Phần 1 :Phương trình lượng giác cơ bản

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯ N G GIÁ C CƠ BAÛ N

⎡ u = v + k2π
sin u = sin v ⇔ ⎢
⎣ u = π − v + k2π
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π
π
⎧
⎪u ≠ + kπ
tgu = tgv ⇔ ⎨
2
⎪u = v + k ' π
⎩
⎧u ≠ kπ
cot gu = cot gv ⇔ ⎨
⎩u = v + k ' π
Đặ c biệ t : sin u = 0 ⇔ u = kπ

π
+ k2π ( k ∈ Z)
2
π
sin u = −1 ⇔ u = − + k2π
2
Chú ý : sin u ≠ 0 ⇔ cos u ≠ ±1
cos u ≠ 0 ⇔ sin u ≠ ±1
sin u = 1 ⇔ u =

( k, k ' ∈ Z )

cos u = 0 ⇔ u =

π
+ kπ
2

cos u = 1 ⇔ u = k2π ( k ∈ Z )
cos u = −1 ⇔ u = π + k2π

Bà i 28 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2002)
Tìm x ∈ [ 0,14 ] nghiệ m đú ng phương trình
cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0 ( * )

Ta coù (*) : ⇔ ( 4 cos3 x − 3 cos x ) − 4 ( 2 cos2 x − 1) + 3 cos x − 4 = 0

⇔ 4 cos3 x − 8 cos2 x = 0 ⇔ 4 cos2 x ( cos x − 2 ) = 0
⇔ cos x = 0 hay cos x = 2 ( loại vì cos x ≤ 1)
⇔ x=

π
+ kπ ( k ∈ Z )
2

π
+ kπ ≤ 14
2
π
π
1
14 1
− ≈ 3, 9

⇔ − ≤ kπ ≤ 14 − ⇔ −0, 5 = − ≤ k ≤
2
2
2
π 2
⎧ π 3π 5π 7π ⎫
Maø k ∈ Z neâ n k ∈ {0,1, 2, 3} . Do ñoù : x ∈ ⎨ , , , ⎬
⎩2 2 2 2 ⎭
Ta coù : x ∈ [ 0,14] ⇔ 0 ≤

Bà i 29 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2004)
Giả i phương trình :
( 2 cos x − 1)( 2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x ( *)


Ta coù (*) ⇔ ( 2 cos x − 1)( 2 sin x + cos x ) = sin x ( 2 cos x − 1)

⇔ ( 2 cos x − 1) ⎡( 2 sin x + cos x ) − sin x ⎤ = 0
⎣
⎦
⇔ ( 2 cos x − 1)( sin x + cos x ) = 0

1
∨ sin x = − cos x
2
π
⎛ π⎞
⇔ cos x = cos ∨ tgx = −1 = tg ⎜ − ⎟
3
⎝ 4⎠

π
π
⇔ x = ± + k2π ∨ x = − + kπ, ( k ∈ Z )
3
4
⇔ cos x =

Baø i 30 : Giả i phương trình cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 (*)
Ta coù (*) ⇔ ( cos x + cos 4x ) + ( cos 2x + cos 3x ) = 0

5x
3x
5x
x
.cos
+ 2 cos
.cos = 0
2
2
2
2
5x ⎛
3x
x⎞
2 cos
+ cos ⎟ = 0
⎜ cos
2 ⎝
2
2⎠

5x
x
4 cos
cos x cos = 0
2
2
5x
x
= 0 ∨ cos x = 0 ∨ cos = 0
cos
2
2
5x π
π
x π
= + kπ ∨ x = + kπ ∨ = + kπ
2
2
2
2 2
π 2kπ
π
x= +
∨ x = + kπ ∨ x = π + 2π, ( k ∈ Z )
5
5
2

⇔ 2 cos
⇔

⇔
⇔
⇔
⇔

Bà i 31: Giải phương trình sin 2 x + sin 2 3x = cos2 2x + cos2 4x ( * )

1
1
1
1
(1 − cos 2x ) + (1 − cos 6x ) = (1 + cos 4x ) + (1 + cos 8x )
2
2
2
2
⇔ − ( cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x
Ta coù (*) ⇔

⇔ −2 cos 4x cos 2x = 2 cos 6x cos 2x
⇔ 2 cos 2x ( cos 6x + cos 4x ) = 0
⇔ 4 cos 2x cos 5x cos x = 0
⇔ cos 2x = 0 ∨ cos 5x = 0 ∨ cos x = 0
π
π
π
⇔ 2x = + kπ ∨ 5x + kπ ∨ x = + kπ, k ∈
2
2
2

π kπ
π kπ
π
∨x=
+
∨ x = + kπ , k ∈
⇔ x= +
4
2
10 5
2
Bà i 32 : Cho phương trình
⎛π x⎞ 7
sin x.cos 4x − sin 2 2x = 4 sin 2 ⎜ − ⎟ −
( *)
⎝4 2⎠ 2
Tìm cá c nghiệ m củ a phương trình thỏ a : x − 1 < 3


