phương pháp giải toán Bất đẳng thức

Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
Phần thứ nhất.
Mở đầu.
I. Lý do chọn đề tài.
Bất đẳng thức là một nội dung thờng gặp trong chơng trình toán THPT và có nhiều
ứng dụng. Nội dung bất đẳng thức đợc đa vào lớp 10 ( Cả chơng trình Ban Cơ Bản và Ban
KHTN ) trong " chơng IV - Bất Đẳng Thức, Bất phơng Trình " với số tiết không nhiều ( 03
tiết theo phân phối chơng trình và 03 tiết tự chọn đối với chơng trình Ban KHTN ). Tuy
nhiên, học sinh lớp 10 đợc kế thừa kiến thức về bất đẳng thức từ ở chơng trình THCS ( từ lớp
7 ). Do yêu cầu chơng trình nên sách giáo khoa đại số 10 ( Cả chơng trình Ban Cơ Bản và
Ban KHTN ) không đi sâu vào mô tả chính xác khái niệm về bất đẳng thức và chứng minh
các bất đẳng thức phức tạp.
Thực tế, khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không ít học sinh lúng túng,
không biết xoay sở ra sao. Một điều đáng tiếc cho học sinh lớp 10, 11, thậm chí cả học sinh
lớp 12 là các em rất vất vả trong việc giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nhiều em
học sinh đã rất khổ tâm và cảm thấy chán nản khi không làm đợc các bài toán chứng minh
bất đẳng thức trong các kỳ thi kiểm tra, hoặc khi thi Đại Học...trong điều kiện thời gian hạn
chế. Tự kiểm điểm, các em thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tởng là mình nắm vững
các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, đã hiểu các bài trong sách giáo khoa, đã tìm nhiều h-
ớng giải nhng cuối cùng vẫn bế tắc, không tìm ra lời giải đúng. Về sau, xem lại lời giải
những bài toán bế tắc ấy, thì thấy rằng ở không có gì khó khăn lắm vì chỉ toàn sử dụng
những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài giải nhiều khi đơn giản nhng chỉ tại một chut
thiếu sót hoặc không nghĩ đến cách ấy.
Là giáo viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài, nắm đợc bài trong sách giáo
khoa là hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ thống các phơng pháp
giải từng dạng toán. Số các bài toán trong về chứng minh bất đẳng thức trong các sách bồi d-
ỡng, tạp chí, báo toán tuổi trẻ, toán tuổi thơ...và cả trên th viện toán điện tử ..vv..Mỗi bài mỗi
vẽ, có nhiều hớng, nhiều cách của nhiều tác giả với nhiều phơng pháp giải cơ bản, đặc biệt
và mới lạ. Song thời gian dạy và hớng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo
viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thờng gặp, các phơng pháp giải toán chứng
1

Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
minh bất đẳng thức. Từ đó hớng dẫn học sinh rèn luyện các phơng pháp suy nghĩ đúng đắn,
biết đúc rút kinh nghiệm.
Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đă phân loại các dạng toán thờng gặp và tổng
hợp các phơng pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy - học toán lớp 10 ở trờng THPT Lê
Lai, bản thân tôi đã đúc rút đợc một số kinh nghiệm trong công tác dạy học chứng minh bất
đẳng thức, vừa cũng cố, hoàn thiện kiến thức về bất đảng thức cho học sinh ban cơ bản; nâng
cao, bồi dỡng học sinh ban KHTN. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin đa ra một vài kinh
nghiệm về " Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lợng học tập môn toán
cho học sinh lớp 10 ".
II. Nhiệm vụ của đề tài.
Đề tài nêu và giải quyết một số vấn đề sau:
1). Cơ sở lý thuyết của chứng minh bất đẳng thức.
2). Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.
3). Những bài toán chọn lọc về chứng minh bất đẳng thức.
4). ứng dụng của bất đẳng thức.
5). Những sai lầm thờng gặp của học sinh lớp 10 khi giải toán chứng minh bất đẳng thức.
6). Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lợng học tập
môn toán cho học sinh lớp 10 trờng THPT Lê Lai - Ngọc Lặc - Thanh Hoá.
7). Những kết quả đạt đợc. Kết luận.
III. Đối tợng nghiên cứu.
Một số kinh nghiệm " Dạy học chứng minh bất đẳng thức đại số nhằm nâng cao chất
lợng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 trờng THPT Lê Lai ".
IV. Phơng pháp nghiên cứu.
1). Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến đề tài.
2). Phân tích và tổng hợp.
3). Tổng kết thực nghiệm.
4). Thống kê.
phần thứ hai
nội dung

