Bài tập phân tích tính phổ của tín hiệu số

Ch ng baươ
ng d ng bi n i ứ ụ ế đổ Fourier phân tích tín hi u s v h x lý sàệ ố ệ ử ố
Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy
số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số.
3.1 bi n i ế đổ Fourier c a dãy sủ ố
3.1.1 Biến đổi Fourier thuận
3.1.1a Định nghĩa : N u dãy ế x(n) tho mãn i u ki n :ả đ ề ệ
∞<
∑
∞
−∞=
n
nx )(
[3.1-1]
thì s t n t i phép bi n i ẽ ồ ạ ế đổ Fourier nh sau :ư
nj
n
j
enxe
X
.
)()(
ωω
−
∞
−∞=
∑
=
[3.1-2]
Bi n i ế đổ Fourier ã chuy n dãy s đ ể ố x(n) th nh h m ph c à à ứ X(e
j

ω
), [3.1-2] l bi u th c bi n i à ể ứ ế đổ Fourier thu n vàậ
c ký hi u nh sau :đượ ệ ư
)()]([
∞
=
j
enxFT
X
[3.1-3]
hay :
)()(
∞
→
j
FT
enx
X
[3.1-4]
(FT l ch vi t t t c a thu t ng ti ng Anh à ữ ế ắ ủ ậ ữ ế Fourier Transform).
Ký hi u ệ X(e
j
ω
) phân bi t phép bi n i để ệ ế đổ Fourier c a dãy s ủ ố x(n)
)()]([
∞
=
j
enxFT
X

v i phép bi n iớ ế đổ
Fourier c a h m liên t c àủ ụ x(t) :
∫
∞
∞−
−
•
==
dtetxtxFT
tj
X
ω
ω
).()()]([
.
Bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier c a dãy s ủ ố x(n) [3.1-2] l su t phát t bi u th c bi n i à ấ ừ ể ứ ế đổ Fourier c a h m liên t càủ ụ
x(t), vì khi h m d i d u tích phân l dãy r i r c thì ph i thay d u tích phân b ng d u t ng .à àướ ấ ờ ạ ả ấ ằ ấ ổ
Do tính ch t tu n ho n c a h m m à àấ ầ ủ ũ e
j
ω
, nên X(e
j
ω
) l h m tu n ho n c a bi n à à àầ ủ ế
ω
v i chu k ớ ỳ 2π :
)()()()(
.).2.()2.(
ωωωω
ππ

jnj
n
nkj
n
kj
eenxenxe
XX
===
−
∞
−∞=
+−
∞
−∞=
+
∑∑
i u ó có ngh a l ch c n nghiên c u h m t n s à àĐ ề đ ĩ ỉ ầ ứ ầ ố X(e
j
ω
) c a các dãy r i r c ủ ờ ạ x(n) v i ớ
ω

∈
(-
π
,
π
) ho c ặ
ω

∈
(
0 , 2
π
).
S d ng bi n i ử ụ ế đổ Fourier cho phép nghiên c u ph c a tín hi u s v c tính t n s c a h x lý s . N uàứ ổ ủ ệ ố đặ ầ ố ủ ệ ử ố ế
x(n) l tín hi u s thì à ệ ố
)()]([
∞
=
j
enxFT
X
l ph c a tín hi u à ổ ủ ệ x(n), còn v i ớ h(n) l c tính xung c a h x lý s thìà đặ ủ ệ ử ố
)()]([
∞
=
j
enhFT
H
l c tính t n s c a h x lý s . à đặ ầ ố ủ ệ ử ố
3.1.1b Sự tồn tại của biến đổi Fourier
Theo nh ngh a, bi n i đị ĩ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] ch t n t i n u dãy ỉ ồ ạ ế x(n) tho mãn i u ki n kh t ng tuy tả đ ề ệ ả ổ ệ
i đố [3.1-1]. i u ó có ngh a l , n u dãy àĐ ề đ ĩ ế x(n) tho mãn i u ki n ả đ ề ệ [3.1-1] thì chu i ỗ [3.1-2] s h i t v h m àẽ ộ ụ ề X(e
j
ω
), nên
x(n) t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier. Ng c l i, n u dãy ượ ạ ế x(n) không tho mãn i u ki n ả đ ề ệ [3.1-1] thì chu i ỗ [3.1-2] s phân k ,ẽ ỳ
vì th h m àế X(e
j

ω
) không t n t i v àồ ạ x(n) không có bi n i ế đổ Fourier.
Các tín hi u s ệ ố x(n) có n ng l ng h u h n :ă ượ ữ ạ
∞<=
∑
∞
−∞=
n
x
nxE
2
)(
[3.1-5]
luôn th a mãn i u ki n ỏ đ ề ệ [3.1-1] , do ó luôn t n t i bi n i đ ồ ạ ế đổ Fourier.
Ví dụ 3.1 : Hãy xét s t n t i v tìm bi n i àự ồ ạ ế đổ Fourier c a các dãy sau :ủ
a.
)(nu
b.
)(2 nu
n
c.
)(2 nu
n−
d.
)(n
δ
e.
)( kn −
δ
f.

)(nrect
N
119
Gi i :ả a.
∞==
∑∑
∞
=
∞
−∞=
0
1
)(
nn
nu
H m à u(n) không tho mãn ả [3.1-1] nên không t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier.
b.
∞==
∑∑
∞
=
∞
−∞=
0
22
)(
n
n
n
n

nu
H m à 2
n
u(n) không tho mãn ả [3.1-1] nên không t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier.
c.
2
21
1
22
1
0
)(
=
−
==
−
∞
−=
−
∞
−∞=
−
∑∑
n
n
n
n
nu
Hàm 2
-n

u(n) tho mãn ả [3.1-1] nên t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier :
( )
∑∑∑
∞
=
−−
∞
=
−−
∞
−∞=
−−−
===
0
1
0
..
.).()](
2222[
n
n
j
n
njn
n
njnn
eeenunu
FT
ωωω
V y :ậ

ωω
jj
n
ee
nuFT
−−−
−
−
=
−
=
5,01
1
21
1
2[
.
)](
1
[3.1-6]
d.
1
)(
=
∑
∞
−∞=
n
n
δ

Hàm
δ
(n) tho mãn ả [3.1-1] nên t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier :
1.1
0.
).()]([
===
−
∞
−∞=
−
∑
ωω
δδ
j
n
nj
eennFT
[3.1-7]
e) Chu i ỗ [3.1-1] i v i đố ớ
δ
(n - k) h i t nên nó ộ ụ có bi n i ế đổ Fourier :
ωω
δδ
jk
n
nj
eennFT
kk
−

∞
−∞=
−
=−=−
∑
).()]([
[3.1-8]
f.
∞<==
∑∑
−
=
∞
−∞=
N
N
N
nn
nrect
1
0
1
)(
Hàm rect
N
(n) tho mãn ả [3.1-1] nên t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier, :

( )
ω
ω

ωω
j
j
n
n
j
n
nj
e
e
eenrectnrectFT
N
N
NN
−
−
−
=
−
∞
−∞=
−
−
−
===
∑∑
1
1
1
0

).()]([
[3.1-9]
Có th th y r ng, các dãy có dài h u h n luôn t n t i bi n i ể ấ ằ độ ữ ạ ồ ạ ế đổ Fourier, còn các dãy có độ
dài vô h n s t n t i bi n i ạ ẽ ồ ạ ế đổ Fourier n u chu i ế ỗ [3.1-1] c a nó h i t .ủ ộ ụ
3.1.1c Các dạng biểu diễn của hàm X(e
j
ω
)
Vì X(e
j
ω
) l h m ph c, nên có th bi u di n nó d i các d ng, ph n th c v ph n o, mô un v argumen, à à à àứ ể ể ễ ướ ạ ầ ự ầ ả đ độ
l n v pha.àớ
1. D ng ph n th c v ph n oàạ ầ ự ầ ả

)()()(
ωω
ω
IR
j
XXX
je
+=
[3.1-10]
Theo công th c ứ Euler có :
[ ]
).sin().cos()()()(
.
njnnxenxe
n

nj
n
j
X
ωω
ωω
−==
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
[3.1-11]
H m ph n th c : à ầ ự
∑
∞
−∞=
==
n
j
R
nnxe
XX
).cos().()](Re[)(
ωω
ω
[3.1-12]
H m ph n o : à ầ ả
∑

∞
−∞=
−==
n
j
I
nnxe
XX
).sin().()](Im[)(
ωω
ω
[3.1-13]
2. D ng mô un v argumenàạ đ
)(
.)()(
ωϕωω
jjj
eee
XX
=
[3.1-14]
Mô un : đ
)()()(
22
ωω
ω
IR
j
XXX
e

+=
[3.1-15]
Argumen :
[ ]






==
)(
)(
)()(
ω
ω
ωϕ
ω
R
I
j
X
X
X
arctgeArg
[3.1-16]
X(e
j
ω
) c g i l h m biên t n s , nó l h m ch n v i x ng qua tr c tung : à à à à àđượ ọ độ ầ ố ẵ đố ứ ụ X(e

j
ω
)=X(e
- j
ω
)
ϕ
(
ω
) c g i l h m pha t n s , nóà àđượ ọ ầ ố l h m l v ph n i x ng qua g c to : à à àẻ ả đố ứ ố ạ độ
ϕ
(
ω
) = - ϕ(-
ω
).
3. D ng l n v phaàạ độ ớ
120
)()(
.)().()(
ωϕωωθωω
jjjjj
eeeee
AAX
==
[3.1-17]
Hàm l n độ ớ A(e
j
ω
) có th nh n các giá tr d ng ho c âm, và :ể ậ ị ươ ặ

)()(
ωω
jj
ee
XA
=
[3.1-18]
Còn :
)()()]([
ωϕωθ
ω
=+
j
eArg
A
[3.1-19]
Hàm pha :
)]([)()(
ω
ωϕωθ
j
eArg
A
−=
[3.1-20]
V i ớ
)]([
ω
j

eArg
A
ph thu c vào d u c a hàm ụ ộ ấ ủ
)(
ω
j
e
A
nh sau :ư





<
≥
=
0
00
)(
)(
)]([
ω
ω
ω
π
j
j
j
eKhi

eKhi
eArg
A
A
A
M t cách t ng quát, có th vi t :ộ ổ ể ế












=










= −− )(

)(
)(
1
2
1
2
)]([
ω
ω
ω
ππ
ω
j
eASign
j
eA
j
eA
j
eArg A
Theo [3.1-20] , có th bi u di n hàm pha ể ể ễ
θ
(
ω
) d i d ng nh sau :ướ ạ ư













−−=
)(
)(
)()(
1
2
ω
ω
ωϕωθ
π
j
eA
j
eA
[3.1-21]
Ví dụ 3.2 : Hãy xác nh các hàm ph n th c và ph n o, mô un và argumen, l n và pha c ađị ầ ự ầ ả đ độ ớ ủ
hàm t n s ầ ố
ωω
ω
jj
ee
X
−

=
).cos()(
2
Gi i :ả Theo [3.1-11] có :
)sin().cos()cos().cos()(
22
ωωωω
ω
je
j
X
−=
Hàm ph n th c :ầ ự
)cos().cos()(
2
ωωω
=
R
X
Hàm ph n o :ầ ả
)sin().cos()(
2
ωωω
−=
I
X
Mô un : đ
)cos()(cos).(cos)(cos).(cos)(
222
2222

ωωωωω
ω
=+=
j
e
X
Argumen :
ω
ωω
ωω
ωϕ
−=






−=
)cos().cos(
)sin().cos(
)(
2
2
arctg
Hàm l n : độ ớ
)cos()(
2
ω
ω

=
j
e
A
Hàm pha :
.
)cos(
)cos(
)(
2
2
1
2








−−−=
ω
ω
ωωθ
π
3.1.1d Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z
Theo bi u th c nh ngh a ể ứ đị ĩ [2.1-1] c a bi n i ủ ế đổ Z có :
∑
∞

−∞=
−
==
n
n
znxznxZT
X
)()()]([(
, v i ớ
+−
<<
xx
RRX
zzRC ||:)]([
Bi u di n s ph c ể ễ ố ứ z theo t a c c : ọ độ ự z = r.e
j
ω
v i |ớ z|= r v à arg [z] =
ω

V y :ậ
∑∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
===
n

njn
n
njj
ernxernxerz
XX
.
.).().).(().()(
ωωω
Khi |z|= r = 1 thì z = e
j
ω
, nên nh n c :ậ đượ
∑
∞
−∞=
−
==
=
n
njj
j
enxe
ez
z
XX
.
).()()(
ωω
ω
[3.1-22]

Theo [3.1-22] thì bi n i ế đổ Fourier chính l bi n i à ế đổ Z khi z n m trên vòng tròn n v ằ đơ ị | z | = 1 , ngh a l bi nàĩ ế
i đổ Fourier l m t tr ng h p riêng c a bi n i à ộ ườ ợ ủ ế đổ Z.
121
a.
1
|| =<
−
z
x
R
, tồn tại FT b.
1
|| =≥
−
z
x
R
, không tồn tại FT
Hình 3.1 : Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z
T hình ừ 3.1a th y r ng, n u h m àấ ằ ế X(z) h i t trên vòng tròn n v ộ ụ đơ ị | z | = 1 thì ch c ch n dãy ắ ắ x(n) t n t i bi nồ ạ ế
i đổ Fourier, v ng c l i. T hình à ượ ạ ừ 3.1b, n u h m àế X(z) không h i t trên vòng tròn n v ộ ụ đơ ị |z| = 1, thì dãy x(n) s khôngẽ
t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier, v ng c l i. à ượ ạ
H m b c thang n v à ậ đơ ị u(n) l m t ví d : H m à àộ ụ
)()]([( znuZT
U
=
có
1
||:)]([ >zzRC
U

, do U(z) không h i tộ ụ
trên vòng tròn n v đơ ị | z | = 1 nên u(n) không có bi n i ế đổ Fourier, câu a ví d ụ 3.1 ã ch ng minh i u ó.đ ứ đ ề đ
3.1.2 Biến đổi Fourier ngược
Bi n i ế đổ Fourier ng c cho phép tìm dãy ượ x(n) t h m nh àừ ả X(e
j
ω
). tìm bi u th c c a phép bi n iĐể ể ứ ủ ế đổ
Fourier ng c, xu t phát t bi u th c ượ ấ ừ ể ứ Fourier thu n ậ [3.1-2] :
nj
n
j
enxe
X
.
)()(
ωω
−
∞
−∞=
∑
=
[3.1-23]
Nhân c hai v c a ả ế ủ [3.1-23] v i ớ e
j
ω
.m
r i l y tích phân trong kho ng ồ ấ ả (-
π
,
π

) , nh n c :ậ đượ
∫ ∫ ∫
∑∑
− − −
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−
==
π
π
π
π
π
π
ωωωωω
ωωω
denxdeenxdee
nmj
nn
mjnjmjj
X
).(...
.)(.).().(
Vì :




≠
=
=
∫
−
−
nmkhi
nmkhi
de
nmj
0
2
)(
π
ω
π
π
ω
Nên :
)(.).( 2 nxdee
njj
X
π
π
π
ωω
ω
=
∫
−

T ó suy ra bi u th c c a phép bi n i ừ đ ể ứ ủ ế đổ Fourier ng c :ượ
∫
−
=
π
π
ωω
ω
π
deenx
njj
X
.
).()(
2
1
[3.1-24]
Phép bi n i ế đổ Fourier ng c c ký hi u nh sau :ượ đượ ệ ư
)()](
[
nxe
j
XIFT
=
ω
[3.1-25]
Hay :
)()( nxe
IFT
j

X
 →
ω
[3.1-26]
(IFT l ch vi t t t c a thu t ng ti ng Anh à ữ ế ắ ủ ậ ữ ế Inverse Fourier Transform).
Bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-23] v bi u th c bi n i à ể ứ ế đổ Fourier ng c ượ [3.1-24] h p th nh c p bi nàợ ặ ế
i đổ Fourier c a dãy s ủ ố x(n).
Ví dụ 3.3 : Hãy tìm tín hi u s ệ ố x(n) có h m ph l à àổ
ωω
ω
2
).cos()(
jj
ee
X
−
=
.
Gi i :ả Theo [3.1-24] có :
∫
−
−
=
π
π
ωω
ωω
π
deenx
njj .2

.).cos()(
2
1
[ ]
∫ ∫
− −
−−−
−
+=
+
=
π
π
π
π
ωωωω
ωω
ω
π
ω
π
deedee
ee
nx
njnjnjj
jj
)3()1(.2
4
1
22

1
..
)(
)(






−
+
−
=
−
−
−
−
π
π
ω
π
π
ω
π
|
)(
1
|
)(

1
)(
)3()1(
314
1
njnj
e
nj
e
nj
nx






−
−
+
−
−
=
−−−−−−
)()(
)(
314
1
)3()3()1()1(
nj

ee
nj
ee
nx
njnjnjnj
ππππ
π
232
1
212
1
][
.
)(
][
.
)(
)(
)3()3()1()1(
j
ee
nj
ee
n
nx
njnjnjnj
ππππ
ππ
−−−−−−
−

−
+
−
−
=
π
π
π
π
)(
])sin[(
)(
])sin[(
)(
3
3
2
1
1
1
2
1
−
−
+
−
−
=
n
n

n
n
nx
122
Vì :
)(
)(
])sin[(
)(
])sin[(
0
1
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
nkhi
nkhi
n
n
−=
−
−
⇒




