các bài toán có liên quan đến nhị thức newton

Các bài tóan có liên quan đến nhò thưcù N ewTon.

1.Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển
(
)
2
1
n
x
+
bằng 1024.Tìm hệ số a của số
hạng
12
x
trong khai triển đó?
Gi
ải
()
22
0
1
n
n
kk
n
k
x
Cx
=
+=

∑
=

01224 2

nn
nn n n
CCxCx Cx++++
Tổng tất cả các hệ số của khai triển là:
()
01
1 1
n
n
nn n
CC C+++=+= 2 1024
n
=
10n⇒=
Hệ số của
12
x
6k⇒=
Vậy hệ số là:

6
10
210C =

2.Trong khai triển nhò thức

28
3
15
n
xx x
−
⎛
+
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
9
,hãy tìm số hạng không phụ thuộc x,biết
(1)
12
79
nn n
nn n
CC C
−−
++ =
Gi
ải
(1)
12
17
nn
nn
CC

−−
⇔+ + =

1
1
78
n
n
C
−
+
⇔=

()
()
1!
78
1!2!
n
n
+
⇔=
−

()()
()

1! 1
156
1!

nnn
n
−+
⇔=
−


2
156 0nn⇔+− =

13 0( )
12
n lọai
n
=− <
⎡
⇔
⎢
=
⎣
()
12
28 28 4
12
12
3
15 15 3
12
.
kk

k
ko
x
xx Cx x
−−
=
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠
∑
−

=
112 16
12
55
12
0
k
k
k
Cx
−+
=
∑

Số hạng không phụ thuộc x
112 16
0

55
k⇔− + =
7k
⇔
=

Vậy số hạng không phụ thuộc x là:
7
12
792C =




3.Tìm số hạng không chứa x của khai triển
17
3
4
32
1
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
, 0
x
≠

Gi
ải


17
3
4
32
1
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
=
()
2
3
17
17
3
4
17
0
.
k
k
k
k

Cx x
−−
=
∑

=
34 17
17
312
17
0
k
k
k
Cx
−+
=
∑

số hạng
không chứa x
34 17
0
312
k⇔− + =
8k
⇔
=
Vậy số hạng không chứa x là:
8

17
24310C =

4.Tìm hệ số của x
10
trong khai triển
5
3
2
2
3,xx
x
⎛⎞
0
−
≠
⎜⎟
⎝⎠

Gi
ải
5
3
2
2
3x
x
⎛⎞
−
⎜⎟

⎝⎠
=

()( )
5
5
32
5
0
32
kk
k
k
Cx x
−
−
=
−
∑
=
5
5155
5
0
3.(2)
kk k k
k
Cx
−−
=

−
∑
5 10 1kk−=⇔=
14
5
.3 ( 2) 810−=−
x
10
nên 15
Vậy hệ số của x
10
là C

5.Tìm hệ số của x
2
trong khai triển
10
3
1
1,xx
x
⎛⎞
0
+
+≠
⎜⎟
⎝⎠

Gi
ải

10
3
1
1 x
x
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
=
10
3
10
0
1
k
k
k
Cx
x
=
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
∑

=
()
10

3
10
00
.
k
ki
ki
k
ki
CCx x
−−
==
∑∑
i
i
0
=
10
4
10
00
k
kik
k
ki
CCx
−+
==
∑∑
x

2
nên
42 42ki ki−+ = ⇔ = −
mà
01k≤≤
04 210i⇔≤ −≤
1
3
2
i⇔≤≤
,
i ∈

{
}
1; 2; 3i⇒=
12ik=⇒ =i
26ik=⇒=i
31ik=⇒=i 0

Vậy hệ số của x
2
là:
21 62 103
10 2 10 6 10 10
3360CC CC CC++ =

6.CMR:
(
)

02244 22212
22 2 2
3 3 3 2 2 1
nn n n
nn n n
CC C C
−
++++ = +
=
212 21 41 21
2.2 2 2 2
nn n n n
−
−−
+=+
−
2

Gi
ải
Đặt A=
02244 2
22 2 2
3 3 3
nn
nn n n
CC C C++++
Ta có:
()
2

2
2
0
1
n
n
kk
n
k
x
Cx
=
+=
∑

=
01 22 22
22 2 2

nn
nn n n
CCxCx Cx++ ++
3:
x
=i
(1+3)
2n
=
01 22 2
22 2 2

33 3
nn
nn n n
CC C C++ ++
2
=
2
4
n
⇒ A+B (1)
3:
x
=−i

201 22 22
22 2 2
(1 3) 3 3
nnn
nn n n
CC Cx C−=− + −+
2
(2)
n
⇒− =A – B (2)
(1)&(2)⇒2A=
22
4(2)
nn
+−
⇒ A=

