Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức (Lê Thu Thủy vs Nguyễn bạch Thủy Tiên) - 4 pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (614.62 KB, 36 trang )
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
115
3.1.10 Bước giải loại 12 ( bước giải đưa ra một bất đẳng thức đúng)
Hình 38: Sơ đồ biểu diễn thuật toán kiểm tra bước giải loại 12
3.1.11 Bước giải loại 13 (bước giải kiểm tra điều phải chứng minh)
Thuật giải
- Kiểm tra bất đẳng thức trong bước giải cần xét có thỏa 2 điều kiện sau
không:
+ Tương đương với bất đẳng thức trong bước giải trước đó.
+ Là bất đẳng thức trong đề bài.
- Nếu thỏa, trả về giá trị Đúng. Ngược lại trả về Sai.
Kiểm tra bước giải
đúng
CbuocGiaiLoai12
* Lấy bước giải đánh số
CBaiGiai
Bộ nhớ chính
♦Kiểm tra đúng
CBatDangThuc
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
116
3.2 Xử lý biến cố nhấn Enter khi giải bài tập
Hình 39: Sơ đồ biểu diễn thuật toán xử lý biến cố nhấn enter khi giải bài tập
Thuật giải
¾ Thuật giải của hàm xử lí biến cố Nhấn Enter của lớp bài giải
- Lấy chuỗi bước giải mới vừa được thêm vào
- Kiểm tra xem bước giải có đúng không ( thuật giải: xem mục 3.1
Kiểm tra bước giải mới của bài giải )
- Nếu đúng, thêm bước giải vào danh sách bước giải của bài giải. Nếu
sai xuất thông báo lỗi
♦Kiểm tra bước giải
mới
CBaiGiai
♦Kiểm tra bước giải
đúng (1)
CBuocGiai
H
ọ
c sinh
♦Thêm bước giải
CBaiGiai
♦Biến cố nhấn Enter
(Bíên kiểm tra từng
bước = true)
CBaiGiai
♦Lấy bước giải ,mới
CBaiGiai
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
117
3.3 Kiểm tra bước giải mới của bài giải
3.3.1 Kiểm tra đối với bài giải tự do
Thuật giải
- Khởi tạo một bước giải mới từ chuỗi truyền vào
- Gọi hàm kiểm tra bước giải của lớp BuocGiai ( thuật giải: xem
mục 3.1 )
3.3.2 Kiểm tra đối với bài giải theo đáp án
Thuật giải
- Khởi tạo một bước giải mới từ chuỗi truyền vào
- So sánh bước giải này với bước giải trong đáp án xem có giống
nhau
- Nếu giống, trả về giá trị Đúng
- Ngược lại, trả về giá trị Sai
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
118
3.4 Xử lý biến cố chọn chức năng giải bài tập
Sơ đồ
Hình 40: Sơ đồ biểu diễn thuật toán xử lý biến cố chọn chức năng giải bài tập
Thuật giải
¾ Thuật giải cho chức năng giải bài tập
- Khởi tạo màn hình giải bài tập
- Khởi tạo 2 loại bài giải: tự do và đáp án cho bài tập
- Đọc các đáp án của bài tập
Giải bài tập
CBaiTap
Chọn chức năng
giải bài tập
MH_ChinhHS
H
ọ
c sinh
Đọc đáp án
CDapAn
Bộ nhớ phụ
Khởi tạo màn hình
MH_GiaiBT
Khởi tạo bài giải mới
Xử lý biến cố nhấn Enter
CBaiGiai
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
119
3.5 Xử lý biến cố đổi chế độ giải
Sơ đồ
Hình 41: Sơ đồ biểu diễn thuật toán xử lý biến cố đổi chế độ giải