1
⎡
π
⎤ 7
(1 − cos 4x ) = 2 ⎢1 − cos ⎛ − x ⎞ ⎥ −
⎜
⎟
2
⎝2
⎠⎦ 2
⎣

1 1
3
sin x cos 4x − + cos 4x = − − 2sin x
2 2
2
1
sin x cos 4x + cos 4x + 1 + 2sin x = 0
2
1⎞
1⎞
⎛
⎛
cos 4x ⎜ sin x + ⎟ + 2 ⎜ sin x + ⎟ = 0
2⎠
2⎠
⎝
⎝
1⎞
⎛
( cos 4x + 2) ⎜ sin x + ⎟ = 0
2⎠
⎝
π
⎡
⎡cos 4x = −2 ( loaïi )
⎢ x = − 6 + k 2π
⎢
⎢sin x = − 1 = sin ⎛ − π ⎞ ⇔ ⎢
⎢ x = 7π + 2hπ
⎜

⎟
⎢
2
⎝ 6⎠
⎣
⎢
6
⎣
coù : x − 1 < 3 ⇔ −3 < x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4

Ta coù : (*)⇔ sin x.cos 4x −

⇔
⇔
⇔
⇔

⇔
Ta

π
+ k2π < 4
6
π
π
1 1
2 1
− ⇔ − 2 < 2kπ < 4 +
⇔

6
6
12 π
π 12
π
Do k ∈ Z neâ n k = 0. Vaä y x = −
6
7π
−2 <
+ h2π < 4
6
7π
7π
1 7
2 7
< h2π < 4 −
⇔− −
⇔ −2 −
6
6
π 12
π 12
7π
−π
7π
hay x =
.Tó m lạ i x =
⇒h = 0 ⇒ x =
6

6
6
1
−π
+ kπ, k ∈
Caù c h khaù c : sin x = − ⇔ x = (−1)k
2
6
−π
−2
−1
4
+ kπ < 4 ⇔
< (−1)k
+k<
Vaä y : −2 < (−1)k
6
6
π
π
−π
7π
hay x =
⇔ k=0 và k = 1. Tương ứ n g vớ i x =
6
6
Vậ y : −2 < −

Bà i 33 : Giả i phương trình
sin 3 x cos 3x + cos3 x sin 3x = sin 3 4x ( * )

Ta coù : (*)⇔ sin 3 x ( 4 cos3 x − 3 cos x ) + cos3 x ( 3sin x − 4 sin 3 x ) = sin 3 4x

⇔ 4 sin3 x cos3 x − 3sin3 x cos x + 3sin x cos3 x − 4 sin3 x cos3 x = sin3 4x
⇔ 3sin x cos x ( cos2 x − sin 2 x ) = sin 3 4x
⇔

3
sin 2x cos 2x = sin3 4x
2


3
sin 4x = sin3 4x
4
⇔ 3sin 4x − 4 sin3 4x = 0
⇔ sin12x = 0
⇔

kπ
( k ∈ Z)
12
Baø i 34 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i B, nă m 2002)
Giả i phương trình :
sin 2 3x − cos2 4x = sin 2 5x − cos2 6a ( * )
⇔ 12x = kπ

⇔ x=

Ta coù : (*)⇔
1

1
1
1
(1 − cos 6x ) − (1 + cos 8x ) = (1 − cos10x ) − (1 + cos12x )
2
2
2
2
⇔ cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x
⇔ 2 cos7x cos x = 2 cos11x cos x
⇔ 2 cos x ( cos 7x − cos11x ) = 0

⇔ cos x = 0 ∨ cos7x = cos11x
π
⇔ x = + kπ ∨ 7x = ±11x + k 2π
2
π
kπ
kπ
∨x=
,k ∈
⇔ x = + kπ ∨ x = −
2
2
9
Baø i 35 : Giả i phương trình
( sin x + sin 3x ) + sin 2x = ( cos x + cos 3x ) + cos 2x
⇔ 2sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x
⇔ sin 2x ( 2 cos x + 1) = cos 2x ( 2 cos x + 1)
⇔ ( 2 cos x + 1) ( sin 2x − cos 2x ) = 0

1
2π
= cos
∨ sin 2x = cos 2x
2
3
2π
π
+ k2π ∨ tg2x = 1 = tg
⇔ x=±
3
4
2π
π
π
+ k2π ∨ x = + k , ( k ∈ Z )
⇔ x=±
3
8
2
⇔ cos x = −

Bà i 36: Giả i phương trình
cos 10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x. cos x = cos x + 8 cos x. cos3 3x ( * )
Ta coù : (*)⇔ cos10x + (1 + cos 8x ) = cos x + 2 cos x ( 4 cos3 3x − 3 cos 3x )

