Chương 1: Các kiến thức cơ sở potx

CHƯƠNG 1. CC KIN THC CƠ S
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.2. Lý thuyết tổ hợp
1.3. Hai nguyên lý cơ bản
1.4. Lý thuyết số và các hệ đếm
1.5. Bài tập
LÝ THUYT TỔ HỢP
1. Khái niệm.
2. Chỉnh hợp lặp.
3. Chỉnh hợp không lặp.
4. Hoán vị.
5. Tổ hợp.
6. Tổ hợp lặp.
7. Hoán vị của tập hợp có các phần tử giống nhau.
8. Một số công thức tổ hợp.
9. Một số ví dụ.
KHI NIỆM
Lý thuyết tổ hợp nghiên cứu:
1. Các cấu hình tổ hợp,
2. Các phương pháp lựa chọn phần tử hoặc bộ các phần tử trong
tập hợp hữu hạn theo các cách khác nhau.
→ Là cơ sở để xây dựng thuật toán vét cạn, các thuật toán sinh
phần tử mới, các thuật toán lựa chọn phương án tối ưu, v v…
Một số bài toán:
1. Các bài toán đếm,
2. Các bài toán về sự tồn tại,
3. Các phương pháp biểu diễn các cấu hình tổ hợp…

CHỈNH HỢP LẶP
KN: Chỉnh hợp lặp chập k của tập n phần tử là một cách sắp
xếp có thứ tự k phần tử lấy từ tập gồm n phần tử đã cho, mỗi

phần tử có thể được lấy lặp lại.
KH: Số chỉnh hợp lặp chập k của tập n phần tử

Ví dụ 1:
 Tập A = {1, 2, 3, 4, 5} n = 5.
Các bộ (1, 1, 2) ; (1, 2, 1) ; (2, 3, 5) và (2, 3, 2 ) là các chỉnh
hợp lặp chập 3 từ 5 phần tử.

n
k

k
n
A
CHỈNH HỢP LẶP
 Ví dụ 2.
• Từ tập  = { a, b, c } có thể đặt được bao nhiêu tên biến có độ dài
4 ký tự?
• Giải: Mỗi tên biến có 4 ký tự được chọn từ tập  là một bộ 4 phần
tử được lấy từ tập  vậy có số tên biến có 4 ký tự được chọn từ 
là N()xN()xN()xN() = 3x3x3x3 = 81.
 Ví dụ 3.
• Các dãy nhị phân có độ dài n là một chỉnh hợp lặp chập n từ hai
phần tử {0, 1}. Vậy theo công thức chỉnh hợp lặp chập n từ 2 phần
tử là : 2
n
.
CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP
KN: Chỉnh hợp không lặp chập k từ n phần tử (gọi tắt là
chỉnh hợp chập k) là một cách sắp xếp có thứ tự k phần

tử của tập n phần tử, mỗi phần tử không được lấy lặp
lại.
KH: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
)!(
!
)1) (2)(1.(
kn
n
knnnnP
k
n


CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP
Ví dụ 4.
• Tập A = {1, 2, 3, 4, 5} các bộ (2, 3, 5); (2, 5, 3) là các chỉnh hợp
không lặp chập 3 từ 5 phần tử, còn các bộ (1, 1, 2) ; (1, 2, 1) ; và
(2, 3, 2) không phải là chỉnh hợp không lặp chập 3 từ 5 phần tử,
nhưng mặt khác đó lại là chỉnh hợp lặp chập 3 từ 5 phần tử.
Ví dụ 5.
• Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được chọn từ các số sau B
= {1,3, 4, 5, 7, 6}?
• Giải: Số các số có 4 chữ số khác nhau được chọn từ tập B là số
chỉnh hợp chập 4 của 6:
• (số)
4
6
6! 6!
6.5.4.3 360
(6 4)! 2!

