giai mot so bai tich phan hay doc

BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY
Bài 1. Tính các tích phân sau :
1 5
2
2
4 2
1
1
.
1
x
a dx
x x
+
+
− +
∫
.
1
2
2
2
1
.
1
p
p
e
p
x

b dx
x
+
+
+
∫
1
4
0
1
.
1
c dx
x +
∫
GIẢI
1 5
2
2
4 2
1
1
.
1
x
a dx
x x
+
+
− +

∫
.(ĐHTM-2001)
- Chia tử và mẫu cho
2
0x ≠
. Ta được :
2
2
2
1
1
( )
1
1
x
f x
x
x
+
=
+ −
. Đặt
2 2
2 2
2
1 1
1 ; 2
1
( ) ( )
1

1 5
1 0; 1
2
dt dx t x
x x
dt
t x f x dx f t dt
x t
x t x t

 
= + = + −
 ÷

 

= − ⇒ ⇔ = =
+

+
= → = = → =


- Đặt :
( )
2 2
1
4 4
2
2 2

0 0 0
;1 1 tan
os
tan ( )
4
4
os 1 tan
0
0 0; 1
4
du
dt t u
du
c u
t u f t dt du u
c u u
t u t u
π π
π
π
π

= + = +

= ⇒ ⇔ = = = =

+

= → = = → =



∫ ∫ ∫
1
2
2
2
1
.
1
p
p
e
p
x
b dx
x
+
+
+
∫
. ( ĐHTNguyên-98)
- Ta có :
2
2
2
2
( )
1
p
p

x dx
f x dx
x
+
=
 
+
 ÷
 
.
- Đặt :
2
2
1
2 2
2
1
1
2
1
1 1;
p
e
p p
p
dt x dx
dt
t x x I
t
x t x e t e

+
+
+

=

= = ⇒ ⇔ =

+

= → = = → =

∫
- Đặt :
( )
1 1
2
1
1
2 2
2
1
4 4
os
tan
4
os 1 tan
1 ,
4
u u

du
dt
du
c u
t u I du u
c u u
t u t e u u
π π
π
π

=


= ⇒ ⇔ = = = −
+

= → = = → =


∫ ∫
- Từ :
1
tan artan e artan e
4
u e u u I
π
= ⇒ = = ⇔ = −
1
4

0
1
.
1
c dx
x +
∫
.
• Phân tích :
( )
2 2 2 2
4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 2 1 2 1 1 2
x x x x
f x J K
x x x x
   
+ + − + −
= = = + = +
 ÷  ÷
+ + + +
   
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
1
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
• Tính J : Phân tích :
2
2

4
2
2
1
1
1
( )
1
1
x
x
g x
x
x
x
+
+
= =
+
+
•
2 2
3/ 2 3/ 2
2 2
2
1 1
1 1
1 ; 2
1 1 1 1
2

2 2 2 2
3
1 0; 2
2
dt dx t x
dt
x x
t x J dt
x t
t t
x t x t

 
= + = + −
 ÷

 
 

= − ⇒ ⇔ = = −
 ÷
−
− +

 
= → = = → =


∫ ∫
• Vậy :

3/ 2
1 2 1 2 1
.ln ln
1
2 2 2 2 2 2 1
t
J
t
 
− −
= =
 ÷
 ÷
+ +
 
Tính K . Phân tích :
2
2
4
2
2
1
1
1
( )
1
1
x
x
h x

x
x
x
−
−
= =
+
+
•
2 2
5/ 2
2 2
2
2
1 1
1 ; 2
1
*
2
5
1 2; 2
2
dt dx t x
dt
x x
t x J
x t
x t x t

 

= − = + +
 ÷

−
 

= + ⇒ ⇔ = =
+

= → = = → =


∫
• Đặt :
( )
( )
2 2
1 1
2 1
2
2 2
1 2
2 2 2
2 tan 2 ;
os 2 2
os .2 1 tan
2 ; 5/ 2
u u
u u
du du

t u dt K du u u
c u
c u u
t u u t u u
= ⇒ = ⇒ = = = −
+
= → = = → =
∫ ∫
• Với :
1 2
5 5 2 5
tan 2 art2; tanu= art art -art2
2 2 2 2
u u u u u K
 
