CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ pptx

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
MỘT BIỂU THỨC
1.Định nghĩa1:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất
của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)

M với M là hằng số
- Tồn tại (x
0
, y
0
,…) thuộc D sao cho f(x
0
, y
0
,…) = M
2. Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất
của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)

m với m là hằng số
- Tồn tại (x
0
, y
0
,…) thuộc D sao cho f(x

0
, y
0
,…) = m

II. CÁC KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG
Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y),…Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của
biểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị
nhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP.
1) Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minB
Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc
nếu A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá
trị xác định x = x
0
, tức là maxA = A(x
0
), maxB = B(x
0
) thì maxP = P(x
0
).
2) Cho P =
1
A
với A

0 thì maxP =
1
min
A

3) a) P(x,y) = [Q(x,y)]
2n
+ a

a với a là hằng số, n

N
*

Nếu có (x
0
, y
0
) sao cho Q(x
0
, y
0
) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, y
thuộc D
b) P(x,y) = - [Q(x,y)]
2n
+ b

b với b là hằng số, n

N
*

Nếu có (x

0
, y
0
) sao cho Q(x
0
, y
0
) = 0 thì maxP(x,y) = b với mọi x, y
thuộc D
4) A

0 thì max(A
2
) = (maxA)
2
và
min(A
2
) = (minA)
2

5) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si:
a) a + b

2
ab
( a

0, b


0)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
b)
a
b
+
b
a


2 (ab

0)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
6) Bất đẳng thức Bunhiacopsky
(ax + by)
2

(a
2
+ b
2
) (x
2
+ y
2
)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx
7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
a

+
b



a b


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

0
8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai

2
( )
f x ax bx c
  

( 0 )
a


Khi đó:
Nếu
0
 
thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,
x R
 

Nếu
0
 
thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,
x R
 
,
2
b
x
a



Nếu
0
 
thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái
dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm.