hạn trong khoảng
hoặc
hoặc

Ví dụ: Tìm argument của số phức
Ví dụ: Tìm argument của số phức
OM
π<ϕ≤
20

π≤ϕ≤π−
iz 31 +=
3b,1a

==
Giải :
ta tìm góc φ
3
2
3
r
b
sin
2
1
r
a
cos
π
=ϕ⇒







==ϕ
==ϕ
vậy Argz =
3
π

Dạng lượng giác
Dạng lượng giác
Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác:
Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác:


Phép nhân ở dạng lượng giác
Phép nhân ở dạng lượng giác
:
:
Nhân hai số phức
Nhân hai số phức
ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và
ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và
argument cộng lại.
argument cộng lại.



=
π+ϕ=ϕ
⇔=
21
21
21
rr
2k
zz
( ) ( )
[ ]

i.sincosr.rz.z
21212121
ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=


Dạng lượng giác
Dạng lượng giác

Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và
Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và
argument của số phức
argument của số phức

Giải :
Giải :


( )
( )
i31i1z
−+=
( )
( )






−+−







+=
−+=
.
3
sin
3
cos2.
4
sin
4
cos2
311
ππππ
ii
iiz
12
isin
12
cos22
34
sini
34
cos22
π

−+
π
−=






π
−
π
+






π
−
π
=