Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ (Mã ký hiệu: Đ02T- 08 - TS10 CT) ppt

Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ
Mã ký hiệu: Năm học : 2008-2009
Đ02T- 08 - TS10 CT Môn thi : Toán
Thời gian làm bài :150 phú
Bài 1:
a, Chứng minh rằng nếu ab

0 thì ta luôn luôn có
ab
ba
ab
ba




22
= ba 
b, Phân tích đa thức M = a 1
510
a thành nhân tử
Bài 2:
a, Giải hệ phương trình
 








1)(
2.)(
22
2
yxyxyx
yyx

b, cho x, y

0 và x + y = 1
Chứng minh 8(x
4
+ y
4
) +
5
1

xy

Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax dcxbx 
23

a) Chứng minh nếu f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x thì 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d đều là các số
nguyên.
b, Đảo lại nếu cả 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d đều là các số nguyên thì đa thức f(x) có nhận giá trị
nguyên với bất kỳ giá trị nguyên nào của x không? tại sao?
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm trên cạnh huyền BC, E là điểm đôí xứng với D
qua AB, G làgiao điểm của AB với DE, từ giao diểm H của AB với CE hạ HI vuông góc với BC
tại I các tia CH, IG cắt nhau tại K. Chứng minh KC là tia phân giác của góc IKA.

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình
x
6
- x
5
+ x
4
- x
3
+ x
2
- x +
4
3
= 0
Vô nghiệm trên tập hợp các số thực.
…………………… Hết…………………




Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm
HD02T- 08 - TS10 Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ

Bài 1: (3 điểm)
a, Vì 2 vế đều không âm nên bình phương vế trái ta có:
( ab
ba



2
+ ab
ba


2
)
2
=
= (
2
ba

)
2
+ ab + (a + b) ab + (
2
ba

)
2
+ ab - (a + b) ab +2 ab
ba


2
)
2
(
Cho 0,25 điểm

= 2(
2
ba

)
2
+ 2ab + 2(
2
ba

)
2
- 2ab Cho 0,25 điểm
( vì (
2
ba

)
2

ab) Cho 0,25 điểm
= 4(
2
ba

)
2
= (a + b)
2
= ( a + b )

2
Cho 0,5 điểm
(vì ab

0  a; b cùng dấu)
 ab
ba


2
+ ab
ba


2
= a + b Cho 0,25 điểm
(Với ab

0)
b, Ta có A = a
10
+ a
5
+ 1
= a
10
- a + a
5
- a
2

+ a
2
+ a + 1
= a(a
3
- 1)(a
6
+ a
3
+ 1) + a
2
(a
3
- 1) + a
2
+ a + 1 Cho 0,25 điểm
= a(a - 1)( a
2
+ a + 1)( a
6
+ a
3
+ 1) +
+ a
2
(a - 1)(a
2
+ a + 1) + a
2
+ a + 1 Cho 0,25 điểm

= (a
2
+ a + 1) a(a - 1)(a
6
+ a
3
+ 1) + a
2
(a - 1) + 1) Cho 0,25 điểm
= (a
2
+ a + 1)(a
8
- a
7
+ a
5
- a
4
+ a
3
- a + 1) Cho 0, 5 điểm
Bài 2: (5 điểm)
a, Nếu x = 0 thay vào ta có








1.
2
2
3
yy
y
vô lý Cho 0,25 điểm
Vậy x≠ 0 Đặt y = tx Cho 0,25 điểm
Ta có
 







1)(
2)(
2222
2
xttxxtxx
txtxx
Cho 0,25 điểm

 
2
2
1)1(

.)1(
ttt
tt


=
1
2
Cho 0,25 điểm
( vì t ≠ -1 hệ mới có nghiệm) Cho 0,25 điểm

2
1
)1(
t
t
tt



= 2 Cho 0,25 điểm
 t + t
2
= 2 - 2t + 2t
2
Cho 0,25 điểm
 t
2
- 3t + 2 = 0 Cho 0,25 điểm







2
1
t
t
Cho 0,25 điểm
* Nếu t = 1  y = x  4x
3
= 2
 x = y =
3
2
1
Cho 0,25 điểm
* nếu t = 2  y = 2x
 18x
3
= 2 Cho 0,25 điểm