= → = = → = = ⇔ =
 ÷
 
Thay hai kết quả của J và K vào ta tìm ra I
Bài 2. Tính các tích phân sau :
1
4
6
0
1
1.
1
x
dx
x

+
+
∫
( )
( )
1
0
1
2. 2
1
n
x
dx n
x
−
≥
+
∫
( )
1
0
1
3.
1 1
mm m
x x+ +
∫
GIẢI
1
4

6
0
1
1.
1
x
dx
x
+
+
∫
• Phân tích :
( )
( ) ( )
4 2 2
4 2 2 2
6 6 2 6
2 4 2
1
1 1
( )
1 1 1 1
1 1
x x x
x x x x
f x
x x x x
x x x
− + +
− +

= = + = +
+ + + +
+ − +

• Vậy :
( )
( )
3
1 1
2
2
3
0 0
1 1 1
1 3 4 3 4 3
d x
I dx dx
x
x
π π π
= + = + =
+
∫ ∫
( )
( )
1
0
1
2. 2
1

n
x
dx n
x
−
≥
+
∫
• Đặt :
2 2
1
1 1
; 1
2 1 2
1
0 1, 1 2
n n n
dx dt x t
t
t x I dt dt
x t x t
t t t
−
= = −

−
 
= + ⇒ ⇔ = = −
 ÷


= → = = → =
 

∫ ∫
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
2
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
• Vậy :
( )
2 1 2
2
1 1 1 2 1
1
1 2 2 1
n n n
n
I n
t n t n
− − −
 
−
 
= − = +
 ÷
 ÷
 ÷
− −
 
 

( )
1
0
1
3.
1 1
mm m
x x+ +
∫
• Đặt :
( ) ( )
( )
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 . 1
1
1
0 1, 1 2
m
m m m m m
m m
m m
m
m
m

t dt
t x x t dx t mt dt
m
t x
t
x t x t
−
−
−
−

= + ⇔ = − → = − =


= + ⇒
−


= → = = → =

• Vậy :
( )
1
1 1
1
1
2
2 1
1
1

1
( )
1
1
. 1
m
m
m
m
m
m
m m
m
m
dt
dt
t
f x dx
t
t t
t t
t
−
−
+
−
−
 
−
 ÷

 
= = = =
 
−
−
 ÷
 
• Đặt :
1
1
1
1
1 1
1 1 ( )
1
1 0, 2
2
m
m
m
m
m
m
m
du mt dt dt
t
u t f t dt u du
t m
t u t u
− −

+
−
−

= =

= − = − ⇒ ⇔ =


= → = = → =


• Vậy :
1/2
1 1
1 1
0
1/ 2
1 1 1
0
2
m m
m
u du u
m m
− −
= = =
∫
I
Bài 3. Tính các tích phân sau :

( )
( )
1
2001
1002
2
0
1. 2000
1
x
dx DHQG A
x
− −
+
∫
2.
Chứng minh rằng :
( )
2
0
sin sinx+n 0dx
π
π
=
∫
. ( ĐH-Thái Nguyên KG-2001 )
GIẢI
( )
1
2001

1002
2
0
1.
1
x
dx
x+
∫
• Đặt :
( )
( )
( ) ( )
2000
2
2
2000 2
2 2
1
2
1
2
2 ; 1; 1
1 ( )
2
1 1
0 1, 1 2
x xdx
dt xdx x t x t
t x f x dx

x x
x t x t


= = − = −
= + ⇒ ⇔ =

+ +

= → = = → =


•
( )
1000
1000
1000 2
1
1 1 1 1
( ) 1 1
2 2
t dt
f x dx d
t t t t
−
   
⇔ = = − −
 ÷  ÷
   
• Vậy :

