Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG HỆ TỌA ĐỘ. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM doc

Chng 1 PHNG PHP TA TRONG
MT PHNG
H TA . TA CA VECT V
CA IM:
1.H ta : Hai trc ta xOx v yOy vuụng
gúc nhau to nờn h trc ta ờcac Oxy: O l
gc ta ; xOx l trc honh v yOy l trc
tung.Trong ú:

i
= (1; 0) v

j
= (0;1) l cỏc vect
n v trờn cỏc trc.Ta cú:

i
=

j
=1
v

i
.

j
=0.
2.Ta ca vect :

u

= (x ; y)

u
= x.

i
+ y.

j
.

3.Ta ca im :

OM
= (x ; y) M(x ; y)
x: honh v y: tung ca im M
4.Cỏc kt qu: Trong h ta Oxy cho A(x
A
;
y
A
), B(x
B
; y
B
) v cỏc vect

a
=(a
1

; a
2
) v

b
= (b
1
;
b
2
). Ta cú:
a)

a


b
= ( a
1
b
1
; a
2
b
2
).
b)

ak
= (ka

1
; ka
2
) (k l s
thc).
c) Tớch vụ hng:

a
.

b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2.

H qua:
1.
| a|

=
2
2
2
1
aa

.
2.
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
bb.aa
b.a b. a
)b,acos(






3.

a


b
a
1
b
1

+ a
2
b
2
= 0.
d)

a
=

b






22
11
ba
ba

e)

a
,

b
cựng phng

0baba
b b
a a
a
b
a
b
a.kb:Rk
1221
21
21
2
2
1
1

f)
Ta ca vect:

AB
=(x

B
-x
A
;y
B
-y
A
).
g) Khong cỏch:
2
AB
2
AB
)y-(y)x-(x | AB | AB


h) im M chia AB theo t s k ( k1)

MA
=
k.

MB
. Khi ú ta ca M tớnh bi:
k
1
kxx
x
BA
M

v
k
1
kyy
y
BA
M





M l trung im AB ta cú:
2
xx
x
BA
M


v
2
yy
y
BA
M

5.Kin thc v tam giỏc: Cho A(x
A
;y
A
),B(x
B
; y
B
) v
C(x
C
; y
C
).
a) Trng tõm ca tam giỏc
(giao cỏc ng trung tuyn):
G l trng tõm ABC:
3
xxx
x
CBA
G



;
3

yyy
y
CBA
G




b) Trc tõm ca tam giỏc
(giao cỏc ng cao):











CABH
BCAH
taõm trửùclaứ H

0CA.BH
0BC.AH

c) Tõm ng trũn ngoi tip
tam giỏc ( giao ca cỏc trung trc):
I(a;b) l tõm ca (ABC) AI = BI = CI = R (bỏn
kớnh ca (ABC)).Gii h AI
2
=BI
2
v BI
2
=CI
2

Ta ca I.
d) Tâm của đường tròn nội
tiếp tam giác (giao các phân giác trong của các
góc của tam giác):
Tâm K của đường tròn nội tiếp  ABC tìm được
khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn
theo tỉ số k:

Vì
1
k

AC
AB
DC
DB



nên D
chia BC theo tỉ số k
1
Tọa độ của D.
Vì
2
k
BD
BA
KD
KA



nên K chia
AD theo tỉ số k
2
 Tọa độ
của K
e) Diện tích tam giác:
 S=
a
ah

2
1
=
b
bh
2
1
=
c
ch
2
1

 S=
Csinab
2
1
=
Bsinac
2
1
=
Asinbc
2
1

 S=
R
4
abc

= pr = )cp)(bp)(ap(p 

S=
2
22
)AC.AB(AC.AB
2
1


=
)AC,ABdet(
2
1

,
trong đó: det(

AB
,

AC
) =
21
21
b b
a a
=a
1
b

2
a
2
b
1

với

AB
=(a
1
; a
2
) và

AC
= (b
1
; b
2
)
 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
1) Định nghĩa: Cho các vectơ

u
và

n
khác vectơ


0
.


u
là 1 vectơ chỉ phương của
đường thẳng  khi

u
nằm trên 1 đường thẳng song
song hoặc trùng với . Mọi vectơ chỉ phương của
 đều có dạng k.

u
( k  0).


n
là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng  khi

n

nằm trên 1 đường thẳng vuông góc với . Mọi
vectơ pháp tuyến của  đều có dạng k.

n
( k  0).
 Một đường thẳng  hoàn
toàn xác định khi biết M
0

 và 1 vectơ chỉ
phương

u
hoặc 1 vectơ pháp tuyến

n
của .
Trang 1
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Định ly: Phương trình tổng quát của đường
thẳng  có dạng:

Ax+By+C = 0 với A
2
+B
2
 0
Chú ý:  có vectơ pháp tuyến

n
= (A;B) và có
vectơ chỉ phương

u
= (B; -A) hoặc

u
= (- B; A)
b) Hệ qua: Phương trình đường thẳng  đi qua

M
0
(x
0
; y
0
) và có vectơ pháp tuyến

n
= (A;B) là:

