PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐỐI VỚI BIẾN MỚI docx

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐỐI VỚI BIẾN MỚI
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của
A= (x
4
+ 1) (y
4
+ 1) biết x, y > 0, x + y =
10

Giải:
A= (x
4
+ 1) (y
4
+ 1)
= x
4
+ y
4
+ x
4
y
4
+ 1
Ta có x + y =
10


x
2

+ y
2
= 10 – 2xy

x
4
+ y
4
+ 2 x
2
y
2
= 100 – 40xy + 4x
2
y
2

x
4
+ y
4
= 100 – 40xy + 2x
2
y
2
Đặt xy = t thì x
4
+ y
4
= 100 – 40t + 2t

2
Do đó A = 100 – 40t + 2t
2
+ t
4
+ 1
= t
4
+ 2t
2
– 40t + 101
a) Tìm GTNN
A = t
4
– 8t
2
+ 16 + 10t
2
– 40t + 40 +45
= (t
2
– 4)
2
+ 10(t - 2)
2
+ 45
9 1 1 7
2
4 2 4 4
y x x

      

45
MinA = 45

t = 2
Khi đó xy = 2 , x + y =
10
nên x và y là nghiệm của phương trình
X
2
-
10
X + 2 =0
Tức là x =
10 2
2

, y =
10 2
2


Hoặc x =
10 2
2

, y =
10 2
2



b) Tìm GTLN
Ta có
2
2
10 5 5
0 0
2 2 2 2
x y
xy t
 

 
      
 
 
 
 
 
(1)
Viết A dưới dạng:
A = t(t
3
+ 2t – 40 ) + 101
Do (1) nên t
3

125
8

 , 2t

5

t
3
+ 2t – 40
125
8
 + 5 – 40 < 0
t > 0 nên A

101
Max A = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0 , y=
10

hoặc x =
10
, y = 0
VD2:
Tìm GTNN của:
2 1 2 1
A x x x x
     

Giải:
Đặt
1 0
x y
  

1 1 1 1 2
A y y y y
       

Suy ra minA = 2
0 1 1 2
y x
     

VD3:
Tìm GTLN, GTNN của:
A =
x x y y
 biết
1
x y
 

Giải:
Đặt ,
x a y b
 
, ta có
, 0, 1
a b a b
  

 



 
2
3 3 2 2 2 2
3 1 3
A a b a b a ab b a ab b a b ab ab
             
Do
0
ab

nên
1
A


MaxA = 1
0
a
 
hoặc
0 0, 1
b x y
   
hoặc
1, 0
x y
 

Ta có:

 
2
1 1 1
1 3
4 4 4 4
a b
ab ab ab

      

1 1 1
min
4 2 4
A a b x y
      

Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
2 2
2 2
3 8 10
x y x y
M
y x y x
 
 
    
 
 
 

 
với
, 0
x y


Bài 2. Tìm GTNN của:
2
5 3
1
x
A
x




Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
2 2
2 2
x xy y
A
x xy y
 

 