Phụ lục về Tam thức bậc hai & Phương trình bậc 2, 3 pot

Phụ lục về Tam thức bậc hai & Phương trình bậc 2, 3
I) Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (1) :
1) Công thức nghiệm: Tính  = b
2
 4ac
@  < 0: Phương trình vô nghiệm.
@  = 0: Phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a2
b

@  > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x
1,2
=
a2
b 

* Chú ý :
@ Nếu b chẵn thì đặt b’=
2
b
và tính ’ = b’
2
 ac
o ’ < 0: Phương trình vô nghiệm.
o ’= 0: Phương trình có nghiệm kép x

1
= x
2
=
a
'b

o ’ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x
1,2
=
a
''b 

@ Nếu a, c trái dấu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
@ Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a0) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì:
ax
2
+ bx + c = a(xx
1
)(xx
2
).
@ Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x=1 V x=
a

c
.
@ Nếu a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x = 1, x = 
a
c

2) Định lý Viet : Nếu phương trình ax
2
+bx+c= 0 (1) (a  0) có 2 nghiệm x
1
,
x
2
(điều kiện
  0 ) thì tổng và tích các nghiệm là: S= x
1
+ x
2
=
a
b
 và P = x
1
. x
2
=
a
c

3) Định lý đảo Viet: Nếu hai số x và y nghiệm đúng hệ thống x+y=S và

xy=P (S
2
4P0)
thì x, y là nghiệm của phương trình bậc hai dạng:X
2
– SX + P = 0 (phương
trình tổng tích)
4) Xét dấu các nghiệm x
1 ,
x
2
của phương trình (1):
@ x
1.
x
2
< 0  P < 0
@ 0 < x
1
 x
2
   0 và S > 0 và P > 0
@ x
1
 x
2
< 0   0 và S < 0 và P > 0
@ x
1 .
x

2
> 0    0 và P > 0. Với  = b
2
-4ac ; S =
a
b
 và P =
a
c

Các biểu thức đối xứng thường gặp:
P2Sxx
22
2
2
1
 ;
PS
3Sxx
33
2
3
1
 ;
P
S
x
1
x
1

21


5) Dấu của tam thức bậc 2:
a) Dấu của tam thức bậc 2 : f(x) = ax
2
+bx+c (a0):Tính  = b
2
-4ac. Ta
có:
  < 0 : f(x) vô nghiệm af(x) > 0 , x|R
  = 0 : f(x) có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a2
b
  af(x) > 0, x|R\
a2
b
 
  > 0 : f(x) có 2 nghiệm phân biệt : x
1,2
=
a
2
b 
(giả thiết x
1

< x
2
)

b) Điều kiện cho f(x) = ax
2
+bx+c ( a

0 ):
 f(x) > 0  x  R






0
0a
 f(x)  0  x  R






0
0a

f(x) < 0  x  R







0
0a
 f(x)  0  x  R






0
0a

c) Định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2: f(x) = ax
2
+bx+c (a

0):
Nếu có số  làm cho af() < 0 thì phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm
phân biệt x
1
và x
2
(x
1
< x

2
) và x
1
<  < x
2

d) So sánh số

với các nghiệm của f(x)= ax
2
+bx+c = 0 (a

0) :
Tính af();  = b
2
-4ac và 
a2
b
2
S
.
1. x
1
<  < x
2
 af() < 0
2.  < x
1
< x
2


0
2
S
0)(af
0




Với
a2
b
2
S


3.














a2
b
2
s
0)(af
0
xx
21

4. f() = 0  x
1
=  V x
2
= 
a
b

5.Từ 4 trường hợp cơ bản này ta có thể so sánh các số  và  với
các nghiệm của phương trình f(x) = ax
2
+bx+c = 0.
Lưu ý : Nếu có af() < 0 thì không cần điều kiện  > 0.
Trường hợp Điều kiện
 < x
1
<  < x
2
af() > 0 và af() < 0
x

1
<  <  < x
2
af() < 0 và af() < 0
x
1
<  < x
2
<  af() < 0 và af() > 0
( ; ) có chứa 1 nghiệm
và nghiệm kia ngoài
đoạn [ ; ]






0)(f).(f
0a

 < x
1
< x
2
< 
 > 0 và af() > 0 và af() >
0 và
 <
2

S
< 
II. Phương trình bậc 3: ax
3
+bx
2
+cx+d=0 (a

0) (2):
1. Giải và biện luận: Phương trình (2)(x)(ax
2
+b
1
x+c
1
)=0x= V
ax
2
+b
1
x+c
1
=0 (2’)
Biện luận:
@ Phương trình (2’) nghiệm .
@ Phương trình (2’) có nghiệm kép.
@ Phương trình (2’) có 1 nghiệm x=.
@ Phương trình (2’) có 2 nghiệm nghiệm phân biệt khác x=
2. Hệ thức Viet: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm x
1

; x
2
và x
3
thì:
x
1
+ x
2
+ x
3
=
a
b
 ; x
1
.x
2
.x
3
=
a
d
 ; x
1
x
2
+ x
2
x

3
+ x
3
x
1
=
a
c