Vài dạng toán tìm cực trị đại số THCS

PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
TÌM GTLN VÀ GTNN TRONG ĐẠI SỐ THCS
A/ NỘI DUNG GỒM:
Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức
Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức
Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức
Mỗi dạng gồm có:
- Các ví dụ
- Cách giải chung của các ví dụ
- Bài tập tự giải và kết quả của từng bài
B/ MỘT SỐ ĐIỀU CẦN GHI NHỚ:
Có nhiều phương pháp để giải bài toán tìm GTLN và GTNN của một hàm số,
một biểu thức. Một trong những phương pháp có hiệu quả là dùng bất đẳng thức
quen thuộc, nhưng cũng chính phương pháp này đã gây ra những sai lầm, nếu chúng
ta không nắm vững bản chất của nó.
Khi dùng bất đẳng thức ta chứng minh được
( )
Kxf
≥
hay
( )
Kxf
≤
( K là một
hằng số) thì không được kết luận vội vàng là K là GTLN (hay GTNN) của
( )
xf
. Mà
ta phải chứng tỏ rằng dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nhận được giá trị cụ thể, thỏa
điều kiện của bài toán rồi mới kết luận.

C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ:
Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức
1/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
33)(/
2
++=
xxxfa
)5()(/
−=
xxxgb
Giải
4
3
2
3
4
3
4
9
2
3
..233)(/
2
22
+







+=+++=++=
xxxxxxfa
Ta có
,0
2
3
2
≥






+
x
nên
4
3
4
3
2
3
2
≥+







+
x
Vậy: f(x) đạt GTNN bằng
4
3
khi
2
3
0
4
3
2
−=⇔=






+
xx
1
PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
4
25
2
5

5)5()(/
2
2
−






−=−=−=
xxxxxxgb
Ta có
,0
2
5
2
≥






−
x
nên
4
25
4

25
2
5
2
−≥−






−
x
Vậy: g(x) đạt GTNN bằng
4
25
−
khi
2
5
0
2
5
2
=⇔=







−
xx
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng:
( )
[ ]
axh
+
2
trong đá a là một hằng số. Vì
( )
[ ]
0
2
≥
xh
nên
( )
[ ]
aaxh
≥+
2
. Do đó GTNN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0.
Ví dụ 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
142)(/
2
+−−=
xxxfa
2

)(/ xxxgb
−=
Giải
( )
151142)(/
2
2
++−=+−−=
xxxxfa
Ta có
( )
01
2
≥+
x
nên
( )
01
2
≤+−
x

⇒
( )
15151
2
≤++−
x
Vậy: f(x) đạt GTLN bằng 15 khi
( )

101
2
−=⇔=+
xx
4
1
2
1
)(/
2
2
+






−−=−=
xxxxgb
Ta có
0
2
1
2
≥







−
x
nên
⇒≤






−−
0
2
1
2
x
4
1
4
1
2
1
2
≤+







−−
x
Vậy: g(x) đạt GTLN bằng
4
1
khi
2
1
0
2
1
2
=⇔=






−
xx
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng:
( )
[ ]
axh
+−
2

trong đá a là một hằng số. Vì
( )
[ ]
0
2
≥
xh
nên
( )
[ ]
aaxh
≤+−
2
. Do đó GTLN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0.
2/ Bài tập tự giải:
Bài tập 1: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
132)(
2
++−=
xxxf

Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng
4
3
8
17
=
xkhi
Bài tập2 : Tìm GTNN của các biểu thức sau:
1

64
1
)(
2
−−=
x
xxg
Đáp số: g(x) đạt GTNN bằng
3
1
36
37
=−
xkhi
Bài tập 3: a/ Tìm GTNN của các biểu thức sau:
)4)(3)(2)(1()(
++++=
xxxxxf
Đáp số: f(x) đạt GTNN bằng
2
55
1
2,1
±−
=−
xkhi
2
PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
b/ Giải phương trình trên khi f(x)=3
Đáp số: Phương trình có nghiệm