A(x-x
0
) + B(y-y
0
) = 0 với A
2
+B
2
 0
3) Phương trình tham số - chính tắc của đường
thẳng:
a) Phương trình tham số của đường thẳng:
Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua
M
0
(x
0
; y
0

) và có vectơ chỉ phương

u
=(a; b) là:







btyy
atxx
0
0
với a
2
+b
2
 0, tR
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua
M
0
(x
0
; y
0
) và có vectơ chỉ phương


u
=(a; b) là:
b
yy
a
xx
00



(a
2
+b
2
 0)
 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG
THẲNG
CHÙM ĐƯỜNG THẲNG:
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2
đường thẳng 
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
= 0 (1) và

2

:A
2
x+B
2
y+C
2
=0 (2) (
2
1
2
1
BA  0 và
2
2
2
2
BA   0).
Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:
 Hệ có duy nhất nghiệm
A
1
B
2
A
2
B
1
0
1
và 

2
cắt nhau.
 Hệ vô nghiệm A
1
B
2
A
2
B
1
=0 và
B
1
C
2
B
2
C
1
0 
1
// 
2
.
 Hệ có vô số nghiệm
A
1
B
2
A

2
B
1
=B
1
C
2
B
2
C
1
=C
1
A
2
C
2
A
1
= 0 
1


2
.
2) Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường
thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm
đường thẳng có tâm I. Nếu 
1
:A

1
x+B
1
y+C
1
=0 và

2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0 cắt nhau tại I
(A
1
B
2
A
2
B
1
) thì phương trình của chùm đường
thẳng tâm I là:
m(A
1
x+B
1
y+C

1
)+ n(A
2
x+B
2
y+C
2
)

= 0 (với
m
2
+n
2
 0).
 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT
ĐƯỜNG THẲNG:
1.Góc giữa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng 
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và

2

:A
2
x+B
2
y+C
2
=0. Nếu gọi  (0
0
   90
0
) là
góc giữa 
1
và 
2
thì:
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BA.BA
BBAA
cos






Hệ quả: 
1
 
2
 A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng:
a) Công thức: Khoảng cách từ M(x
0
;y
0
) đến
:Ax+By+C=0 là:

22
00
BA
CByAx

),M(d



(A
2
+B
2
0)
b) Hệ quả: Nếu 
1
: A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và 
2
:
A
2
x+B
2
y+C
2
= 0 cắt nhau tại I (A
1
B
2

A
2
B
1
) thì
phương trình các phân giác tạo bởi (
1
) và (
2
) là:
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA









 ĐƯỜNG TRÒN:
1.Phương trình của đường tròn:
a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán
kính R có dạng:
(xa)
2
+(yb)
2
=R
2

b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R :
x
2
+y
2
= R
2

c) Phương trình x
2
+y
2
+2Ax+2By+C = 0 với
A
2
+B
2

C>0 là phương trình của một đường tròn
(C) có tâm I(A;B) và bán kính R=
CBA
22

.
2.Phương tích của một điểm đối với một đường
tròn:
Cho (C) : F(x,y) = x
2
+y
2
+2Ax+2By+C = 0.
Phương tích của một điểm M(x
0
; y
0
) đối với (C)
là:
P M/(C)= F(x
0
,y
0
) =
C2By2Axyx
00
2
0
2
0



3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác
tâm:
a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối
với 2 đường tròn khác tâm (C
1
) và (C
2
) là một
đường thẳng d vuông góc với đường thẳng nối 2
tâm I
1
và I
2
của (C
1
) và (C
2
) và gọi là trục đẳng
phương của (C
1
) và (C
2
).
b) Cho hai đường tròn:
(C
1
):F
1

(x,y)=x
2
+y
2
+2A
1
x+2B
1
y+C
1
=0 và
(C
2
):F
2
(x,y)=x
2
+y
2
+2A
2
x+2B
2
y+C
2
=0 khác tâm,
phương trình của trục đẳng phương của (C
1
)
và(C

2
) là:
F
1
(x,y)= F
2
(x,y) 2(A
1
 A
2
)x+2(B
1
 B
2
)y+C
1

C
2
= 0
4. Tiếp tuyến của 1 đường tròn :
Cho (C):F(x;y)=(xa)
2
+(yb)
2
R
2
=0 và điểm
M(x
0

;y
0
), để viết phương trình tiếp tuyến của (C)
đi qua M ta tìm phương tích của M đối với (C):
 Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M
không kẻ được tiếp tuyến nào với (C).
 Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được
một tiếp tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi qua M
có vectơ pháp tuyến