Thuật giải
¾ Thuật giải đổi từ giải sang đáp án sang giải tự do
- Khởi tạo một bài giải tự do mới
H
ọ
c sinh
B
ộ
nh
ớ
chính
♦Đổi lại trạng thái màn
hình
MH_GiaiBT
♦Ghi nhận bài giải
CBaiGiai
♦Đổi từ giải tự do sang
giải theo đáp án
MH_GiaiBT
♦Đổi từ giải theo đáp
án sang giải tự do
MH_GiaiBT
♦Tạo bài giải mới
♦Ghi nhận lại chế độ giải
mới
CBaiGiaiDapAn
♦Chép thông tin của bài
giải tự do
CBaiGiaiDapAn
♦Đọc bước giải đáp án
CDapAn
♦Tìm bước giải trùng đáp
án
CBaiGiaiDapAn
♦Tạo bài giải mới
♦Ghi nhận lại chế độ giải
mới
CBaiGiaiTuDo
♦Chép thông tin của bài
giải theo đáp án
CBaiGiaiTuDo
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
120
- Chép toàn bộ nội dung bài giải theo đáp án sang bài giải tự do
¾ Thuật giải đổi từ giải tự do sang giải theo đáp án
- Khởi tạo bài giải theo đáp án của bài tập đang giải
- Tìm bước giải cuối cùng trong bài giải tự do giống với một bước giải
nào đó trong đáp án
- Nếu tìm thấy, chép các bước giải từ bước giải đầu tiên đế
n bước giải
tìm thấy vào bài giải trong đáp án. Đánh dấu vị trí bước giải trong đáp
án
3.6 Lưu bài giải
Sơ đồ
Hình 42: Sơ đồ biểu diễn thuật toán lưu bài giải
Lưu bài giải
CBaiGiai
Biến cố lưu bài giải
MH_GiaiBT
Bộ nhớ phụ
N
gư
ờ
i dùn
g
Lưu bài giải
CGiaoVien
Lưu bài giải
CSDL
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
121
Thuật giải
- Gọi hàm lưu bài giải của các lớp như sau
CBaiGiai:LuuBaiGiai Æ CGiaoVien:LuuBaiGiai Æ CSDL:LuuBaiGiai
3.7 Lưu lý thuyết
Hình 43: Sơ đồ biểu diễn thuật toán lưu lý thuyết
Lưu lý thuyết
CBaiHoc
Biến cố lưu bài soạn
MH_LyThuyet
Bộ nhớ phụ
N
gư
ờ
i dùn
g
- Kiểm tra chủ đề đã có
chưa
-L
ưu
l
ý
t
h
uy
ế
t
CGiaoVien
- Soạn lý thuyết
- Sửa lý thuyết
CSDL
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
122
3.8 Lưu bài tập
Hình 44: Sơ đồ biểu diễn thuật toán lưu bài tập soạn
Lưu bài tập
CBaiTap
Biến cố lưu bài tập
MH_SoanBaiTap
Bộ nhớ phụ
N
gư
ờ
i dùn
g
Lưu bài tập
CGiaoVien
Lưu bài tập
CSDL
Kiểm tra đề bài hợp
lệ
TapLenh
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
123
3.9 Lưu đáp án
Hình 45: Sơ đồ biểu diễn thuật toán lưu đáp án
Lưu đáp án
CBaiGiai
Biến cố lưu đáp án
MH_DapAn
Bộ nhớ phụ
N
gư
ờ
i dùn
g
Kiểm tra bước giải
đúng
CBuocGiai
Lưu đáp án
CGiaoVien
Lưu đáp án
CSDL
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
124
3.10 Chấm điểm
Sơ đồ
Hình 46: Sơ đồ biểu diễn thuật toán chấm điểm
Thuật giải:
¾ Thuật giải hàm chấm điểm tự động
- Đọc bảng tham số để lấy các giá trị
o D1 : thang điểm tối đa
o D2 : Số điểm trừ khi nhắc nhở
Chấm điểm
Ghi nhận điểm
CBaiGiai
Kết thúc bài giải
MH_GiaiBT
Bộ nhớ phụ
N
gư
ờ
i dùn
g
Ghi nhận điểm
CGiaoVien
Ghi nhận điểm
CSDL
