Ap dụng hằng đẳng thức để giải toán

SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
PH Ầ N A
ĐẶT VẤN ĐỀ

Trên bước đường cải tiến và đổi mới phương pháp dạy học cùng với
những nhiệm vụ quan trọng mà Đảng và Nhà nước ta đã vạch ra thì trách
nhiệm của đội ngũ giáo viên chúng ta là phải hình thành được ở học sinh những
cơ sở, nhân cách của người Việt Nam, có lối sống văn hóa lành mạnh có học
vấn cao, có hiểu biết và chiếm lónh được những nội dung của khoa học tự nhiên
và xã hội, góp phần cho sự phát triển của đất nước trong tương lai.
Tốn học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất đồng thời là chìa khóa
mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác. Là bộ mơn chiếm ưu thế quan
trọng trong giáo dục đặc biệt là dạy học, nó đòi hỏi ở người thầy giáo một sự lao
động nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh và
giải các bài tốn cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy dạy tốn.
Trong chương trình đại số lớp 8 thì chương I “ Phép nhân và phép chia
các đa thức” trong đó có các bài: “Những hằng đẳng thức đáng nhớ”. Với tất cả
3 tiết lí thuyết và 2 tiết luyện tập thì học sinh phần nào đã hiểu và nắm được
những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức. Nhưng việc nắm chắc và hiểu
sâu để sau này vận dụng vào các kiến thức có liên quan như: Phân tích đa thức
thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức và xa hơn nữa là các
dạng tốn như: tìm cực trị, chứng minh chia hết … cũng được vận dụng những
hằng thức rất nhiều. Do đó mức độ kiến thức mà các em đạt được chưa thể nói là
thỏa mãn các u cầu người dạy và người học tốn.
Chính vì lí do đó tơi đã lựa chọn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề
tài: “ Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải tốn lớp 8” nhằm cung
cấp cho học sinh phương pháp học và làm tốn, nắm được kiến thức cơ bản,
cách tư duy và phương pháp sử dụng linh hoạt những hằng đẳng thức vào
giải tốn. Từ đó tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt những
kiến thức liên quan sau này.
Đây chỉ là những kinh nghiệm ít ỏi qua quá trình giảng dạy môn toán lớp

8, tôi cũng mạnh dạn xin nêu ra đây để được cùng trao đổi với quý đồng
nghiệp và xin ghi nhận mọi sự đóng góp ý kiến để tôi tích lũy thêm được
nhiều kinh nghiệm hơn nữa trong sự nghiệp “trồng người” của mình.
Trang 1
SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
PH Ầ N B
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. THỰC TRẠNG.

Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS nói chung và ở trường
THCS binh long nói riêng việc làm cho học sinh biết vận dụng các kiến thức
đã học để giải các bài toán là công việc rất quan trọng và không thể thiếu
được của người dạy toán. Vì thông qua đó có thể rèn luyện được tư duy logic,
khả năng sáng tạo, khả năng vận dụng cho học sinh. Để làm được điều đó
người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản, các phương
pháp vận dụng và biến đổi phù hợp giúp cho học sinh hiểu được thực châùt
của vấn đề để từ đó có các kó năng giải toán thành thạo, thoát khỏi tâm lí
chán nản và sợ môn toán.

Năm học 2006-2007 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn
toán lớp 8A2 ngay từ đầu năm học. Sau khi học xong nội dung bài “Những
hằng đẳng thức đáng nhớ” tôi đã cho các em làm bài kiểm tra viết, thời gian
làm bài 15 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức và kó năng vận
dụng những hằng đẳng thức vào làm bài tập. Kết quả thu được như sau:
Tổng số HS KẾT QUẢ ĐIỂM TRƯỚC KHI VẬN DỤNG ĐỀ TÀI
0 -> 3 3,5-> 4,5 Từ 5 trở lên 8->10
38 7 15 16 2
Kết quả trên đã chứng tỏ được rằng: Hầu hết các em đã ghi lại được
nội dung của bảy hằng đẳng thức nhưng khi cho các em bài tập cần vận dụng
những hằng đẳng thức đó thì còn có một số học sinh rất ngượng ngập,

không tìm ra lời giải, chưa chịu khó suy nghĩ, chứng tỏ kiến thức còn
mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước một bài tốn tự mình giải còn
chưa có niềm tin. Bên cạnh đó một số học sinh còn có tâm lí chán nản và tỏ
ra sợ môn toán mỗi khi vào học tiết toán.

