Bài tập lý thuyết tập hợp và quan hệ doc

ĐẠI HỌC DÂN LẬP VĂN LANG.
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN




BÀI TẬP


LÝ THUYẾT TẬP HP &
QUAN HỆ.








TS Trương Mỹ Dung
NĂM 2003


LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 2




BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT TẬP
HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ.

CHƯƠNG 1. NGÔN NGỮ LOGIC.

CHƯƠNG 2. NGÔN NGỮ TẬP HP.

CHƯƠNG 3. CÁC QUI TẮC ĐẾM.

CHƯƠNG 4. QUAN HỆ.

CHƯƠNG 5. ĐẠI SỐ BOOLE.








LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 3

CHUONG 1.

1. Các câu sau đây có phải là mệnh đề?
q 2 có phải là một số dương?
q 2 + 3 = 5

q 3 – x = 5
q Nhiệt độ trên bề mặt của kim tinh là 800
0
F.
q Nếu thò trường chứng khoán sụt giá, tôi sẽ bò mất tiền.
q Trần Hưng Đạo là một vò tướng tài.
q x+1 là số nguyên dương.
q 9 là số chẳn.
q Hôm nay trời đẹp làm sao!
q Hãy học Toán rời rạc đi.
q Nếu bạn đến trễ thì tôi sẽ xem bóng đá trước.

2. Phủ đònh các mệnh đề sau:
q 2 + 7 ≤ 11
q 2 là số chẳn và 8 là một số lẻ.
q Ngày mai trời sẽ không mưa hay ngày mai trời không có nắng.

3. Trong mỗi câu sau đây, thiết lập mệnh đề tuyển và mệnh đề hợp của p và q:
q p: 3 + 1 < 5 q : 7 = 3*6
q p: Tôi giàu có q : Tôi hạnh phúc.
q p: Tôi sẽ lái xe của tôi. q : Tôi sẽ đến trễ.

4. Cho biết giá trò ĐÚNG, SAI của mỗi mệnh đề sau:
a. 2 ≤ 3 và 3 là số dương.
b. 2 ≥ 3 và 3 là số dương.
c. 2 < 3 và 3 không phải là số dương.
d. 2 ≥ 3 và 3 không phải là số dương.
e. 2 < 3 hay 3 là số dương.
f. 2 ≥ 3 hay 3 là số dương.
g. 2 < 3 hay 3 không phải là số dương.

h. 2 ≥ 3 hay 3 không phải là số dương.

5. Gọi P và Q, R là các mệnh đề:
P: “Bình đang học Toán”
Q:”Bình đang học Tin học”
R”Bình đang học Anh văn”
LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 4
Hãy viết lại các mệnh đề sau dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép nối:

a. Bình đang học Toán, Anh văn, nhưng không học Tin học.
b. Bình đang học Toáùn, Anh văn nhưng không học cùng lúc.
c. Không đúng là Bình đang học Anh văn mà không học Toán.
d. Không đúng là Bình đang học Anh văn hay Tin học mà không học Toán.

6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là phủ đònh của mệnh đề:
“2 là số chẳn và –3 là số âm”
a. 2 là số chẳn và –3 không âm.
b. 2 là số lẻ và –3 không âm.
c. 2 là số chẳn hay –3 không âm.
d. 2 là số lẻ hay –3 không âm.

7. Cùng câu hỏi với câu 5 cho mệnh đề:
“2 là số chẳn hay –3 là số âm.
a. 2 là số chẳn hay –3 không âm.
b. 2 là số lẻ hay –3 không âm.
c. 2 là số chẳn và -3 không âm.
d. 2 là số lẻ và –3 không âm.