⇔ ( cos10x + cos 8x ) + 1 = cos x + 2 cos x.cos 9x
⇔ 2 cos 9x cos x + 1 = cos x + 2 cos x.cos 9x
⇔ cos x = 1

⇔ x = k2π ( k ∈ Z )
Bà i 37 : Giả i phương trình


4 sin 3 x + 3 cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0 ( * )

Ta coù : (*) ⇔ sin x ( 4 sin 2 x − 3) − cos x ( sin 2 x − 3 cos2 x ) = 0

⇔ sin x ( 4 sin 2 x − 3) − cos x ⎡sin 2 x − 3 (1 − sin 2 x ) ⎤ = 0
⎣
⎦
2
⇔ ( 4 sin x − 3) ( sin x − cos x ) = 0
⇔ ⎡ 2 (1 − cos 2x ) − 3⎤ ( sin x − cos x ) = 0
⎣
⎦
1
2π
⎡
cos 2x = − = cos
⇔ ⎢
2
3
⎢
⎣sin x = cos x

2π
⎡
⎢2x = ± 3 + k2π
⇔

⎢
⎣ tgx = 1

π
⎡
x = ± + kπ
⎢
3
⇔ ⎢
⎢ x = π + kπ
⎢
4
⎣

( k ∈ Z)

Baø i 38 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i B nă m 2005)
Giả i phương trình :
sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0 ( * )
Ta coù : (*) ⇔ sin x + cos x + 2sin x cos x + 2 cos2 x = 0
⇔ sin x + cos x + 2 cos x ( sin x + cos x ) = 0

⇔ ( sin x + cos x ) (1 + 2 cos x ) = 0

⎡sin x = − cos x
⇔ ⎢
⎢cos 2x = − 1 = cos 2π
2
3
⎣

⎡ tgx = −1
⇔ ⎢
⎢ x = ± 2π + k 2π
3
⎣
π
⎡
⎢ x = − 4 + kπ
⇔ ⎢
( k ∈ Z)
⎢ x = ± 2π + k2π
⎢
3
⎣
Bà i 39 : Giả i phương trình
( 2 sin x + 1)( 3 cos 4x + 2 sin x − 4 ) + 4 cos2 x = 3 ( *)
Ta coù : (*) ⇔ ( 2 sin x + 1)( 3 cos 4x + 2 sin x − 4 ) + 4 (1 − sin 2 x ) − 3 = 0

⇔ ( 2 sin x + 1)( 3 cos 4x + 2 sin x − 4 ) + (1 + 2 sin x )(1 − 2 sin x ) = 0
⇔ ( 2 sin x + 1) ⎡ 3 cos 4x + 2 sin x − 4 + (1 − 2 sin x ) ⎤ = 0
⎣
⎦
⇔ 3 ( cos 4x − 1)( 2 sin x + 1) = 0
⇔ cos 4x = 1 ∨ sin x = −

1
⎛ π⎞
= sin ⎜ − ⎟
2
⎝ 6⎠

π
7π
+ k2π ∨ x =
+ k2π
6
6
kπ
π
7π
∨ x = − + k2π ∨ x =
+ k2π, ( k ∈ Z)
⇔ x=
2
6
6
⇔ 4x = k2π ∨ x = −

Bà i 40: Giả i phương trình
sin 6 x + cos6 x = 2 ( sin 8 x + cos8 x ) ( * )
Ta coù : (*) ⇔ sin6 x − 2sin8 x + cos6 x − 2 cos8 x = 0
⇔ sin 6 x (1 − 2 sin 2 x ) − cos6 x ( 2 cos2 x − 1) = 0

⇔ sin6 x cos 2x − cos6 x. cos 2x = 0
⇔ cos 2x ( sin 6 x − cos6 x ) = 0
⇔ cos 2x = 0 ∨ sin6 x = cos6 x
⇔ cos 2x = 0 ∨ tg 6 x = 1
π
⇔ 2x = ( 2k + 1) ∨ tgx = ±1

2
π
π
⇔ x = ( 2k + 1) ∨ x = ± + kπ
4
4
π kπ
⇔ x= +
,k ∈
4
2
Baø i 41 : Giả i phương trình

1
( *)
16
Ta thấ y x = kπ khô n g là nghiệ m củ a (*) vì lú c đó
cos x = ±1, cos 2x = cos 4x = cos 8x = 1
1
(*) thaøn h : ±1 =
vô nghiệ m
16
Nhâ n 2 vế củ a (*) cho 16sin x ≠ 0 ta đượ c
(*) ⇔ (16 sin x cos x ) cos 2x.cos 4x.cos 8x = sin x vaø sin x ≠ 0

cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x =

⇔ ( 8 sin 2x cos 2x ) cos 4x.cos 8x = sin x vaø sin x ≠ 0
⇔ ( 4 sin 4x cos 4x ) cos 8x = sin x vaø sin x ≠ 0
⇔ 2sin 8x cos 8x = sin x vaø sin x ≠ 0

⇔ sin16x = sin x vaø sin x ≠ 0
k2π
π kπ
∨x=
+
, ( k ∈ Z)
⇔x =
15
17 17
Do : x = hπ khô n g là nghiệ m nê n k ≠ 15m vaø 2k + 1 ≠ 17n ( n, m ∈ Z )
3
Bà i 42: Giả i phương trình 8cos ⎛ x +
⎜

⎝

Đặt t = x +

π
π
⇔x=t−
3
3

π⎞

⎟

3⎠

= cos 3x ( * )


Thì cos 3x = cos ( 3t − π ) = cos ( π − 3t ) = − cos 3t
Vậ y (*) thà n h 8 cos3 t = − cos 3t
⇔ 8 cos3 t = −4 cos3 t + 3 cos t
⇔ 12 cos3 t − 3 cos t = 0
⇔ 3 cos t ( 4 cos2 t − 1) = 0

⇔ 3 cos t ⎡2 (1 + cos 2t ) − 1⎤ = 0
⎣
⎦
⇔ cos t ( 2 cos 2t + 1) = 0

1
2π
= cos
2
3
π
2π
+ k2π
⇔ t = ( 2k + 1) ∨ 2t = ±
2
3
π
π
⇔ t = + kπ ∨ t = ± + kπ
2
3

π
Maø x = t −
3
π
2π
+ kπ, ( vớik ∈ Z )
Vậ y (*) ⇔ x = + k2π ∨ x = kπ ∨ x =
6
3
Ghi chú :
Khi giả i cá c phương trình lượ n g giá c có chứ a tgu, cotgu, có ẩ n ở mẫ u , hay
chứ a că n bậ c chẵ n ... ta phả i đặ t điề u kiệ n để phương trình xá c định. Ta sẽ
dù n g cá c cá c h sau đâ y để kiể m tra điề u kiệ n xem có nhậ n nghiệ m hay
khô n g.
+ Thay các giá trị x tìm đượ c và o điề u kiệ n thử lạ i xem có thỏ a
Hoặ c + Biể u diễ n cá c ngọ n cung điề u kiệ n và cá c ngọ n cung tìm được trê n cù n g
mộ t đườ n g trò n lượ n g giá c . Ta sẽ loạ i bỏ ngọ n cung củ a nghiệ m khi có
trù n g vớ i ngọ n cung củ a điề u kiệ n .
Hoặ c + So vơi cá c điề u kiệ n trong quá trình giải phương trình.
⇔ cos t = 0 ∨ cos 2t = −

Bà i 43 : Giả i phương trình tg 2 x − tgx.tg3x = 2 ( * )
π hπ
⎧cos x ≠ 0
⇔ cos3x ≠ 0 ⇔ x ≠
+
Điề u kiệ n ⎨
3
6
3

⎩cos 3x = 4 cos x − 3 cos x ≠ 0
Lú c đó ta coù (*) ⇔ tgx ( tgx − tg3x ) = 2

sin x ⎛ sin x sin 3x ⎞
−
⎜
⎟=2
cos x ⎝ cos x cos 3x ⎠
⇔ sin x ( sin x cos 3x − cos x sin 3x ) = 2 cos2 x cos 3x

⇔

⇔ sin x sin ( −2x ) = 2 cos2 x. cos 3x
⇔ −2 sin2 x cos x = 2 cos2 x cos 3x
⇔ − sin2 x = cos x cos 3x (do cos x ≠ 0 )
1
1
⇔ − (1 − cos 2x ) = ( cos 4x + cos 2x )
2
2
⇔ cos 4x = −1 ⇔ 4x = π + k2π


π kπ
+
( k ∈ Z)
4
2
so vớ i điề u kiệ n
π kπ

2
⎛ 3π 3kπ ⎞
+
≠ 0 ( nhận )
Cá c h 1 : Khi x = +
thì cos 3x = cos ⎜
⎟=±
2 ⎠
2
4
2
⎝ 4
Cá c h 2 : Biể u diễ n cá c ngọ n cung điề u kiệ n và ngọ n cung nghiệ m ta thấ y
khô n g có ngọ n cung nà o trù n g nhau. Do đó :
π kπ
(*) ⇔ x = +
4
2
Lưu ý cá c h 2 rấ t mấ t thời gian
Cá c h 3 :
3π 3kπ π
+
= + hπ
Nế u 3x =
4
2
2
Thì 3 + 6k = 2 + 4h
⇔ 1 = 4h − 6k
1

