Các bài toán giải hệ phương trình (Bài tập và hướng dẫn giải)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (446.95 KB, 14 trang )
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BTVN NGÀY 12-05
Giải các hệ phương trình sau:
1 3
2x + =
y x
1,
2 y + 1 = 3
x y
1
1
x− = y−
y
x
2,
2 y = x3 + 1
x(3 x + 2 y )( x + 1) = 12
3, 2
x + 2 y + 4x − 8 = 0
x2 + y2 + x + y = 4
4,
x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2
5,
x2 + y2 = 5
4
2 2
4
x − x y + y = 13
( x 2 + 1) + y ( y + x ) = 4 y
7, 2
( x + 1) ( y + x − 2 ) = y
x ( x + y + 1) − 3 = 0
9,
5
2
( x + y ) − 2 + 1 = 0
x
x 2 − xy + y 2 = 3( x − y ),
11, 2
2
2
x + xy + y = 7( x − y )
6,
3x 2 − 2 xy = 16
2
2
x − 3 xy − 2 y = 8
xy + x + 1 = 7 y
8,
2 2
2
x y + xy + 1 = 13 y
2 xy + 3x + 4 y = −6
10,
2
2
x + 4 y + 4 x + 12 y = 3
x3 − 8 x = y 3 + 2 y
12, 2
2
x − 3 = 3 ( y + 1)
………………….Hết…………………
BT Viên môn Tốn hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt
1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hồng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 12-05
1 3
2x + =
y x
1,
2 y + 1 = 3
x y
- đây là hệ đối xứng loại II
- Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0
1 1
x = y
2 ( x − y ) = 4 − ÷⇔
x y
xy = −2
- Trừ vế theo vế ta được:
2
Với x = y , hệ tương đương với 2 x = ⇔ x = ±1
x
Với xy = −2 ⇒ y =
x = 2 → y = − 2
x 3
3x 3
−2
= ⇔
, thế vào pt đầu được: 2 x − = ⇔
2 x
2 x
x
x = − 2 → y = 2
{
- Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = ( 1;1) , ( −1; −1) ,
(
)(
2; − 2 , − 2, 2
)}
1
1
1
x− = y−
( x − y ) 1 + ÷ = 0
y
x ⇔
2,
xy
2 y = x3 + 1
3
2 y = x + 1
⇒
−1 ± 5 −1 ± 5
;
ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;
÷
2
2 ÷
( 3 x + 2 y ) ( x 2 + x ) = 12
x(3x + 2 y )( x + 1) = 12
⇔
3, 2
2
x + 2 y + 4x − 8 = 0
( 3 x + 2 y ) + ( x + x ) = 8
Page 2 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
uv = 12
u = 6 u = 2
⇔
∨
Đặt u = 3x + 2 y; v = x 2 + x suy ra:
u + v = 8 v = 2 v = 6
Giải từng trường hợp ta dẫn tới đáp số:
3
11
÷, ( 2; −2 ) , −3, ÷
2
2
( x; y ) = ( −2;6 ) , 1;
( x + y ) 2 + x + y − 2 xy = 4
x2 + y 2 + x + y = 4
x + y = 0 ∨ x + y = −1
⇔
⇔
4,
xy = −2
xy = −2
x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2
⇒ ĐS: ( x; y ) =
{(
)(
)
2; − 2 , − 2, 2 , ( −2,1) , ( 1, −2 )
}
x2 + y2 = 5
5, 4
2 2
4
x − x y + y = 13
- Đây là hệ đối xứng loại I đối với x 2 và y 2
