Tìm cực trị đại số

Một số phơng pháp giải toán cực trị
phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số
A . Yêu cầu
A . một số Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D
a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện
sau đồng thời đợc thoả mãn
1
o
. f(x) M với x D
2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = M. kí hiệu là max f(x) = M
b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng
thời hai điều kiện sau:
1
o
. f(x) m với x D
2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = m.
2. Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị
- B ớc 1 : Chứng minh bất đẳng thức:

f(x) m (hoặc f(x) M) với x D.
- B ớc 2: Chỉ ra giá trị x
0
D để:
f(x
0
) = m f(x
0
) = M)
- B ớc 3 Kết luận: Với giá trị x
0
D thì f(x) đạt:

MxMaxf
Dx
o
=

)(

mxM
D
x
=

0
)inf(

Chú ý :
1 / Nếu chỉ chứng minh đợc f (x)

m hoặc f(x)

M thì cha đủ để kết luận về
GTLN hoặc GTLN
Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1)
2
+(x-3)
2
Giải : Ta có (x-1)
2
0 x (1)
( x - 3 )
2
0 (2)
A 0 x nhng không thể kết luận đợc Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời
hai BĐT (1) và (2).
Ta có: f(x) = x
2
- 2x + 1 + x
2
-6x + 9 = 2 ( x
2
- 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )
2
+ 2 2
1
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Vậy Min A = 2 x - 2 = 0 x = 2
2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên

B. Phơng pháp cơ bản và ví dụ
Ph ơng pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
1.1. Nội dung ph ơng pháp
+ Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh
f(x) m (hoặc f(x) M) với x D
+ Chỉ ra sự tồn tại x
0
D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "="
xảy ra).
1.2. Kiến thức bổ sung
a) Bất đẳng thức cô si
+ Với a,b > 0, a,b D thì
ab
ba

+
2
Dấu = xảy ra khi a= b
+ Tổng quá: Với n số dơng a
1
, a
2
, ..., a
n
D
thì:
n
n
n
aaa

n
aaa
...
...
21
21

+++
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= ... = a
n
.
b) Bất đẳng thức Bunhiacopski
+ Nếu a
1
, a
2
, ..., a
n
và b
1
, b
2
, ..., b
n
là 2n số tuỳ ý thì:
( )( )

( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
1
.........
nnnn
babababbbaaa
+++++++++
Dấu "=" xảy ra
n
n
b
a
b
a
b
a
===
...
2
2
1
1

.
(Quy ớc nếu a
i
= 0 thì b
i
= 0 i = 0, 1, 2, 3, ... n)
c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối
*.
0

a
a D dấu bằng xảy ra a = 0
*
baba
++
với a,b D dấu bằng xảy ra a.b 0.
Tổng quát : a
1
, a
2
, ..., a
n
D thì
nn
aaaaaa
++++++
......
2121
Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu.
2

Một số phơng pháp giải toán cực trị
*.
baba

dấu bằng xảy ra khi a.b 0
d) Với a b > 0 thì
ba
11

dấu bằng xảy ra khi a = b.
e)
2
+
a
b
b
a
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b.
1.3. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x,y,z) = x
4
+ y
4
+ z
4
xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4}
Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói với
học sinh . Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy
số x,y,z và y,z ,x ta có

( x
2
+ y
2
+ z
2
) ( xy + yz + zx )
2

Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z )

D Thì ( x
2
+ y
2
+ z
2
) 16
Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x
2
,y
2
,z
2
và 1,1 ,1 ta có
3 ( x
4
+ y
4
+z

4
) ( x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
(2)
Từ (1) và (2)

f(x,y,z) > 16/3

(x,.y,z)

D
Mặt khác f (
3
2
,
3
2
,
3
2
) =
3
16
và (

3
2
,
3
2
,
3
2
)

D
Vậy Min f (x,y,z) = 16/3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B =
+

x
x 1
với x 1,y 2 , z 3
A =
+

x
x 1

+

y
y 2

+

z
z 3
áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có:

( )
22
11
1.1
xx
x
=
+


Tơng tự :
22
2
22
.
2
1
2
2
1
2
yy
yy
=

+
=

32
2
33
.
3
1
3
3
1
3
zz
zz
=
+
=

A
z
z
y
y
x
x
3222
2
++

A
32
1
22
1
2
1
++
3
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Dấu "=" xảy ra





=
=
=

6
4
2
z
y
x

Max A =
32

1
22
1
2
1
++






=
=
=

6
4
2
z
y
x
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) D =
12
+
xx
b) Cho x
1
, x

2
, ... , x
2004
thoả mãn
2005...
200421
=+++
xxx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E =
1...11
200421
+++
xxx
Giải: a) áp dụng bất đẳng thức
baba
++
dấu "=" xảy ra khi a.b 0
Ta có D =
11212
=++
xxxx
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x) 0 1 x 2
Vậy Min D = 1 khi 1 x 2
b) Vận dụng bất đẳng thức
baba

Dấu "=" xảy ra khi ab 0. Ta có:
11
11

xx
11
22

xx
.................
11
20042004

xx
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc:
E =
1...11
200421
+++
xxx

200421
... xxx
+++
-

12004
1...11
só
+++
= 2005 - 2004 = 1
Vậy E 1 Dấu "=" xảy ra khi x
1

, x
2
, ... x
2004
0
và
200421
... xxx
+++
= 2005
Những sai lầm th ờng gặp của dạng toán này
4
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Sai lầm thờng gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là :
- Điều kiện tồn tại BĐT
- Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm đợc
Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =
t
xzy
z
txy
y
xzt
x
tzy
xzy
t
txy
z

xzt
y
tzy
x
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
Học sinh có thể ngộ nhận và vận dụng ngay BĐT

2
+
a
b
b
a
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b
Để ra ngay kết quả A 8

Min A = 8


0
====







++=
++=
++=
++=
tzyx
zyxt
yxtz
xtzy
tzyx
Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0
Đây là những sai lầm thờng gặp mà nhiệm vụ của ngời thầy là phải chỉ ra đợc
những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị
1.4. Bài tập vận dụng
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
)11(2)11(2
++++++
xxxx

2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền
D =
{ }
1,0,0,0:),,(
=++>>>
zyxzyxxyx
3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số :
f(x,y,z) = ( 1+
x
1
) ( 1+
y
1
) ( 1+
z
1
) Xét trên miền.
D =
{ }
1;0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxzyx
Ph ơng pháp 2
Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn
2.1. Nội dung ph ơng pháp
5
Một số phơng pháp giải toán cực trị
*/ A
2
0 x ( x là biến của biểu thức A ) A
2k

0 x
*/ - B
2
0 x (x là biến của biểu thức B ) - B
2k
0 x
Nhiệm vụ của ngời thầy phải chỉ ra đợc :
*/ A
2k
+m m

m là GTNN

A = 0
*/ -B
2k
+ M M

M là GTLN

B = 0
2.2. Kiến thức bổ sung:
Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đa về dạng A
2k
+m m và
-B
2k
+ M M bằng các phép biến đổi đại số

2.3 : các ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x
2
+ 6x - 5
Giải: Ta có A = 3 ( x
2
+ 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 )
2
- 8 - 8
Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = - 1
Vậy Min A = - 8 x = - 1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x
2
- 4x + 1
Giải : A = -5 ( x
2
+ 4/5 x ) + 1 = -5 ( x
2
+ 4/5x + 4/25 ) + 9/5
( x
2
+ 2/5 )
2
+9/5 9/5
Dấu = xảy ra

x + 2 /5 = 0

x = - 2/5
* Chú ý : f(x) = ax
2

+ bx + c
* Có giá trị nhỏ nhất

a > 0.
* Có giá trị lớn nhất

a < 0.
Không dừng lại ở đây ta có thể đa ra một số ví dụ sau :
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

