CHỦ ĐỀ 6. KSHS VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN pdf

CHỦ ĐỀ 6. KSHS VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
A. KS SBT và vẽ đồ thị (C) của các hàm số.
I. Hàm số bậc ba
Bài 1. (PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt)
a.
3
3 2
y x x
= - -

b.
3 2
4 4
y x x x
= - - -

c.
3 2
3 5
y x x
= - +

d.
3 2
2 3 2
y x x
= - + -

e.

( )( )
2
1 2 1
y x x
= + -

f.
3 2
3 1
y x x
= + +

g.
(
)
3 2
3 1
y x x
= - + -
h.
( ) ( )
2
1 2
y x x
= + -

i.
3
3 1
y x x

= - + +

j.
3
1
3
4
y x x
= - +



Bài 2. (PT y’ = 0 có nghiệm kép)
a.
3
2 5
y x
= - +
; b.
3 2
3 3 1
y x x x
= + + +
;
c.
( )
3
1
y x
= -

.
Bài 3. (PT y’ = 0 vô nghiệm)
a.
3 2
9
y x x x
= - - -
; b.
3
4
y x x
= +
;
c.
3 2
3 4 2
y x x x
= - + - +
.
II. Hàm số trùng phương:
Bài 1. (PT y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt)
a.
4 2
2 3
y x x
= - +
; b.
( )
2 2
2

y x x
= - ;
c.
4 2
1 1 1
4 2 2
y x x
= - -
;
d.
4 2
8 1
y x x
= - + -
; e.
4 2
2 1
y x x
= - -
;
f.
( )
2
2
2
y x
= - .
Bài 2. (PT y’ = 0 có một nghiệm)
a.
4 2

2 3
y x x
= + -
; b.
4 2
1 3
2 2
y x x
= - - +
.
III. Hàm số
( )
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ¹ - ¹
+



Bài 1. (
0
ad bc
- >
)
a.
2 1
2 2

x
y
x
-
=
+
; b.
1 2
2 4
x
y
x
-
=
-
; c.
1
x
y
x
=
-
; d.
2
x
y
x
-
= .
Bài 2. (

0
ad bc
- <
)
a.
3
1
x
y
x
+
=
-
; c.
3
2
1
y
x
= +
-
; d.
2
2 1
x
y
x
-
=
+

; e.
3
2
y
x
=
-
.
B. KS SBT và vẽ đồ thị (C) của các hàm số và các bài toán có liên quan.
I. Hàm số bậc ba
Bài 1. Cho hàm số
3 2
3 3
y x x
= - - +
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình

3 2
3 0
x x m
+ + =
(1) (m là tham số) .
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M thuộc (C) có tung độ
bằng 3.
Bài 2. Cho hàm số
3 2
6 9 1
y x x x

= - + -
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.


b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình

3 2
6 9 0
x x x m
- + - + =
(1) (m là tham số).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M thuộc (C) có tung độ
bằng -1.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
2
y x x x
  
có đồ thị (C) và đường thẳng d có
phương trình
y x m
 

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm m để (C) và d tiếp xúc với nhau .
c. Biện luận theo m số nghiệm và xét dấu nghiệm của phương trình:
3 2
2 0
x x m

  
(1).
HD-ĐS: b.
0
m

hoặc
32
27
m   .
c. i.
32
27
m   : có 1 nghiệm âm;

ii.
32
27
m   : có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm (kép)
4
3
x

;
iii.
32
0
27
m


 
: có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm;
iv.
0
m

: có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm (kép)
4
3
x

;
v.
1
m

: có 1 nghiệm dương .


