Phương trình lượng giác cơ bản và nâng cao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (49.95 MB, 132 trang )

MỤC LỤC

Trang

Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5

Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác --------------------------- 32
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 35
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 62
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 87
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng --------------------------------------------------------------- 93
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ---------------------------------------------------- 101
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 104

H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương ---------- 106
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 112
I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------ 116
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 125

" Cần cù bù thông minh…………" Page 1

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG


 Công thức cơ bản

● ● ●

● ● ●

 Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba

● ●

● ●

● ●

 Công thức cộng cung

● ●

● ●

● ●

 Công thức biến đổi tổng thành tích

● ●

● ●

● ●

 Công thức biến đổi tích thành tổng

● ●

●

 Một số công thức thông dụng khác

● ●

● ●

Page 2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Để giải được phương trình lượng giác cũng như các
ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả
những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công

cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên:
"Phương trình lượng giác"

 Một số lưu ý:

 Điều kiện có nghiệm của phương trình là: .

 Khi giải phương trình có chứa các hàm số hoặc , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết
phải đặt điều kiện để phương trình xác định. .

 Phương trình chứa , điều kiện:

 Phương trình chứa , điều kiện: .

 Phương trình chứa cả và , điều kiện: .

 Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để
kiểm tra điều kiện:
 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị
ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.
 Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của
nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận
nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác có

số đo là với thì có điểm trên đường tròn

lượng giác cách đều nhau".
Ví dụ 1: Nếu sđ thì có một điểm tại vị trí (ta chọn ).

Ví dụ 2: Nếu sđ thì có 2 điểm tại vị trí và (ta chọn ).

Ví dụ 3: Nếu sđ thì có 3 điểm tại các vị trí và , .

Ví dụ 4: Nếu sđ thì có 4 điểm tại các vị trí , , ;
và
(ứng với các vị trí ).

Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung

Biểu diễn cung trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: và

Biểu diễn cung trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: và .

Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và

" Cần cù bù thông minh…………" Page 3

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

cung tổng hợp là: /3
5/6 –/6

 Đối với phương trình ta không nên giải

trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện O
rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là: 4/3

. Tương tự đối với phương trình

ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức

. Lúc đó:

 Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''

 Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là
một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.

 Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là , còn các cung

góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:

 Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là , còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:

 Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và
ngược lại, tức là:

 Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này:
Giải phương trình lượng giác:
Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình
, vậy còn phương trình thì sao ?

Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi:

.

Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như
thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.

Page 4 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

 Một số cung góc hay dùng khác:

và .

A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

 Dạng: Đặc biệt:

 Dạng: Đặc biệt:

 Dạng: Đặc biệt:
 Dạng: Đặc biệt:

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Giải phương trình:
Bài 2. Giải phương trình:
Bài 3. Giải phương trình:
Bài 4. Giải phương trình:
Bài 5. Giải phương trình:

Bài 6. Giải phương trình:

Bài 7. Giải phương trình:

" Cần cù bù thông minh…………" Page 5

Bài 8. Giải phương trình: Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
.
Bài 9. Giải phương trình: .

Bài 10. Giải phương trình: " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Bài 11.

Bài 12. Giải phương trình:

Bài 13. Giải phương trình:
Bài 14. Giải phương trình:
Bài 15. Giải phương trình:
Bài 16. Giải phương trình:
Bài 17. Giải phương trình:
Bài 18. Giải phương trình:
Bài 19. Giải phương trình:
Bài 20. Giải phương trình:
Bài 21. Giải phương trình:
Bài 22. Giải phương trình:
Bài 23. Giải phương trình:
Bài 24. Giải phương trình:
Bài 25. Giải phương trình:
Bài 26. Giải phương trình:
Bài 27. Giải phương trình:
Bài 28. Giải phương trình:
Bài 29. Giải phương trình:

Bài 30. Giải phương trình:
Bài 31. Giải phương trình:

Page 6

Bài 32. Giải phương trình: Page 7
Bài 33. Giải phương trình:
Bài 34. Giải phương trình:
Bài 35. Giải phương trình:
Bài 36. Giải phương trình:
Bài 37. Giải phương trình:
Bài 38. Giải phương trình:
Bài 39. Giải phương trình:
Bài 40. Giải phương trình:
Bài 41. Giải phương trình:
Bài 42. Giải phương trình:
Bài 43. Giải phương trình:
Bài 44. Giải phương trình:
Bài 45. Giải phương trình:
Bài 46. Giải phương trình:
Bài 47. Giải phương trình:
Bài 48. Giải phương trình:
Bài 49. Giải phương trình:
Bài 50. Giải phương trình:

" Cần cù bù thông minh…………"

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



Bài 1. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002

 Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một

cung. Nhưng đưa về cung hay cung ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan

niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung , ta nên đưa về cung

trung gian nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không chứa sin2x (hoặc
cos2x), nên đưa về cung ".