8. a. Dùng các phép nối logic để giải hệ phương trình:

(x-1)(y-2) = 0 (1)
(x-2)(y-3) = 0 (2).

b. Chứng minh:
(p⇒q) ⇔ p∩q ; [(p∩q)⇒r] ⇔[p⇒(q⇒r)]

9. Chứng minh các mệnh đề sau là chân đề:
a. p ⇒ p ∨ q b. (p ∨ q) ∨ p c. (p ∨ q) ∨ p
b. [( p ⇒ q) ∩ (a ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)

10. Phủ đònh các mệnh đề sau:
a. ( p ⇒ q )∧ r b. ( p ⇒ q )∨r


11. Trong các mệnh đề sau, cái nào là chân đề, cái nào là nghòch đề :
a. p ⇔ p d. (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒p)
b. p ⇒p e. (p ⇒ q) ∧(p ⇒ r) ∧ (p⇒r)
c. (p ∨ q) ⇔ (p∧q)


LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 5


12. Viết bảng chân trò cho các mệnh đề sau và tìm những mệnh đề nào tương đồng
hoặc có quan hệ kéo theo:
a. p ∧ q d. p ∨ q
b. p => q e. p ∧q
c. p ∨ q

13. p và q là hai mệnh đề, kỳ hiễu p ↑ q chỉ mệnh đề ( p∩q) (ký hiệu ↑ gọi là gạch
Scheffer và mệnh đề p ↑ q gọi là bất tương thích).
a. Lập bảng chân trò hoặc bảng giá trò của p ↑ q.
b. Chứng minh p ∨ q tương đồng với p ↑ q và p∧q tương đồng với (p↑q)↑
(p↑q).
c. Tìm mệnh đề tương đồng với p ∨ q mà chỉ dùng từ nối ↑ mà thôi.

14. Các câu sau đây đều có giá trò ĐÚNG, hãy rút ra kết luận:
§ Hoặc kẻ gian đến bằng xe hơi hoặc người chứng đã lầm
§ Nếu kẻ gian không có tòng phạm thì hắn đến bằng xe hơi
§ Kẻ gian không có tòng phạm và không có chìa khóa hay kẻ gian có tòng
phạm và có chìa khóa.
§ Kẻ gian không có chìa khóa.
Giải: Gọi p, q, r, s lần lượt là các mệnh đề :
p: “Kẻ gian đến bằng xe hơi” r: “Kẻ gian không có tòng phạm”
q: “Người chứng đã lầm” s: “Kẻ gian có chìa khóa”
Viết dưới dạng ký hiệu logic các câu hỏi phát biểu lần lượt có dạng:
p ⊕ q, r ⇒ p, (r ∧ s) ∨ ( r ∧ s ) và s
Kết luận q có giá trò sai, tức là: “Người chứng đã không lầm”

15. Một sinh viên phải trả lời 5 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi chỉ trả lời đúng
hoặc sai:
- không bao giờ có 2 câu hỏi liên tiếp có cùng giải đáp.
- Số câu đúng nhiều hơn câu sai
- Câu đầu và câu cuối có giải đáp giống nhau.
- Câu hỏi duy nhất mà anh biết chắc giải đáp là câu 2 và điều này đảm bảo
các câu trả lới của anh đều chính xác.
Vậy câu số 2 có giải đáp gì? Và cho biết giải đáp của các câu khác.
ĐS =ĐSĐSĐ.

LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 6
CHUONG 2.
1. Cho tập hợp A = {1 9}
B = {1, 2, 4, 6, 8 }
C = { x/ x nguyên dương và x
2
<=16}
D = { 7, 8}
a. Tính A ∪ B, A ∩ C, A\ B, B\ A, A, A ⊕ B.
b. Tính A ∪ B ∪ C, B ∪ C ∪ D, A ∩ B ∩ C, B ∩ C ∩ D .
c. Tính (A ∪ B), (A ∩ B), A ∩ (B ∪ C), (A ∪ B) ∩ D.
2. Cho U là tập hợp các số thực
A = { x / x là nghiệm của phương trình x
2
- 1 = 0}
B = {-1, 4}
Tính A, B, (A∪B), (A∩B).
3. Cho một tập hợp U và A là một tập hợp con của U. f
A
là một hàm số xác đònh trên
U như sau :
f
A
(x) = 1 nếu x∈ A
= 0 nếu x∉ A

