Tài liệu Hình học 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian pptx

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa
HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hệ tọa độ trong không gian :
a) Hệ tọa độ trong không gian:
o Hệ gồm ba trục
, ,
Ox Oy Oz
đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc
trong không gian.
o Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị
, ,
i j k
r ur ur
lần lượt nằm trên
, ,
Ox Oy Oz
thì
2 2 2
1
i j k
= = =
r ur ur
và
. . . 0
i j j k k i
= = =
r ur ur ur ur r
.

b) Tọa độ của vectơ và của điểm:
o
( )
; ;
u x y z u x i y j z k
⇔ = + +
r r r ur ur
.
o
( )
; ;
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r ur ur
.
o Nếu
( ) ( )
; ; & ; ;
A A A B B B
A x y z B x y z
thì
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
.
c) Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu: Cho
( ) ( )

1 1 1 2 2 2
; ; & ; ;
u x y z v x y z
r r
.
Khi đó:
o
1 2
1 2
1 2
x x
u v y y
z z

=

= ⇔ =


=

r r
.
o
( )
1 2 1 2 1 2
; ;
u v x x y y z z
± = ± ± ±
r r

.
o
( )
1 1 1
; ;
ku kx ky kz
=
r
,
k
∀ ∈ ¡
.
d) Hai vectơ cùng phương:
Hai vectơ
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; & ; ;
u x y z v x y z
r r
cùng phương
( )
0
u
≠
r r
:
k v ku
⇔∃ ∈ =
r r
¡

, tức là
2 1
2 1
2 1
x kx
y ky
z kz

=

=


=

hay
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
= =
.
e) Tích vô hướng của hai vectơ : Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; & ; ;
u x y z v x y z
r r
. Khi đó:
o

( )
1 2 1 2 1 2
. . . os ,
u v u v c u v x x y y z z
= = + +
r r r r r r
.
o
2
2 2 2
1 1 1
u u x y z
= = + +
r r
.
o
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z
= = − + − + −
uuur
.
o
( )
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
os ,
.

x x y y z z
c u v
x y z x y z
+ +
=
+ + + +
r r
.
o
1 2 1 2 1 2
0
u v x x y y z z
⊥ ⇔ + + =
r r
.
f) Tích có hướng của hai vectơ : Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
( )
1 1 1
; ;
u x y z
r
và
( )
2 2 2
; ;
v x y z
r
.

HH12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 1 of 14
Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa
o Tích có hướng của hai vectơ
&
u v
r r
, kí hiệu là
,
u v
 
 
r r
, được xác định bởi:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
y z z x x y
u v
y z z x x y
 
 
=
 ÷
 
 ÷
 
r r
.
o
, , ,

u v u u v v
   
⊥ ⊥
   
r r r r r r
.
o
( )
, . .sin ,
u v u v u v
 
=
 
r r r r r r
.
o
&
u v
r r
cùng phương khi và chỉ khi
, 0
u v
 
=
 
r r r
.
o Ba vectơ
, ,w
u v

r r ur
đồng phẳng
, . 0
u v w
 
⇔ =
 
r r ur
.
g) Các ứng dụng của tích có hướng:
o Diện tích tam giác:
1
,
2
ABC
S AB AC
 
=
 
uuur uuuur
.
o Thể tích khối hộp:
. ' ' ' '
, .
ABCD A B C D
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuuur uuuur

.
o Thể tích tứ diện:
1
, .
6
ABCD
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuuur uuuur
.
h) Mặt cầu:
o Mặt cầu tâm
( )
; ;
I a b c
, bán kính
R
có phương trình là:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
.
o Phương trình
2 2 2
2 2 2 0

x y z ax by cz d
+ + + + + + =
, với
+ + >
2 2 2
a b c d
, là phương
trình của mặt cầu có tâm
( )
; ;
I a b c
− − −
và bán kính
2 2 2
R a b c d
= + + −
.
2. Phương trình mặt phẳng:
a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
o
0
n
≠
ur r
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
nếu giá của
n
ur

vuông góc với
( )
α
, viết tắt là
( )
n α
⊥
ur
.
o Nếu hai vectơ
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; & ; ;
u x y z v x y z
r r
không cùng phương và giá của chúng song
song hoặc nằm trên
( )
α
thì vectơ
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
y z z x x y
n u v
y z z x x y
 
 
= =
 ÷

 
 ÷
 
ur r r
là một vectơ
pháp tuyến của
( )
α
.
b) Phương trình mặt phẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến: Mặt phẳng qua điểm
( )
0 0 0
; ;
M x y x
và có vectơ pháp tuyến
( )
; ;
n A B C
ur
có phương trình tổng quát là
( ) ( ) ( )
0 0 0
0
A x x B y y C z z
− + − + − =
.
c) Phương trình tổng quát của một mặt phẳng có dạng
0
Ax By Cz D
+ + + =