P    

HON VỊ
KN: Hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp
xếp có thứ tự n phần tử đó.
KH: Số hoán vị của n phần tử

Ví dụ 6:
 Có bốn người rủ nhau đi chụp ảnh là Anh, Bắc, Cúc,
Dương. Hãy tính xem có bao nhiêu kiểu ảnh chụp mà tất cả
bốn người đứng thành một hàng ?
 Số kiểu ảnh = (kiểu)
.( 1)( 2) 1 !
n
P n n n n   
4
4!P 
TỔ HỢP
KN:Tổ hợp chập k từ n phần tử là cách chọn không phân
biệt thứ tự k phần tử lấy từ tập n phần tử đã cho, mỗi phần
tử không được lấy lặp lại.
KH: Số tổ hợp chập k của n phần tử


Từ công thức trên có thể suy ra rằng:
!

( )! !
k
n

n
C
n k k


!!

( )! ! !( )!
k n k
nn
nn
CC
n k k k n k

  

TỔ HỢP
Ví dụ 7:
 Với tập A = {1, 2, 3, 4, 5} thì các bộ (1, 2, 3 ), (1, 2, 4) là các tổ
hợp chập 3 từ 5 phần tử, còn các bộ (1, 1, 2 ), (2, 3, 2 ) không
phải là tổ hợp chập 3 từ 5 phần tử đã cho. Theo định nghĩa
hai bộ (2, 3, 5 ), (3, 5, 2) chỉ được tính là một tổ hợp chập 3.
Ví dụ 8:
 Có 12 đội bóng tham dự giải chuyên nghiệp quốc gia, các đội
thi đấu vòng tròn một lượt. Hỏi có bao nhiêu trận đấu được tổ
chức ?
 Giải : Mỗi trận đấu là một cặp 2 đội được chọn từ 12 đội đã
cho, không kể đến thứ tự và phải khác nhau, vậy số trận đấu
là tổ hợp chập 2 từ 12 : 12!/(10!.2!) = 66 trận
TỔ HỢP LẶP

KN: Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ gồm k phần tử
không phân biệt thứ tự, mỗi phần tử có thể được lấy lặp lại
từ n phần tử đã cho.
KH: Số tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là
)!1(!
)!1(
1




nk
kn
CR
k
kn
k
n
TỔ HỢP LẶP
Ví dụ 9:
 Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm:
x
1
+ x
2
+ x
3
= 11
 Giải:
 Chúng ta nhận thấy mỗi nghiệm của phương trình ứng với một cách

chọn 11 phần tử từ một tập có 3 loại, sao cho có x
1
phần tử loại 1, x
2

phần tử loại 2, x
3
phần tử loại 3 được chọn. Vì vậy số nghiệm bằng số
tổ hợp chập 11 từ tập gồm 3 phần tử. Theo công thức trên ta có
11 11 11 2
3 11 3 1 13 13
13.12
C 78
1.2
R C C

    
HON VỊ CỦA TẬP HỢP CÓ CC PHẦN TỬ GIỐNG NHAU
KN: Giả sử có n phần tử trong đó có n
1
phần tử giống nhau thuộc
loại 1, n
2
phần tử giống nhau thuộc loại 2, …, và n
k
phần tử giống
nhau thuộc loại k. Khi đó số cách sắp xếp n phần tử được tính
như sau:
 Số cách chọn n
1

chỗ loại 1 là
 Số cách chọn n
2
chỗ loại 2 là

KH: Số hoán vị từ n phần tử trong đó có n
1
phần tử như nhau
thuộc loại 1, n
2
phần tử như nhau thuộc loại 2, …, và n
k
phần tử
như nhau thuộc loại k là:
1
n
n
C
2
1
n
nn
C

!! !
!
!!
)! (

)!(!

)!(
)!(!
!


k21k
1k1
212
1
11
n
nnn
n
nn
n
n
nnn
n
0n
nnn
nnnn
nn
nnn
n
CCC
k
1k1
2
1
1










HON VỊ CỦA TẬP HỢP CÓ CC PHẦN TỬ GIỐNG NHAU
Ví dụ 10 :
 Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp
lại các chữ cái của từ SUCCESS?
 Giải: Từ SUCCESS có 7 chữ cái (3 chữ S, 1 chữ U, 2 chữ C và
1 chữ E). Do vậy câu trả lời không phải là số hoán vị của 7 chữ
cái được!!! Theo công thức hoán vị của tập hợp có các
phần tử giống nhau ta có:
3 1 2 1
7 4 3 1
7!4!3!1! 7!
420
3!4!1!3!2!1!1!0! 3!2!1!1!0!
C C C C   
MỘT SỐ CÔNG THC TỔ HỢP
0
1
n
nn
CC

kn
n
k
n
CC



1
1 k
n
k
n
k
n
CCC



C ) (
n
0i
i
n



inin
yxyx
1.

2.
3.
4.
(nhị thức Newton)

k
0i
ik
m
i
n
k
mn
CCC





5.
(hằng đẳng thức Vandermonde)
(hằng đẳng thức Pascal)
MỘT SỐ CÔNG THC TỔ HỢP
 Chứng minh:

 Giải :
 VT của đẳng thức là số tập con có k phần tử của tập có (n + m) phần tử.
 Giả sử có tập  = a
1
, a

2
, …, a
n
, a
n+1
, …, a
n+m
}= 
1
 
2
, trong đó 
1
=
a
1
, a
2
, …, a
n
 và 
2
= a
n+1
, a
n+2
, …, a
n+m
, như vậy để chọn tập con có k
phần tử của  ta có thể chọn như sau:

 Chọn i phần tử từ tập 
1
→ có C(n,i) cách chọn
 Sau đó chọn k – i phần tử từ tập 
2
→ có C(m,k-i) cách chọn
→ có C(n,i) .C(m,k-i) cách chọn ứng với mỗi i từ 0 đến k.
 Như vậy, số cách chọn là:


k
0i
ik
m
i
n
k
mn
CCC






k
0i
ik
m
i

n
k
n
1
m
1k
n
2k
m
2
n
1k
m
1
n
k
m
k
mn
CCCCCCCCCCC






BÀI TẬP
1. Cho n là số nguyên dương, chứng minh

2. Có tất cả bao nhiêu hoán vị của tập hợp {a,b,c,d,e,f} với
phần tử cuối cùng bằng a?
3. Một tập hợp có 100 phần tử, có bao nhiêu tập con có
nhiều hơn 2 phần tử?
4. Tìm hệ số của x
101
y
99
trong khai triên của (2x – 3y)
200
?
5. Có bao nhiêu xâu nhị phân chứa đúng tám số 0 và
mười số 1, và ngay sau mỗi số 0 nhất thiết là một số 1?
0
2
n
kn
n
k
C



n2
1-n
n
k



1
k
n
kC
0
( 1) 0
n
k

kk
n
C



a.
b.
c.
BÀI TẬP
6. Có bao nhiêu cách chọn 8 đồng tiền xu từ hộp chứa 100
đồng một xu giống nhau và 80 đồng năm xu giống nhau?
7. Phương trình :
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4

+ x
5
=21
có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm sao cho:
a. x
1
≥ 1?
b. x
i
≥ 2 với i = 1, 2, 3, 4, 5
c. 0 ≤x
1
≤ 10?
d. *0 ≤x
1
≤ 3 và 1≤ x
2
≤4 và x
3
≥ 15?
8. Bất đẳng thức x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 21 có bao nhiêu nghiệm
nguyên không âm?
BÀI TẬP
9. Có bao nhiêu xâu nhị phân khác nhau nếu chúng được bắt

đầu bằng bít 1 và chứa thêm 3 bít 1 nữa, nó còn chứa tất cả
12 bít 0 và sau mỗi bít 1 có ít nhất hai bít 0?
10. Có bao nhiêu xâu khác nhau có thể lập được từ chữa cái
trong từ MISSISSIPPI, yêu cầu phải dùng tất cả các chữ?