giai mot so bai tich phan hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (155.14 KB, 11 trang )
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY
Bài 1. Tính các tích phân sau :
1 5
2
2
4 2
1
1
.
1
x
a dx
x x
+
+
− +
∫
.
1
2
2
2
1
.
1
p
p
e
p
x
b dx
x
+
+
+
∫
1
4
0
1
.
1
c dx
x +
∫
GIẢI
1 5
2
2
4 2
1
1
.
1
x
a dx
x x
+
+
− +
∫
.(ĐHTM-2001)
- Chia tử và mẫu cho
2
0x ≠
. Ta được :
2
2
2
1
1
( )
1
1
x
f x
x
x
+
=
+ −
. Đặt
2 2
2 2
2
1 1
1 ; 2
1
( ) ( )
1
1 5
1 0; 1
2
dt dx t x
x x
dt
t x f x dx f t dt
x t
x t x t
= + = + −
÷
= − ⇒ ⇔ = =
+
+
= → = = → =
- Đặt :
( )
2 2
1
4 4
2
2 2
0 0 0
;1 1 tan
os
tan ( )
4
4
os 1 tan
0
0 0; 1
4
du
dt t u
du
c u
t u f t dt du u
c u u
t u t u
π π
π
π
π
= + = +
= ⇒ ⇔ = = = =
+
= → = = → =
∫ ∫ ∫
1
2
2
2
1
.
1
p
p
e
p
x
b dx
x
+
+
+
∫
. ( ĐHTNguyên-98)
- Ta có :
2
2
2
2
( )
1
p
p
x dx
f x dx
x
+
=
+
÷
.
- Đặt :
2
2
1
2 2
2
1
1
2
1
1 1;
p
e
p p
p
dt x dx
dt
t x x I
t
x t x e t e
+
+
+
=
= = ⇒ ⇔ =
+
= → = = → =
∫
- Đặt :
( )
1 1
2
1
1
2 2
2
1
4 4
os
tan
4
os 1 tan
1 ,
4
u u
du
dt
du
c u
t u I du u
c u u
t u t e u u
π π
π
π
=
= ⇒ ⇔ = = = −
+
= → = = → =
∫ ∫
- Từ :
1
tan artan e artan e
4
u e u u I
π
= ⇒ = = ⇔ = −
1
4
0
1
.
1
c dx
x +
∫
.
• Phân tích :
( )
2 2 2 2
4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 2 1 2 1 1 2
x x x x
f x J K
x x x x
+ + − + −
= = = + = +
÷ ÷
+ + + +
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
1
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
• Tính J : Phân tích :
2
2
4
2
2
1
1
1
( )
1
1
x
x
g x
x
x
x
+
+
= =
+
+
•
2 2
3/ 2 3/ 2
2 2
2
1 1
1 1
1 ; 2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
3
1 0; 2
2
dt dx t x
dt
x x
t x J dt
x t
t t
x t x t
= + = + −
÷
= − ⇒ ⇔ = = −
÷
−
− +
= → = = → =
∫ ∫
• Vậy :
3/ 2
1 2 1 2 1
.ln ln
1
2 2 2 2 2 2 1
t
J
t
− −
= =
÷
÷
+ +
Tính K . Phân tích :
2
2
4
2
2
1
1
1
( )
1
1
x
x
h x
x
x
x
−
−
= =
+
+
•
2 2
5/ 2
2 2
2
2
1 1
1 ; 2
1
*
2
5
1 2; 2
2
dt dx t x
dt
x x
t x J
x t
x t x t
= − = + +
÷
−
= + ⇒ ⇔ = =
+
= → = = → =
∫
• Đặt :
( )
( )
2 2
1 1
2 1
2
2 2
1 2
2 2 2
2 tan 2 ;
os 2 2
os .2 1 tan
2 ; 5/ 2
u u
u u
du du
t u dt K du u u
c u
c u u
t u u t u u
= ⇒ = ⇒ = = = −
+
= → = = → =
∫ ∫
• Với :
1 2
5 5 2 5
tan 2 art2; tanu= art art -art2
2 2 2 2
u u u u u K
= → = = → = = ⇔ =
÷
Thay hai kết quả của J và K vào ta tìm ra I
Bài 2. Tính các tích phân sau :
1
4
6
0
1
1.
1
x
dx
x
+
+
∫
( )
( )
1
0
1
2. 2
1
n
x
dx n
x
−
≥
+
∫
( )
1
0
1
3.
1 1
mm m
x x+ +
∫
GIẢI
1
4
6
0
1
1.