chơng I
2
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
cơ sở lý thuyết của phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong
các dấu > , < , , . Ta có: A B

A - B 0. A > B A - B > 0.
.Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A B, A B ), A gọi là vế trái, B gọi
là vế phải của bất đẳng thức.
.Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng
thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
Nếu ta có: A > B

C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B.
.Nếu ta có: A > B

C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng
thức tơng đơng.
.A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A B ( hoặc A B ) là bất đẳng thức
không ngặt.
.A B là A > B hoặc A = B.
.A B cũng là bất đẳng thức.
.Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng
thức kép. Ví dụ: A < B < C.
*Chú ý: Nh bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy
nhiên, ngời ta quy ớc: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu đó là
bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là " chứng
minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ".
II. Các tính chất của bất đẳng thức.

Tính chất 1: a > b và b > c

a > c.
Tính chất 2: a > b

a + c > b +c.
Hệ quả: a > b + c

a - c > b.
Tính chất 3: a > b và c > d

a + c > b + d.
Tính chất 4: a > b

ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ).
Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0

ac > bd.
Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dơng


n
a
>
n
b
.
Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dơng
n
a

>
n
b
.
Hệ quả: a > b 0:
aba

22

bab

.
3
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
Tính chất 8: a > b, ab > 0
a
1

<
b
1
.
Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dơng, m > n
m
a

>
n
a

.
0 < a < 1, m và n nguyên dơng, m > n


m
a
<
n
a
.
III. Các hằng bất đẳng thức.
1)
.0
2

a
Dấu " = " xảy ra
0
=
a
.
2)
0
2

a
. Dấu " = " xảy ra
0
=
a

.
3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối.
.0

a
Dấu " = " xảy ra
0
=
a
.
.aa

Dấu " = " xảy ra

.0

a
baba
++
. Dấu " = " xảy ra
0

ab
.
.baba

Dấu " = " xảy ra
.0;00)(

bababab

4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng
nh một bổ đề, chẳng hạn:
.2
22
abba
+
Dấu " = " xảy ra
.ba
=
ba
baba
,;
411
+
+
> 0. Dấu " = " xảy ra
.ba
=
( )
.4
2
2
2
abbaab
ba
+

+
Dấu " = " xảy ra
.ba
=
ba
a
b
b
a
,;2
+
> 0. Dấu " = " xảy ra
.ba
=
( )( )
( )
.
2
2222
byaxyxba
+++
Dấu " = " xảy ra
.bxay
=
5) Một số bất đẳng thức thờng áp dụng.
. Bất đẳng thức côsi.
Cho n số dơng
.,...,

21 n
aaa
Ta có:
....
...
21
21
n
n
n
aaa
n
aaa

+++
Dấu " = " xảy ra
....
21 n
aaa
==
. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Cho hai bộ số:
.,,,,
21 n
aaa
và
.,,,,
21 n
bbb
Ta có:

)....)(...()...(
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa
+++++++
Dấu " = " xảy ra
....
2
2
1
1
n
n
b
a
b
a
b
a
===
4
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai

Chơng II.
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.
Khi giải một bài toán, ta cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phơng
pháp giải thích hợp. Sau đây là một số phơng pháp mà tôi đã sử dụng hớng dẫn cho học sinh
lớp 10 ( trong 03 tiết học theo phân phối chơng trình và 03 tiết học theo chủ đề tự chọn
bám sát nâng cao, còn lại hớng dẫn thêm cho học sinh về nhà tìm hiểu thêm ) nắm vững để
vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mổi bài toán chứng minh bất đẳng
thức có thể đợc giải bằng các phơng pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phơng
pháp.
I. Phơng pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A B ta làm nh sau:
. Lập hiệu số: A - B.
. Chứng tỏ A - B 0.
. Kết luận A B.
B. Ví dụ.
1) Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức:
a)
).(23
222
cbacba
+++++
b)
cba
cba
cba ,,;9)
111
)((
++++
> 0.

Giải:
a) Ta có:
.0)1()1()1(
)12()12()12(
222)(2)3(
222
222
222222
++=
+++++=
++=+++++
cba
ccbbaa
cbacbacbacba
Do đó:
).(23
222
cbacba
+++++
b) Ta có:
9)
111
)((
++++
cba
cba
.
=
9111
++++++++

b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
.
=
).2()2()2(
+++++
a
c
c
a
b
c
c
b
a
b
b
a
5
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai

=
).0,,(;0
)()()(
222


+

+

cba
ca
ac
bc
cb
ab
ba
Do đó:
9)
111
)((
++++
cba
cba
. Với a, b, c > 0.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - 1.
Gi ải:
Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 )
=
1)65)(45(

22
+++
xxxx
.
Dặt
55
2
+=
xxy
, biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y
2
0.
Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) - 1.
II. Phơng pháp dùng các phép biến đổi tơng đơng.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tơng đơng bất đẳng
thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng.
A B

A
1
B
1


...
( * ). Mà ( * ) đúng thì A B.
B. Ví dụ
1. Ví dụ 1. Chứng minh các Bất đẳng thức:
a)

baba
++
.
b)
yx
yxyx
,;
411
+
+
> 0.
Giải:
a)
22
)()( babababa
++++

2222
22 bababbbaa
++++

abababba

.( bất đẳng thức đúng ).
Vậy
.baba
++
b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó:
.04)(4)(
4411

22
++
+

+

+
+
xyyxxyyx
yxxy
yx
yxyx
0)(
2

yx
, ( bất đẳng thức đúng ).
Vậy
.
411
yxyx
+
+
Với x, y > 0.
2. Ví dụ 2. Cho các số dơng a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1.
6
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
Chứng minh rằng:
.9)
1

1)(
1
1(
++
ba
Giải:
Ta có:
9)
1
1)(
1
1(
++
ba
. ( 1 ).
abbaab
b
b
a
a
919
1
.
1
+++
++

. Vì ab > 0.
ababba 8281
++

. ( Vì a + b = 1 ).
.4)(41
2
abbaab
+
( Vì a + b = 1 ).
.0)(
2

ba
( 2 ).
Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tơng đơng.
Vậy bất đẳng thức ( 1 ) đợc chứng minh.
C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng cần lu ý các biến đổi tơng đơng có điều kiện,
chẳng hạn:
.
22
baba

Với a, b > 0.
m > n
m
a

>
n
a
. Với m, n nguyên dơng, a > 1.
Cần chỉ rỏ các điều kiệ ấy khi biến đổi tơng đơng.
III. phơng pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức.

A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh bất đẳng thức A B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức ( xem
phần II. Chơng I ).
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng:
44
ba
+
>
8
1
.
Giải:
Do
ba
+
> 1 ( 1 ).
Bình phơng hai vế:
2
)( ba
+
> 1
22
2 baba
++
> 1 ( 2 ).
Mặt khác:
020)(
222
+

bababa
. ( 3 ).
Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) đợc:
)(2
22
ba
+
> 1.
Suy ra:
22
ba
+
>
2
1
( 4 ).
Bình phơng hai vế của ( 4 ):
4224
2 bbaa
++
>
4
1
. ( 5 ).
Mặt khác:
020)(
4224222
+
bbaaba
. ( 6 ).

