Bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị potx

Bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị
1. Định nghĩa: a > b Û a – b > 0 Û b – a < 0 a ³ b
Û a – b ³ 0 Û b – a Ê 0
2. Một số tính chất:
1/
A B
A C
B C


 



2/ A > B Û A + C > B +
C
3/
AC BC,C 0
A B
AC BC,C 0
 

 

 

4/
A B
A C B C
C D



   




5/
A B 0
AC BD
C D 0
 

 

 

6/ A > B > 0, n ẻ N
*
ị A
n

> B
n

7/
n n
A B 0,n N,n 2 A B
     
8/
1 1

víi AB 0
A B
A B
1 1
víi AB 0
A B

 

 


 



9/
*
n,m N
n m





ị
n m
n m
A A ,A 1
A A ,0 A 1


 


  


10/
2n 1 2n 1
2n 1 2n 1
a b
a b
n N
a b
 
 






 






3. Một số BĐT cơ bản:

 
2
a b 4ab
 

a a


a b a b
  

a b a b
  

1 1 4
a b a b
 

(với a, b > 0)
1 1 1 9
a b c a b c
  
 
(với a, b, c > 0)
2
1 2 n 1 2 n
1 1 1 n

a a a a a a
   

  
(Với a
1
, a
2
, …, a
n
> 0)
a b
2
b a
 

(với ab > 0)

a) Bất đẳng thức CauChy: Dạng tổng quát: Giả sử a
1
, a
2
, …, a
n
là các số thực
không âm, khi đó ta có:
Dạng 1:
1 2 n
n
1 2 n
a a a
a a a
n

  

Dạng 2:
n
1 2 n
1 2 n
a a a
a a a
n
  
 

 
 

Đẳng thức xảy ra Û a
1
= a
2
= … = a
n

Hệ quả: * Nếu a
1
+ a
2
+ + a
n
= S (const) thì
 

n
1 2 n
S
Max a a a
n
 

 
 
xảy ra
Û a
1
= a
2
= … = a
n
=
S
n

* Nếu a
1
a
2
a
n
= P (const) thì


n

1 2 n
Min a a a n P
   
xảy ra Û
a
1
= a
2
= … = a
n
=
n
P

Bất đẳng thức CauChy suy rộng: Cho n số dơng a
1
, a
2
, …, a
n
(n ³ 2) và
n số dơng a
1
, a
2
, … a
n
sao cho a
1
+ a

2
+ … + a
n
= 1 thì:
1 1 1
1 1 1 1 1 2 2 n n
a .a a a a a
  
      

Dấu bằng xảy ra Û a
1
= a
2
= … = a
n


b) Bất đẳng thức: CauChy – Bunhiakowski – Schwarz (CBS)
Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tuỳ ý a
1
, a
2
, , a
n
; b
1
, b
2
, , b

n
khi đó:




 
2
2 2 2 2 2 2
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
a a a b b b a b a b a b
         

Dấu đẳng thức xảy ra Û
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
  

Hệ quả: * Nếu a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ + a

n
x
n
= c (const) thì
 
2
2 2 2
1 2 n
2 2 2
1 2 n
c
Min x x x
a a a
   
  
xảy ra Û
1 2 n
1 2 n
x x x

a a a
  

* Nếu
2 2 2 2
1 2 n
x x x c
   
(const) thì
 

2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n
Max a x a x a x c . a a a
       

1 2 n
1 2 n
x x x
0
a a a
   

 
2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n
Min a x a x a x c . a a a
        
1 2 n
1 2 n
x x x
0
a a a
   

Dạng khác của CBS:
 
2
2 2 2
1 2 n
1 2 n

1 2 n 1 2 n
a a a
a a a

b b b b b b
  
   
  