, với
2 2 2
0
A B C
+ + ≠
. Khi đó,
( )
; ;
n A B C
ur
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
d) Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng
Xét mặt phẳng
( )
α
có phương trình
0
Ax By Cz D
+ + + =
. Khi đó:
o
( )
0
D α
= ⇔
qua gốc tọa độ.
o
( )
0, 0
C D α

= ≠ ⇔
song song với trục
Oz
.
HH12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 2 of 14
Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa
o
( )
0
C D α
= = ⇔
chứa trục
Oz
.
o
( )
0, 0
B C D α
= = ≠ ⇔
song song với
( )
Oyz
.
o
( )
0
B C D α
= = = ⇔
chính là
( )

Oyz
.
o Các trường hợp khác tương tự……
e) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng
( )
: 0
Ax By Cz Dα
+ + + =
và
( )
' : ' ' ' ' 0
A x B y C z Dα
+ + + =
.
Khi đó:
o
( ) ( )
α α
≡ ⇔ = = ='
' ' ' '
A B C D
A B C D
.
o
( ) ( )
α α
⇔ = = ≠/ / '
' ' ' '
A B C D

A B C D
.
o
( )
α
cắt
( )
'
α

⇔ ≠: : ' : ' : '
A B C A B C
.
o
( ) ( )
α α
⊥ ⇔ + + =' ' ' ' 0
AA BB CC
.
f) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Mặt phẳng
( )
α
không qua gốc tọa độ, cắt trục
, ,
Ox Oy Oz
lần lượt tại
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c

, có phương trình theo đoạn chắn là:
( )
1 0
x y z
abc
a b c
+ + = ≠
.
g) Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
( ) ( )
: 0 & ' : ' ' ' ' 0
Ax By Cz D A x B y C z Dα α
+ + + = + + + =
.
Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
( ) ( )
& '
α α
,
khi đó:
2 2 2 2 2 2
' ' '
cos
. ' ' '
AA BB CC
A B C A B C
ϕ

+ +
=
+ + + +
.
h) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
Cho
( )
: 0
Ax By Cz Dα
+ + + =
và điểm
( )
0 0 0
; ;
M x y z
.
Khi đó:
( )
( )
α
+ + +
=
+ +
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
.

3. Phương trình đường thẳng:
a) Phương trình đường thẳng qua một điểm và có một vectơ chỉ phương
Đường thẳng d qua
( )
0 0 0
; ;
M x y z
và có vectơ chỉ phương
( )
; ;
u a b c
r
. Khi đó:
o Đường thẳng d có phương trình tham số là
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct

= +

= +


= +

.
o Nếu

M d
∈
thì
( )
0 0 0
; ;
M x at y bt z ct
+ + +
.
o Đường thẳng d có phương trình chính tắc là
0 0 0
, 0
x x y y z z
abc
a b c
− − −
= = ≠
.
b) Đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
( ) ( )
: 0 & ' : ' ' ' ' 0
Ax By Cz D A x B y C z Dα α
+ + + = + + + =
với
điều kiện
: : ' : ' : '
A B C A B C
≠
. Gọi

( ) ( )
'
d α α
= ∩
.
HH12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 3 of 14
Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa
Khi đó một vectơ chỉ phương của d là
, '
u n n
 
=
 
r ur uur
với
( ) ( )
; ; & ' '; '; '
n A B C n A B C
ur uur
.
c) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1
d
qua
1
M
có vectơ chỉ phương
1
u

ur
và
2
d
qua
2
M
và có vectơ chỉ
phương
2
u
uur
. Khi đó:
o
1 2
&
d d
cùng nằm trong một mặt phẳng
1 2 1 2
, . 0
u u M M
 
⇔ =
 
ur uur uuuuuuur
.
o
1 2
1 2
1 1 2

, 0
, 0
u u
d d
u M M

 
=

 
≡ ⇔

 
=

 

ur uur r
ur uuuuuuur r
.
o
1 2
1 2
1 1 2
, 0
/ /
, 0
u u
d d
u M M


 
=

 
⇔

 
≠

 

ur uur r
ur uuuuuuur r
.
o
1 2
&
d d
cắt nhau
1 2 1 2
1 2
, . 0
, 0
u u M M
u u

 
=


 