2242
41 21
4(2) 22
22
22
nnnn
nn
−
−
+− +
==+
1n−
nn
1n
x
−
n
n
nC

⇒ đpcm

7.CMR:
11 22 33
3 2. 3 3. 3 .4
nnn n
nn n n
CC C nCn
−−−
++++=

Gi
ải
Trong đó n là số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1.
Đặt f(x)=(3+x)
n
Ta có: (3+x)
n
=
0
3
n
knk k
n
k
Cx
−
=
∑
=
011 222333
3 3 3
nn n
nn n n n
CC xC xC x Cx
−− −
++ + ++
f’(x) =n(3+x)
n-1
=
11 22 332

3 2. 3 3. 3
nn n n
nn n n
CCxCxnC
−− −
++ ++
f’(1)=
1
.4
n
n
−
=
11 22 33
3 2. 3 3. 3
nnn
nn n
CC C
−−−
++++
⇒ đpcm


8.
a)Tính
()
2
0
1
n

x
dx+
∫

b)CMR:
123 1
012
31
22 2 2

123 1
nn
n
nnn n
CCC C
nn
++
1
−
++++ =
+
+

Gi
ải

a)
()
2
0

1
n
x
dx+
∫
=
()
1
1
2
0
1
n
x
n
+
+
+
=
1
31
1
n
n
+
−
+

b)Ta có:
()

0
1
n
n
kk
n
k
x
Cx
=
+=
∑

=
01 22

nn
nn n n
CCxCx Cx++ ++
()
()
22
01 22
00
1
n
nn
nn n n
x
dx C C x C x C x dx⇒+ = ++ ++

∫∫

23 1
012
2

0
123 1
n
n
nnn n
xx x x
CCC C
n
+
++++
+
=

=
23 1
012
22 2 2

123 1
n
n
nnn n
CCC C
n

+
++++
+

=
1
31
1
n
n
+
−
+

⇒ đpcm

9.Với mỗi số tự nhiên n tính tổng:
S =
01 22
11 1
2 2 2
23 1
nn
nn n n
CC C C
n
++ ++
+

Gi

ải

Ta có:
0
(1 2 ) 2
n
nkk
n
k
k
x
Cx
=
+=
∑

=
01 222
2 2 2
nnn
nn n n
CCxC x C x++ ++
()
11
01 222
00
(1 2 ) 2 2 2
nn
nn n n
nn

x
dx C C x C x C x dx+=++ ++
∫∫

()
1
012223 1
1
31 1 1 1
2 2 2
0
212 2 3 1
n
nnn
nn n n
Cx C x C x C x
nn
+
+
⇔−=++ ++
++

()
1
01 22
31 11 1
22
212 2 3 1
n
nn

nn n n
CC C C
nn
+
⇔−=++++
++
2


Vaọy S =
()
1
31
21
n
n
+

+
2

10.Giaỷi phửụng trỡnh,heọ phửụng trỡnh,baỏt phửụng trỡnh:
a)
43 2
11 2
5
0
4
nn n
CC A

=
b)
2
2
153
yy
xx
x
CC
C
+

=


=



Gi
i
a)
ẹk:
14
13
22
n
n
n

5;nn
pt
(1)! (1)! 5(2)!
0
4!( 5)! 3!( 4)! 4 ( 4)!
nn n
nnn



=
( 1)! ( 1)! 5 ( 1)!( 2)
0
4!( 4)!( 5) 3!( 4)! 4 ( 4)!
nnnn
nn n n

=


(1)! 1 15
(2)0

(4)!24(5)64
n
n
nn


=





115
(2)0
24( 5) 6 4
n
n
=

2
30 206 279 0nn+ =


b)
2
2
153
yy
xx
x

CC
C
+

=


=


ẹk:
2
2
2
2
xy
x
xy
xy
x





+

+

2
!
153 153
2!( 2)!
x
x
C
x
= =


()
( 2)!( 1)
153
2! 2 !
x
xx
x

=


2
306 0xx =
18
17 0( )
x
x

loùai
=



= <


() ()
2
18! 18!
!18 ! ( 2)!16 !
yy
xx
CC
yyy y
+
= =
+


() ()
11
!16!(17)(18)!(1)(2)16!yy yyyyy y
=
++

11
(17 )(18 ) ( 1)( 2)yyyy
=

++

22
306 35 3 2yy y y+=++ 8y=
c)
22 3
2
16
10
2
xx x
AA C
x
+
ẹk:
0
22
3
2
3
x
x
x
x
x

bpt
()() ()
1(2)! ! 6 !
10
2 2 2! 2! 3! 3!
x
xx
xxxx


+

() () ()
1 (2 2)!(2 1)2 ( 2)!( 1) 6 ( 3)!( 2)( 1)
10
2 2 2! 2! 3! 3!
x
xxx xx x xxx
xxxx

+

0

(21)(1) (2)(1)1
x
xx xx x +
22 2
23xxxxx x+++210
3120
x
+ 4
x

{
}
34

Vaọy nghieọm cuỷa bpt laứ
3;4xx=