- Đáp số: ( x; y ) = { ( 2; ±1) , ( −2; ±1) , ( 1; ±2 ) , ( −1, ±2 ) }
3x 2 − 2 xy = 16
6, 2
2
x − 3 xy − 2 y = 8
- Đây là hệ đẳng cấp bậc 2
- Nhận xét x = 0 không thỏa mãn hệ, ta xét x ≠ 0 , đặt y = tx
x 2 ( 3 − 2t ) = 16
Hệ trở thành: 2
2
x ( 1 − 3t − 2t ) = 8
- Giải hệ này tìm t, x
- Đáp số:
( x; y ) = { ( 2; −1) , ( −2,1) }
x2 + 1
x2 + 1
y + ( y + x) = 4
( x 2 + 1) + y ( y + x ) = 4 y
=1
⇔ 2
⇔ y
7,
2
( x + 1) ( y + x − 2 ) = y
x + 1 ( y + x − 2) = 1 y + x = 3
y
⇒ ĐS:
( x; y ) = { ( 1; 2 ) ; ( −2;5 ) }
Page 3 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
1 x
1 x
x+ + =7
x + ÷+ = 7
y y
xy + x + 1 = 7 y
y y
⇔
⇔
8, 2 2
2
2
1 x
x y + xy + 1 = 13 y
x 2 + 1 + x = 13
x + y ÷ − y = 13
y2 y
3
1
x ( x + y + 1) − 3 = 0
x + y = 2 x + y =
( x + y ) − x = −1
2
⇔
⇔ 1
∨
9,
5
2
( x + y ) − 2 + 1 = 0 ( x + y ) 2 − 5 = −1
x =1
1 = 1
x
2
x 2
x
⇒ ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; 2; −
3
÷
2
( x + 2 ) ( 2 y + 3) = 0
⇔ 2
2
2
2
x + 4 y + 4 x + 12 y = 3 x + 4 y + 4 x + 12 y = 3
2 xy + 3x + 4 y = −6
10,
1
2
3
2
3
2
3
2
⇒ ĐS: ( x; y ) = −2; ÷; −2; − ÷; 2; − ÷; −6; − ÷
x 2 − xy + y 2 = 3( x − y )
x 2 − xy + y 2 = 3( x − y )
x 2 − xy + y 2 = 3( x − y )
⇔ 2
⇔
11, 2
y
2
2
2
2 x − 5 xy + 2 y = 0
x + xy + y = 7( x − y )
x = 2 y ∨ x =
2
⇒ ĐS:
( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 1; 2 ) ; ( −1; −2 ) }
Page 4 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
12,
3
x3 − 8 x = y 3 + 2 y
3
x − y = 8 x + 2 y (1)
⇔ 2
2
2
x − 3 = 3 ( y 2 + 1)
x − 3 y = 6(2)
x ( x2 − 8) = 0
x3 − 8 x = 0
x = 0
*) Xét y = 0 ⇒ 2
⇔
⇔ 2
(Vô lý)
2
x =6
x −3 = 3
x = 6
*) Chia 2 vê ' (1) cho y 3 và 2 vê ' (2) cho y 2 ta có :
x 3
x
y
8t + 2
3
÷ − 1 = 8 3 + 2 3
t −1 = 2
y
y
y
x
t2 − 3
y
.Coi : t = ⇒
⇒ t 3 − 1 = (8t + 2).
2
y
6
x
t 2 − 3 = 6
6
2
−3 = 2
y ÷
y
y
t = 0
⇔ 3t 3 − 3 = (4t + 1)(t 2 − 3) ⇔ t 3 + t 2 − 12t = 0 ⇔ t (t 2 + t − 12) = 0 ⇔ t = −4
t = 3
+) t = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y 2 = −2 < 0(loai )
+)t = 3 ⇒ x = 3 y ⇒ 9 y 2 − 3 y 2 = 6 ⇔ y = ±1 ⇔ (3;1), (−3; −1)
+)t = −4 ⇒ x = −4 y ⇒ 16 y 2 − 3 y 2 = 6 ⇒ y = ±
6
6
6
6
6
⇒ ( −4
;
);(4
;−
)
13
13 13
13
13
6
6
Vây S = ( ±3; ±1) , 4
;m
ữ
13
13 ữ
ã
1,
BTVN NGY 14-05
x 3 = 5 3x + 4
- Điều kiện:
x≥3
Với điều kiến trên ta biến đổi về dạng:
về dạng cơ bản f ( x) = g ( x) ta giải tiếp.