và f
A
gọi là hàm đặc trưng của tập hợp con A. Chứng minh
a. f
A∩B
= f
A
. f
B
b. f
A∪B
= f
A
+ f
B
- f
A
f
B
c. f
A⊕B
= f
A
+ f
B
- 2f
A
f
B
4. Biểu diễn các tập hợp bằng các dãy số gồm 0 và 1. U là một tập hợp hữu hạn.

U = {x,x, ,x}, (được xem như là có xếp thứ tự) .
Nếu A là một tập hợp con của U thì
f
A
(x) = 1 nếu x ∈ A
0 nếu x ∉ A
Thí dụ: U = { a, b, e, g, h, r, s, w}

f
U
=

A = {a, e, r, w} thì

f
A
=

Cho U = {ALGOL, FORTRAN, BASIC, COBOL, ADA, PLI, PASCAL, LISP}
B = {ALGOL, BASIC, ADA}
C = {ALGOL, ADA, PASCAL, LISP}
D = {FORTRAN, BASIC, ADA, PLI}
E = {ALGOL, COBOL, ADA, PASCAL, LISP}
Hãy biểu diễn các tập hợp sau theo hàm đặc trưng (Bảng 0, 1)
a. B ∪ C c. C ∩ D e. C ∩ (B∪E)
b. B ∪ ( D∩E) d. B ∩ E
1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 0 1

LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 7
5. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a. ∅ ∈ ∅ b. ∅ ⊂ ∅ c. { x, y, z} ∩ {z, y, a} = {z, y}
d. Nếu a = {a, b, c, d}, b = {b, c, d} thì B ⊕ A = {a, d} .
6. Cho A, B, C, D là tập con của tập X. Hãy chứng minh:
§ Nếu A ⊂ B và C ⊂ D thì A ∩ C ⊂ B ∩ D và A ∪ C ⊂ B ∪ D
§ A ⊂ C và B ⊂ C thì A ∩ B ⊂ C và A ∪ B ⊂ C.
§ A ⊂ B khi và chỉ khi A ∩ B = ∅.
§ A ⊂ B khi và chỉ khi A ∪ B = X.
7. Trong số các khẳng đònh dưới đây, hãy cho biết khẳng đònh nào đúng:
§ ∀ A, B, C ⊂ X, ( A∩C = B∩C) ⇒ ( A = B)
§ ∀ A, B, C ⊂ X, ( A∪C = B∪C) ⇒ ( A = B)
§ ∀ A, B, C ⊂ X, ( A∩C = B∩C) ∧ ( A∪C = B∪C) ⇒ ( A = B)
§ ℘(A∪B) = ℘(A) ∪ ℘(B).
§ ℘(A∩B) = ℘(A) ∩℘(B).
8. Cho A, B, C, D là tập con của tập X. Hãy cho biết qui luật nào của Tập hợp (2.3.3)
được sử dụng trong các bước đơn giản tập hợp dưới đây:
Bước Qui luật
§ ( A∩ B) ∪ {B ∩ (( C∩ D) ∪(C∩ D))}
§ ( A∩ B) ∪ {B ∩ ( C∩ (D∪ D))}
§ ( A∩ B) ∪ {B ∩ ( C∩ X }
§ ( A∩ B) ∪ (B ∩ C)
§ B ∩ (A ∪ C)
9. Đơn giản các biểu thức sau:
§ A ∩ ( B ∩ A)
§ ( A∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C∩ D) ∪(A∩ B)
§ A ∪ A ∪ (A ∩ B ∩ C)
§ A ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪(A∩ B∩C∩D)
10. Liệt kê các phân tử của các tập hợp sau đây :

a. { x: x∈ Z và x
2
< 10} b. Tập hợp các số nguyên tố dương <50
c. { x: x>0 và x
2
- x -2 = 0} d. {x ∈ Z: x
3
<220, x>0 và x ≠ 5}
e. { x = m/ n, |x| <1/2 ; n ,m: số nguyên dương và m<10}

11. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập hợp rỗng :
a. (P ∪ Q) ∩ (P ∪ Q) c. (P ∩ Q) \ P
b. (P ∩ Q) ∩ ( Q ∩ R) d. (P ∪ Q) ∩ (P ∪ Q).
12. Giả sử tỷ lệ người mắc bệnh ung thư phổi là 15/100 người. Người ta cũng ước tính
rằng có 75% những người bò bệnh ung thư có hút thuốc lá và 60% những người
không bò ung thư có hút thuốc lá. Hãy ước tính tỷ lệ những người mắc bệnh ung
thư phổi trong số những người hút thuốc lá và tỷ lệ những người mắc bệnh trong số
những người không hút thuốc lá.

LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 8
13. Trên một chiếc máy bay có 9 bé trai, 5 bé Việt, 9 người đàn ông, 7 bé trai
ngoại quốc, 14 người Việt, 6 người Việt phái nam, 7 người nữ ngoại quốc. Vậy
máy bay có bao nhiêu người?

14. Khảo sát trên 500 người xem truyền hình có các số liệu sau :
n 285 người có xem cải lương. n 196 người có xem kòch.
n 115 người có xem ca nhạc n 45 người có xem cải lương và ca
nhạc
n 70 người có xem cải lương và kòch n 50 người có xem kòch và ca nhạc.

n 50 người không xem môn nào cả
a. Có bao nhiêu người có xem cả 3 bộ môn trên.
b. Có bao nhiêu người xem đúng một trong 3 bộ môn trên .

15. Trong một cuộc khảo sát thói quen đọc báo của các sinh viên người ta thấy rằng :
n 60% đọc tạp chí A n 50% đọc tạp chí B
n 50% đọc tạp chí C n 30% đọc tạp chí A và B
n 20% đọc tạp chí B và C n 30% đọc tạp chí A và C
n 10% đọc cả 3 tạp chí
a. Cho biết tỷ lệ đọc đúng 2 tạp chí
b. Cho biết tỷ lệ không đọc tạp chí nào.

16. Khi thống kê số sinh viên học ngoại ngữ trong một trường học,người ta có các số
liệu sau đây :
n 28 sinh viên học tiếng Anh n 23 sinh viên học tiếng Pháp
n 23 sinh viên học tiếng Đức n 12 sinh viên học tiếng Anh và
Pháp n 11 sinh viên học tiếng Anh và Đức
n 8 sinh viên học tiếng Pháp và Đức n 5 sinh viên học
cả ba thứ tiếng
Giả sử mỗi sinh viên trong trường đều học ngoại ngữ, tìm tổng số sinh viên của trường.

17. Cùng hỏi như câu (2) nếu các số liệu lần lượt là 35, 23, 13, 6, 11, 4,1.

18. Nếu Card(A) = Card(A ∩ B) thì A và B có quan hệ như thế nào?

19. Nếu Card(A) = Card (A ∪ B) thì A và B có quan hệ như thế nào?

20. Giả sử A ∩ B = ∅, B ∩ C = ∅, Card (A) = 3, Card (C) = 5, Card (A∩C) =2 và
Card(A ∪ B ∪ C) = 10. Tìm Card (B)?

LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 9
CHUONG 3.
1. Đối với mỗi ánh xạ dưới đây, hãy xác đònh xem nó có là đơn ánh không? Tìm ảnh
của miền xác đònh của ánh xạ trên:
§ f: Z → Z, f(x) = 2x + 1.
§ f: Q → Q, f(x) = 2x + 1.
§ f: Z → Z, f(x) = x
3
+ 1.