1000 1001
2
1001
1
2
1 1 1 1 1 1 1
1 1 . 1
1
2 2 1001 2002.2
I d
t t t
     
= − − = − =
 ÷  ÷  ÷
     
∫
2. Chứng minh :
( )
2
0
sin sinx+n 0dx
π
π
=
∫
.
- Đặt :
2 2 ; 0, 2 . 2 ; 0t x x t x t x t
π π π π
= − ⇒ = − → = = = =

. Khi đó :
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
3
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
- f(x)dx= sin
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
sin 2 sin sin 2 sin sinx+nxt n t dt t nt n I
π π π
− + − = − + + = − = − 
 
- Vậy : 2I=0 hay I=0 ( đpcm)
Bài 4 . Tính các tích phân sau :
( )
1
2
2
0
1
.
1
x
x
a e dx
x
+
+
∫
. ( ĐHLâm Nghiệp - 2000)

. : ( ) ( ) 2 2cos 2b Cho f x f x x+ − = +
. Tính
3
2
3
2
( )I f x dx
π
π
−
=
∫
. ( ĐHSPI-98)
GIẢI
( )
1
2
2
0
1
.
1
x
x
a e dx
x
+
+
∫
.

• Đặt :
( )
2
2
1 1
2 2 2
1.
1 1
2 2 2 2
1 ( ) 1
0 1, 1 2
t t
x t dx dt
t
t t
t x f x dx dt e dt e dt
x t x t
t t t t
− −
= − =
− +

− +
 
= + ⇒ = = = + −
 ÷

= → = = → =
 


• Vậy :
( )
2 2 2
t
1
2
1 1 1
2 2
(*)
t
t
e e
I e dt dt dt H J K
e t t e
−
 
= + − = + −
 
 
∫ ∫ ∫
- Tính H :
1
2
. 1
1
t
H e e
−
= = −
- Tính J :

( )
2 2
2 2
1 1
2
1
(1)
1
2 2
t
t t
dt e e e
J e e dt e K J K e
t t t
   
= − =− + = − + + ⇔ − = − +
 ÷  ÷
   
∫ ∫
- Vậy : I=
2
2
1 1
2
e
e e
e
 
− + − + =
 ÷

 
b. Ta có :
( )
3 3
0
2 2
0
3 3
2 2
( ) ( ) ( ) 1I f x dx f x dx f x dx
π π
π π
− −
= = +
∫ ∫ ∫
- Tính :
0
3
2
( )f x dx
π
−
∫
.
- Đặt :
( )
3 3
0 0
2 2
0 0

3 3
2 2
; ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 , 0 0
2 2
dx dt f x f t
x t f x dx f t dt f t dt f x dx
x t x t
π π
π π
π π
−
= − = −


= − ⇒ = − − = − = −

= − → = = → =

∫ ∫ ∫ ∫
Thay vào (1) ta được :
[ ]
( )
3 3 3 3
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2
( ) ( ) 2 1 os2x 2 osx 2 osx osxI f x f x dx c c dx c dx c dx
π π π π π

π
 
 
= − + = + = = −
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
4
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
Vậy :
3 / 2
2 sin sin 6
2
0
2
I x x
π π
π
 
 
= − =
 
 
 
Bài 5 . Tính các tích phân sau :
( )
1 osx
2

0
1 sinx
. ln
1 osx
c
a dx
c
π
+
 
+
 
+
 
 
∫
1
2
0
1
. ln
1
x
b x dx
x
+
 
 ÷
−
 

∫
3
2
2
. 1c x dx−
∫
. (ĐHYHN-2001)
GIẢI
( )
1 osx
2
0
1 sinx
. ln
1 osx
c
a dx
c
π
+
 
+
 
+
 
 
∫
; f(x)=
( )
( ) ( ) ( )

1 osx
1 sinx
ln 1 osx ln 1 sinx ln 1 osx
1 osx
c
c c
c
+
 
+
= + + − +
 
+
 
 
•
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ln 1 sinx ln 1 sinx 1 sinx ln 1 osxf x d c⇔ = + + + + − +
• Vậy :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 0
ln 1 sinx ln 1 osx 1 sinx ln 1 sinx sinx 2ln 2 1
2 2
0 0
I dx c dx
π π
π π
= + − + + + + − = −
∫ ∫

(1)
• Tính :
( )
2 2
0 0
x
ln 1 sinx 2ln 2 2ln os
2 4
dx c dx
π π
π
 
 
+ = + −
 ÷
 
 
 
∫ ∫
. Sử dụng phương pháp tích phân
từng phần :
• Tương tự :
( )
2 2 2
2
0 0 0
x
ln 1 osx ln 2cos ln 2 2ln cos
2 2
x

c dx dx dx
π π π
 
   
+ = = +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
∫ ∫ ∫
1
2
0
1
. ln
1
x
b x dx
x
+
 
 ÷
−
 
∫
( ) ( )
1 1 1
2
2 2 2
2 2

2 2
0 0 0
1
1 1 2 ln 3 ln3 1
ln 1
2
2 1 1 8 1 8 1 1
0
x x
I x x dx dx dx
x x x x x
 
 
+
 
   
= − = + = + +
 
 ÷  ÷
 
− − − − +
   
 
 
 
∫ ∫ ∫
Vậy :
1
ln3 1 1 ln3 1 1 2
ln ln

2
8 2 1 8 2 2 3
0
x
I x
x
 − 
= + + = + +
 
+
 
.
3
2
2
. 1c x dx−
∫
.
* Nhắc nhở học sinh không được áp dụng cách đặt :
1
ost
x
c
=
,vì hàm số cosx không xác
định với mọi x thuộc
[ ]
2;3 1;1
 
∉ −

 
.Mà phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần .
3 3 3 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
1
1 . 5 2 1 5 2 1
2
1 1 1
x dx
I x x x dx x dx x dx
x x x
 
⇔ = − − = − − + = − − −
 
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫

Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
5
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
2
3
1
5 2 ln 1 2 5 2 ln(3 2 2) ln 2
2
2

I I x x I⇔ = − − + − ⇒ = − + +
( )
5 2 1
ln 2 1 ln 2
2 4
I⇔ = − + +
Bài 6. Tính các tích phân sau :
( )
( )
1
2 1
2
2
0
. , 0
1
m
m
x
a dx a b
x
+
+
>
+
∫
. Áp dụng tính :
( )
1
7

5
2
0
1
x
dx
x+
∫
( )
0
. 0
a
a x
b dx a
a x
−
+
>
−
∫
. Áp dụng : tính :
0
1
1
1
x
dx
x
−
+

−
∫
GIẢI
( )
( )
1
2 1
2
2
0
. , 0
1
m
m
x
a dx a b
x
+
+
>
+
∫
• Phân tích :
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
2 2

1
( )
1 1
m m
m m
x xdx x d x
f x
x x
+ +
+
= =
+ +
. Đặt :
2 2
1 , 2 ; 1
0 1, 1 2
x t dt xdx x t
x t x t

+ = = = −

= → = = → =

• Do đó :
( )
1
2 2 2
2 2
1 1 1
2

1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 . 1 1 1
1
2 2 2 2( 1)
m
m m m
m
t dt
dx
I d
t t t t t m t
+
+
−
       
= = − = − − = − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
+
       
∫ ∫ ∫
• Vậy :
( )
( )
1
2 1
2
2
2
0

1 1
, 0 .
1 2
1
m
m
m
x
dx a b
m
x
+
+
+
> =
+
+
∫
•
( )
( )
1
7
5
5
2
0
1 1
. 3
4 2

1
x
dx m
x
⇒ = =
+
∫
( )
0
. 0
a
a x
b dx a
a x
−
+
>
−
∫
• Đặt :
2 2
dx=-a.sintdt;a+x=2acos ; 2 sin
2 2
. ost
; 0 ;
2 2
t t
a x a
x a c
x a t x t t