Rất nhiều học sinh lớp 9 hiện nay cũng chưa hiểu và nắm chắc các
hằng đẳng thức để có thể vận dụng linh hoạt vào giải các dạng tốn. Kết quả
Trang 2
SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
là nhiều bài tốn học sinh khơng giải được hoặc giải sai. Bên cạnh đó rất
nhiều kiến thức về đại số liên quan đến những hằng đẳng thức nếu biết sử
dụng những hằng đẳng thức để xử lí thì thì bài tốn sẽ có nhiều cách giải
ngắn gọn hơn, giúp các em phát triển tư duy một cách tích cực hơn.
II. NGUYÊN NHÂN
Trong chương trình sách giáo khoa hiện nay thì không phải bất cứ người
học nào cũng có thể đáp ứng được những yêu cầu đưa ra, nhất là đối với những
đối tượng là học sinh ở vùng sâu, vùng xa, ở đòa phương có điều kiện kinh tế
còn khó khăn nói chung và học sinh của trường THCS Binh long nói riêng. Đòa
bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình không ổn đònh, còn khó khăn nên ít
nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em.
Bên cạnh đó, một số học sinh còn ham chơi, lười học, ngồi học trong lớp
chưa tập trung còn có tâm lí chán nản và sợ học môn toán. Khi kiểm tra các
em về lý thuyết thì có vẻ như rất hiểu bài nhưng khi yêu cầu các em làm thêm
phần bài tập vận dụng thì rất lúng túng và khó khăn để trình bày. Cách học
của các em là nhồi nhét, học thụ động, học để chống đối sự kiểm tra của giáo
viên, các em cho rằng: chỉ cần học thuộc lý thuyết là có thể làm được bài tập
mà các em quên rằng: “ Học phải đi đôi với hành”

Vì vậy việc chuẩn bị tốt cho học sinh những kiến thức cơ bản về
những hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là những phương pháp giải các bài

tốn có liên quan đến hằng đẳng thức thật vơ cùng quan trọng. Qua đó giúp
các em khắc sâu được kiến thức, kích thích khả năng tư duy, khả năng quan
sát, sáng tạo, rèn cho các em kó năng phân tích, tổng hợp, tư duy suy luâïn
lôgic. Hơn thế nữa giúp các em sẽ có được “niềm tin” trong học tập.

Với thực tế này tơi xác định phải tự tìm cho mình một cách dạy về các
hằng đẳng thức sao cho phù hợp được với thực tế, kích thích được óc suy
nghĩ của các em. Giúp các em nâng cao chất lượng của bộ mơn tốn, các
em có tư duy để linh hoạt sử dụng các hằng đẳng thức vào giải toán khi cần
thiết, các em thấy hứng thú và u thích mơn học hơn. Hơn thế nữa giúp các
em có niềm tin để lónh hội tốt, học tốt các kiến thức sau này.
III. GIẢI PHÁP
Trang 3
SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
* Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
1. (A+B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
2. (A– B)
2
= A
2
– 2AB + B
2
3. A
2

– B
2
= (A– B) (A+B)
4. (A+B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
5. (A– B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
6. A
3
+ B
3
= (A+ B) (A
2
– AB + B

2
)
7. A
3
– B
3
= (A– B) (A
2
+ AB + B
2
)
* Một số hằng đẳng thức tổng qt ( Dành cho học sinh giỏi)
1. (a + b + c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
2. a
n
– b
n
= (a- b)(a
n-1
+ a
n-2
b

+ … + ab
n-2
+ b
n-1
)
3. a
2k
– b
2k
= (a + b )(a
2k-1
– a
2k-1
b + … + a
2k-3
b
2
–b
2k-1
)
4. a
2k+1
– b
2k+1
= (a + b )(a
2k
– a
2k-1
b + a

2k-2
b
2
- … + b
2k
)
5. (a + b)
n
= a
n
+ na
n-1
b +
2.1
)1(
−
nn
a
n-2
b
2
+…+
2.1
)1(
−
nn
a
2
b
n-2