2. Cho ánh xạ f: R → R xác đònh bởi f(x) = x
2
. Hãy tìm f(A) đối với mỗi tập hợp A
dưới đây:
§ A= {2,3}
§ A= {-3,-2,2,3}
§ A=[-7,2]
§ A= (-4,-3] ∪ {5,6].

3. Cho trước 2 tập con cố đònh S, T ⊂ X. Đònh nghóa ánh xạ
f : ℘(X) → ℘(X)
A → f(A) = T ∩ (S∪A).
Chứng minh f
2
= f.

4. Cho 2 ánh xạ f: A →B, g:B→C:
§ Chứng minh nếu gof đơn ánh thì f đơn ánh.
§ Chứng minh nếu gof toàn ánh thì g toàn ánh.
§ Chứng minh nếu g và f song ánh thì gof là song ánh. Hãy tìm (gof)
-1
.

5. Có 5 con đường để đi từ Thành phố A đến Thành phố B. Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách đi từ A đến B và quay trở về.
b. Nếu không trở về cùng mộït đường như lúc đã đi thì có bao nhiêu cách?

6. Có bao nhiêu cách hoán vò n mẫu tự khác nhau, mỗi mẫu tự có thể lập lại n lần
trong một hoán vò. ( ĐS: n
n
cách )

7. Có bao nhiêu cách thành lập 1 số gồm 6 chữ số trong đó có 2 chữ số 1, 3 chữ số 2
và 1 chữ số 3. (ĐS : 6! / 2! = 60 cách).
8. Chứng minh tính chất

k

n

=

k

n-1

k
-
1

n-1

+

LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 10



9. Chứng minh nếu tập hợp X hữu hạn có n phân tử thì X có 2
n
tập hợp con.
10. Trong một nhà máy, mỗi sản phẩm phải đi qua 5 cái máy A, B, C, D, E.
a. Có bao nhiêu lộ trình có thể có nếu không kể thứ tự của các máy.(ĐS=5!)
b. Có bao nhiêu lộ trình nếu sản phẩm phải qua A trước B, D, qua C trước E.
11. Trong một tập thể 20 người có 10 đọc tạp chí A, 8 đọc tạp chí B, và 3 đọc
cả hai. Có bao nhiêu cách để chọn ra 5 người trong số 20 trong mỗi trường
hợp sau:
a. Mỗi người có ít nhất đọc một tạp chí.
b. Mỗi người chỉ đọc đúng một tạp chí trong đó 3 người chỉ đọc A, 2 người chỉ
đọc B.
c. Ít nhất 3 người có đọc tạp chí A .

12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người đàn ông và 6 người đàn bà trên một hàng nếu:
a. Mọi người có thể ngồi bất kỳ.
b. Một người đàn ông và một người đàn bà ngồi xen kẽ nhau .

13. Một kệ sách dùng để trình bày 6 quyển sách mới. Giả sử có 8 quyển sách về máy
tính (MT) và 5 quyển tiếng Pháp cần trình bày. Nếu ta muốn chọn 4 quyển MT và
2 quyển tiếng Pháp để giới thiệu. Có bao nhiêu cách trình bày nếu ta đòi hỏi các
quyển sách cùng loại phải đặt cạnh nhau .
14. Một người muốn quảng cáo trên 6 tờ tạp chí, 3 tờ nhật báo, 2 đài truyền hình và 4
đài phát thanh, Có bao nhiêu cách để 6 cuộc quảng cáo được thực hiện nếu:
a . Cả 6 cuộc đều dùng tạp chí.
b. 2 cuộc dùng tạp chí, 2 cuộc dùng nhật báo, 1 dùng truyền hình, 1 dùng đài
phát thanh .
15. Một cái bình chứa 15 viên bi trong đó có 8 bi đỏ và 7 bi đen. Có bao nhiêu cách
rút ra 5 viên bi sao cho:
a . Cả 5 viên bi đều đỏ. b. Cả 5 viên bi đều đen.
c . 7 bi đỏ và 3 bi đen. d. 2 đen và 3 đỏ.
16. Một nhóm gồm 5 người đàn ông và 6 người đàn bà, Có bao nhiêu cách để 8
người trong số trên ngồi vào 1 hàng có 8 ghế. Biết rằng 2 ghế ở giữa luôn dành
cho phụ nữ .
17. a. Tìm hệ số của số hạng x
2
y
3
z
2
khi khai triển (x + y + z)
7
(ĐS=210)
b. Tìm hệ số của hạng x
6
y
3