⇔ = 2h − 3k (vô lý vì k, h ∈ Z )
2
⇔x =

Bà i 44: Giải phương trình

11
( *)
3
⎧cos x ≠ 0
⎪
Điề u kiệ n ⎨sin x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ 0
⎪sin 2x ≠ 0
⎩

tg 2 x + cot g 2 x + cot g 2 2x =

Do đó :
⎛ 1
⎞ ⎛ 1
⎞ ⎛ 1
⎞ 11
− 1⎟ + ⎜
− 1⎟ + ⎜
− 1⎟ =
(*) ⇔ ⎜
2
2
2
3

⎝ cos x
⎠ ⎝ sin x
⎠ ⎝ sin 2x
⎠
1
1
1
20
+
+
=
⇔
2
2
2
2
cos x sin x 4 sin x cos x
3
2
2
4 sin x + 4 cos x + 1 20
=
⇔
4 sin2 x cos2 x
3
5
20
=
⇔
sin2 2x

3
3
⇔ sin2 2x = (nhaä n do sin2x ≠ 0 )
4
1
3
⇔ (1 − cos 4x ) =
2
4
1
2π
⇔ cos 4x = − = cos
2
3
2π
+ k2π
⇔ 4x = ±
3
π kπ
⇔x = ± +
( k ∈ Z)
6
2


Chú ý : Có thể dễ dà n g chứ n g minh : tgx + cot gx =
2
⎛ 1
⎞ 11
Vaä y (*) ⇔ ( tgx + cot gx ) − 2 + ⎜

− 1⎟ =
2
3
⎝ sin x
⎠
5
20
=
⇔
2
sin 2x
3

2
sin 2x

Baø i 45 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2003)
Giả i phương trình
x
⎛x π⎞
sin 2 ⎜ − ⎟ tg 2 x − cos2 = 0 ( *)
2
⎝2 4⎠
Điề u kiệ n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1
luù c ñoù :
1⎡
π ⎞ ⎤ sin 2 x 1
⎛
− [1 + cos x ] = 0
(*) ⇔ ⎢1 − cos ⎜ x − ⎟ ⎥

2⎣
2 ⎠ ⎦ cos2 x 2
⎝

(1 − sin x ) (1 − cos2 x )

− (1 + cos x ) = 0
1 − sin 2 x
1 − cos2 x
− (1 + cos x ) = 0
⇔
1 + sin x
⎡ 1 − cos x
⎤
− 1⎥ = 0
⇔ (1 + cos x ) ⎢
⎣ 1 + sin x
⎦
⇔ (1 + cos x ) ( − cos x − sin x ) = 0
⇔

⎡cos x = −1 ( nhaändo cos x ≠ 0 )
⇔ ⎢
⎣ tgx = −1
⎡ x = π + k2π
⇔ ⎢
⎢ x = − π + kπ
⎣
4
Baø i 46 : Giả i phương trình

sin 2x ( cot gx + tg2x ) = 4 cos2 x ( * )

⎧sin x ≠ 0
Điề u kiệ n : ⎨
⎩cos 2x ≠ 0

⇔

⎧sin x ≠ 0
⎨
2
⎩2 cos x − 1 ≠ 0

⇔

cos x sin 2x
+
sin x cos 2x
cos 2x cos x + sin 2x sin x
=
sin x cos 2x
cos x
=
sin x cos 2x
cos x
⎛
⎞
2
Lú c đó : (*) ⇔ 2 sin x cos x ⎜
⎟ = 4 cos x

⎝ sin x cos 2x ⎠
Ta coù : cot gx + tg2x =

⎧cos x ≠ ±1
⎪
⎨
2
⎪cos x ≠ ±
2
⎩


2 cos2 x
= 4 cos2 x ( Do sin x ≠ 0 )
⇔
cos 2x
⎡
⎛
⎞
2
vaø ≠ ±1 ⎟
⎡cos x = 0
⎢cos x = 0 ⎜ Nhaän do cos x ≠
⎜
⎟
2
⎝
⎠
⇔ ⎢ 1
⇔ ⎢

⎢
⎢
=2
1
π
⎣ cos 2x
⎢cos 2x = = cos , ( nhaän do sin x ≠ 0)
2
3
⎣
π
⎡
⎢ x = 2 + kπ
⇔ ⎢
( k ∈ Z)
⎢ x = ± π + kπ
⎢
6
⎣
Bà i 47 : Giả i phương trình:
cot g 2 x − tg 2 x
= 16 (1 + cos 4x )
cos 2x
cos2 x sin 2 x
−
Ta coù : cot g 2 x − tg 2 x =
sin2 x cos2 x
cos4 x − sin4 x 4 cos 2x
=
=

sin2 x cos2 x
sin2 2x
⎧sin 2x ≠ 0
Điề u kiệ n : ⎨
⇔ sin 4x ≠ 0
⎩cos 2x ≠ 0
4
= 16 (1 + cos 4x )
Lú c đó (*) ⇔
sin2 2x
⇔ 1 = 4 (1 + cos 4x ) sin2 2x

⇔ 1 = 2 (1 + cos 4x ) (1 − cos 4x )

(

)