Bài giải tham khảo

Bài 2. Giải phương trình: .
.

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004
Bài giải tham khảo

.

Bài 3. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006

 Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung và , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng

một
cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos
Bài giải tham khảo

Page 8 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Bài 4. Giải phương trình: .

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
Bài giải tham khảo

.

Bài 5. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008

 Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung và cung mà ta nghĩ đến việc chuyển cung về cung
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế

.

Bài 6. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008

 Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung và giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung

khác nhau này về cùng một cung chung là . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý

tưởng đó qua hai cách giải sau đây

Bài giải tham khảo

Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung:

" Cần cù bù thông minh…………" Page 9

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

Điều kiện: .

.
Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''
Ta có:

. Giải tương tự như cách giải 1.

Bài 7. Giải phương trình:
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999

 Lời bình: Từ tổng hai cung giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:

.

Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức: . Nếu

không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan , rồi qui đồng thì bài toán

trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện.

Bài giải tham khảo

ĐK: .

Page 10 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Bài 8. Giải phương trình: .

ĐK: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997
Ta có: Bài giải tham khảo

.
.

.
 Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau

.

Bài 9. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001

 Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin……, hoặc xét tổng
cung của chúng, ……. nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả. Ta hãy xem

giữa hai cung và có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy:

. Từ đó, ta sẽ

đặt và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất.

Bài giải tham khảo

" Cần cù bù thông minh…………" Page 11

Ta có: Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
.
Đặt . Và
.

.

Bài 10. Giải phương trình:
Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999
Bài giải tham khảo

Ta có:

Đặt . Lúc đó

.

Bài 11. Giải phương trình:

Ta có: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999
Bài giải tham khảo
Phương trình: .

.

Đặt . Lúc đó:

Page 12 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

.

Bài 12. Giải phương trình:

Cách giải 1. Trích đề thi tuyển sinh Phân Viện Báo Chí Truyền Thông năm 1998
Đặt Bài giải tham khảo

. Lúc đó:

.

 Lời bình: Trong , tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức . Vậy trong giải

phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn
giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép

để phương trình trở nên đơn giản hơn ".

Cách giải 2.

. Page 13
Cách giải 3.

" Cần cù bù thông minh…………"

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

Vì không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của
phương trình cho , ta được: .

Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm:

Bài 13. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998

Cách giải 1. Bài giải tham khảo
Đặt . Lúc đó:

.
Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải

Bài 14. Giải phương trình:

 Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả
sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu
(hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý

và . Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản,

chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình
tích số.

Bài giải tham khảo

Page 14 .
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Bài 15. Giải phương trình: .

Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000

 Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công
thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo

.

Bài 16. Giải phương trình: .

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001

Bài giải tham khảo

.

Bài 17. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999
Bài giải tham khảo

" Cần cù bù thông minh…………" .
Page 15

Bài 18. Giải phương trình: Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002
Bài giải tham khảo

.

Bài 19. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001
Bài giải tham khảo

.

Bài 20. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998
Bài giải tham khảo

Page 16 .
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Bài 21. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007

 Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung và nhận xét , ta có thể định

hướng nhóm , lại với nhau, để sau khi dùng công thức

tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được

phương trình tích số đơn giản hơn.

Bài giải tham khảo

.

Bài 22. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

.

Bài 23. Giải phương trình:

Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999
Bài giải tham khảo

" Cần cù bù thông minh…………" .
Page 17

Bài 24. Giải phương trình: Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
Bài giải tham khảo

Bài 25. Giải phương trình: .
Bài giải tham khảo

.

Bài 26. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

.

Bài 27. Giải phương trình:
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999

Page 18 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Bài giải tham khảo

.
Bài 28. Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000
Bài giải tham khảo

.

Bài 29. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998
 Cách giải 1 Bài giải tham khảo

.
 Cách giải 2

.

Bài 30. Giải phương trình:
" Cần cù bù thông minh…………" Page 19
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
Bài giải tham khảo

 Cách khác .
Do
Chia hai vế của cho không là nghiệm của phương trình
, ta được:

.

Bài 31. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

 Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa lẫn , nếu ta sử dụng công thức
nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp.
Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất

hiện số nhằm tối giản được với số phức tạp bên vế phải của phương trình.

Page 20 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

Phương trình lượng giác cơ bản và nâng cao

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về