z
2
khi khai triển (x - 2y + 5z)
11
(ĐS = - 924 000)

18. Khai triển (x + y + z)
4
.
LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 11

CHUONG 4.
1. Trong các quan hệ sau, cho biết quan hệ nào có tính phản xạ, đối xứng, phản
đối xứng, bắc cầu:
§ C là tập con cố đònh của X, xét quan hệ ℜ trên ℘(X):
A ℜ B ⇔ A ∩ C = B ∩ C
§ Quan hệ ℜ trên Z : x ℜ y ⇔ x + y chẳn.
§ Quan hệ ℜ trên Z : x ℜ y ⇔ x – y lẽ.
§ Quan hệ ℜ trên Z x Z: (x,y) ℜ (x’,y’) ⇔ x ≤ y.
§ Quan hệ ℜ trên Z : x ℜ y ⇔ x
2
+ y
2
chẳn.
§ Quan hệ ℜ trên R : x ℜ y ⇔ Abs(x) = Abs(y).

2. Cho A={1,2,3,4,5,6}, ℜ={(1,1),(1,2),
(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}
§ Kiểm tra lại ℜ là một quan hệ tương đương.

§ Tìm các lớp tương đương.
§ Tìm phân hoạch của A thành các lớp tương đương.

3. Cho A={1,2,3,4,5}, A
1
= {1,2}, A
2
= {2,3,4}. A
3
= {5}. Đònh nghóa quan
hệ ℜ trên A như sau:
x ℜ y ⇔ ∃ i: 1≤ i≤ 3 và x, y ∈ A
i

ℜ có phải là quan hệ tương đương không?

4. Xét quan hệ ℜ trên A = R
2
sao cho
(x,y) ℜ (x’,y’) ⇔ x = x’.
§ Kiểm tra lại ℜ là một quan hệ tương đương.
§ Chỉ ra các lớp tương đương và cho biết ý nghóa hình học.

5. Cho A={1,2,3,4,5}x{1,2,3,4,5} và ℜ là quan hệ trên A sao cho
(x,y) ℜ (x’,y’) ⇔ x + y = x’+ y’.
§ Kiểm tra lại ℜ là một quan hệ tương đương.
§ Xác đònh các lớp tương đương [(1,3)],[2,4)] và [(1,1)].
§ Chỉ ra phân hoạch của A thành các lớp tương đương.

6. Xét ánh xạ f: A → B. Quan hệ ℜ trên A được đònh nghóa như sau:

x ℜ y ⇔ f(x) = f(y).
§ Chứng minh ℜ là một quan hệ tương đương.
§ Xác đònh các lớp tương đương.

LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 12


7. Vẽ biểu đồ HASSE cho tập hợp sắp thứ tự(℘(X),⊂), trong đó X={1,2,3,4}
8. Vẽ biểu đồ HASSE của:
§ (℘({1,2,3},⊆). • E
1
={ước dương của 42}
9. Giả sử A=℘(X={1,2,3}, ⊂). Tìm Supp và Inf của tập con B ⊂ A sau đây:
§ B={{1},{2}}.
§ B={{1},{2},{3},{1,2}}
§ B={{∅},{1},{2},{1,2}}
§ B={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
§ B={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}}
§ B={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
10. Chứng minh ∀ a, b, c, d ∈ DÀN (L, ≤), ta có:
§ (a≤b) ⇒ Supp(a, c) ≤ Supp(b, c) và Inf(a, c) ≤ Inf(b, c).
§ (a≤b và c≤d) ⇒ Supp(a, c) ≤ Supp(b, d) và Inf(a, c) ≤ Inf(b, d).