x − 3 + 3 x + 4 = 5 sau đó bình phương 2 vế, đưa
- Đáp số: x = 4
2, x 2 + 5 x + 1 = ( x + 4) x 2 + x + 1
Page 5 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
- Đặt t = x 2 + x + 1 > 0 , pt đã cho trở thành:
t = x
t 2 − ( x + 4) t + 4x = 0 ⇔
t = 4
Với t = x ⇔ x 2 + x + 1 = x : vô nghiệm
Với t = 4 ⇔ x 2 + x − 15 = 0 ⇔ x =
−1 ± 61
2
- Vậy phương trình có nghiệm: x =
3,
4
−1 ± 61
2
18 − x = 5 − 4 x − 1
- Ta đặt u = 4 18 − x ≥ 0; v = 4 x − 1 ≥ 0 ⇒ u 4 + v 4 = 17 , ta đưa về hệ đối xứng loại I đối với u, v
giải hệ này tìm được u, v suy ra x
- Đáp số: Hệ vô nghiệm
(
)
4, 3 2 + x − 2 = 2 x + x + 6 ( *)
- Điều kiện: x ≥ 2
- Ta có: ( *) ⇔ 2 ( x − 3) =
8 ( x − 3)
x = 3
⇔
3 x−2 + x+6
3 x − 2 + x + 6 = 4
108 + 4 254
25
- Đáp số: x = 3;
5,
2 x2 + 8x + 6 + x2 − 1 = 2 x + 2
- Điều kiện:
x = −1
2 x 2 + 8 x + 6 ≥ 0
⇔ x ≥ 1
2
x −1 ≥ 0
x ≤ −3
- Dễ thấy x = -1 là nghiệm của phương trình
- Xét với x ≥ 1 , thì pt đã cho tương đương với:
2 ( x + 3) + x − 1 = 2 x + 1
Page 6 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
f ( x) = g ( x) ta dẫn tới nghiệm trong trường
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản
hợp này nghiệm x = 1
- Xét với x ≤ −3 , thì pt đã cho tương đương với:
f ( x) = g ( x) ta dẫn tới nghiệm trong trường
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản
hợp này là: x = −
−2 ( x + 3) + − ( x − 1) = 2 − ( x + 1)
25
7
- Đáp số: x = −
25
; ±1
7
6, x( x − 1) + x( x + 2) = 2 x 2
7,
3
9
ĐS: x = 0;
8
x +4 − 3 x −3 =1
- Sử dụng phương pháp hệ quả để giải quyết bài tốn, thử lại nghiệm tìm được.
- Đáp số: x = { −5; 4}
−2 − 14
4
2
2
2
8, x + 4 − x = 2 + 3x 4 − x → t = x + 4 − x ⇒ t = − ; 2 ⇒ x = 0; 2;
3
3
9,
x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3
- Đặt t = x 2 − 3x + 3 > 0 ⇒ x 2 − 3x + 3 = t 2
3 ≥ t
2
2
- Phương trình thành: t + t + 3 = 3 ⇔ t + 3 = 3 − t ⇔ 2
2 ⇔ t =1
t + 3 = ( 3 − t )
2
Suy ra x − 3x + 2 = 0 ⇔ x = { 1; 2}
- Vậy tập nghiệm của phương trình là x = { 1; 2}
10, x 2 + 2 x + 4 = 3 x 3 + 4 x
- Điều kiện: x ≥ 0
Page 7 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
u 2 = v 2 + 4
u 2 = v 2 + 4
⇒
- Đặt u = x + 4 ≥ 2; v = x ≥ 0 ⇒ 2
2
u + 2v = 3uv ( u − v ) ( u − 2v ) = 0
2
Giải ra ta được x =
4
(thỏa mãn)
3
11, 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2
- Điều kiện: x ≥ 1
- Khi đó: 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3x 2 − 5 x + 2
Đặt t = 3x − 2 + x − 1 (t > 0) ta có: t = t 2 − 6 ⇔ t 2 − t − 6 = 0 ⇔ t = 3; t = −2(< 0)
3x − 2 + x − 1 = 3
Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm x = 2
12,
3
2 − x = 1− x −1
- Điều kiện: x ≥ 1
u = 1 − v
- Đặt u = 3 2 − x ; v = x − 1 ≥ 0 dẫn tới hệ: 3 2
u + v = 1
Thế u vào phương trình dưới được: v ( v − 1) ( v − 3) = 0
- Đáp số: x = { 1; 2;10}
13, x + 1 = 2 2 x − 1
3
3
y3 + 1 = 2 x
−1 ± 5
→ y = 2x −1 ⇒ 3
⇒ x = y ⇒ x = 1;
2
x +1 = 2y
3
14, 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 2 = 5 x + 1
9
ĐS: x = −1; ;11
4
15, 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x = 8
- Giải hoàn toàn tương tự như ý bài 1.12
Page 8 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
- Đáp số: x = { −2}
16,
2 x + 7 − 5 − x = 3x − 2
- Điều kiện:
2
≤ x≤5
3
- Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản. Sau
đó giải tiếp theo như đã học.