1
x
dx
x
+
+
∫
• Phân tích :
( )
( ) ( )
4 2 2
4 2 2 2
6 6 2 6
2 4 2
1
1 1
( )
1 1 1 1
1 1
x x x
x x x x
f x
x x x x
x x x
− + +
− +
= = + = +
+ + + +
+ − +
• Vậy :
( )
( )
3
1 1
2
2
3
0 0
1 1 1
1 3 4 3 4 3
d x
I dx dx
x
x
π π π
= + = + =
+
∫ ∫
( )
( )
1
0
1
2. 2
1
n
x
dx n
x
−
≥
+
∫
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
2
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
• Đặt :
2 2
1
1 1
; 1
2 1 2
1
0 1, 1 2
n n n
dx dt x t
t
t x I dt dt
x t x t
t t t
−
= = −
−
= + ⇒ ⇔ = = −
÷
= → = = → =
∫ ∫
• Vậy :
( )
2 1 2
2
1 1 1 2 1
1
1 2 2 1
n n n
n
I n
t n t n
− − −
−
= − = +
÷
÷
÷
− −
( )
1
0
1
3.
1 1
mm m
x x+ +
∫
• Đặt :
( ) ( )
( )
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 . 1
1
1
0 1, 1 2
m
m m m m m
m m
m m
m
m
m
t dt
t x x t dx t mt dt
m
t x
t
x t x t
−
−
−
−
= + ⇔ = − → = − =
= + ⇒
−
= → = = → =
• Vậy :
( )
1
1 1
1
1
2
2 1
1
1
1
( )
1
1
. 1
m
m
m
m
m
m
m m
m
m
dt
dt
t
f x dx
t
t t
t t
t
−
−
+
−
−
−
÷
= = = =
−
−
÷
• Đặt :
1
1
1
1
1 1
1 1 ( )
1
1 0, 2
2
m
m
m
m
m
m
m
du mt dt dt
t
u t f t dt u du
t m
t u t u
− −
+
−
−
= =
= − = − ⇒ ⇔ =
= → = = → =
• Vậy :
1/2
1 1
1 1
0
1/ 2
1 1 1
0
2
m m
m
u du u
m m
− −
= = =
∫
I
Bài 3. Tính các tích phân sau :
( )
( )
1
2001
1002
2
0
1. 2000
1
x
dx DHQG A
x
− −
+
∫
2.
Chứng minh rằng :
( )
2
0
sin sinx+n 0dx
π
π
=
∫
. ( ĐH-Thái Nguyên KG-2001 )
GIẢI
( )
1
2001
1002
2
0
1.
1
x
dx
x+
∫
• Đặt :
( )
( )
( ) ( )
2000
2
2
2000 2
2 2
1
2
1
2
2 ; 1; 1
1 ( )
2
1 1
0 1, 1 2
x xdx
dt xdx x t x t
t x f x dx
x x
x t x t
= = − = −
= + ⇒ ⇔ =
+ +
= → = = → =
•
( )
1000
1000
1000 2
1
1 1 1 1
( ) 1 1
2 2
t dt
f x dx d
t t t t
−
⇔ = = − −
÷ ÷
• Vậy :
1000 1001
2
1001
1
2
1 1 1 1 1 1 1
1 1 . 1
1
2 2 1001 2002.2
I d
t t t
= − − = − =
÷ ÷ ÷
∫
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
3
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
2. Chứng minh :
( )
2
0
sin sinx+n 0dx
π
π
=
∫
.
- Đặt :
2 2 ; 0, 2 . 2 ; 0t x x t x t x t
π π π π
= − ⇒ = − → = = = =
. Khi đó :
- f(x)dx= sin
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
sin 2 sin sin 2 sin sinx+nxt n t dt t nt n I
π π π
− + − = − + + = − = −
- Vậy : 2I=0 hay I=0 ( đpcm)
Bài 4 . Tính các tích phân sau :
( )
1
2
2
0
1
.
1
x
x
a e dx
x
+
+
∫
. ( ĐHLâm Nghiệp - 2000)
. : ( ) ( ) 2 2cos 2b Cho f x f x x+ − = +
. Tính
3
2
3
2
( )I f x dx
π
π
−
=
∫
. ( ĐHSPI-98)
GIẢI
( )
1
2
2
0
1
.
1
x
x
a e dx
x
+
+
∫
.
• Đặt :
( )
2
2
1 1
2 2 2
1.