11. Cho E là một DÀN BÙ phân bố. Chứng minh:
§ Phần bù của một phần tử x bất kỳ là duy nhất.
§ Supp(x, y) = Inf(x,y)
§ Inf(x, y) = Supp(x,y)

12. Với E = {1,2,3}, hãy tìm ma trận biểu diễn các quan hệ sau:

§ ℜ = {(1,1), (1,2),(1,3)} • ℜ = {(1,1), (1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}
Hãy liệt kê Quan hệ ℜ trên {1,2,3} biết các ma trận biểu diễn như sau:
1 0 1 0 1 0 1 1 1
§ A = 0 1 0 • B = 0 1 0 • C = 1 0 1
0 1 0 1 1 1
13. Dưới đây là các ma trận biểu diễn của các quan hệ. Hãy xác đònh xem quan
hệ nào là quan hệ tương đương
1 0 1 0 1 1 1 0
1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
§ A = 0 1 1 • B = 1 0 1 0 • C = 1 1 1 0
1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1

14. a. Chứng minh rằng nếu f: L→ M là một đồng cấu dàn thì f bảo toàn thứ tự.
b. Chỉ ra điều ngược lại trong phát biểu trên là không đúng. Nói cách khác,
một ánh xạ f: L→M bảo toàn thứ tự không nhất thiết là một đồng cấu dàn.



LÝ THUYẾT TẬP HP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
Trương Mỹ Dung 13


CHUONG 5.

1. Trong đại số Boole A, xét quan hệ thứ tự ≤ trên A đònh nghóa như sau:
a ≤ b ⇔ a ∧ b = a.
Chứng minh rằng:
§ Nếu x ≤ y thì x ∨ y = y.
§ Nếu x ≤ y thì y ≤ x.
§ Nếu x ≤ y và z ≤ t thì x ∧ z ≤ y ∧ t.

§ Nếu x ≤ y và z ≤ t thì x ∨ z ≤ y ∨ t.
2. Trong một đại số Boole, hãy tìm phần bù của :
§ (b ∧ c) ∨ (c ∧d)
§ (b ∧ c) ∨ (b ∧ a) ∨ ( a ∧ c)

3. Giả sử B là một đại số Boole và A là một tập hợp khác ∅. Với f, g ∈ B
A
đònh
nghóa:
§ ∀ x ∈ A, (f ∨g) (x) = f(x) ∨ g(x).
§ ∀ x ∈ A, (f ∧g) (x) = f(x) ∧g(x).
§ ∀ x ∈ A, f (x) = f(x) .
Chứng minh B
A
là một đại số Boole với các phép toán trên.
4. Giả sử A, B là 2 đại số Boole. Trên AxB đònh nghóa:
(x,y) ∨ (z,t) = (x ∨z, y∨t)
(x,y) ∧ (z,t) = (x ∧z, y∧t)
(x,y) = (x, y).
Chứng minh AxB là một đại số Boole với các phép toán trên.

5. Chứng minh rằng trong một đại số Boole A:
§ Phần bù của một phần tử là duy nhất.
§ Suy ra Qui tắc De Morgan:
∀ x, y ∈ A, x ∨ y = x ∧ y và x ∧ y = x ∨ y.
6. Tìm các giá trò của các hàm Boole dưới đây khi các biến x, y, z, t lấy các giá trò 1,
0, 0, và 1.
§ xy ∨ xy
§ tx ∨ y ∨ yz
§ t ∨ xy

§ (tx ∨yz)∨ty (t∨y)(x∨y)
§ tx ∨ xy ∨ yz.