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
125
o D3 : Số điểm cộng cho bất đẳng thức trung gian được chứng
minh
- Lấy các thông số sau
o M1 : số lần nhắc nhở
o M2 : số bất đẳng thức trung gian đã chứng minh
- Phát sinh điểm dựa vào công thức sau
o Nếu bài giải đã hoàn tất
Gán điểm = D1
o Nếu bài giải chưa hoàn tất
Gán điểm = 0
điể
m = điểm - D1*M1 + D2*M2
o Nếu điểm > 10 Æ điểm =10
o Nếu điểm < 0 Æ điểm = 0
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
126
PHẦN V : THỰC HIỆN VÀ KIỂM TRA
I TÓM TẮT KẾT QUẢ THỰC HIỆN
Phiên bản này đã thực hiện xong các chức năng nghiệp được mô tả trong
phần II
Về chức năng giải bài tập:
- Có thể thực hiện các phép biến đổi tương đương trên bất đẳng thức. Trong
đó
o Mức độ biểu diễn biểu thức
Biểu thức thức chứa số biế
n không giới hạn
Chứa các toán tử +, - , *, / , ( , ‘)’
Có thể chứa ngoặc lồng nhau
Có thể có các hàm: hàm căn ( bậc không giới hạn), hàm lũy
thừa ( số mũ không giới hạn)
Hàm lượng giác (sin, cos, tg, cotg) không cho phép thực hiện
các phép toán trên chúng
o Khả năng kiểm tra các biến đổi tương đương
Biến đổi các biểu thức ở 2 vế (khai triển, rút gọn )
Cộng hai vế
cùng một biểu thức bất kỳ
Nhân 2 vế với cùng một biểu thức
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
127
- Có thể áp dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiaxcopki trong quá trình
giải
- Có thể suy ra bất đẳng thức mới từ 2 bất đẳng thức dựa vào tính bắc cầu,
cộng vế, nhân vế 2 bất đẳng thức
- Cho phép đặt ẩn phụ
- Cho phép chứng minh bất đẳng thức trung gian và áp dụng để chứng minh
bất đẳng thức khác
Về chức năng soạn đ
áp án: tương tự như giải bài tập
II DỮ LIỆU THỬ NGHIỆM VÀ KIỂM TRA
Khi chọn chức năng giải bài tập với chế độ giải kiểm tra từng bước. Khi
nhấn Enter thì ứng với bước giải nhập vào tại vị trí con nháy chương trình
sẽ phân tích và thông báo kết quả kiểm tra. Các trường hợp kiểm tra được
mô tả trong bảng sau
STT Các trường hợp
kiểm tra bước giải
nhập vào
Thông báo Xử lý
1 Nếu kiểm tra bước
giải hoàn toàn đúng
Không có thông báo Cho phép xuống
hàng để nhập
bước giải tiếp và
đổi màu dòng đó
2 Nếu bước giải Thông báo ‘Bước giải Không cho phép
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
128
không hợp lệ không hợp lệ ‘ xuống hàng
3 Nếu bước giải áp
dụng Cauchy,
nhưng có một biểu
thức X không thỏa
điều kiện là biểu
thức không âm
Thông báo ‘Biểu thức
X không phải biểu
thức không âm’
nt
4 Nếu không kiểm tra
được bước giải (
Thông báo ’Không
kiểm tra được bước
giải này. Bạn có
muốn tiếp tục với
bước giải này không’
Nếu chọn
‘Không’: không
cho phép xuống
hàng
Nếu chọn ‘Có’:
cho phép xuống
hàng, nhưng lưu
vết để biết bài giải
này có bước giải
không kiểm tra
được