1 1
2 2 2 2
1 ( ) 1
0 1, 1 2
t t
x t dx dt
t
t t
t x f x dx dt e dt e dt
x t x t
t t t t
− −
= − =
− +
− +
= + ⇒ = = = + −
÷
= → = = → =
• Vậy :
( )
2 2 2
t
1
2
1 1 1
2 2
(*)
t
t
e e
I e dt dt dt H J K
e t t e
−
= + − = + −
∫ ∫ ∫
- Tính H :
1
2
. 1
1
t
H e e
−
= = −
- Tính J :
( )
2 2
2 2
1 1
2
1
(1)
1
2 2
t
t t
dt e e e
J e e dt e K J K e
t t t
= − =− + = − + + ⇔ − = − +
÷ ÷
∫ ∫
- Vậy : I=
2
2
1 1
2
e
e e
e
− + − + =
÷
b. Ta có :
( )
3 3
0
2 2
0
3 3
2 2
( ) ( ) ( ) 1I f x dx f x dx f x dx
π π
π π
− −
= = +
∫ ∫ ∫
- Tính :
0
3
2
( )f x dx
π
−
∫
.
- Đặt :
( )
3 3
0 0
2 2
0 0
3 3
2 2
; ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 , 0 0
2 2
dx dt f x f t
x t f x dx f t dt f t dt f x dx
x t x t
π π
π π
π π
−
= − = −
= − ⇒ = − − = − = −
= − → = = → =
∫ ∫ ∫ ∫
Thay vào (1) ta được :
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
4
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
[ ]
( )
3 3 3 3
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2
( ) ( ) 2 1 os2x 2 osx 2 osx osxI f x f x dx c c dx c dx c dx
π π π π π
π
= − + = + = = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Vậy :
3 / 2
2 sin sin 6
2
0
2
I x x
π π
π
= − =
Bài 5 . Tính các tích phân sau :
( )
1 osx
2
0
1 sinx
. ln
1 osx
c
a dx
c
π
+
+
+
∫
1
2
0
1
. ln
1
x
b x dx
x
+
÷
−
∫
3
2
2
. 1c x dx−
∫
. (ĐHYHN-2001)
GIẢI
( )
1 osx
2
0
1 sinx
. ln
1 osx
c
a dx
c
π
+
+
+
∫
; f(x)=
( )
( ) ( ) ( )
1 osx
1 sinx
ln 1 osx ln 1 sinx ln 1 osx
1 osx
c
c c
c
+
+
= + + − +
+
•
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ln 1 sinx ln 1 sinx 1 sinx ln 1 osxf x d c⇔ = + + + + − +
• Vậy :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 0
ln 1 sinx ln 1 osx 1 sinx ln 1 sinx sinx 2ln 2 1
2 2
0 0
I dx c dx
π π
π π
= + − + + + + − = −
∫ ∫
(1)
• Tính :
( )
2 2
0 0
x
ln 1 sinx 2ln 2 2ln os
2 4
dx c dx
π π
π
+ = + −
÷
∫ ∫
. Sử dụng phương pháp tích phân
từng phần :
• Tương tự :
( )
2 2 2
2
0 0 0
x
ln 1 osx ln 2cos ln 2 2ln cos
2 2
x
c dx dx dx
π π π
+ = = +
÷ ÷
÷
∫ ∫ ∫
1
2
0
1
. ln
1
x
b x dx
x
+
÷
−
∫
( ) ( )
1 1 1
2
2 2 2
2 2
2 2
0 0 0
1
1 1 2 ln 3 ln3 1
ln 1
2
2 1 1 8 1 8 1 1
0
x x
I x x dx dx dx
x x x x x
+
= − = + = + +
÷ ÷
− − − − +
∫ ∫ ∫
Vậy :
1
ln3 1 1 ln3 1 1 2
ln ln
2
8 2 1 8 2 2 3
0
x
I x
x
−
= + + = + +
+
.
3
2
2
. 1c x dx−
∫
.
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
5
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
* Nhắc nhở học sinh không được áp dụng cách đặt :
1
ost
x
c
=
,vì hàm số cosx không xác
định với mọi x thuộc
[ ]
2;3 1;1
∉ −
.Mà phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần .
3 3 3 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
1
1 . 5 2 1 5 2 1
2
1 1 1
x dx
I x x x dx x dx x dx
x x x
⇔ = − − = − − + = − − −
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
2
3
1
5 2 ln 1 2 5 2 ln(3 2 2) ln 2
2
2
I I x x I⇔ = − − + − ⇒ = − + +
( )
5 2 1
ln 2 1 ln 2
2 4
I⇔ = − + +
Bài 6. Tính các tích phân sau :
( )
( )
1
2 1
2
2
0
. , 0
1
m
m
x
a dx a b
x
+
+
>
+
∫
. Áp dụng tính :
( )
1
7
5
2
0
1
x
dx
x+
∫
( )
0
. 0
a
a x
b dx a
a x
−
+
>
−
∫
. Áp dụng : tính :
0
1
1
1
x
dx
x
−
+
−
∫
GIẢI
( )
( )
1
2 1
2
2
0
. , 0
1
m
m
x
a dx a b
x
+
+
>
+
∫
• Phân tích :
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
2 2
1
( )
1 1
m m
m m
x xdx x d x
f x
x x
+ +
+
= =
+ +
. Đặt :
2 2
1 , 2 ; 1
0 1, 1 2
x t dt xdx x t
x t x t
+ = = = −
= → = = → =
• Do đó :
( )
1
2 2 2
2 2
1 1 1
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 . 1 1 1
1
2 2 2 2( 1)
m
m m m
m
t dt
dx
I d
t t t t t m t
+
+
−
= = − = − − = − =
÷ ÷ ÷ ÷
+
∫ ∫ ∫
• Vậy :
( )
( )
1
2 1
2
2
2
0
1 1
, 0 .
1 2
1
m
m
m
x
dx a b
m
x
+
+
+
> =
+
+
∫
•
( )
( )
1
7
5
5
2
0
1 1
. 3
4 2
1
x
dx m
x
⇒ = =
+
∫
( )
0
. 0
a
a x
b dx a
a x
−
+
>
−
∫
• Đặt :
2 2
dx=-a.sintdt;a+x=2acos ; 2 sin
2 2
. ost
; 0 ;
2 2
t t
a x a
x a c
x a t x t t
π π
π π
− =
= ⇒
= − → = = → = → ∈
• Do đó :
( )
2
2
t t
os os
t
2 2
.sin 2 sin os
2 2
sin sin
2 2
c c
t
I a tdt a c dt
t t
π
π
π
π
= =
∫ ∫
. Vì :
; ;
2 2 4 2
t
t
π π π
π
∈ ⇒ ∈
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
6
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
• Cho nên :
( ) ( )
( )
2
2 2
2
t
sin , os 0 2cos 1 ost sin
2 2 2 2
2
a
t t
c I a dt a c dt a t t
π π
π π
π
π
π
+
> ⇔ = = + = + =
∫ ∫
•
( )
0
1
1
1 1
1 2
x
dx a
x
π
−
+
⇔ = + =
−
∫
Bài 7. Tính các tích phân sau :
/ 2
1
2 2
0
.
n
a
n
n
x
a dx
a x
−
−
∫
. Với :
*; 2n N n∈ ≥
. Áp dụng tính :
1
2
6
0
4
x dx
x−
∫
( )
( )
( )
2
2
2
0
. , 0
b
a x
b dx a b
a x
−
>
+
∫
. Áp dụng tính :
( )
( )
2
1
2
2
0
1
1
x
dx
x
−
+
∫
GIẢI
/ 2
1
2 2
0
.
n
a
n
n
x
a dx
a x
−
−
∫
Đặt :
1
2 2
1
( )
/ 2 / 2; 0 0
n
n
n
dt nx dx
dt
t x f x dx
n
x a t a x t
a t
−
=
= → ⇒ =
= → = = → =
−
- Đặt :
2 2
. osudu; a . osu
1
.sin ( )
/ 2 ; 0 0
6
dt a c t a c
t a u f t dt du
n
x a u x u
π
= − =
= → ⇒ =
= → = = → =
- Vậy :
6
0
1
6
6
0
I du u
n n
π
π
π
= = =
∫
Do đó :
1 1
2 2
6 6
0 0
; 3, 2
12
4 4
x dx x dx
n a
x x
π
= = ⇒ =
− −
∫ ∫
( )
( )
( )
2
2
2
0
. , 0
b
a x
b dx a b
a x
−
>
+
∫
• Đặt :
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2 2 2
1 tan
1
tan ( ) 1 tan os
os
1 tan os
0 0, tan
a t dt
adt
x a t dx f x dx t c tdt
c t a
a t c t
b
x t x b t t c
a
−
= → = ⇒ = = −
+
= → = = → = ⇔ =
• Vậy :
( )
2 2
0 0
1 1 1 1
os sin os2tdt= sin 2 sin 2
0
2a 2
c c
c
I c t t dt c t c
a a a
= − = =
∫ ∫
Áp dụng : a=1,b=1 suy ra : c=
4
π
. Ta có :
( )
( )
2
1
2
2
0
1
1
2
1
x
dx
x
−
=
+
∫
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
7
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
Bài 8 . Tính các tích phân sau .
