Nghiên cứu một thuật toán giải hệ phương trình sóng nước nông potx

Nghiên cứu một thuật toán
giải hệ phơng trình sóng nớc nông

Ths. Nguyễn Hong Minh

Túm tt: Bỏo vit trỡnh by mt thut toỏn gii h phng trỡnh súng nc nụng (súng
ng lc 2 chiu ngang) da trờn c s phng phỏp phn t hu hn Galerkin bin i h
phng trỡnh vi phõn o hm riờng v dng h cỏc phng trỡnh vi phõn thng v gii h
phng trỡnh vi phõn thng vi iu kin biờn bng thut toỏn Runge-Kutta v ni suy tuyn
tớnh ni tip.
Summary: This paper describes methods to solve finite element surface- water schemes
two dimensional flow in a horizontal plane.

Cỏc bi toỏn ng dng trong c
hc cht lng nh mụ phng dũng chy trong vựng ng bng
ngp lt, tớnh toỏn súng v p, nghiờn cu bi xúi lũng dn theo ng b, ó t ra yờu cu
nghiờn cu cỏc thut toỏn cú hiu qu v tớnh n nh v chớnh xỏc gii h phng trỡnh súng
nc nụng. Trong s cỏc thut toỏn hin ang c s dng, phng phỏp phn t hu hn ang
c quan tõm nghiờn cu
trong v ngoi nc do phng phỏp cú kh nng mụ phng khụng
gian vi chớnh xỏc cao. Trong bi bỏo ny chỳng tụi s trỡnh by di õy mt thut toỏn chi tit
gii h phng trỡnh súng nc nụng da trờn c s xp x khụng gian nghiờn cu bng cỏc phn t
hu hn, s dng hm ni suy khụng gian tuyn tớnh a h phng trỡnh o hm riờng v dng
h cỏc phng trỡnh vi phõn thng v gii h phng trỡnh vi phõn thng phi tuyn tớnh b
ng s
Runge-Kutta.
H phng trỡnh súng nc nụng c xõy dng bng cỏch tớch phõn theo chiu sõu dũng chy
h phng trỡnh Navier-Stoke vi dũng chy khụng nộn c:
- Phng trỡnh liờn tc:
() ()
0

y
V
h
y
h
V
x
U
h
x
h
U
t
h
y
Vh
x
Uh
t
h
=


+


+


+

+


=
=


+


+



- Phng trỡnh ng lng:
()
fxox
SSg
x
h
g
y
U
V
x
U
U
t

U
=


+


+


+


(1)
()
fyoy
SSg
y
h
g
y
V
V
x
V
U
t
V
=

+


+


+



Trong ú:
U, V- Vn tc c trung bỡnh hoỏ theo sõu ng vi trc ox, oy tng ng;
h - sõu lp dũng chy;
S
ox
, S
oy
- dc ỏy theo trc ox, oy tng ng;
oyox


,

- ng sut tip theo hng ox v oy;
S
fx
, S
fy
- l dc thu lc ( dc cn) theo hng ox v oy tng ng, trong trng hp chy

ri c xỏc nh theo cụng thc Manning nh sau:
www.vncold.vn www.vncold.vn www.vncold.vn
h.C
VUU
S
2
22
fx
+
=
và
h.C
VUV
S
2
22
fy
+
=

Trong đó: C - Hệ số Sêdi
Theo phương pháp phần tử hữu hạn, khu vực tính toán được chia thành các phần tử. Các phần tử
có thể là hình tam giác, tứ giác đều hoặc không đều có kích thước khác nhau và số lượng nút khác
nhau [8, 9]. Trong trường hợp tổng quát, các phần tử tam giác với 3 điểm nút thường được lựa chọn
(hình 1).
Các ẩn hàm U(x, y, t), V(x, y, t), h(x, y, t) trong mỗi phần tử được xấp xỉ như sau:
∑
=
≈
N

i
ii
yxFtUtyxU
1
),()(),,(
∑
=
≈
N
i
ii
yxFtVtyxV
1
),()(),,(
∑
=
≈
N
i
ii
yxFthtyxh
1
),()(),,(

Hình 1. Phần tử tam giác

()
ycxba
2
1

F
iiii
++
Δ
=

Phương pháp số dư trọng số Galerkin thể hiện như sau:
∫
D
F
i
R dD = 0 (3)
Trong đó: D: khối chứa các phần tử; R: số dư khi xấp xỉ các biến số đồng thời phụ thuộc không
gian-thời gian bằng tổng các hàm số thời gian và không gian riêng rẽ.
Như vậy,
Phương pháp Garlekin cho rằng số dư xuất hiện khi mô phỏng không gian bằng các
phần tử hữu trực giao với các hàm trọng số nội suy. Hay nói một cách khác bản chất của phương
pháp Garlekin là với hàm trọng số được lựa chọn, tổng sai số mô phỏng theo không gian trên toàn
miền bằng không.

