BÀI TOÁN 5 TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ ĐỂ CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN potx

BÀI TOÁN 5
TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ ĐỂ CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN K
I. PHƯƠNG PHÁP
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x
1
, x
2

'
0
0
a




 

(I)
Bước 2. Áp dụng định lí Viét, ta được:



 
1 2
1 2
x x f m
x x g m
  






(I)
Bước 3. Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)
II. VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Cho phương trình:




2
2 1 3 0
x kx k k
    

CMR với mọi k, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, thỏa
mãn:

   
2
1 2 1 2 1 2
1
2 3 0

4
x x x x x x
     

Giải:
Ta có:
    
2
' 2
1 1 3 4 4 2 0,
k k k k k k
           

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, thỏa mãn:

  
1 2
1 2
2
1 3
x x k
x x k k
 




   



Khi đó:
        
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1
2 3 2 1 3 2.2 3 0
4 4
x x x x x x k k k k
           
(đpcm)
VD2: Cho phương trình:




2
1 2 1 2 0
m x m x m
     

Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
, thỏa mãn:



1 2 1 2
4 7
x x x x
 
Giải:
Phương trình hai nghiệm x
1
, x
2
:

'
0
1 0
1 3
3 0
0
a
m
m
m

 

     
 
 
 



(*)
Khi đó phương trình hai nghiệm x
1
, x
2
, thỏa mãn:



1 2
1 2
2 1
1
2
1
m
x x
m
m
x x
m


 












Suy ra
 


1 2 1 2
2 1
2
4 7 4. 7 6
1 1
m
m
x x x x m
m m


      
 
thỏa mãn (*)
Vậy với m = -6 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
VD3: Xác định m để phương trình




2
2 1 1 0
mx m x m
    

có hai nghiệm x
1
, x
2
, thỏa mãn:
2 2
1 2
2
x x
 

Giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
là:

'
0
0
1 0
1 0
0
a

m
m
m



    
 
 
 



Khi đó phương trình hai nghiệm x
1
, x
2
, thỏa mãn:



1 2
1 2
2 1
1
m
x x
m
m
x x

m


 









Ta có:
 
   
2
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2
4 1 2 1
2
2 2 2 2
3
m m
x x x x x x m
m m
 
           

Vậy với
2
3
m
 
thoả mãn điều kiện đầu bài.
VD4: Giả sử phương trình:

2
0
ax bx c
  

có hai nghiệm x
1
, x
2
. CMR hệ thức:
3 2 2
3
b a c ac abc
   là điều kiện cần và
đủ để phương trình có một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại.
Giải:
Theo giả thiết, ta được:

1 2
1 2
b

S x x
a
c
P x x
a

   




 



Xét biểu thức:







   
2 2 2 2 3 3
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
3
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 3 3 2 2

2 3 3
3
3
3
P x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
c c b c b b a c ac abc
a a a a a a
      
 
     
 
 
  
     
 
 

Vậy nếu
3 2 2
3
b a c ac abc
   thì một trong hai thừa sốcủa P phải bằng 0 và
ngược lại (đpcm).
VD5: Giả sử phương trình:

2
0
ax bx c
  

có hai nghiệm x
1
, x
2
. CMR hệ thức:
   
2
2
1 0 0
k ac kb k
   
là điều kiện
cần và đủ để phương trình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại.
Giải:
Theo giả thiết, ta được:

1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

   





 



Xét biểu thức:







 
 
2 2 2
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
2
2
2 2
1
2
P x kx x kx x x k x x k x x
x x k x x x x k x x
k ac kb

c b c c
k k
a a a a a
      
 
    
 
 
 
    
 
 

Vậy nếu
 
2
2
1 0
k ac kb
  
thì một trong hai thừa số của P phảibằng 0 và
ngược lại (đpcm).

III.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1. Cho phương trình:


2 2
2 1 3 4 0
x m x m m

     

Xác định m để phương trình:
a) Có một nghiệm.
b) Có hai nghiệm phân biệt. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
không phụ thuộc vào m
c) Xác định m để
2 2
1 2
20
x x
 

Bài 2. Cho phương trình:


2 2
2 1 3 4 0
x m x m m
     

Xác định m để:
a) Phương trình có hai nghiệm.
b) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 2.
c) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về trị tuyệt đối.
d) Phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn

1 2
1
x x
 

Bài 3. Cho phương trình:




2
2 2 1 2 0
m x m x m
     

Xác định m để:
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
b) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 3.
c) Phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
2
x x
 

Bài 4. Tìm m để phương trình
2

2 4 0
x mx
  
có hai nghiệm x
1
, x
2
. Khi đó
a) Tính theo m giá trị các biểu thức:

1 2
4 4
1 2
E x x
F x x
 
 

b) Xác định m sao cho
4 4
1 2
32
x x
 

c) Xác định m sao cho
2 2
1 2
2 1
3

x x
x x
   
 
   
   

Bài 5. Cho phương trình
2
0
ax bx c
  

Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để phương trình có một nghiệm bằng
k lần nghiệm còn lại.