+nab
n-1
+ b
n
6. (a -b)
n
= a
n
- na
n-1
b +
2.1
)1(
−
nn
a
n-2
b
2
- …-
2.1
)1(
−
nn
a
2
b
n-2
+nab
n-1

- b
n
2. VẬN DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN:
2.1. Làm thế nào để học sinh tránh được những lỗi cơ bản khi vận dụng
hằng đẳng thức vào giải toán?
Ngay sau khi học xong hai hằng đẳng thức: Bình phương của một
tổng, bình phương của một hiệu. Tôi có mời hai em học sinh ( học lực trung
bình khá) lên bảng với các yêu cầu sau:
Học sinh 1:
a/ Viết công thức bình phương của một tổng hai biểu thức A, B ?
b/ Tính: ( x + 1)
2
; (2x + 3y)
2
Học sinh 2:
a/ Viết công thức bình phương của một hiệu hai biểu thức A, B ?
b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống:
x
2
– 6xy + ………..= (………. – 3y )
2
……… – 4y + 4 = ( ………. – 2 )
2
Kết quả các em thực hiện như sau:
Học sinh 1: a/ (A+B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2

b/ ( x + 1)
2
= x
2
+ 2x + 1
( 2x + 3y)
2
= 2x
2
+ 12xy + 3y
2

Học sinh 2:
a/ (A– B)
2
= A
2
– 2AB + B
2
b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống:
x
2
– 6xy + …3y
2
……..= (……x…. – 3y )
2
Trang 4
SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
……y
2

… – 4y + 4 = ( ……y…. – 2 )
2
Điều đó chứng tỏ rằng với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là
một số hoặc chỉ gồm một biến thì các em có thể dễ dàng vận dụng được
hằng đẳng thức vào làm bài tập. Tuy nhiên khi A, B là các biểu thức phức
tạp hơn thì các em lại hay bò mắc phải sai lầm như bài tập trên. Vậy làm thế
nào để các em hạn chế được tối đa những sai lầm trên?
Trước hết tôi lưu ý các em phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả
biểu thức đó hoặc ta có thể viết hằng đẳng thức dưới dạng:
( + )
2
=
2
+ 2 . . . +
2
Ví dụ 1:
( + )
2

=

2
+ 2 . .. +

2
= 4x
2
+ 12xy + 9y
2
Sau khi hướng dẫn tôi đã yêu cầu một học sinh đứng tại chỗ sửa chỗ bài

làm sai của bạn, kết quả:
x
2
– 6xy + (3y)
2
= (x – 3y )
2

hay x
2
– 6xy + 9y
2
= (x– 3y )
2
Qua tiết học đó trên lớp, phần lớn các em đã vận dụng vào làm được bài
tập và còn vận dụng vào các hằng đẳng thức tiếp theo.
Ví dụ 2: Tính ( 2x
2
+ 3y)
3
?
Kết quả: ( 2x
2
+ 3y)
3
= 8x
6
+ 36x
4
y + 54x

2
y
2
+ 27y
3
.
2.2. Vận dụng hằng đẳng thức vào làm các dạng bài tập:
2.1.1. Rút gọn các biểu thức.
Ví dụ 1:
a/ (x + 3)(x
2
– 3x + 9 ) – (54 + x
3
)
b/ (2x + y)( 4x
2
– 2xy + y
2
) – (2x– y)( 4x
2
+ 2xy + y
2
)
Sau khi đưa đề bài lên bảng cho các em thảo luận và trình bày bài làm
của nhóm mình thì tôi thấy phần lớn các nhóm đã làm như sau:
a/ (x + 3)(x
2
– 3x + 9 ) – (54 + x
3
)

= x
3
– 3x
2
+ 9x + 3x
2
– 9x + 27 – 54 – x
3

= - 27
b/ (2x + y)( 4x
2
– 2xy + y
2
) – (2x – y)( 4x
2
+ 2xy + y
2
)
= 8x
3
– 4x
2
y + 2xy
2
+ 4x
2
y – 2xy
2
+ y

3
– 8x
3
– 4x
2
y – 2xy
2
+ 4x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2y
3
Tạm chấp nhận với lời giải đó, tôi đưa ra tiếp bài tập:
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
( x + y + z )
2
– 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)
2
Trang 5
2x 2x
3
y
2x
3
y
3
y