3
3
9
2
9
1
y
x

Tóm lại hệ có 2 nghiệm
x = y =
3
2
1

Hoặc ( x =
3
9
1
; y =
3
9
2
) Cho 0,25 điểm
b, Áp dụng bất đẳng thức

2
22

ba 


(
2
ba

)
2
Với mọi a, b Cho 0,25 điểm
ta có

2
44
yx 


(
2
22
yx 
)
2


2
2
)
2
(







 yx
Cho 0,25 điểm

2
44
yx 

(
2
yx

)
4
=
16
1
Cho 0,5 điểm
 8( x
4
+ y
4
)

1 Cho 0,25 điểm

lại có xy

(
2
yx

)
2
=
4
1
Cho 0,25 điểm

xy
1


4 Cho 0,25 điểm
Vậy 8( x
4
+ y
4
) +
xy
1

1 + 4 = 5 Cho 0,25 điểm
Bài 3: ( 4 điểm)
a, Ta có f(0) = d là số nguyên Cho 0,25 điểm
f(1) = a + b + c + d là số nguyên Cho 0,25 điểm

 f(1) - f(0) = a + b + c cũng là số nguyên Cho 0,25 điểm
f( -1) =- a + b - c + d là số nguyên Cho 0,25 điểm
f(2) = 8a + 4b + 2c + d cũng là số nguyên Cho 0,25 điểm
Vậy f(1) + f( -1) = 2b + 2d là số nguyên Cho 0,25 điểm
 2b là số nguyên ( vì 2d là số nguyên) Cho 0,25 điểm
f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d là số nguyên Cho 0,25 điểm
Mà






d
b
cba
2 là các số nguyên
Nên 6a là số nguyên Cho 0,25 điểm
Ta có điều phải chứng minh
b, Đảo lại:
f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
= (ax
3
- ax) + (bx
2
- bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 điểm

= a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm
=
6
)1()1(6


xxxa
+
2
)1(2

xbx
+ (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm
= 6a
6
)1()1(


xxx
+ 2b
2
)1(

xx
+ (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm
Vì (x - 1)x( x + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 6
 6a
6
)1()1(



xxx
là số nguyên Cho 0,25 điểm
x(x -1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2
nên 2b
2
)1(

xx
là số nguyên Cho 0,25 điểm
Và (a + b + c)x là số nguyên Cho 0,25 điểm
d là số nguyên
 f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên khi 4số 6a; 2b; a + b + c; d là các số nguy
ên
Cho 0,25 điểm





Bài 4: ( 6 điểm)
(Vẽ hình đúng 0,5 điểm)






Ta có G và I cùng nhìn HD dưới 1 góc vuông nên HGID là tứ giác nội tiếp
Cho 0,5 điểm

 Góc GHD = góc GIB (cùng bù với góc GID) Cho 0,5 điểm
Hay góc GHD = góc KIB Cho 0,5 điểm
lại có góc GHD = góc GHK ( do E và I đối xứng qua AB) Cho 0,5 điểm
 góc KIB = góc KHB ( cùng = góc GHD) Cho 0,25 điểm
Nên KHIB là tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm
Vì góc HIB = 90
0
 góc HKB = 90
0
Cho 0,5 điểm
Ta có góc B
1
= góc K
1
(Do KHIB là tứ giác nội tiếp) Cho 0,5 điểm
Lại có K và A cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên AKBC là tứ giác nội tiếp
Cho 0,5 đi
ểm
 góc K
2
= góc B
1
Cho 0,5 điểm
Từ đó ta có KC là phân giác của góc IKA Cho 0,5 điểm
Chú ý khi học sinh vẽ hình có thể khác cũng cho điểm tương tự.
Bài 5: (2 điểm)
* Nếu x

0 thì vế phải nhận giá trị dương nên ở khoảng này phương trình vô nghi
ệm

Cho 0,5 điểm
E

B

I

D

C

A

H

G

K

1

2

1

* Nếu 0 < x < 1
Ta có vế trái =
5222436
4
1

4
1
4
1
xxxxxxxx  Cho 0,25 điểm
=
 
32
22
2
2
3
1
2
1
2
1
2
1
xxxxx 





















 Cho 0,25 điểm
cũng luôn dương nên ở khoảng này phương trình vô nghiệm
* Nếu x

1 ta có
Vế trái = x
5
(x - 1) + x
3
(x - 1) + x(x - 1) +
4
3
Cho 0,25 điểm
Cũng là số dương nên ở khoảng này phương trình vô ngiệm Cho 0,25 điểm
Tóm lại phương trình đã cho vô nghiệm trên tập hợp các số thực R
(Cho 0,25 điểm)
Chú ý khi chấm: nếu học sinh làm các bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa