Toán rời rạc-Chương 1: Khái niệm cơ bản pot

TOÁN RI RC
Lecturer: PhD. Ngo Huu Phuc
Tel: 0438 326 077
Mob: 098 5696 580
Email:

CHNG I : KHÁI NIM C BN
Tp hp và hàm
1
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
TP HP VÀ HÀM
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
2
NI DUNG
1. Khái nim v tp hp.
2. Tp hp bng nhau.
3. Các phép toán.
4. Tính cht ca các phép toán.
5. Khái nim v lc lng ca tp hp.
6. Khái nim hàm.

1. Khái nim v tp hp (1/2)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
3
Khái nim v tp hp:
 Mt cách đn gin có th hiu tp hp là kt hp các đi
tng có bn cht (hay thuc tính) tu ý, gi là các phn
t ca tp hp.
 Ví d:
 Các s t nhiên là mt tp hp, kí hiu là N.
 Các s nguyên trong khong t 1 đn 250 mà chia ht cho

mt trong các s nguyên t 2,3,5,7 là mt tp hp.
 Hc viên K8 hc Toán ri rc là mt tp hp.

1. Khái nim v tp hp (2/2)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
4
Ký hiu:
 Ký hiu {a,b,c} đ ch tp hp do các đi tng (gi là phn
t hay thành phn) a,b,c to nên.
 Mi tp hp thng có 1 tên gi riêng, thng dùng các
ch cái hoa A, B, C, đ kí hiu.
 Lu ý:
 Tp hp là mt khái nim không đnh ngha mà ch có th
mô t.
 Mt tp hp đc xác đnh khi ta đa ra quy tc, quy lut
đ phân bit các đi tng hoc phn t thuc nó hoc
không thuc.
2. Tp hp bng nhau (1/5)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
5
Khái nim:
 Tp A đc gi là bng tp B, nu mi phn t ca A là
phn t ca B và ngc li mi phn t ca B đu là phn
t ca A.
(

x

A )


(

x

B )
 Mt s khái nim khác:
a. Tp con.
b. Tp rng.
c. Tp các tp con.
2. Tp hp bng nhau (2/5) – Tp con
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
6
Khái nim:
 Tp A đc gi là tp con ca tp hp X, nu mi phn t ca A
đu là phn t ca X, kí hiu là A  X.
(A

X )

(

x

A

x

X )
 Ví d:
 A = { a, b, c, d }, X = { a, b, c, d, x, y, z } khi đó A  X

 Z
2
= { Tp các s chn }, Z = { Tp các s nguyên } khi đó Z
2


 Z.
 Nu A là tp con ca X và A không bng X, thì A đc gi là tp con thc s ca X,
kí hiu là A  X.
A
X
Tp con
2. Tp hp bng nhau (3/5) – Tp con
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7
 Mt s ví d A  B, có th minh ho sau:
A
B
B
A
B
A
A = {1, 3, 5, 7 } A = {1, 3, 5, 7 } A = {1, 3, 5, 7 }
B = { 3, 5} B = { 2, 3, 4, 5} B = { 2, 4, 6 }
Các tp khác nhau
2. Tp hp bng nhau (4/5) – Tp rng
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
8
Khái nim:
 Tp hp không cha phn t nào gi là tp rng, kí hiu là


. Tp rng là tp con ca mi tp hp.
 Ví d:
 A = { Tp các nghim thc ca phng trình x
2
+ 1 = 0 },
khi đó: A = 
.
2. Tp hp bng nhau (5/5) – Tp các tp con
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
9
Khái nim:
 Cho A là mt tp hp, mt trng hp đc bit thng
đc xem xét là tp các tp con ca A bao gm c tp
rng và A , kí hiu là p(A), trong tp này mi phn t là
mt tp con ca A
.
 Ví d:
 A = {2, 4, 6 }
 Khi đó: p (A) = {{2} , {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, {2,4,6}, {

} }
3. Các phép toán (1/7)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
10
 Trong phn này, xem xét mt s phép toán trên tp hp:
a. Phép hp.
b. Phép giao.
c. Phép hiu.
d. Phn bù.

e. Hiu đi xng.
f. Tích đ các.



3. Các phép toán (2/7) - Phép hp
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
11
Khái nim:
 Hp (tng) ca hai tp hp A và B là mt tp hp bao gm
các phn t thuc ít nht mt trong hai tp hp đã cho. Kí
hiu là A  B
(x

A

B )

(x

A

x

B )
A
B
Phép hp các tp
3. Các phép toán (3/7) - Phép giao
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

12
Khái nim:
 Giao ca hai tp hp A và B là mt tp hp bao gm các
phn t thuc c hai tp hp đã cho. Kí hiu là A  B
(x

A

B )

(x

A

x

B )
Phép giao các tp
A
B
3. Các phép toán (4/7) - Phép hiu
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
13
Khái nim:
 Hiu ca hai tp hp A và B là mt tp hp bao gm các
phn t thuc A nhng không thuc B. Kí hiu là A \ B
(x

A \ B )


(x

A

x

B )
Phép hiu các tp
A
B
3. Các phép toán (5/7) – Phn bù
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
14
Khái nim:
 Cho A là tp con thc s ca X, phn bù ca tp A trong
X, kí hiu = X \ A
Phn bù ca tp
A
A X
3. Các phép toán (6/7) – Hiu đi xng
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
15
Khái nim:
 Hiu đi xng ca hai tp hp A và B là mt tp hp. Ký
hiu là:
A

B = (A \ B)

(B \ A)

Phép hiu đi xng
A
B
3. Các phép toán (7/7) – Tích đ các
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
16
Khái nim:
 Tích  các ca hai tp hp A và B là mt tp hp bao
gm các phn t có dng (a,b) trong đó a thuc A và b
thuc B. Kí hiu là A  B
 Ví d:
 A = {1, 3, 5} , B = { 4, 5, 6 } A

B = {1, 3, 4, 5, 6 }
 A

B = { 5 }; A \ B = {1, 3 } ; B \ A = { 4, 6 }; A

B = {1, 3, 4, 6 }
 A

B = {(1,4), (1,5), (1,6), (3,4), (3,5), (3,6), (5,4), (5,5), (5,6)}
4. Tính cht ca các phép toán (1/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
17
I. Tính giao hoán
 Phép hp có tính giao hoán : A

B = B


A
 Phép giao có tính giao hoán : A

B = B

A
 Phép hiu đi xng có tính giao hoán : A

B = B

A
 Phép tích hiu không có tính giao hoán : (A \ B) ≠ (B \ A)
 Phép tích  các không có tính giao hoán : A

B ≠ B

A
II. Tính kt hp
 Phép hp có tính kt hp : A

(B

C) = (B

A)

C
 Phép giao có tính kt hp : A

(B


C) = (B

A)

C
 Phép hiu đi xng có tính kt hp : A

(B

C) = (B

A)

C

4. Tính cht ca các phép toán (2/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
18
III. Tính phân phi
 A

(B

C) = (A

B)

(A


C)
 A

(B

C) = (A

B)

(A

C)
 A

(B

C) = (A

B)

(A

C)
IV. Công thc De Morgan
 X \ (A

B) = (X \ A)

(X \ B)
 X \ (A


B) = (X \ A)

(X \ B)
4. Tính cht ca các phép toán (3/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
19
Ví d, chng minh mt s công thc trên:
 Gi s ta cn chng minh công thc
A

(B

C) = (A

B)

(A

C)
 Quá trình chng minh gm hai bc.
 Bc 1:
 Trc ht ta phi chng minh A  (B  C) là tp con ca (A  B) (A C).
 Tht vy, gi s x là mt phn t ca A  (B  C), ngha là x  A đng thi x  B hoc x  C. Nu
x  B, tc là x  A  B, còn nu x  C, tc x  A  C, do vy ta có
x  (A  B)  (A C)
 Nói cách khác A  (B  C) là tp con ca (A  B)  (A C).
 Bc 2:
 Bng cách tng t nh vy ta chng minh ngc li (A  B)  (A C) là tp con ca A  (B 
C).