Bài 4. Cho hàm số
3 2
5 7 3
y x x x
   
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
 
2
1

1 1
3
x x a
 
  
 
 

(1).
Bài 5. Cho hàm số
3 2 3
3 4
y x ax a
   có đồ thị (C).
a. Tìm a để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua
đường thẳng
y x

.
b. Tìm a để đường thẳng
y x

cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C
sao cho
AB BC

.
Bài 6. Cho hàm số
 
   

3 2
1
2 3 1
3
y x x x
1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 7. Cho hàm số y= x
4
- 4x
3
+ 4x
2

1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C)của hàm số đó.
2. Xác định tham số m, sao cho phương trình (ẩn x) sau có 4 nghiệm phân biệt
x
4
- 4x
3
+ 4x
2
= m
2
-2m.
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi ( C) y = 0,x =
0, x = 1 quay một vòng quanh trục Ox


Bài 8. Cho hàm số

23
3
1
xxy  , (C)
1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3;0).
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các
đường thẳng y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox.
Bài 9. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ m (1) ( m là tham số)
1. 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ
độ.
Bài 10. Cho hàm số xmxxy 32
3
1
23
 , (C
m
), (m là tham số)
1. Định m để







3
4
,1A là điểm cực đại của (C
m
)
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)của hàm số ứng với m vừa tìm được ở câu trên.
3. Từ gốc toạ độ có thể kẻ đến (C) bao nhiêu tiếp tuyến , chỉ ra các phương trình
tiếp tuyến và toạ độ tiếp điểm.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và một tiếp tuyến nằm ngang của
(C)
Bài 11. Cho hàm số y = (m+3)x
3
-3(m+3)x
2
-(6m+1)x+m+1 (C
m
)


1. Chứng minh rằng (C
m
) đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C
1
) khi m=1.
Bài 12. Cho hàm số f(x) = x
3
– 2x
2
–(m-1)x +m (với m là tham số). Tìm m để

x
xf
1
)(  , với 2


x
Bài 13. Cho hàm số y=x
3
-3(m-1)x
2
+(2m+1)x+5m-1 (C
m
)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối
xứng của (C).
2. Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với trục Ox.
3. Tìm m để đường thẳng qua cực điểm của (C
m
) cũng đi qua gốc toạ độ.
Bài 14. Cho hàm số y = x
3
-3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm các điểm trên Ox, từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến khác nhau với (C).
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3

-3x+m-1=0.
Bài 15. Cho hàm số: y = x (3-x)
2

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng.
2. Một đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ O có hệ số góc m.


a. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O, A, B.
b. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn AB.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) khi m=1
Bài 16. Cho hàm số 2)12(
3
1
23
 mxmmxxy , (C
m
)
1. Tìm các điểm cố định mà (C
m
) luôn đi qua.
2. Khảo sát và vẽ (C)khi m=2.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)và đi qua )
3
4
;
9
4
(A .
4. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), y = 0, x = 0, x

= 1 quay quanh Ox.
Bài 17. Cho hàm số y=x
3
+3x
2
+mx+m2, m là tham số, có đồ thị (C
m
)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2. Gọi A là giao điểm của (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của
đồ thị (C) tại A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và tiếp
tuyến (d).
3. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 18. Cho hàm số 2)12(
3
1
23
 mxmmxxy
1. Tìm các điểm cố định mà họ (C
m
) luôn đi qua.


2. Xác định m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ dương.
3. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C
2
) đi
qua điểm )

3
4
;
9
4
(M .
4. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), y = 0, x = 0,
x = 1 quay quanh trục Ox.
Bài 19. Cho hàm số
3
1
)2(3)1(
3
1
23
 xmxmmxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
3. Với giá trị nào của m, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.
Bài 20. Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
  
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2 2

2 2
1
a
x x
x
  

(1).
c. Tìm a để phương trình
3 2
3 0
x x a
  
có 3 nghiệm phân biệt trong đó
có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.
HD-ĐS: b. i.
2
a
 
: vô nghiệm;
ii.
2
a
 
: có 2 nghiệm
0
x

,
2

x

;


iii.
2 0
a
  
: có 4 nghiệm; iv.
0
a

: có 2 nghiệm
1 3
x   ;
v.
0
a

: có 2 nghiệm .
c.
4 2
a
   
.
II. Hàm số trùng phương
Bài 1. Cho hàm số



4 2
2 1 2 1
y x a x a
     
có đồ thị (C
a
). Tìm a để (C
a
)
cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
HD-ĐS:
4
a

: dãy số -3, -1, 1, 3 là cấp số cộng;

4
9
a

 : dãy số -1,
1
3

,
1
3
, 1 là cấp số cộng.
Bài 2. Cho hàm số



4 2
1 4 2
y a x ax
   
có đồ thị (C
a
). Tìm a để (C
a
) cắt
Ox tại 4 điểm phân biệt. HD-ĐS:
1
a


Bài 3. Cho hàm số


4 2
1
y x ax a
   
có đồ thị (C
a
).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1
a
 
.

b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:


2 2
4 1 1
x x a
  
(1).
Bài 4. Cho hàm số
4 3
4 3
y x x
  
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
4 3
4 8 0
x x x a
   

(1).


Bài 5. Tìm a để phương trình:
2 2
2 10 8 5
x x x x a
     
có 4 nghiệm phân

biệt.
HD-ĐS:
43
4
4
a 
Bài 6. Cho hàm số




4 2 2
9 10 1
y mx m x   

1/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
1
m

.
2/ Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 7. Cho hàm số y = - x
4
+ 2mx
2
- 2m + 1 (C
m
).
1. Chứng minh rằng (C
m

) luôn qua 2 điểm cố định A, B.
2. Tìm m để tiếp tuyến với (C
m
) tại A có hệ số góc là 16.
3. Xác định m để (C
m
) cắt trục Ox tại 4 điểm lập thành cấp số cộng.
4. Khảo sát và vẽ (C) khi m = 5. Tính diện tích giới hạn với (C) và trục Ox.
Bài 8. Cho hàm số bax
x
y 
2
4
2

a. Tìm a, b để hàm số đạt cực trị bằng 2 khi x = 1.
b. Khảo sát và vẽ (C) khi a = 1,
3
2
b

 .
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
d. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x
4
-2x
2
-3+2m = 0.

Bài 9. Cho hàm số y = (x+1)
2
(x-1)
2
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x
2
-1)
2
-2m+1=0.
4. Tìm b để Parabol y=2x
2
+b tiếp xúc với (C)
Bài 10. Cho hàm số y=x
4
+2(m-2)x
2
+m
2
-5m+5 , (C
m
)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 1.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các điểm có hoành độ là nghiệm của
pt y’’ =0.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
d. Tìm m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp
số cộng.

III. Hàm số
( )
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ¹ - ¹
+

Bài 1. Cho hàm số
1
1
x
y
x



có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng

2 1 0
x y
  
.
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:


2
2 1 1 0
x m x m
    
(1)
Bài 2. Định t để phương trình
1 2sin
2 sin
x
t
x



có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn


0;

ĐS:
1
1
2

t
 
.
Bài 3. Cho hàm số
2
4
mx
y
x m


 
(H
m
)
1. Định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (H) với m = 2
3. Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox một góc
45
0
. Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Bài 4. Cho hàm số:
1
42




x
x

y
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).


2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục
toạ độ.
3. CMr tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến 2 tiệm cận là một
hằng số.
4. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y2xm = 0.
5. Trong trường hợp (d) cắt (C)tại 2 điểm M, N. Tìm tập hợp trung điểm I của
đoạn MN.
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) khi m = 5.
Bài 5. Cho hàm số:
1



x
bax
y có đồ thị là (C).
1. Định a,b để đồ thị (C) có tiệm cận ngang y =1 và tiếp tuyến tại điểm có
hoành độ x =0 có hệ số góc là 3.
2. Khảo sát và vẽ (C) ứng với a,b tìm được.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và đi qua A(-3; 0).
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận ngang và 2 đường
thẳng x = 0, x = 2.
Bài 6. Cho hàm số  

2
2

2
y
x
, gọi đồ thị của hàm số là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.


2. Từ (C) vẽ đồ thị của hàm số





2 3
2
x
y
x
(1) . Dựa vào đồ thị
của hàm số (1), hãy biện luận theo k số nghiệm của phương trình





2
2 3
log
2
x

k
x
(2)
3. Tìm các điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên.
Bài 7. Cho hàm số
m
x
mxm
y




)1(
,(C
m
)
1. Tìm những điểm cố định của (C
m
)
2. Khảo sát và vẽ (C) khi m=1.
3. Tìm trên (C) những điểm có toạ độ nguyên.
4. Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục toạ độ.
6. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) và song song với phân giác góc phần tư
thứ nhất