14
3
- Đáp số: x = 1;
17, x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x 2 + 8 x − 7 + 1
- Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 7
- Ta có: x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x 2 + 8 x − 7 + 1
⇔ x −1
(
) (
x −1 − 7 − x = 2
x −1 − 7 − x
)
x −1 = 2
x = 5
⇔
⇔
x = 4
x −1 = 7 − x
- Đáp số: x = { 4;5}
x+3
2
⇔ 2 ( x + 1) − 2 =
2
18, 2 x 2 + 4 x =
x+3
2
x + 3 ⇒ 2 ( x + 1) = y + 3
2
2
2 ( y + 1) = x + 3
2
- Đặt y + 1 =
−3 ± 17 −5 ± 13
;
4
4
- Đáp số: x =
19, −4 x 2 + 13 x − 5 = 3 x + 1 ⇔ − ( 2 x − 3) + x + 4 = 3 x + 1
2
( 2 y − 3) 2 = 3 x + 1
- Đặt 2 y − 3 = 3 x + 1 ⇒
2
− ( 2 x − 3) + x + 4 = 2 y − 3
Page 9 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
15 − 97 11 + 73
;
8
8
- Đáp số: x =
5 2
5 2
− x + 1 − x2 +
− x − 1− x2 = x + 1
4
4
20,
- Điều kiện: x ≤ 1
2
- PT đã cho ⇔ 1 − x +
1
1
+ 1 − x2 − = x + 1
2
2
3
- Đáp số: x = ; −1
5
x+5 + y−2 = 7
21,
y+5 + x−2 = 7
⇒ ĐS:
⇒ x+5 + y −2 =
y+5 + x−2 ⇔ x = y
( x; y ) = ( 11;11)
2x + y +1 − x + y = 1
3x + 2 y = 4
22,
u = 2 x + y + 1 ≥ 0
- Đặt
v = x + y ≥ 0
u − v = 1
u = 2
⇒ 2 2
⇒
∨
u + v = 5 v = 1
u = −1
v = −2
- Đáp số: ( x; y ) = ( 2; −1)
2 xy
x+
= x2 + y
3 2
x − 2x + 9
23,
2 xy
y +
= y2 + x
3
y2 − 2 y + 9
⇒ ĐS:
•
( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 1;1) }
BTVN NGÀY 16-05
Page 10 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
13
ĐS: x ∈ ∪ −∞; − ∪ [ 3; ∞ )
6
1, ( x − 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9
2,
ĐS: x ∈ [ 4;5] ∪ [ 6;7]
x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x
1 − 1 − 4 x2
4x
<3⇔
< 3 ⇔ 3 1 − 4 x2 > 4 x − 3
3,
2
x
1+ 1− 4x
4, 3 x +
3
2 x
< 2x +
1 1
ĐS: x ∈ − ; \ { 0}
2 2
1
1
− 7 → t = 2x +
≥2
2x
2x
ĐS: x ∈ 0;
8−3 7 1 8+3 7
;∞÷
÷∪ ;1÷∪
÷
2 ÷ 4 2
x ∈ ( 0; ∞ )
5,
x +1 > 3− x + 4
6,
5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x → t = x 2 + 2 x
ĐS: x ∈ ( 1; ∞ ) ∪ ( −∞; −3) \ −1 ± 2 2
7,
8x2 − 6x + 1 − 4x + 1 ≤ 0
1 1
ĐS: x ∈ ; ∞ ÷∪
2 4
8,
2 x − 1 + 3x − 2 < 4 x − 3 + 5 x − 4
- Điều kiện: x >
ĐS:
{
}
4
5
- ( *) ⇔ 3 x − 2 − 4 x − 3 < 5 x − 4 − 2 x − 1 ⇔
3 ( x − 1)
1− x
<
3x − 2 + 4 x − 3
5x − 4 + 2 x −1
Nếu x ≤ 1 ⇒ VT ≥ 0 ≥ VP : BPT vô nghiệm
Nếu x > 1 ⇒ VT < 0 < VP : BPT luôn đúng