π π
π π

− =


= ⇒
 

= − → = = → = → ∈
 

 

• Do đó :
( )
2
2
t t
os os
t
2 2
.sin 2 sin os
2 2
sin sin
2 2
c c
t
I a tdt a c dt
t t

π
π
π
π
= =
∫ ∫
. Vì :
; ;
2 2 4 2
t
t
π π π
π
   
∈ ⇒ ∈
   
   
• Cho nên :
( ) ( )
( )
2
2 2
2
t
sin , os 0 2cos 1 ost sin
2 2 2 2
2
a
t t
c I a dt a c dt a t t

π π
π π
π
π
π
+
> ⇔ = = + = + =
∫ ∫
•
( )
0
1
1
1 1
1 2
x
dx a
x
π
−
+
⇔ = + =
−
∫
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
6
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
Bài 7. Tính các tích phân sau :
/ 2
1

2 2
0
.
n
a
n
n
x
a dx
a x
−
−
∫
. Với :
*; 2n N n∈ ≥
. Áp dụng tính :
1
2
6
0
4
x dx
x−
∫
( )
( )
( )
2
2
2

0
. , 0
b
a x
b dx a b
a x
−
>
+
∫
. Áp dụng tính :
( )
( )
2
1
2
2
0
1
1
x
dx
x
−
+
∫
GIẢI
/ 2
1
2 2

0
.
n
a
n
n
x
a dx
a x
−
−
∫
Đặt :
1
2 2
1
( )
/ 2 / 2; 0 0
n
n
n
dt nx dx
dt
t x f x dx
n
x a t a x t
a t
−

=

= → ⇒ =

= → = = → =
−


- Đặt :
2 2
. osudu; a . osu
1
.sin ( )
/ 2 ; 0 0
6
dt a c t a c
t a u f t dt du
n
x a u x u
π

= − =

= → ⇒ =

= → = = → =


- Vậy :
6
0
1

6
6
0
I du u
n n
π
π
π
= = =
∫
Do đó :
1 1
2 2
6 6
0 0
; 3, 2
12
4 4
x dx x dx
n a
x x
π
= = ⇒ =
− −
∫ ∫
( )
( )
( )
2
2

2
0
. , 0
b
a x
b dx a b
a x
−
>
+
∫
• Đặt :
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2 2 2
1 tan
1
tan ( ) 1 tan os
os
1 tan os
0 0, tan
a t dt
adt
x a t dx f x dx t c tdt
c t a

a t c t
b
x t x b t t c
a
−
= → = ⇒ = = −
+
= → = = → = ⇔ =
• Vậy :
( )
2 2
0 0
1 1 1 1
os sin os2tdt= sin 2 sin 2
0
2a 2
c c
c
I c t t dt c t c
a a a
= − = =
∫ ∫
Áp dụng : a=1,b=1 suy ra : c=
4
π
. Ta có :
( )
( )
2
1

2
2
0
1
1
2
1
x
dx
x
−
=
+
∫
Bài 8 . Tính các tích phân sau .
2
3
3 1
2
0
.
.
1
x
x e dx
a
x
+
+
∫

2
5 3
1
.
dx
b
x x+
∫
GIẢI
2
3
3 1
2
0
.
.
1
x
x e dx
a
x
+
+
∫
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
7
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
• Đặt :
( )
( )

2
2 2
2 2
1
1;
1 ( ) 1
0 1, 3 2
t
t
t e tdt
x t xdx tdt
t x f x dx t e dt
t
x t x t
−

= − =
= + ⇒ ⇔ = = −

= → = = → =


• Vậy :
( )
( )
2
2 2
1
2
1

1
t t
I t e dt e J e e= − = − −
∫
• Tính :
( )
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 4 2 4 2
1 1 1
t t t t t t t
J t e dt t e te dt e e te e dt e e te e
 
= = − = − − − = − − −
 ÷
 ÷
 
∫ ∫ ∫
• Do đó :
2
2J e e= −
. Thay vào (1) :
2
I e=
2
5 3
1
.