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
129
Sau đây là một số bài tập mẫu để chạy thử chương trình
Test Đề bài
1 CMR x
4
+y
4
>=xy
3
+x
3
y
2 CMR a+b+c>=R2(ab)+R2(bc)+R2(ca)
voi a>=0,b>=0,c>=0
3 CMR 4a
2
b
2
+4b
2
c
2
+4a
2
c
2
>=a
2
(b+c)
2
+b
2
(a+c)
2
+c
2
(a+b)
2
4 CMR a+1/(b(a-b))>=3
voi a>0,b>0,a>b
5 CMR y(1/x+1/z)+1/y(x+z)<=(1/x+1/z)(x+z)
voi x>0,y>0,z>0,x<=y,x<=z,y<=z
Sau đây là các bài giải mẫu chúng tôi đã chạy thử
Test 1: CMR x
4
+y
4
>=xy
3
+x
3
y
Bước Nội dung bước giải
0 x
4
+y
4
>=xy
3
+x
3
y (1)
1 <=> x
4
+y
4
-xy
3
-x
3
y>=0 (2)
2 <=>x
3
x-y)-y
3
(x-y)>=0 (3)
3 <=>(x-y)(x
3
-y
3
)>=0 (4)
4 <=>(x-y)
2
(x
2
+xy+y
2
) >=0 (5)
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
130
5 <=>(x-y)
2
((x+y/2)
2
+3y
2
4)>=0 (6)
(6) dung (7)
vay (1) dung
Test 2: CMR a+b+c>=R2(ab)+R2(bc)+R2(ca)
voi a>=0,b>=0,c>=0
Bước Nội dung
0 CMR a+b+c>=R2(ab)+R2(bc)+R2(ca)
voi a>=0,b>=0,c>=0 (1)
1 ADC a,b ta duoc (a+b)/2>=R2(ab) (2)
2 ADC b,c ta duoc (b+c)/2>=R2(bc) (3)
3 ADC c,a ta duoc (c+a)/2>=R2(ca) (4)
4 Cong ve (2),(3),(4) ta duoc
(a+b)/(2)+(b+c)/(2)+(c+a)/(2)>=R2(ab)+R2(bc)+R2(ac) (5)
5 <=>a+b+c>=R2(ab)+R2(bc)+R2(ca) dpcm
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
131
Test 3:
CMR 4a
2
b
2
+4b
2
c
2
+4a
2
c
2
>=a
2
(b+c)
2
+b
2
(a+c)
2
+c
2
(a+b)
2
Bước Nội dung
0 4a
2
b
2
+4b
2
c
2
+4a
2
c
2
>=a
2
(b+c)
2
+b
2
(a+c)
2
+c
2
(a+b)
2
(1)
1 ADB (a,b),(a,c) ta duoc (a
2
+a
2
)(b
2
+c
2
)>=(ab+ac)
2
(2)
2 ADB (b,a),(b,c) ta duoc (b
2
+b
2
)(a
2
+c
2
)>=(ba+bc)
2
(3)
3 ADB (c,a),(c,b) ta duoc (c
2
+c
2
)(a
2
+b
2
)>=(ca+cb)
2
(4)
4 Cong ve 2,3,4 ta duoc
2a
2
(b
2
+c
2
)+(a
2
+c
2
)2b
2
+(a
2
+b
2
)2c
2
>=(ab+ac)
2
+(ab+bc)
2
+(ac+bc)
2
(5)
5 <=>4a
2
b
2
+4b
2
c
2
+4a
2
c
2
>=a
2
(b+c)
2
+b
2
(a+c)
2
+c
2
(a+b)
2
(dpcm)
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
132
PHẦN VI : TỔNG KẾT
Luận văn đã xây dựng khá thành công một chương trình hỗ trợ việc dạy và học
bất đẳng thức. Trong chương trình chúng tôi sử dụng qui trình công nghệ phần
mềm hướng đối tượng, theo mô hình ba lớp. Chúng tôi cũng đã kết hợp được
các công việc hàng ngày trên máy tính với việc giải toán như gửi thư điện tử
(email) để hỏi và chấm bài ngay trong chương trình, bên cạnh đó chúng tôi
cũng cố gắ
ng chuẩn hóa tối đa các thao tác trong chương trình so với các thao
tác trong các chương trình ứng dụng quen thuộc trên máy tính như các thao tác
chọn font, canh lề, chọn kiểu chữ rất giống MS Word để cung cấp cho người
dùng một giao diện thân thiện, dễ sử dụng. Đồng thời, chúng tôi cũng đã cố
gắng biểu diễn các kí hiệu toán học (các số mũ, dấu căn) một cách tự nhiên
nhất sao cho gần giống với cách biểu diễ
n trong thế giới thực.