Áp dụng phương pháp Galerkin cho hệ phương trình (1), (2) đối với phần tử i thu được:
Hệ phương trình (4) sau khi được tích phân số, được viết như sau:

()
∑
=
⎭
⎬
⎫
⎩

⎨
⎧
−+++
Ne
i
fxoxi
x
iiij
i
ij
SSNhDUB
dt
dU
A
1
1
0

()
∑
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+++
Ne
i

fyoyi
y
iiij
i
ij
SSNhDVB
dt
dV
A
1
1
0

∑
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++
Ne
i
ij
i
y
ij
i
x

ij
i
ij
hBVBUB
dt
dh
A
1
0
(3)

Trong đó: Ne là số phần tử trên miền tính
Ω .
Các hệ số được xác định theo các biểu thức sau:
Dễ nhận thấy rằng tích phân Galerkin (3) đưa hệ phương trình đạo hàm riêng (1), (2) về dạng hệ
các phương trình vi phân thường. Hệ phương trình (5) sau khi tổng hợp cho tất cả các phần tử thuộc
vùng nghiên cứu có dạng phương trình ma trận:
{}
{}
}]{[ WCT
dt
Wd
−=
(4)

i
j
www.vncold.vn www.vncold.vn www.vncold.vn
Phương trình (5) với điều kiện ban đầu
{

}
0t
W
=
và điều kiện biên
{
}
0
W
=Γ
được giải theo thuật
toán Runge-Kutta bậc m [6, 7] và kiểm tra lại biên theo phương pháp nội suy tuyến tính nối tiếp
(successive linear interpolation):

Bước 1: Giải hệ phương trình (6) theo Runge-Kutta
ttWCtTW
oo
Δ−Δ=Δ )}({][}{
)()()1(


t
n
W
tWCtTW Δ
Δ
+−Δ=Δ })({][}{
)1(
)1()1()2(

t
n
W
tWCtTW Δ
Δ
+−Δ=Δ }
2
)({][}{
)2(
)2()2()3(



t
n
Wm
tWCtTW
m
mmm
Δ
Δ−
+−Δ=Δ
−
−−
}
)1(
)({][}{
)1(
)1()1()(
(7)

- Ẩn cần tìm sau khoảng thời gian
t
Δ
thu được có dạng
iii
WtWttW Δ+=Δ+ )()(

Trong đó:
-
i
WΔ
là nghiệm ngoại suy:
∑
=
Δ=Δ
m
k
k
ki
WW
1
)(
γ

k
γ
là các trọng số ngoại suy tùy theo việc chọn bậc m = 3 hoặc m = 6.
Bước 2: Giải bài toán biên (phương pháp nội suy tuyến tính nối tiếp- successive linear
interpolation) [6] :

Tại biên, với điều kiện biên
)t(WW
0
=
=Γ
cho trước, đặt:
)tt(Wt) (tWt)(t W
k
(k)
Δ+=Δ+=Δ+
Γ

Xét hàm sai số tại biên:
2
)k()k(
)WW(W)(f
Γ
−=

(i) Nếu:
ε> W)(f
)k(
ước tính:

Gán: W
Γ
(t + Δt) = W
(k)
trở về bước 1 tính lại xác định được W
(k+1)

.
Xét hàm sai số tại biên:
2
)1k()1k()1k(
)WW()W(f
Γ
+++
−=

(ii) Nếu:
ε
++
f)W(f
)1k(1)k(
ước tính:
www.vncold.vn www.vncold.vn www.vncold.vn
))W(W/()W(f)W(f(
)W(f
WW
)1k()k()1(k)1k((k))k(
1)(k)1k(
)1k()2k(
+++
++
++
−−
−=

Gán:
)2k(

W)tt(W
+
Γ
=Δ+
trở về Bước 1 tính lại.

(iii) Nếu:
ε<
++
)W(f
1)(k)1k(
, ta có :
)tt(W)tt(W Δ+=Δ+
Γ
quá trình tính được thực hiện
từng bước cho khoảng thời gian tính tiếp theo.
Về
cơ bản thuật toán trên là đơn giản, có độ ổn định cao, không khó lập trình so với các sơ đồ sai
phân khác đã có do vậy có thể ứng dụng để giải quyết các bài toán ngập lụt.

tμi liÖu tham kh¶o
1. Lương Tuấn Anh, Trần Thục (2003): Một phương án nâng cao độ ổn định của sơ đồ phần tử hữu
hạn sóng động lực 2 chiều ngang. Tuyển tập báo cáo Hội thảo Khoa học- Viện Khí tượng Thủy văn lần
thứ 8, Hà Nội-12/ 2003. Trang 1-5.
2. G.I. Marchuc , V.V. Saidurov (1979): Nâng cao độ chính xác giải các sơ đồ sai phân. NXB
Nauka, Mat-xơ-cơ-va. (Tiếng Nga).
3. V. Aizinger, C. Dawson (2002): A Discontinuous Galerkin method for two-dimensional flow
and transport in shallow water. Advances in Water Resources 25, 67-84.
4. Forsythe G.E., Malcolm M.A., Moler C.B. (1977): Computer Method for Mathematical
Computations. Prentice-Hall (Russian translation from English, 1980).

5. Ventechow, David R. Maidment, Lary W. Mays (1988): Applied Hydrology - Mc Graw - Hill
Book Co (Thủy văn ứng dụng, 1994).
www.vncold.vn www.vncold.vn www.vncold.vn

www.vncold.vn www.vncold.vn www.vncold.vn