7
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) đợc:
)(2
44
ba
+
>
4
1
.
Suy ra:
44
ba
+
>
8
1
.
2. Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức:
.
2
2
2
2
2
2
c
a
a

b
b
c
a
c
c
b
b
a
++++
Giải:
Ta có:
.20)(
222
xyyxyx
+
Dấu " = " xảy ra
.yx
=
áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
.2..2
2
2
2
2
c
a
c
b
b

a
c
b
b
a
=+
( 1 ).
Tơng tự :
.2
2
2
2
2
a
b
a
c
c
b
+
( 2 ).
.2
2
2
2
2
b
c
b
a

a
c
+
( 3 ).
Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Đợc:

.
)(2)(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b

b
a
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b
b
a
++++
++++
IV. Phơng pháp làm trội
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A B nhiều khi ta phải chứng minh A C với C là biểu thức lớn hơn hoặc
bằng B, từ đó ta có A B; Hoặc chứng minh D B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng A,
từ đó ta có A B.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
nnn 2
1
...
2
1
1
1

++
+
+
+
>
.
2
1
( Với
nNn ,

> 1 ).
Giải:
Ta có:
1
1
+
n
>
.
2
11
nnn
=
+
Tơng tự:
2
1
+
n

>
.
2
1
n
..................

.
2
1
2
1
nn

8
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng
thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta đợc đpcm.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
222
1
...
3
1
2
1
1
n
++++
>

).1,(;
1

+
nNn
n
n
Giải:
Ta có:
222
1
...
3
1
2
1
1
n
++++
>
)1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+

++++
nn
=
1
11
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
+
++++
nn
=
.
11
1
1
+
=
+

n
n
n
Suy ra đpcm.
V. Phơng pháp phản chứng.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A B, ta gỉ sử A < B, từ đó lập luận để dẩn đến điều vô lí. Nh vậy, ta đã
dùng phơng pháp phản chứng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho
.2
22
+
ba
Chứng minh rằng:
.2
+
ba
Giải: Giả sử
ba
+
> 2, bình phơng hai vế ( hai vế dơng ), ta đợc:
22
2 baba
++
> 4. ( 1 )
Mặt khác ta có:
Mà: 2
4)(
22

+
ba
( giả thiết ), do đó
.42
22
++
baba
( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ).
Vậy phải có
.2
+
ba
2. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
.02;02;02
222
+++
abcacbbca
Giải:
Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có:
bca 2
2
+
< 0;
acb 2
2
+
< 0;
abc 2
2
+

< 0.
abcacbbca 222
222
+++++
< 0
2
)( cba
++
< 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy phải có
ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm )
VI. Phơng pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản về phân số.
A. Kiến thức cơ bản.
Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thờng vận dụng các bài toán cơ bản
về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1. Với
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
9
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
a) Nếu
a
<
b
thì:
b
a
<
cb
ca
+

+
.
b) Nếu
ba

thì:
.
cb
ca
b
a
+
+

Bài toán 2. Với
zyx ,,
> 0. Chứng minh rằng:
a)
.
)(
41
2
yx
xy
+

b)
.
411
yxyx

+
+
c)
.
9111
zyxzyx
++
++
* Chú ý:
Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi dùng
đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho
cba ,,
là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
< 2.
Giải:
Vì

cba ,,
là ba cạnh của một tam giác nên
a
<
cb
+
, theo bài toán 1a) ta có:

cb
a
+
<
.
2
cba
a
cba
aa
++
=
++
+
( 1 ).
tơng tự:
ac
b
+
<
.
2

cba
b
++
( 2 ).