Tuy chưa thể so sánh với một phần mềm hỗ trợ giải toán mang tính thương mại
trên thế giới, chưa có khả năng giải bài toán một cách tự động và chưa hỗ trợ
chứng minh bất đẳng thức bằng tất cả các phương pháp, nhưng với việc cung
cấp cho người dùng một hệ thống công cụ tương đối hiệu quả và các gợi ý,
kiểm tra qua từng bước biến đổi giúp cho họ có một cái nhìn tổng quan về bài
toán và sự thuận tiện khi thực hiện công việc nên chương trình hoàn toàn có thể
áp dụng vào thực tế.
Chương trình có khả năng mở rộng thành một hệ thống lớn hỗ trợ nhiều
phương pháp giải hơn cho bài toán bất đẳng thức, đồng thời có thể kết hợp hỗ
trợ việc dạy và họ
c các môn học thuộc nhiều cấp bậc khác nhau từ tiểu học cho
tới trung học phổ thông, và các ứng dụng trong việc đào tạo từ xa, đây chính là
hướng nghiên cứu mà chúng tôi sẽ tập trung trong tương lai. Chúng tôi hy vọng
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
133
rằng, đề tài này sẽ nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu bởi
một chương trình trên máy tính luôn có ý nghĩa khi nó phục vụ con người nhất
là phục vụ trong lĩnh vực giáo dục
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
134
PHẦN VII : PHỤ LỤC
I PHỤ LỤC 1: BẢNG MÔ TẢ CÁC KÍ HIỆU BIỂU DIỄN CÚ PHÁP
Bảng này mô tả một số kí hiệu được sử dụng để đặc tả các cú pháp ( tham
khảo thêm trong Microsoft Visual Studio.Net Documentation , keyword: ‘
regular expression ’ )
STT Cú pháp Diễn giải
1 . Ký tự bất kỳ
2 * Lặp 0 hoặc nhiều lần
3 + Lặp 1 hoặc nhiều lần
4 \s Khoảng trắng
5 ? Có thể có hoặc không
6
II PHỤ LỤC 2: BẢNG PHÂN LOẠI BƯỚC GIẢI
Phần mô tả ký hiệu để đặc tả cú pháp bước giải ( xem Phụ lục 1
)
STT Cú pháp Ý nghĩa Ví dụ
1 Ù < bất đẳng thức> Bước giải biến đổi
tương đương từ một
bước giải trước đó
Ù x^2+y>0
2 => < bất đẳng thức> Bước giải suy ra từ một => x^2+1>0
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
135
bước giải trước đó
3 Ta co < bất đẳng
thức>
Bước giải đưa ra một
bất đẳng thức, hoặc
đẳng thức đúng
Ta co x^2+y^2>0
4 ADC <biểuthức> +
ta duoc < bất đẳng
thức>
Bước giải áp dụng bất
đẳng thức Cauchy để
đưa ra một bất đẳng
thức có dạng Cauchy
ADC x,y,z ta duoc …
5 ADB (<biểu thức>,
<biểu thức>) + ta
duoc <bất đẳng
thức>
Bước giải áp dụng bất
đẳng thức Bunhiaxcopki
ADB (x,y),(z,t) ta duoc
…
6 Tu (<kí số>)+ suy ra
<bất đẳng thức>
Bước giải có thể suy ra
từ 2 hay nhiều bước giải
trước đó ( áp dụng tính
chất bắc cầu, cộng, nhân
vế các bất đẳng thức
….)
Tu (1),(2),(2) suy ra
…
7 Cong ve (<kí số>)+
ta dưoc <bất đẳng
thức>
Bước giải suy ra được
nhờ cộng vế các bất
đẳng thức trong các
bước giải được chọn
trước đó)
Cong ve (1),(2) ta
duoc
8 Nhan ve (<kí số>)+
ta dươc <bất đẳng
Bước giải suy ra được
nhờ nhân vế các bất
Nhan ve (1),(2) ta
duoc
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
136
thức> đẳng thức trong các
bước giải được chọn
trước đó)
9 Dat <kí tự> = <biểu
thức> thi <bất đẳng
thức>
đặt ẩn phụ và thế vào
bất đẳng thức của bước
giải trước đó
Dat u = x+1 thi (1) Ù
…
10 Thay (<kí số>) vao
(kí số>) ta duoc <bất
đẳng thức>
Thay thế biểu thức Thay 2 vao 3 ta duoc
11 Ta cm <bất đẳng
thức>
Đưa ra một bất đẳng
thức nào đó để chứng
minh trung gian
Ta cm x+y^2>0
12 (vay)? (<kí số>)
dung
kiểm tra bất đẳng thức
trong bước giải nào đó
có phải là bất đẳng thức
đúng
(2) dung
13 Ù <bất đẳng thức>
(dpcm)
Kiểm tra kết luận về
điều phải chứng minh
có đúng
Ù x^2+y >0 (dpcm)
hoặc Ù dpcm
III
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
137
IV PHỤ LỤC 3: BẢNG TỪ KHÓA CHO BƯỚC GIẢI
Để dễ cho việc phân tích thì mỗi loại bước giải cần phải có một cú pháp
nhất định (thống nhất giữa giáo viên và học sinh) . Do đó cần phải quy định các
từ khóa (các từ khóa này có thể được giáo viên thay đổi và cập nhật lại cho học
sinh)
Qui ước : ký hiệu X : từ khóa rỗng
STT Từ khóa 1 Từ khóa 2
1
Ù
X
2 => X
3 Ta co X
4 ADC Ta duoc
5 ADB Ta duoc
6 Tu suy ra
7 Cong ve Ta duoc
8 Nhan ve Ta duoc
9 Dat Thi
10 Thay ta duoc
11 Ta cm X
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
138
V PHỤ LỤC 4: BẢNG DANH SÁCH ĐIỀU KIỆN ĐỂ CÁC BẤT ĐẲNG
THỨC HIỂN NHIÊN ĐÚNG
STT Điều kiện Bất đẳng thức đúng
1
∀ P, n∈ N P
2n
≥0
2
∀ n ∈ N
Pi là các biểu thức dương
∑
=
n
i
Pi
1
≥ 0
3
∀ n ∈ N
Pi là các biểu thức âm
∏
=
n
i
Pi
2
1
≥ 0
và
∏
+
=
12
1
n
i
Pi ≤ 0
4 P > Q
G ≥ 0
P + G > Q
KHOA CNTT – ĐH KHTN
Phần mềm hỗ trợ giải toán bất đẳng thức
139
VI PHỤ LỤC 5: SƠ ĐỒ BIỂU DIỄN CÁC CÚ PHÁP
1 Các sơ đồ biểu điễn cú pháp bước giải
1.1 Bước giải tổng quát
Bước giải loại 1
Bước giải loại 2
Bước giải loại 3
Bước giải loại 4
Bước giải loại 5
Bước giải loại 6
Bước giải loại 7
Bước giải loại 8
Bước giải loại 9
Bước giải loại 10
Bước giải loại 11
Bước giải loại 12
Bước giải loại 13
Bước giải
