Phụ lục về lượng giác_ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản docx

Phụ lục về lượng giác
I. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: Với kZ :
sin
2
 + cos
2
 = 1; tg =


cos
sin
; cotg =


sin
cos

1 + tg
2
 =

2
cos
1
, 

 k
2

1 + cotg
2

 =

2
sin
1
,



k
tg.cotg = 1,
2
k


II. Công thức cộng:

sin(a b) = sina.cosb  cosa.sinb. cos(a b) = cosa.cosb


sina.sinb.
tg(a b) =
tgb.tga1
tgbtga


(điều kiện xem như có đủ)
III. Công thức nhân:
1.Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa. tg2a =

atg1
tga2
2

.
cos2a = cos
2
a sin
2
a= 2cos
2
a1= 12sin
2
a
2.Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina4 sin
3
a. cos3a = 4cos
3
a 3cosa.
tg3a =
atg31
atgtga3
2
3


.
3. Công thức hạ bậc:
sina.cosa=

2
1
sin2a. sin
2
a=
2
a2cos1

cos
2
a=
2
a2cos1


tg
2
a=
a2cos1
a2cos1


sin
3
a=
4
asin3a3sin


cos

3
a=
4
acos3a3cos


4.Biểu diễn theo t=tg
2
a
:
sina =
2
t1
t2

cosa =
2
2
t1
t1


tga =
2
t1
t2


IV. Công thức biến đổi:
1.Tích thành tổng:

cosa.cosb=
2
1
[cos(a+b)+cos(ab)]
sina.sinb=
2
1
[cos(ab)cos(a+b)]
sina.cosb=
2
1
[sin(a+b)+sin(a+b)] cosasinb=
2
1
[sin(a+b) 
sin(ab)]
2.Tổng thành tích:
cos + cos = 2cos
2



cos
2



cos cos=
2sin
2




sin
2




sin + sin = 2sin
2



cos
2



sin
sin=2cos
2



sin
2




tg   tg  =




cos.cos
)sin(
cotg   cotg  =




sin.sin
)sin(

V. Phương trình lượng giác:
1. Phương trình cơ bản:
Cho k,l  Z, ta có:
sinu = sinv  u = v + k2  V u =   v + l 2 
cosu = cosv  u =  v + k2 
tgu = tgv V cotgu = cotgv  u = v + k 
2. Phương trình bậc hai af
2
(x) + b f(x)+c=0, a

0:
Với f(x) là một hàm số chứa sinx, cosx, tgx hoặc cotgx.
Phương pháp giải:
 Đặt t= sinx V t=cosx, điều kiện t1 hoặc t=tgx, t=cotgx  at

2
+ bt+c=0 giải tìm t thích hợp.
 Sau đó giải f(x)=t để tìm x.
3. Phương trình asinu + b cosu = c, a

0, b

0: Với u là 1 hàm số theo
x.
Phương pháp giải:
 Kiểm nghiệm điều kiện phương trình có nghiệm a
2
+b
2
 c
2
.
 Sau đó chia 2 vế phương trình cho a0 hoặc
22
ba  0 đưa đến
phương trình sin(x  ) = sin  hoặc cos(x  ) = cos  để giải.
4. Phương trình asin
2
x+ bsinx cosx + c cos
2
x = 0:
Phương pháp giải:
Nếu a0 thì cosx0  x=
2


+k,kZ không thể là nghiệm, chia 2 vế phương
rình cho cos
2
x0  atg
2
x+btgx+c=0.
 Nếu c0 thì sinx0  x= k,kZ không thể là nghiệm, chia 2 vế
phương trình cho sin
2
x0  c.cotg
2
x+b.cotgx+a=0.
5. Phương trình a(sin x  cosx) + bsinx cosx + c = 0 :
Phương pháp giải:
 Đặt t=sin x  cosx = 2 sin(x 
4

), điều kiện t 2 .
 Bình phương để tính sinx.cosx theo t  phương trình bậc hai
ẩn t. Giải tìm t thích hợp.
 Sau đó giải lại 2 sin(x 
4

) = t để tìm x.