 Gi s x (A  B)  (A C), ngha là x  A  B hoc x  A C, nh vy theo đnh ngha x  A
đng thi x  B hoc x  C, t đó ta có
x  A  (B  C)
4. Tính cht ca các phép toán (4/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
20
Ví d, chng minh mt s công thc trên:
 Ta chng minh tính cht A

(B

C) = (A

B)

(A

C).
 Bc 1:
 Gi s (x,y) là phn t bt k ca A  (B  C), ngha là x  A và
y  B C, khi đó hoc y  B hoc y  C. Nu y  B, tc là
(x,y) AB hoc y  C, thì (x,y) AC, do vy ta có
A (B  C)  (A  B)  (A C).
 Bc 2:
 Ngc li, nu (x,y) là phn t bt k ca (A  B)  (A C) thì
hoc (x,y) AB hoc (x,y) (A C) suy ra x  A và y  B hoc y
 C, hay (x,y) A (B  C), do vy ta s có
(A  B)  (A C)  A (B  C)
4. Tính cht ca các phép toán (5/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

21
Ví d, chng minh mt s công thc trên:
 Chng minh công thc De Morgan sau
X \ (A  B) = (X \ A)  (X \ B)
 Bc 1:
 Gi s phn t bt k x  X \ (A  B), tc là x  X và x không thuc c A và B điu
này tng đng vi x  X , x  A và x  X , x  B có ngha là
x  X \ A và x  X \ B hay x  (X \ A)  (X \ B).
 Bc 2:
 Ngc li nu y là phn t bt k thuc (X \ A)  (X \ B) thì y  X \ A và yX \ B tc
là yX , y  A và y  B hay y  X và y  (A  B).
 M rng các phép toán trên cho nhiu tp ta kí hiu nh sau



A
n

A
2
A
1
n
1
A
i



A

n

A
2
A
1
n
1
A
i


AAAA
n21
n
1
i

4. Tính cht ca các phép toán (6/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
22
V. Các h qu
 A

B

B , A

B


A
 A

(A

B) = A , B

(A

B) = B
 A \ B

A
 A \ (A

C) = ( A\ B )

(A \ C )
 A \ (A

C) = ( A\ B )

(A \ C )
 A

(B \ A) = A

B
 A \ (A \ B ) = A


B
 A \ (B

C) = (A \ B ) \ C
5. Khái nim v lc lng ca tp hp (1/3)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
23
Khái nim:
 ánh giá đnh lng s lng các phn t ca mt tp
hp đc gi là lc lng ca tp hp. Ký hiu lc
lng ca tp là N(A).
a. So sánh lc lng ca hai tp.
b. Tp hp hu hn và tp hp vô hn.
5. Khái nim v lc lng ca tp hp (2/3)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
24
So sánh lc lng ca hai tp:
 Các khái nim:
 Cho A, B là 2 tp, nu ng vi x  A có th chn tng ng x’  B và
vi x
1
, x
2
 A, (x
1
≠ x
2
) ng vi x
1
’, x

2
’  B, khi đó ta nói: lc lng ca
A nh hn lc lng ca B.
 Cho A, B là 2 tp, nu ng vi x  A có th chn tng ng x’  B và
vi x
1
, x
2
 A (x
1
≠ x
2
) ng vi x
1
’, x
2
’  B; Ngc li, ng vi x’  B có
th chn tng ng x  A và x
1
’, x
2
’  B (x
1
’

≠ x
2
’) ng vi x
1
, x

2
 A, khi
đó ta nói rng gia tp A và B xác lp phép tng ng 1-1. Lc lng
ca tp A tng đng (bng) lc lng ca tp B.
5. Khái nim v lc lng ca tp hp (3/3)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
25
Tp hp hu hn và tp hp vô hn:
 Tp hp có lc lng hu hn gi là tp hu hn.
 Ví d: T= {a,b,c} N(T) = 3
 Tp các c s ca s 36 là U = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }, N(U) =
9.
 Tp hp có lc lng vô hn gi là tp vô hn.
 Ví d: Z= {Tp các s nguyên} , N(Z) là mt s vô hn
 R= {Tp các s thc} , N(R) là mt s vô hn.
  phân bit các tp vô hn, s dng khái nim đm đc và
không đm đc.
 Tp hp A có lc lng tng đng vi tp các s nguyên N gi
là các tp có lc lng đm đc, ngoài ra gi là các tp vô hn
không đm đc.