- Đáp số: x ∈ ( 1; ∞ )
• BTVN NGÀY 18-05
Bài 1. Tìm tham số m để phương trình:
Page 11 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
1,
2,
4
x 2 + 1 − x = m có nghiệm
4
x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm
HDG:
1,
4
x 2 + 1 − x = m có nghiệm
- Điều kiện x ≥ 0
2
f t = 4 t +1 − 4 t = m
- Đặt t = x ≥ 0 , pt đã cho thành: ( )
PT đã cho có nghiệm thì f(t)=m có nghiệm t ≥ 0
⇔ 0 < m ≤1
2,
4
x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm
- Ta có:
4
x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 ⇔ 4 x 4 − 13 x + m = 1 − x
x ≤ 1
x ≤ 1
⇔ 4
4 ⇔
3
2
4 x − 6 x − 9 x = 1 − m, ( 1)
x − 13 x + m = ( 1 − x )
- PT đã cho có đúng 1 nghiệm ⇔ ( 1) có đúng 1 nghiệm thảo mãn x ≤ 1
3
2
⇔ đồ thị hàm số y = 4 x − 6 x − 9 x với x ∈ ( −∞;1] giao với đường thẳng y = 1 − m tại
đúng 1 điểm.
- Xét hàm y = 4 x − 6 x − 9 x với x ∈ ( −∞;1] , lập bảng biến thiên từ đó ta dẫn tới
đáp số của bài tốn là: 1 − m < −11 ⇔ m > 10
3
2
Bài 2. Tìm tham số m để bất phương trình:
m
(
)
x 2 − 2 x + 2 + 1 + x (2 − x) ≤ 0
có nghiệm
x ∈ 0;1 + 3
HDG:
Page 12 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
m
(
)
x 2 − 2 x + 2 + 1 + x (2 − x ) ≤ 0 có nghiệm x ∈ 0;1 + 3
- Đặt t = x 2 − 2 x + 2 , với x ∈ 0;1 + 3 ⇒ t ∈ [ 1; 2] . Hệ trở thành:
m ( t + 1) + 2 − t 2 ≤ 0 ⇔ m ≤
t2 − 2
= f ( t ) , ( *)
t +1
- BPT đã cho có nghiệm x ∈ 0;1 + 3 ⇔ ( *) có nghiệm t ∈ [ 1; 2]
⇔ m ≤ max f ( t ) ⇔ m ≤
[ 1;2]
2
3
Bài 3. Tìm tham số m để hệ phương trình:
2 x − y − m = 0
x + xy = 1 có nghiệm duy nhất
HDG:
2 x − y − m = 0
có nghiệm duy nhất
x + xy = 1
2 x − y − m = 0
y = 2x − m
⇔
x + xy = 1
x ( 2x − m) = 1− x
- Ta có:
y = 2x − m
y = 2x − m
⇔ x ≤ 1
⇔ x ≤ 1
2
2
x ( 2x − m) = ( 1− x)
f ( x ) = x − ( m − 2) x −1 = 0
- Hệ đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ f(x) có duy nhất một nghiệm nhỏ hơn hoặc
2
bằng 1, (*). Vì ∆ = ( m − 2 ) + 4 > 0, ∀m nên f(x) ln có 2 nghiệm phân biệt; do
đó (*) xảy ra khi và chỉ khi af ( 1) = 2 − m ≤ 0 ⇔ m ≥ 2
- Đáp số
Page 13 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hồng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
………………….Hết…………………
BT Viên mơn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 14 of 14