)( 1
12
683
2
2

+
+
=
x
xx
xx
C
Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải . Tuy nhiên có thể gọi
phơng pháp giải là tìm cách đa về dạng ax
2
+ bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thể
cách làm nh sau :
C =
22

2
)1(
1
1
2
3
)1(
1)1(2)12(3

+

=

++
xxx
xxx
Đặt y =
1
1

x
(y

0 )
6
Một số phơng pháp giải toán cực trị
C = 3 - 2y + y
2
đến đây C đã đa về dạng cơ bản việc giải không còn gì khó khăn
nữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy rằng việc đổi biến số trong toán cực trị là

rất quan trọng trong nhiều bài toán và việc đổi biến số giúp chúng ta giải đợc bài
toán nhanh hơn, gọn hơn.
Ta còn có thể mở rộng dạng toán này.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
f(x,y ) = 4x
2
+ 4y
2
- 4xy - 3x
= 4y
2
- 4xy + x
2
+ 3( x
2
-x )
= ( 2y - x )
2
+ 3( x-
2
1
)
2
-
4
3
-
4
3
Đẳng thức xảy ra x =

2
1
và y =
2
x
=
4
1
min f(x,y) = -
4
3








=
=
4
1
2
1
y
x
Sai lầm thờng gặp ở dạng toán này là:.
Nh ví dụ 4 các em có thể làm nh sau:
f(x,y) = x

2
- 4xy + 4y
2
+ 2x
2
- 4x + 2 + x
2
+ x -2
= ( x - 2y )
2
+ 2 ( x -1 )
2
+ x
2
+ x - 2 x
2
+ x - 2

x (1)
Vì g(x) = x
2
+ x - 2 = ( x +
2
1
)
2
-
4
9
-

4
9

Đẳng thức xảy ra x = -
2
1
min f(x,y) = -
4
9








=
=
4
1
2
1
y
x

7
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Các em không thấy đợc rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi

=
=
1
2
x
yx






=
=
1
2
1
x
y
còn dấu
đẳng thức xảy ra ở (2) khi x = -
2
1
thì 2 dấu đẳng thức xảy ra không đồng thời nên
GTNN của g(x) không phải là GTNN của f(x,y).
Hoặc với bài:
Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của:
M = x +

x
M = x +
x
= ( x +
x
+
4
1
) -
4
1
= (
x
+
2
1
)
2
-
4
1
-
4
1
Vậy min M = -
4
1
. Sai lầm ở chỗ M -
4
1

học sinh cha chỉ ra khi
nào dấu đẳng thức xảy ra: M = -
4
1

x
= -
2
1
là vô lí
Vậy việc tìm ra điều kiện dấu đẳng thức xảy ra là rất quan trọng trong việc tìm
cực trị của biểu thức đại số.
3.3 . Bài tập vận dụng.
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của :
C = x
2
- 2xy + 2y
2
+ 2x - 10y + 17
E = x (x+ 1) (x + 2) (x + 3 )
2) Tìm giá trị lớn nhất của:
A = - 5x
2
- 2xy - 2y
2
+ 14x + 10y - 1.
3) Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của :
A =
2
2

95
x
xx
++
B =
2
2
)1(
952
+
+
x
xx

Ph ơng pháp 3 :
Phơng pháp miền giá trị hàm số
3.1 . Nội dung ph ơng pháp.
8
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x

D gọi y
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho. Điều đó có nghĩa hệ phơng
trình sau đây với ẩn x có nghiệm.




=

Dx
yxf
0
)(
Tuỳ dạng bài mà có điều kiện nghiệm thích hợp. Trong nhiều trờng hợp điều
kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn) sẽ đa về dạng.
m y
0
M vì y
0
là một giá trị bất kì của f(x) nên từ đó ta có:
Min f(x) = m và Max f(x) = M.
x

D x

D
Nh vậy để tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của một hàm số nếu dùng phơng
pháp này , ta qui về việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.
2.2. Kiến thức bổ sung:
Công thức nghiệm và công thức nghiêm thu gọn của phơng trình bậc hai
3.2 . Các bài toán
Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số.
f(x) =
123
3102
2
2
++
++

xx
xx
với x

R.
Giải
Gọi y
0
là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phơng trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm.
123
3102
2
2
++
++
xx
xx
= y
0
(1)
Do 3x
2
+2x + 1 > 0

x

R
(1) 2x
2
+ 10x + 3 = 3x

2
y
0
+ 2xy
0
+ y
0
( 3y
0
- 2 ) x
2
+ 2x ( y
0
- 5 ) + y
0
- 3 = 0 (2)
Xét 2 khả năng sau :
* Nếu 3y
0
- 2 = 0 y
0
=
3
2
(2) có nghiệm
Tức f(x) =
3
2

x

R
9
Một số phơng pháp giải toán cực trị
* Nếu 3y
0
- 2

0 y
0



3
2
thì (2) là phơng trình bậc 2 đối với ẩn x Do đó
(2) có nghiệm nếu:


= - 2y
0
+ 19y
0
- 35 0.

2
5
y
0

7 và y
0



3
2
.

2
5
y
0
7 (3).
Từ (3) Maxf(x) = 7 và Mìnf(x) =
2
5
.
Nhận thấy với phơng pháp này ta có thể vận dụng cho các bài toán tìm giá trị
lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức dới dạng phân thức.
Bài toán 2 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. f(x,y) = x
2
+ y
2

xét trên miền D = (x,y) ; ( x
2
- y
2
+ 1)

2
+ 4x
2
y
2
- x
2
- y
2
= 0
Giải: Gọi t
0
là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D . Điều đó
chứng tỏ phơng trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:






=++
=+
)()(
)(
`
2041
1
2222222
0
22

yxyxyx
tyx








=++++
=+
0413
222222
0
22
xyxyx
tyx
)()(
`







=++
=+
)(

)(
40413
3
2
0
2
0
22
xtt
tyx
Để (4) ẩn x có nghiệm thì:
t
2
- 3t
0
+ 1

0


2
53
2
53
0
+


t
(5)

Với đièu kiện (5) gọi m là nghiệm của (4) và (3) ta có :
4m
2
+ 4y
2
= 4t
0

- t
0
2
+ 3t
0
- 1 4y
2
= 4t
0
10
Một số phơng pháp giải toán cực trị


4y
2
= t
2
0
+ t
0
+ 1 (6)
Do t

0
2
+ t
0
+ 1 > 0

t
0


với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm.
Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm.


Max(x,y) =
2
53
+
, Min(x,y) =
2
53

Tuy nhiên bài toán này ta có thể vận dụng bất đẳng thức để giải. Nhng với
phơng pháp này chúng ta có thể vận dụng để giải đợc nhiều bài và học sinh có thể
máy móc nhớ đợc phơng pháp giải.

Ph ơng pháp 4
Phơng pháp đồ thị và hình học
4.1 Nội dung ph ơng pháp
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) x D

- Xét các điểm cực đại hoặc cực tiểu trên D từ đó suy ra cực trị của biểu thức:
Max f(x) = y
cực đại

Min f(x) = y
cực tiểu
4.2 Kiến thức bổ sung :
- Dựa trên tính chất "đơn điệu" của đồ thị hàm số.
- Từ đó suy ra cực đại và cực tiểu của đồ thị.
Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phơng pháp đồ thị và hình học
ngời ta thờng sử dụng các tính chất sau:
- Trong tất cả các đờng gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trớc thì đờng thẳng nối
AB là đờng thẳng có độ dài bé nhất.
- Trong một tam giác, tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ 3.
- Cho điểm M ở ngoaì đờng thẳng d cho trớc khi đó độ dài kẻ từ M xuống d
ngắn hơn mọi đờng xiên kẻ từ M xuống d.
- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đờng tròn thì tam giác đều có chu vi
và diện tích lớn nhất.
Nếu nh một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bằng một phép biến đổi
nào đó có thể qui về sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phơng pháp đồ thị
11