ba
c
+
<
.
2
cba
c
++
( 3 ).
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
<
.2
)(2

=
++
++
cba
cba
2. Ví dụ 2. Cho
ba,
> 0. Chứng minh rằng:

.
)(
1
8
1
44
1
222
ba
ab
ba
+
+
+
Giải:
Vì
ba,
> 0
22
44 ba
+

> 0 và
ab8
> 0. Theo bài toán 2b) ta có:
.
)(
1
)(4
4
844
4
8
1
44
1
222222
babaabba
ab
ba +
=
+
=
++
+
+


đpcm.
10
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
3.Ví dụ 3. Cho

cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
.
3
2
1
2
1
2
1
cbaaccbba
++

+
+
+
+
+
Giải:
Vì
cba ,,
> 0
ba
+
2
> 0;
cb
+
2
> 0;

ac
+
2
> 0.
Theo bài toán 2c) ta có:
.
3
)(3
9
222
9
2
1
2
1
2
1
cbacbaaccbbaaccbba
++
=
++
=
+++++

+
+
+
+
+

đpcm.
VII. Phơng pháp vận dung các bài toán cơ bản về giá trị tuyệt đối.
A.Kiến thức cần nhớ.
Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các
bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trịtuyệt đối sau:
Bài toán 1. Chứng minh rằng:
a)
baba
++
. Dấu " = " xảy ra khi
0

ab
.
b)
baba

. Dấu " = " xảy ra khi
0)(

bab
.
Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu
0,

yx
thì:

.2

++
x
y
y
x
x
y
y
x
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
yx
=
.
Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1)
.2
+
m
n
n
m
2)
.2
1
+
m
m
Dùng phơng pháp biến đổi tơng đơng ta dễ dàng chứng minh đợc các bài toán trên. Khi
cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

zyxzyx
++++
.
Giải:
Từ bài toán 1a) ta có:
zyxzyxzyx
++++++
.
* Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau:
Chứng minh rằng:
nn
aaaaaa
++++++
......
2121
.
2. Ví dụ 2. Cho
0,

ba
. Chứng minh rằng:
04)(3
2
2
2
2
+++
a
b
b

a
a
b
b
a
.
Giải:
Đặt x=
a
b
b
a
+
, ta có:
2

x
( theo bài toán 2 ).
Ta đợc:
23234)(3
2
2
2
2
2
2
+=+

+






+=+++
xx
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
11
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai

=
0)1)(2(

xx
. Vì







)2(
2
2
2 x
x
x
x
và
)1(

x
cùng dấu.
0430)1)(2(
2
2
2
2
+

++
a
b
b
a
a
b
b
a
zx
. ( đpcm ).
3. Ví dụ 3. cho
.20091,2008,1

bcaa
Chứng minh rằng:

.4017

cab
Giải:
Vì:
20092009120091,1

aabbaba
.
Mà:
2008

ca
. Suy ra:
4017
+
caaab
.
Theo bài toán 1) ta có:
caaabcaaabcab
++=
)()(
.
Vậy:
4017

cab
.
VIII. Phơng pháp vận dụng bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phơng,
bình phơng của tổng, tích hai số.
A. Kiến thức cần nhớ.
Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phơng, bình phơng của tổng,
tích hai số sau ( lu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ):
1)
xyyxyx 4)()(2
222
++

.
2)
)(3)()(3
2222
zxyzxyzyxzyx
++++++
.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y 1. Chứng minh rằng: x
4
+ y
4

8
1
.
Gi ải:
áp dụng bài toán 1) ta có:
8
1
2
2
)(
2
)(
2
2
22
44

+

+
+
yx
yx
yx
.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
)(
444
cbaabccba
++++
.
Giải:
áp dụng bài toán 2) ta có:

)(
))(())(())((
444
222222444
cbaabccba
abcacabcbcabaccbbacba
++++

++++++
IX. Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức riêng.
A. Phơng pháp.
12