IM
= (x
0
-a; y
0
-b).
 Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta
kẻ được 2 tiếp tuyến với (C), phương trình các
tiếp tuyến này thực hiện như sau:
 Gọi  là đường thẳng qua M và có vectơ
pháp tuyến

n
=(A;B): A(x-x
0
)+B(y-y
0
) = 0
(1) với A

2
+B
2
0.
  tiếp xúc (C) d(I,)=
22
BA
CBbAa


=R
với C=-(Ax
0
+By
0
). Bình phương 2 vế, chọn hai
cặp A, B thỏa phương trình này và thay vào (1)
để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua
M.
 ElÍP:
1)Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt
phẳng sao cho MF
1
+MF
2
=2a (2a không đổi và a>
c> 0) là một đường elíp.
 F
1
,F

2
: cố định là hai tiêu điểm và F
1
F
2
=2c là
tiêu cự của elíp.
 MF
1
, MF
2
: là các bán kính qua tiêu.
2) Phương trình chính tắc của elíp:
1
b
y
a
x
2
2
2
2

với
b
2
= a
2
- c
2

.

3) Tính chất và hình dạng của elíp::
 Trục đối xứng Ox (chứa
trục lớn); Oy (chứa trục
bé).Tâm đối xứng O.
1
b
y
a
x
2
2
2
2

(a> b > 0)
 Đỉnh: A
1
(a;0), A
2
(a;0),
B
1
(0;b) và B
2
(0; b). Độ dài
trục lớn là 2a và độ dài trục
bé là 2b.
 Tiêu điểm: F

1
(c; 0), F
2
(
c; 0).
 Nội tiếp trong hình chữ
nhật cơ sở PQRS có kích
thước 2a và 2b với
b
2
= a
2
- c
2
.


 Tâm sai:
a
ba
a
c
e
22


< 1
 Hai đường chuẩn: x=
c
a

e
a
2

 M(x;y)(E): MF
1
= a+ ex và MF
2
= aex
4) Tiếp tuyến của elíp (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2

:
 Tại M
0
(x
0
;y
0
)(E) có phương trình:
1
b

yy
a
xx
2
0
2
0


 Đi qua M(x
1
; y
1
) là :A(xx
1
)+B(yy
1
)=0 với
điều kiện:
 tiếp xúc (E)A
2
a
2
+B
2
b
2
=C
2
A

2
+B
2

0,C=(Ax
1
+By
1
)0
 HYPEBOL:
1.Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt
phẳng sao cho MF
1

MF
2
=2a (2a không đổi và
c > a> 0) là một Hypebol.
 F
1
, F
2
: cố định là 2 tiêu điểm và F
1
F
2
=2c là tiêu
cự.
 MF
1

, MF
2
: là các bán kính qua tiêu.
2.Phương trình chính tắc của hypebol:
1
b
y
a
x
2
2
2
2


b
2
= c
2
- a
2
.
Trang 2
Tài liệu dành cho học sinh 12 – HK1
3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H):
1
b
y
a
x

2
2
2
2


 Trục đối xứng Ox (trục
thực) Oy (trục ảo). Tâm

đối xứng O.
 Đỉnh:A
1
(a;0),A
2
(a;0).
Độ dài trục thực:2a và độ
dài trục ảo:2b.
 Tiêu điểm F
1
(c; 0), F
2
(
c; 0).
 Hai tiệm cận: y= 
a
b
x

 Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b
với b

2
= c
2
 a
2
.

 Tâm sai:
a
ba
a
c
e
22


> 1
 Hai đường chuẩn: x=
c
a
e
a
2

 Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)(H):
* MF
1
= ex + a và MF
2
= exa khi x > 0.

* MF
1
= exa và MF
2
=ex+ a khi x < 0.
4) Tiếp tuyến của hypebol (H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2


 Tại M
0
(x
0
; y
0
) (H) có phương trình:
1
b
yy
a
xx
2

0
2
0


 Đi qua M(x
1
; y
1
) là : A(xx
1
)+B(yy
1
) = 0 với
điều kiện:
 tiếp xúc (H)  A
2
a
2
 B
2
b
2
= C
2

A
2
+B
2

0,C=(Ax
1
+By
1
)0
 PARABOL:
1) Định nghĩa:
Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng
cách đều 1 đường thẳng

cố định và 1 điểm F cố
định không thuộc

.
: đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, ) = p > 0 là
tham số tiêu.
2) Phương trình chính tắc của Parabol:
2pxy
2


3) Hình dạng của Parabol (P) :

 Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm
F(
2
p
; 0).
2pxy
2



 Đường chuẩn : x = 
2
p
.
 M(x;y)(P): MF = x+
2
p
với
x  0

4) Tiếp tuyến của parabol (P): y
2
=2px:
 Tại M
0
(x
0
; y
0
) (P):y
2
=2px có phương trình:
y
0
y = p(x
0
+x)
 Đi qua M(x

1
; y
1
) là : A(xx
1
)+B(yy
1
) = 0
với điều kiện:
 tiếp xúc (P)  pB
2
= 2AC A
2
+B
2
0 và
C=(Ax
1
+By
1
)0

Biên soạn : Phạm Văn Luật
Giáo viên THPT Đốc Binh Kiều Cai Lậy 
Tiền Giang