⇔ 1 = 2 1 − cos2 4x = 2 sin 2 4x
1
( nhaän do sin 4x ≠ 0)
2
1
1
⇔ (1 − cos 8x ) =
2
2
π kπ
⇔ cos 8x = 0 ⇔ x =
+

,k ∈
16
8
⇔ sin2 4x =

Bà i 48: Giải phương trình: sin 4 x + cos4 x =

⎧
π⎞
⎛
⎪sin ⎜ x + 3 ⎟ ≠ 0
⎪
⎝
⎠
Điề u kiệ n ⎨
⇔
⎪sin ⎛ π − x ⎞ ≠ 0
⎜
⎟
⎪
⎝6
⎠
⎩

⎧
⎛
⎪sin ⎜ x +
⎪
⎝
⎨

⎪cos ⎛ x +
⎜
⎪
⎝
⎩

π⎞
7
⎛
⎛π
⎞
cot g ⎜ x + ⎟ cot g ⎜ − x ⎟ ( *)
8
3⎠
⎝
⎝6
⎠

π⎞
⎟≠0
3⎠
π⎞
⎟≠0
3⎠

2π ⎞
⎛
⇔ sin ⎜ 2x +
⎟≠0
3 ⎠

⎝


1
3
⇔ − sin 2x +
cos 2x ≠ 0
2
2
⇔ tg2x ≠ 3

(

Ta coù : sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x

)

2

− 2sin2 x.cos2 x = 1 −

1
sin2 2x
2

π⎞
π⎞ ⎛π
⎛
⎛π
⎞

⎛
⎞
Vaø : cot g ⎜ x + ⎟ .cot g ⎜ − x ⎟ = cot g ⎜ x + ⎟ .tg ⎜ + x ⎟ = 1
3⎠
3⎠ ⎝3
⎝
⎝6
⎠
⎝
⎠
1
7
Luù c đó : (*) ⇔ 1 − sin2 2x =
2
8
1
1
⇔ − (1 − cos 4x ) = −
4
8
1
⇔ cos 4x =
2
π
π kπ
⇔ 4x = ± + k2π ⇔ x = ±
+
3
12
2

3
(nhậ n do tg2x = ±
≠ 3)
3

Bà i 49: Giả i phương trình 2tgx + cot g2x = 2 sin 2x +

1
( *)
sin 2x

⎧cos 2x ≠ 0
Điề u kiệ n : ⎨
⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ ±1
⎩sin 2x ≠ 0
2 sin x cos 2x
1
+
= 2 sin 2x +
Lú c đó : (*) ⇔
cos x
sin 2x
sin 2x
2
2
⇔ 4 sin x + cos 2x = 2 sin 2x + 1

(

)

⇔ 4 sin2 x + 1 − 2 sin 2 x = 8 sin2 x cos2 x + 1

(

)

⇔ 2 sin2 x 1 − 4 cos2 x = 0
⇔ 2 sin2 x ⎡1 − 2 (1 + cos 2x ) ⎤ = 0
⎣
⎦
⎡sin x = 0 ( loaïi do sin 2x ≠ 0 ⇒ sin x ≠ 0 )
⇔⎢
⎢cos 2x = − 1 = cos 2π ( nhaän do cos 2x ≠ ±1)
⎢
2
3
⎣
2π
⇔ 2x = ±
+ k2π ( k ∈ Z )
3
π
⇔ x = ± + kπ, k ∈
3

Baø i 51: Giả i phương trình:

3 ( sin x + tgx )
tgx − sin x

− 2 (1 + cos x ) = 0 ( *)


sin x
− sin x ≠ 0
cos x
⎧sin x ≠ 0
sin x (1 − cos x )
⎪
≠ 0 ⇔ ⎨cos x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ 0
⇔
cos x
⎪cos x ≠ 1
⎩
Điề u kiệ n : tgx − sin x ≠ 0 ⇔

Lú c đó (*)⇔

⇔

3 ( sin x + tgx ) .cot gx
− 2 (1 + cos x ) = 0
( tgx − sin x ) .cot gx

3 ( cos x + 1)
− 2 (1 + cos x ) = 0
(1 − cos x )

3

− 2 = 0 ( do sin x ≠ 0 neân cos x + 1 ≠ 0)
1 − cos x
⇔ 1 + 2 cos x = 0
1
⇔ cos x = − (nhậ n so vớ i điề u kiệ n )
2
2π
+ k2π, k ∈
⇔ x=±
3
Bà i 52 : Giả i phương trình
2
2
(1 − cos x ) + (1 + cos x ) − tg 2 x sin x = 1 1 + sin x + tg 2 x *
(
)
( )
4 (1 − sin x )
2
⇔

⎧cos x ≠ 0
Điề u kiệ n : ⎨
⇔ cos x ≠ 0
⎩sin x ≠ 1
2 (1 + cos2 x )
sin 3 x
1
sin 2 x
−