dx
b
x x+
∫
Ta có :
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
2 3 2
3 2 3 2
1
( )
1
1 1
A D x B E x A C x Bx C
A B C Dx E
f x
x x x x
x x x x
+ + + + + + +
+
= = + + + =
+
+ +
Đồng nhất hệ số hai tử số :
3 2
0 1
0 1
1 1

0 0 ( )
1
0 1
1 0
A D C
B E A
x
A C B f x
x x x
B D
C E
+ = =
 
 
+ = = −
 
 
+ = ⇒ = ⇔ = − + +
 
+
 
= =
 
= =
 
 
Vậy :
( )
2
2

2
1 1 3 1 3
ln ln 1 ln 2 ln5
1
2 2 2 2 8
I x x
x
 
= − − + + = − + +
 
 
Chú ý : Ta có thể sử dụng kỹ thuật " Nhẩy tầng lầu " phân tích :
f(x)=
( ) ( ) ( )
6 6 4 2 3 3
2
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
1 1 1 1 1
1
1 1
1 1 1
x x x x x x
x t x
x x x x x
x x x x x x
 
+ − +
= − = − = − + − = +
 ÷

+ +
+ + +
 
Bài 9. Tính các tích phân sau .
2
3
3 2
0
.
4
x dx
a
x+
∫
4
2
3 3
0
os sin
.
os sin
c x x
b dx
c x x
π
+
∫
GIẢI
2
3

3 2
0
.
4
x dx
a
x+
∫
.
HỌC SINH CHÚ Ý : Phải sử dụng hai lần đổi biến số .
• Đặt :
2
3
2
.
( )
0, 0. 2; 4
2 4
dt xdx
t dt
t x f x dx
x t x t
t
=

= → ⇒ =

= = = =
+


• Đặt :
( ) ( )
3 2 4
3 2
3
3
4 .3 4
4; 3
3
4 ( )
2 2
0, 4; 4, 2
u u du u u du
t u dt u du
u t f t dt
u
t u t u
− −

= − =
= + ⇒ = =

= = = =


• Vậy :
( )
3
2
5

4 2
3
3
4
2
3 3 3 8
4 2 4 2
2 2 5 2 5
4
u
I u u du u
 
 
= − = − = − +
 ÷
 ÷
 
 
∫
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
8
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
( )
4
2
3 3
0
os sin
. 1
os sin

c x x
b dx
c x x
π
+
∫
• Đặt :
2
0, . , 0
2 2
dx dt
x t
x t x t
π
π π
= −


= − ⇒

= = = =

•
( )
4
4
3 3
3 3
os sin
sin cos ( )

2 2
( )
os sin
sin os
2 2
c t t dt
t t dt
f x dx
c t t
t c t
π π
π π
   
− − −
 ÷  ÷
−
   
⇔ = =
+
   
− + −
 ÷  ÷
   
• Do đó :
( )
0
4 4
2
3 3 3 3
0

2
sin cos ( ) sin cos
2
sin os sin os
t t dt x xdx
I
t c t x c x
π
π
−
= =
+ +
∫ ∫
. Cộng (1) và (2) vế với vế :
• Suy ra :
( )
3 3
4 4
2 2 2
3 3 3 3
0 0 0
sinxcosx sin os
os sin sin cos 1
2 sin 2
sin os sin os 2
x c x
c x x x x
I dx dx xdx
x c x x c x
π π π

+
+
= = =
+ +
∫ ∫ ∫
• Vậy :
1 1
os2x
2
8 4
0
I c
π
= − =
Bài 10. Tính các tích phân sau .
( )
( )
2
2
2
0
1
. tan osx
os sinx
a c dx
c
π
 
−
 

 
∫
( )
2
0
. sinxln 1+sinxb dx
π
∫
GIẢI
( )
( )
2
2
2
0
1
. tan osx
os sinx
a c dx
c
π
 