 
≠

 

ur uur uuuuuuur
ur uur r
.
o
1 2
&
d d
chéo nhau
1 2 1 2
, . 0
u u M M
 
⇔ ≠
 
ur uur uuuuuuur
.
Lưu ý: Có thể xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng cách giải hệ phương trình để
tìm giao điểm của hai đường thẳng (nếu có và xét thêm phương của chúng trong trường hợp
hệ vô nghiệm).
d) Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1 2
,

d d
lần lượt có vectơ chỉ phương
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
, , & , ,
u a b c u a b c
ur uur
.
Gọi
ϕ
là góc giữa
1 2
&
d d
.
Khi đó,
0
0 90
ϕ
≤ ≤
và
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
os
.
.

u u
a a b b c c
c
u u
a b c a b c
ϕ
+ +
= =
+ + + +
ur uur
ur uur
.
e) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng
d
có vectơ chỉ phương
( )
; ;
u a b c
r
và
( )
α
có vectơ pháp tuyến
( )
; ;
n A B C
ur
. Gọi
ϕ

là góc giữa
( )
&
d α
.
Khi đó,
0
0 90
ϕ
≤ ≤
và
2 2 2 2 2 2
.
Aa
sin
.
.
u n
Bb Cc
u n
A B C a b c
ϕ
+ +
= =
+ + + +
r ur
r ur
.
f) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm

1
M
, đường thẳng
∆
qua
0
M
và có vectơ chỉ phương
u
r
.
Khi đó
( )
1 0
1
,
,
M M u
d M
u
 
 
∆ =
uuuuuuur r
r
.
g) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
HH12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 4 of 14
Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa
Cho hai đường thẳng chéo nhau:

1
∆
qua
1
M
có vectơ chỉ phương
1
u
ur
và
2
∆
qua
2
M
có
vectơ chỉ phương
2
u
uur
. Khi đó
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
,
,
u u M M
d

u u
 
 
∆ ∆ =
 
 
ur uur uuuuuuur
ur uur
.
II. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
1. Cho ba vectơ
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2
a b c
− −
r r r
:
a) Tính tọa độ của vectơ
1
4 3
3
u a b c
= − +
r r r r
b) Tính tọa độ của vectơ
4 2
v a b c
= − −
r r r r
2. Cho hình hộp

. ' ' ' '
ABCD A B C D
biết
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5
A B D C
− −
. Tính
tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
3. Tìm tọa độ tâm và bán kính mỗi mặt cầu có phương trình sau đây:
a)
2 2 2
8 2 1 0
x y z x y
+ + − − + =
b)
2 2 2
9 9 9 6 18 1 0
x y z x z
+ + − + + =
.
4. Lập phương trình của mặt cầu
( )
S
trong các trường hợp sau:
a)
( )
S
có đường kính
AB

với
( ) ( )
6;4; 3 & 2;8;1
A B
−
.
b)
( )
S
có tâm thuộc
Oz
và đi qua hai điểm
( ) ( )
0;1;2 & 1;0; 1
M N
−
5. Cho bốn điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 2;1; 2
A B C D
− −
.
a) Chứng minh rằng
, , ,
A B C D
là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD.
d) Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A.
6. Cho các vectơ

( ) ( ) ( )
1;0; 2 , 1;2; 1 , 0;3; 2
a b c
− − −
r r r
. Tìm tọa độ của
u
r
biết:
a)
2 3 2 0
a b c u
+ − − =
r r r r r
.
b)
, & 21
u a u b u
⊥ ⊥ =
r r r r r
.
7. Cho các điểm
( ) ( ) ( )
1;2; 1 , 2; 1;3 , 2;3;3
A B C
− − −
.
a) Chứng minh
, ,
A B C

là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ của điểm
M
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
ABCM
.
c) Tìm tọa độ các điểm tương ứng là chân đường phân giác trong, ngoài của góc
A
của
ABC
∆
.
d) Chứng minh
, , ,
O A B C
là bốn đỉnh của một tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện
đó.
8. Cho các điểm
( ) ( ) ( )
2;1; 2 , 3;0;1 , 2; 1;3 ,
A B C D Oy
− − ∈
.
a) Tính diện tích
ABC
∆
.
b) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh
A
của

ABC
∆
.
c) Tìm tọa độ điểm
D
sao cho tứ diện
ABCD
có thể tích bằng 5.
d) Tính góc giữa đường thẳng
&
BC OA
.
9. Hãy viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua
( )
5; 2;1
A
−
và có tâm
( )
3; 3;1
K
−
.
b) Đi qua điểm
( ) ( ) ( )
0;8;0 , 4;6;2 , 0;12;4
M N P
và có tâm nằm trên mặt phẳng
( )

Oyz
.
HH12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 5 of 14