Một cách khai thác bài toán so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai pdf

1
MỘT CÁCH KHAI THÁC BÀI TOÁN SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC
NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Nguyễn Thanh Bình - GV trường CĐSP Yên Bái

Bài toán so sánh một số
α
với các nghiệm của tam thức bậc hai hay gặp
trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng hiện nay và cũng gây
không ít khó khăn cho các thí sinh. Hơn nữa từ khi áp dụng chương trình phân
ban THPT, trong chương trình Đại số 10 không còn giới thiệu nội dung định lí
đảo về đấu của tam thức bậc hai. Do vậy, học sinh càng khó khăn hơn trong việc
giải các bài toán này. Trong bài viết này chúng tôi trao đổi với các bạn một kỹ
thuật nhỏ để giải quyết tốt các bài toán liên quan đến bài toán trên.
Giả sử cho tam thức bậc hai
2
()
fxaxbxc
=++
có hai nghiệm phân biệt
1212
,()
xxxx
<
. Đặt
1212
;.
bc
SxxPxx
aa

−
=+===
. So sánh một số
α
với các
nghiệm của tam thức bậc hai.
Ta xét các bài toán sau:
1. Bài toán 1.Tam thức bậc hai
2
()
fxaxbxc
=++
có hai nghiệm thoả mãn
12
xx
α
<<
.
Cách giải: Điều kiện của bài toán tương đương với
12
0xx
αα
−<<−
.
Đặt
xy
α
−=
, sau đó biến đổi
2

()
fxaxbxc
=++
về tam thức bậc hai ẩn là
y
.
Vậy để bài toán thoả mãn điều kiện đã cho thì tam thức bậc hai
()
fy
phải có hai
nghiệm trái dấu.
* Thí dụ 1. Tìm
m
để phương trình
22
(21)(1)20
mxmxm
−+−++=
có hai
nghiệm
12
,
xx
sao cho
12
1
xx
<<
.
Lời giải. Đặt

22
()(21)(1)2
fxmxmxm
=−+−++
,
từ giả thiết
1212
1101
xxxx
<<⇔−<<−

Đặt
11
xyxy
−=⇒=+
.
Vậy
22
()(21)(1)(1)(1)2fymymym=−++−+++


222
(21)(43)3
mymmymm
=−++−++

Để bài toán được thoả mãn thì tam thức bậc hai
()
fy
có hai nghiệm phân biệt

trái dấu
2
(21)(3)0
mmm
⇔−+<

3
m
⇔<−
hoặc
1
0
2
m
<<
.
* Thí dụ 2. Cho hàm số
21
(1)
1
x
y
x
−
=
+

Với giá trị nào của
m
, đường thẳng

m
d
đi qua A(-2; 2) và có hệ số góc
m
cắt đồ
thị hàm số (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh.
Lời giải. Phương trình của đường thẳng
m
d
:
(2)2
ymx
=++

Xét phương trình hoành độ giao điểm của
m
d
và đồ thị hàm số (1):
2

2
21
(2)2
1
3230(1)
x
mx
x
mxmxmx
−

=++
+
⇔+++=≠−

Để
m
d
cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh thì phương trình
trên phải có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
thỏa mãn
12
1
xx
<−<
.
Đặt
1
xy
+=
, phương trình trên trở thành
2
30
mymy++= , pt này phải có hai
nghiệm trái dấu
3.00.
mm
⇔<⇔<

2. Bài toán 2. Tam thức bậc hai
2
()
fxaxbxc
=++
có hai nghiệm thoả mãn
12
xx
α
<<
.
Cách giải: Điều kiện
12
xx
α
<<

12
0xx
αα
⇔<−<−
. Đặt
xy
α
−=
, dẫn đến
một tam thức bậc hai ẩn
y
là

()
fy
có hai nghiệm dương phân biệt.
* Thí dụ 3. Tìm
m
để phương trình
2
3210
xxm
−+−=
có hai nghiệm phân
biệt
12
,
xx
thỏa mãn điều kiện
12
1
xx
<<
.
Lời giải. Điều kiện
12
1
xx
<<
12
011
xx
⇔<−<−

. Đặt
1
xy
−=
, phương trình
đã cho trở thành
2
230
yym
−+−=
. Để bài toán thỏa mãn thì phương trình mới
phải có hai nghiệm phân biệt đều dương