≠
=
=
−
−
δ
π
π
π
π
Nên :
)()()(
3
2
1
1
2
1
−+−= nnnx
δδ
Vì
ω
ω
j
j
ez
ze

XX
=
=
)()(
, nên l p b ng bi n i để ậ ả ế đổ Fourier ch c n s d ng b ng bi n i ỉ ầ ử ụ ả ế đổ z khi thay z = e
j
ω
, v tìm bi n i à để ế đổ Fourier ng c, ngo i cách tính tr c ti p tích phân àượ ự ế [3.1-24], c ng có th s d ng các ph ngũ ể ử ụ ươ
pháp gi ng nh tìm bi n i ố ư ế đổ Z ng c.ượ
3.1.3 Các tính chất của biến đổi Fourier
Do bi n i ế đổ Fourier l m t tr ng h p riêng c a bi n i à ộ ườ ợ ủ ế đổ Z nên, bi n i ế đổ Fourier c ng có các tính ch tũ ấ
gi ng nh bi n i ố ư ế đổ Z. D i ây trình b y các tính ch t th ng c s d ng khi phân tích ph tín hi u s v càướ đ ầ ấ ườ đượ ử ụ ổ ệ ố đặ
tính t n s c a h x lý s .ầ ố ủ ệ ử ố
3.1.3a Tính chất tuyến tính : H m t n s c a t h p tuy n tính các dãy b ng t h p tuy n tính các h mà àầ ố ủ ổ ợ ế ằ ổ ợ ế
t n s th nh ph n.àầ ố ầ
N u : ế
)()]([
ω
j
ii
enxFT X=
Thì :
)(.)(.)()(
ωω
j
i
i
i
i
ii

j
eAnxAnyFTe XY
∑∑
=






==
[3.1-27]
Trong ó các h s đ ệ ố A
i
l các h ng s .à ằ ố
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :
∑∑∑ ∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
==







=
n
nj
i
i
i
n i
nj
ii
i
ii
j
enxAenxAnxAFTeY
..
).().(.)(.)(
ωωω
Vì
)()]([).(
.
ωω
j
ii
n
nj
i
enxFTenx X==
∑
∞
−∞=
−

, nên nh n c ậ đượ [3.1-27].
Ví dụ 3.4 : Hãy tìm h m ph c a tín hi u s à ổ ủ ệ ố
)()()(
3
2
1
1
2
1
−+−= nnnx
δδ
Gi i :ả Theo tính ch t tuy n tính c a bi n i ấ ế ủ ế đổ Fourier có :
ωωωωω
δδ
3..
2
1
2
1
3
2
1
1
2
1
).().()(
jj
n
nj
n

njj
eeeneneX
−−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
+=−+−=
∑∑

ωω
ωω
ω
ω
22
).cos(.
)(
)(
2
jj
jj
j
ee
ee
eX
−−
−
=

+
=
Các ví d ụ 3.3 v à 3.4 l hai b i toán ng c nhau, v i k t qu l ng nh t.à à àượ ớ ế ả đồ ấ
3.1.3b Tính chất trễ : Khi d ch tr dãyị ễ x(n) i đ k m u thì h m biên t n sàẫ độ ầ ốX(e
j
ω
) không thay i, ch cóđổ ỉ
h m pha t n s à ầ ố ϕ(
ω
) b d ch i l ng ị ị đ ượ k
ω
.
N u : ế
)(
.)()()]([
ωϕωω
jjj
eeenxFT XX ==
Thì :
[ ]
])([
.)()()(
ωωϕωωω
kjjjjk
eeeenxFT
XXk
−−
==−
[3.1-28]
N u ế k > 0 l à x(n) b gi tr ị ữ ễ k m u, ẫ n u ế k < 0 l à x(n) c y s m đượ đẩ ớ k m u.ẫ

Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :
[ ]
)().().()(
.).(..
ωωωωω
jkj
n
knjkj
n
nj
eeeknxeeknxknxFT X
−
∞
−∞=
−−−
∞
−∞=
−
=−=−=−
∑∑
Ví dụ 3.5 : Hãy tìm : )]([)( 2 nrectFTe
N
nj
X
−
=
ω
Gi i :ả Có
)()()( 222 Nnununrect
nnn

N
−−=
−−−
Nên :
)](.[)]([)(
)(
222 NX nuFTnuFTe
NN nnj
−−=
−−−−
ω
Theo bi u th c ể ứ [3.1-6] v tính ch t d ch c a bi n i à ấ ị ủ ế đổ Fourier nh n c :ậ đượ
NN j
jj
j
e
ee
eX
.
2
5,01
1
5,01
1
.)(
ω
ωω
ω
−−
−−

−
−
−
=
V y :ậ
ω
ω
ω
j
j
nj
e
e
nrectFTe
N
N
X
−
−
−
−
−
==
5,01
.5,01
2
)(
)]([)(
[3.1-29]
123