2
135
2,1
±−
=
x
Bài 4: Cho phương trình
( ) ( )
01381
222
=−++−++
xmmxmm
Gọi
21
, xx
là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm GTLN và GTNN của biểu
tổng S=
21
xx
+
Đáp số: S đạt GTLN bằng
1323
3413
3
132
−
−
=
mkhi
S đạt GTNN bằng

1323
3413
3
132
+
+
−=−
mkhi
Bài 5: Cho x và y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = 1
a/ Tìm GTNN của biểu thức:
22
3 yxM
+=
Đáp số: M đạt GTNN bằng
4
1
;
4
1
4
1
==
yxkhi
b/ Tìm GTLN của biểu thức: N = 2xy
Đáp số: N đạt GTLN bằng
2
1
;
6
1

6
1
==
yxkhi
Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức
Đường lối chung để giải dạng toán này: Cho biểu thức
)(
)(
xG
xF
A
=
. Biểu thức A đạt
GTLN khi F(x) đạt GTLN và G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN khi F(x) đạt
GTNN và G(x) đạt GTLN.
3
PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
1/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức:
106
35183
2
2
+−
+−
=
xx
xx
A
Giải

( )
13
5
3
106
5
3
106
35183
222
2
+−
+=
+−
+=
+−
+−
=
x
xxxx
xx
A
A đạt GTLN khi
( )
13
2
+−
x
đạt GTNN, mà
( )

113
2
≥+−
x
Vậy GTLN của
8
1
5
3
=+=
A
khi
( )
303
2
=⇔=−
xx
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta thấy bậc của tử thức bằng bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép chia để đưa
biểu thức về dạng A = M +
)(xf
N
(M, N là hằng số). Do đó biểu thức A đạt GTLN
khi biểu thức f(x) đạt GTNN.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức:
( )
0
12
2
≠

+
=
x
x
x
A
Giải
Ta có thể viết:
( )
1
111212
2
2
2
2
2
22
2
−






+
=
−+
=
−++

=
+
=
x
x
x
xx
x
xxx
x
x
A
Do đó:
101
1
1
2
−≥⇔≥+⇒






+
=+
AA
x
x
A

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1010
1
−=⇔=+⇔=
+
xx
x
x
Vậy biểu thức A đạt GTNN bằng -1 khi x=-1
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép biến đổi
để đưa biểu thức về dạng A =
K
xg
xf
F
+















2
)(
)(
(K là hằng số). Do đó biểu thức A đạt
GTNN là K khi biểu thức
)(
)(
xg
xf
=0.
2/ Bài tập tự giải:
4
PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
Bài 1: Tìm GTLN của hàm số:
( )
0
1
)(
4
2
≠
+
=
x
x
x
xf
; Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng
1

2
1
±=
xkhi
Bài 2: Cho x>0. Tìm giá trị của x để biểu thức
( )
2
2009
+
=
x
x
M
đạt GTLN.
Đáp số: M đạt GTLN bằng
2009.4
1
khi x=2009
Bài 3: Cho biểu thức:
( )
xxx
x
xx
xx
M
23
:
)2(1
20092
23

32
+−
−−
+−
=
a/ Rút gọn M Đáp số:
( )
0;2;1
20092
2
2
≠≠≠
+−
=
xxx
x
xx
M
b/ Tìm GTNN của M. Đáp số: M đạt GTNN bằng
2009
2009
2008
=
xkhi
Bài 4: Cho biểu thức:
)1(2
4123
:
23
3

232
++
−+−
+
−
=
xx
xxx
x
xx
N
a/ Rút gọn N. Đáp số:






−≠≠
+
=
3
2
;
3
1
4
2
xx
x

x
N
b/ Tìm GTNN và GTLN của N
Đáp số: N đạt GTNN bằng
2
4
1
−=−
xkhi
Đáp số: N đạt GTLN bằng
2
4
1
=
xkhi
Bài 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện:
2
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+
cba

Tìm GTLN của biểu thức abc:
Đáp số: abc đạt GTLN bằng
2
1
8
1
===
cbakhi
Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức
1/ Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho biểu thức:
xxxf
+−−=
12)(
. Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTLN.
Giải
Biểu thức f(x) có nghĩa khi:
5