2
3
3 1
2
0
.
.
1
x
x e dx
a
x
+
+
∫
2
5 3
1
.
dx
b
x x+
∫
GIẢI
2
3
3 1
2
0
.
.
1
x
x e dx
a
x
+
+
∫
• Đặt :
( )
( )
2
2 2
2 2
1
1;
1 ( ) 1
0 1, 3 2
t
t
t e tdt
x t xdx tdt
t x f x dx t e dt
t
x t x t
−
= − =
= + ⇒ ⇔ = = −
= → = = → =
• Vậy :
( )
( )
2
2 2
1
2
1
1
t t
I t e dt e J e e= − = − −
∫
• Tính :
( )
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 4 2 4 2
1 1 1
t t t t t t t
J t e dt t e te dt e e te e dt e e te e
= = − = − − − = − − −
÷
÷
∫ ∫ ∫
• Do đó :
2
2J e e= −
. Thay vào (1) :
2
I e=
2
5 3
1
.
dx
b
x x+
∫
Ta có :
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
2 3 2
3 2 3 2
1
( )
1
1 1
A D x B E x A C x Bx C
A B C Dx E
f x
x x x x
x x x x
+ + + + + + +
+
= = + + + =
+
+ +
Đồng nhất hệ số hai tử số :
3 2
0 1
0 1
1 1
0 0 ( )
1
0 1
1 0
A D C
B E A
x
A C B f x
x x x
B D
C E
+ = =
+ = = −
+ = ⇒ = ⇔ = − + +
+
= =
= =
Vậy :
( )
2
2
2
1 1 3 1 3
ln ln 1 ln 2 ln5
1
2 2 2 2 8
I x x
x
= − − + + = − + +
Chú ý : Ta có thể sử dụng kỹ thuật " Nhẩy tầng lầu " phân tích :
f(x)=
( ) ( ) ( )
6 6 4 2 3 3
2
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
1 1 1 1 1
1
1 1
1 1 1
x x x x x x
x t x
x x x x x
x x x x x x
+ − +
= − = − = − + − = +
÷
+ +
+ + +
Bài 9. Tính các tích phân sau .
2
3
3 2
0
.
4
x dx
a
x+
∫
4
2
3 3
0
os sin
.
os sin
c x x
b dx
c x x
π
+
∫
GIẢI
2
3
3 2
0
.
4
x dx
a
x+
∫
.
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
8
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
HỌC SINH CHÚ Ý : Phải sử dụng hai lần đổi biến số .
• Đặt :
2
3
2
.
( )
0, 0. 2; 4
2 4
dt xdx
t dt
t x f x dx
x t x t
t
=
= → ⇒ =
= = = =
+
• Đặt :
( ) ( )
3 2 4
3 2
3
3
4 .3 4
4; 3
3
4 ( )
2 2
0, 4; 4, 2
u u du u u du
t u dt u du
u t f t dt
u
t u t u
− −
= − =
= + ⇒ = =
= = = =
• Vậy :
( )
3
2
5
4 2
3
3
4
2
3 3 3 8
4 2 4 2
2 2 5 2 5
4
u
I u u du u
= − = − = − +
÷
÷
∫
( )
4
2
3 3
0
os sin
. 1
os sin
c x x
b dx
c x x
π
+
∫
• Đặt :
2
0, . , 0
2 2
dx dt
x t
x t x t
π
π π
= −
= − ⇒
= = = =
•
( )
4
4
3 3
3 3
os sin
sin cos ( )
2 2
( )
os sin
sin os
2 2
c t t dt
t t dt
f x dx
c t t
t c t
π π
π π
− − −
÷ ÷
−
⇔ = =
+
− + −
÷ ÷
• Do đó :
( )
0
4 4
2
3 3 3 3
0
2
sin cos ( ) sin cos
2
sin os sin os
t t dt x xdx
I
t c t x c x
π
π
−
= =
+ +
∫ ∫
. Cộng (1) và (2) vế với vế :
• Suy ra :
( )
3 3
4 4
2 2 2
3 3 3 3
0 0 0
sinxcosx sin os
os sin sin cos 1
2 sin 2
sin os sin os 2
x c x
c x x x x
I dx dx xdx
x c x x c x
π π π
+
+
= = =
+ +
∫ ∫ ∫
• Vậy :
1 1
os2x
2
8 4
0
I c
π
= − =
Bài 10. Tính các tích phân sau .
( )
( )
2
2
2
0
1
. tan osx
os sinx
a c dx
c
π
−
∫
( )
2
0
. sinxln 1+sinxb dx
π
∫
GIẢI
( )
( )
2
2
2
0
1
. tan osx
os sinx
a c dx
c
π
−
∫
. Áp dụng công thức :
( ) ( )
2 2
2
2
0 0
1
1 tan ; sinx osx
os
x f dx f c dx
c x
π π
+ = =
∫ ∫
. Ta có :
( )
( )
( )
( )
1
2 2
2 2
2 2
0 0
1 1
tan osx cotan sin x
os sinx sin osx
I c dx dx
c c
π
= − = −
∫ ∫
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
9
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
Vậy :
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
0
1 1
2 cot sinx tan osx
os sinx sin osx
I an c dx
c c
π
= − + − =
÷
÷
∫
Ta có :
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2
4cos2 sinx
1
cot sinx 1 tan sinx cot sinx 1
os sinx sin 2 sinx
an
c
− = + − = −
Tương tự :
( )
( )
( )
( )
2
2 2
4cos2 osx
1
tan osx 1
sin osx sin 2 osx
c
c
c c
− = +
( )
2
0
. sinxln 1+sinxb dx
π
∫
. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ,ta có :
( )
2
2 2 2
0 0 0
cosx 1 sin
sinxln 1+sinx osx.ln(1+sinx) + osx. 0
2
1+sinx 1 sinx
0
x
I dx c c dx dx
π π π
π
−
= = − = +
+
∫ ∫ ∫
Vậy :
( ) ( )
2
0
1 sinx osx 1
2
2
0
I dx x c
π
π
π
= − = + = −
∫
Bài 11. Tính các tích phân sau :
a.
( )
1
2
0
.ln 1x x x dx+ +
∫
b.
( )
4
2
0
cos2
1 sin 2
x x
dx
x
π
+
∫
c. Chứng minh :
2 2
6 5
0 0
cos . os6 os sin .sin 6x c xdx c x x xdx
π π
=
∫ ∫
. Từ đó tính : J=
2
5
0
os . os7xdxc x c
π
∫
Giải .
a.
( ) ( )
( )
( )
2
1 1 1
2 2 2 2
2 2
0 0 0
1 1
2 1
1 1 1 1 3
.ln 1 .ln 1 ln3
0 0
2 2 1 2 2 4 1
x x
dx
x x x dx x x x dx x x
x x x x
+
+ + = + + − = − − −
+ + + +
∫ ∫ ∫
1 1
2
2
2
0 0
3 3
ln3 ;
4 4 1
1 3
2 2
dx dx
J J
x x
x
= − = =
+ +
+ +
÷
÷
∫ ∫
Đặt :
3
6
1 3 2 3 3
tan , ;
2 2 6 3 3 9
x t t J dt
π
π
π π π
+ = ∈ ⇒ = =
÷
∫
. Vậy :
3 3
ln3
4 12
I
π
= −
b.
( )
4 4 4
2
2
0 0 0
cos2 1 1 1 1 1 1 1
. . .
4
2 1 sin 2 2 1 sin 2 16 2
2
1 sin 2
os x-
0
4
x x
dx x dx dx
x x
x
c
π π π
π
π
π
= − + = − +
÷
+ +
+
÷
∫ ∫ ∫
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
10
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang
( )
1 1 1 2 2
. tan . 0 1
4
16 2 4 16 2 2 4 16
2
0
x
π
π π π π
= − + − =− + + = −
÷
c.
2 2
6 5
0 0
cos . os6 os sin .sin 6x c xdx c x x xdx
π π
=
∫ ∫
Đặt :
6 5
2
6 5
0
os 6cos .sinxdx
1
os .sin 6 os .sinx.sin6xdx
2
1
6
dv=cos6x v= sin 6
0
6
u c x du x
I c x x c x
x
π
π
= → = −
⇒ = +
→
∫
. (đpcm)
( ) ( )
2 2 2 2
5 5 6 5
0 0 0 0
os . os x+6x os os6x.cosx-sinx.sin6x os . os6xdx- os sin .sin 6 0I c x c dx c x c dx c x c c x x xdx
π π π π
= = = =
∫ ∫ ∫ ∫
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
11