8130
213
10
38
230
m
Sm
Pm
∆=−+>


⇔=>⇔<<


=−>


* Thí dụ 4. Cho hàm số
2
1
(1)
1
mxxm
y
x
−++
=
−
(
m
là tham số)
Tìm
m
để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt và có hoành độ lớn
hơn 1.
Lời giải. Đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1
⇔
phương trình
2
()10
fxmxxm
=−++=
có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
đều

lớn hơn 1, tức là
12
1
xx
<<
. Tương tự thí dụ 3, đặt
1
xy
−=
, ta được phương
trình
2
(21)20
mymym
+−+=
phải có hai nghiệm phân biệt đều dương

2
0
0
4410
121212
0
12
222
0
1
0
20
2

m
m
mm
mm
m
S
m
m
P

≠

≠


∆=−−+>


−−−+−+

⇔⇔<<⇔<<

−
=>


<<
=>






3. Bài toán 3. Tam thức bậc hai
2
()
fxaxbxc
=++
có hai nghiệm thoả mãn
12
xx
α
<<
.
Cách giải: Tương tự như bài toán 2.
3
* Thí dụ 5. Cho hàm số
2
23
(1)
1
xxm
y
x
−+
=
−
(
m
là tham số)

Tìm
m
để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (
3;)
+∞
.
Lời giải. TXĐ:
\{1}
R
.
Hàm số (1) đồng biến trên khoảng (
3;)
+∞

2
22
243()
'03
(1)(1)
xxmgx
yx
xx
−+−
⇔==≥∀>
−−

Xét
2
()243
gxxxm

=−+−
có
'22
m
∆=−
.
Nếu
'01
m
∆≤⇔≤
, thì
()0
gxx
≥∀
, suy ra
'01
yx
≥∀≠
, vậy hàm số (1) đồng
biến trên toàn MXĐ, suy ra nó đồng biến trên khoảng (
3;)
+∞
.
Nếu
'01
m
∆>⇔>
thì
'03()03
yxgxx

≥∀>⇔≥∀>
khi và chỉ khi
()
gx

có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
thỏa mãn
12
3
xx
<≤


2
()289
gyyym
⇔=++−
( với
3
yx
=−
) có hai nghiệm phân biệt nhỏ
hơn hoặc bằng 0.

1
1
4019

9
9
0
2
m
m
Sm
m
m
P


>
>


⇔=−<⇔⇔<≤

≤


−

=≥


Đáp số:
9
m
≤

* Thí dụ 6. Cho hàm số
32
1
22(1)
3
yxxmx=−+− (
m
là tham số)
Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
(;1)
−∞
.
Lời giải.
TXĐ: R
Hàm số (1) đồng biến trên khoảng
(;1)
−∞
khi và chỉ khi
2
'401
yxxmx
=−+≥∀<

Xét
2
()4
gxxxm

=−+
có
'4
m
∆=−
.
Nếu
'04
m
∆≤⇔≥
thì
'0
yx
≥∀
. Do vậy, hàm số (1) đồng biến trên toàn R,
vậy nó đồng biến trên khoảng
(;1)
−∞
.
Nếu
'04
m
∆>⇔<
thì
'01
yx
≥∀<
khi và chỉ khi
()
gx

có hai nghiệm phân
biệt
12
,
xx
thỏa mãn
12
1
xx
≤<


2
()(1)4(1)
gyyym
⇔=+−++


2
23
yym
=−+−
có hai nghiệm phân biệt không âm

4
4
2034
3
30
m

m
Sm
m
Pm
<

<


⇔=>⇔⇔≤<

≥


=−≥


Đáp số:
3
m
≥
.
4
* Bài tập tự luyện.
Bài 1. Tìm
m
để phương trình
22
(4)()20
mxmmxm

++−+=
có hai nghiệm
12
,
xx
thỏa mãn
12
1
xx
<−<
.
Bài 2. Tìm
m
để phương trình
2
(1)(21)0
mxmxm
+−−+=
có hai nghiệm
12
,
xx
thỏa mãn
12
2
xx
−≤<
.
Bài 3. Cho hàm số
2

21
x
y
x
+
=
+
có đồ thị ( C ).
Tìm các giá trị của
m
sao cho đường thẳng
:1
m
dymxm
=+−
cắt ( C ) tại hai
điểm thuộc cùng một nhánh của ( C).
Bài 4. Cho hàm số
2
24
2
xx
y
x
−+
=
−
có đồ thị ( C).
Tìm
m

để đường thẳng
:2
m
dymx
=+
cắt đồ thị ( C) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Bài 5. Cho hàm số
32
1
(1)(3)4
3
yxmxmx
−
=+−++−
(
m
là tham số)
Tìm
m
để hàm số trên đồng biến trên khoảng (0; 3).