= (1 + sin x ) +
Luù c ñoù (*)⇔
4 (1 − sin x ) 1 − sin 2 x 2
1 − sin 2 x

⇔ (1 + cos2 x ) (1 + sin x ) − 2 sin 3 x = (1 + sin x ) (1 − sin 2 x ) + 2 sin 2 x
⇔ (1 + sinx ) (1 + cos2 x ) = (1 + sin x ) cos2 x + 2 sin 2 x (1 + sin x )
⎡1 + sin x = 0
⇔ ⎢
2
2
2
⎣1 + cos x = cos x + 2 sin x
⎡sin x = −1 ( loaïi do cos x ≠ 0 )
⇔ ⎢
⇔ cos2x = 0
⎣1 = 1 − cos 2x
π
⇔ 2x = + kπ
2
π
π
⇔ x = + k (nhậ n do cosx ≠ 0)
4
2

Bà i 53 : Giả i phương trình
Điề u kiệ n cos 5x ≠ 0
Lú c đó : (*) ⇔ cos 3x.

cos 3x.tg5x = sin 7x ( * )

sin 5x
= sin 7x
cos 5x


⇔ sin 5x.cos 3x = sin 7x.cos 5x
1
1
⇔ [sin 8x + sin 2x ] = [sin12x + sin 2x ]
2
2
⇔ sin 8x = sin12x
⇔ 12x = 8x + k2π ∨ 12x = π − 8x + k2π
kπ
π kπ
∨ x=
+
⇔x =
2
20 10
So lạ i vớ i điề u kiệ n
kπ
5kπ
kπ
x=
thì cos 5x = cos
= cos
(loạ i nế u k lẻ )

2
2
2
kπ
π
⎛ π kπ ⎞
x=
thì cos 5x = cos ⎜ +
+
⎟ ≠ 0 nhận
2 ⎠
20 10
⎝4
π kπ
+
Do đó : (*)⇔ x = hπ ∨ x =
, vớ i k, h ∈
20 10
Bà i 54 : Giả i phương trình
sin4 x + cos4 x 1
= ( tgx + cot g2x ) ( *)
sin 2x
2
Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0

Ta có : sin 4 x + cos4 x = ( sin 2 x + cos2 x ) − 2 sin 2 x cos2 x
2

=1−

1
sin2 2x
2

sin x cos 2x
+
cos x sin 2x
sin 2x sin x + cos x cos 2x
=
cos x sin 2x
cos ( 2x − x )
1
=
=
cos x sin 2x sin 2x
1
1 − sin 2 2x
1
2
Do đó : (*) ⇔
=
sin 2x
2 sin 2x
1
1
⇔ 1 − sin 2 2x =
2
2
2
⇔ sin 2x = 1 ( nhaän do sin 2x ≠ 0 )

tgx + cot g2x =

⇔ cos2 2x = 0
π
+ kπ, k ∈
2
π kπ
, k ∈
⇔x = +
4
2
⇔ 2x =

Baø i 55 : Giả i phương trình
tg 2 x.cot g 2 2x.cot g3x = tg 2 x − cot g 2 2x + cot g3x ( * )
Điề u kiệ n : cos x ≠ 0 ∧ sin 2x ≠ 0 ∧ sin 3x ≠ 0


⇔ sin 2x ≠ 0 ∧ sin 3x ≠ 0

Luùc ñoù (*) ⇔ cotg3x ( tg 2 x cot g 2 2x − 1) = tg 2 x − cot g 2 2x
⎡⎛ 1 − cos 2x ⎞ ⎛ 1 + cos 4x ⎞
⎤ 1 − cos 2x 1 + cos 4x
⇔ cot g3x ⎢⎜
−
⎟⎜
⎟ − 1⎥ =
⎣⎝ 1 + cos 2x ⎠ ⎝ 1 − cos 4x ⎠
⎦ 1 + cos 2x 1 − cos 4x

⇔ cot g3x ⎡(1 − cos 2x )(1 + cos 4x ) − (1 + cos 2x )(1 − cos 4x ) ⎤
⎣
⎦
= (1 − cos 2x )(1 − cos 4x ) − (1 + cos 4x )(1 + cos 2x )

⇔ cot g3x [ 2 cos 4x − 2 cos 2x ] = −2 ( cos 4x + cos 2x )
cos 3x
[ −4 sin 3x sin x] = −4 cos 3x cos x
sin 3x
⇔ cos 3x sin x = cos 3x cos x
( do sin 3x ≠ 0)
⇔

⇔ cos 3x = 0 ∨ sin x = cos x
π
+ kπ ∨ tgx = 1
2
π kπ
π
⇔x= +
∨ x = + lπ ( k, l ∈ Z )
6
3
4
So vớ i điề u kiệ n : sin 2x.sin 3x ≠ 0
π kπ
⎛ π 2kπ ⎞
⎛π
⎞
* Khi x = +

thì sin ⎜ +
⎟ .sin ⎜ + kπ ⎟ ≠ 0
3 ⎠
6
3
⎝3
⎝2
⎠
⎛ 1 + 2k ⎞
⇔ sin ⎜
⎟π ≠ 0
⎝ 3 ⎠
Luô n đú n g ∀ k thỏa 2k + 1 ≠ 3m ( m ∈ Z )
⇔ 3x =