−
 
 
∫
. Áp dụng công thức :
( ) ( )
2 2
2

2
0 0
1
1 tan ; sinx osx
os
x f dx f c dx
c x
π π
+ = =
∫ ∫
. Ta có :
( )
( )
( )
( )
1
2 2
2 2
2 2
0 0
1 1
tan osx cotan sin x
os sinx sin osx
I c dx dx
c c
π
   
= − = −
   
   

∫ ∫
Vậy :
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
0
1 1
2 cot sinx tan osx
os sinx sin osx
I an c dx
c c
π
 
= − + − =
 ÷
 ÷
 
∫
Ta có :
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2
4cos2 sinx

1
cot sinx 1 tan sinx cot sinx 1
os sinx sin 2 sinx
an
c
− = + − = −
Tương tự :
( )
( )
( )
( )
2
2 2
4cos2 osx
1
tan osx 1
sin osx sin 2 osx
c
c
c c
− = +
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
9
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
( )
2
0
. sinxln 1+sinxb dx
π
∫

. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ,ta có :
( )
2
2 2 2
0 0 0
cosx 1 sin
sinxln 1+sinx osx.ln(1+sinx) + osx. 0
2
1+sinx 1 sinx
0
x
I dx c c dx dx
π π π
π
−
= = − = +
+
∫ ∫ ∫
Vậy :
( ) ( )
2
0
1 sinx osx 1
2
2
0
I dx x c
π
π
π

= − = + = −
∫
Bài 11. Tính các tích phân sau :
a.
( )
1
2
0
.ln 1x x x dx+ +
∫
b.
( )
4
2
0
cos2
1 sin 2
x x
dx
x
π
+
∫
c. Chứng minh :
2 2
6 5
0 0
cos . os6 os sin .sin 6x c xdx c x x xdx
π π
=

∫ ∫
. Từ đó tính : J=
2
5
0
os . os7xdxc x c
π
∫
Giải .
a.
( ) ( )
( )
( )
2
1 1 1
2 2 2 2
2 2
0 0 0
1 1
2 1
1 1 1 1 3
.ln 1 .ln 1 ln3
0 0
2 2 1 2 2 4 1
x x
dx
x x x dx x x x dx x x
x x x x
+
+ + = + + − = − − −

+ + + +
∫ ∫ ∫
1 1
2
2
2
0 0
3 3
ln3 ;
4 4 1
1 3
2 2
dx dx
J J
x x
x
= − = =
+ +
 
 
+ +
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
Đặt :
3
6
1 3 2 3 3

tan , ;
2 2 6 3 3 9
x t t J dt
π
π
π π π
 
+ = ∈ ⇒ = =
 ÷
 
∫
. Vậy :
3 3
ln3
4 12
I
π
= −
b.
( )
4 4 4
2
2
0 0 0
cos2 1 1 1 1 1 1 1
. . .
4
2 1 sin 2 2 1 sin 2 16 2
2
1 sin 2

os x-
0
4
x x
dx x dx dx
x x
x
c
π π π
π
π
π
 
= − + = − +
 ÷
+ +
 
 
+
 ÷
 
∫ ∫ ∫
( )
1 1 1 2 2
. tan . 0 1
4
16 2 4 16 2 2 4 16
2
0
x

π
π π π π
 
= − + − =− + + = −
 ÷
 
c.
2 2
6 5
0 0
cos . os6 os sin .sin 6x c xdx c x x xdx
π π
=
∫ ∫
Đặt :
6 5
2
6 5
0
os 6cos .sinxdx
1
os .sin 6 os .sinx.sin6xdx
2
1
6
dv=cos6x v= sin 6
0
6
u c x du x
I c x x c x

x
π
π

= → = −

⇒ = +

→


∫
. (đpcm)
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
10
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý
( ) ( )
2 2 2 2
5 5 6 5
0 0 0 0
os . os x+6x os os6x.cosx-sinx.sin6x os . os6xdx- os sin .sin 6 0I c x c dx c x c dx c x c c x x xdx
π π π π
= = = =
∫ ∫ ∫ ∫
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608
11