* Khi x =

π
2
⎛π
⎞
⎛ 3π
⎞
+ lπ thì sin ⎜ + 2lπ ⎟ sin ⎜
+ 3lπ ⎟ = ±
≠0
2
4
⎝2
⎠

⎝ 4
⎠

luoâ n đú n g

π kπ
⎡
⎢ x = 6 + 3 , k ∈ Z ∧ 2k ≠ 3m − 1 ( m ∈ )
Do đó : (*) ⇔ ⎢
⎢ x = π + lπ, l ∈
⎢
4
⎣
Caù c h khaù c:
(*) ⇔ cotg3x ( tg 2 x cot g 2 2x − 1) = tg 2 x − cot g 2 2x

tg 2 x − cot g 2 2x tg 2 2x.tg 2 x − 1
=
tg 2 x cot g 2 2x − 1 tg 2 x − tg 2 2x
(1 + tg2x.tgx ) (1 − tg2x.tgx )
⇔ cot g3x =
(tg2x − tgx) ( tg2x + tgx)
⇔ cot g3x = cot gx. cotg3x ⇔ cos 3x = 0 ∨ sin x = cos x

⇔ cot g3x =

BÀI TẬP


1.

2.

3.

⎛π
⎞
Tìm cá c nghiệ m trê n ⎜ , 3π ⎟ củ a phương trình:
⎝3
⎠
5π ⎞
7π ⎞
⎛
⎛
sin ⎜ 2x +
⎟ − 3 cos ⎜ x −
⎟ = 1 + 2 sin x
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
⎛ π⎞
Tìm cá c nghiệ m x trê n ⎜ 0, ⎟ củ a phương trình
⎝ 2⎠
2
2
sin 4x − cos 6x = sin (10, 5π + 10x )
Giả i cá c phương trình sau:
a/ sin 3 x + cos3 x = 2 sin5 x + cos5 x

(

)

sin x + sin 2x + sin 3x
= 3
cos x + cos 2x + cos 3x
1 + cos x
c/ tg 2 x =
1 − sin x
d/ tg2x − tg3x − tg5x = tg2x.tg3x.tg5x
4
e/ cos x = cos2 x
3
π⎞
1
1
⎛
+
f/ 2 2 sin ⎜ x + ⎟ =
4 ⎠ sin x cos x
⎝
2
i/ 2tgx + cot g2x = 3 +
sin 2x
2
h/ 3tg3x + cot g2x = 2tgx +
sin 4x
2
2

2
k/ sin x + sin 2x + sin 3x = 2
sin 2x
+ 2 cos x = 0
l/
1 + sin x
b/

m/

25 − 4x 2 ( 3sin 2πx + 8 sin πx ) = 0

sin x.cot g5x
=1
cos 9x
2
= 2tg2x − cot g4x
o/ 3tg6x −
sin 8x
p/ 2 sin 3x 1 − 4 sin 2 x = 1
n/

(

q/ tg 2 x =

)

1 + cos x
1 − sin x

r/ cos3 x cos 3x + sin 3 x sin 3x =

2
4

⎛x⎞
⎛x⎞ 5
s/ sin4 ⎜ ⎟ + cos4 ⎜ ⎟ =
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠ 8
3
3
t/ cos x − 4 sin x − 3 cos x sin2 x + sin x = 0
x
x
u/ sin4 + cos4 = 1 − 2sin x
2
2


π⎞
π⎞
⎛
⎛
v/ sin ⎜ 3x − ⎟ = sin 2x.sin ⎜ x + ⎟
4⎠
4⎠
⎝
⎝

( 2 − sin x ) sin 3x
w/ tg x + 1 =
2

4

4.

cos4 x

x
⎛
⎞
y/ tgx + cos x − cos2 x = sin x ⎜ 1 + tg tgx ⎟
2
⎝
⎠
Cho phương trình: ( 2 sin x − 1)( 2 cos 2x + 2 sin x + m ) = 3 − 4 cos2 x (1)

a/ Giả i phương trình khi m = 1
b/ Tìm m để (1) có đú n g 2 nghiệ m trê n [ 0, π ]
5.

( ÑS: m = 0 ∨ m < −1 ∨ m > 3 )
Cho phương trình:
4 cos5 x sin x − 4 sin5 x.cos x = sin2 4x + m (1)
Biế t rằ n g x = π là mộ t nghiệ m củ a (1). Hã y giả i phương trình trong trườ n g
hợ p đó .

Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi Đại học CLC Vĩnh Viễn