Bí quyết giải phương trình lượng giác, kĩ thuật giải phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (825.28 KB, 50 trang )
HÀ NAM 8-2014
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
BÍ QUYẾT
LƯNG
GIÁC
THẠC SĨ. TRẦN MẠNH HÂN
- CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC
- CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC
- CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÌM HƯỚNG GIẢI.
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
1
I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin cos 1
cos 1 sin
x x
x x
x x
2 2
2 2
1 1
1 tan tan 1
cos cos
x x
x x
2 2
2 2
1 1
1 cot cot 1
sin sin
x x
x x
1
tan .cot 1 cot
tan
x x x
x
4 4 2 2
6 6 2 2
sin cos 1 2sin cos ;
sin cos 1 3 sin cos
x x x x
x x x x
3 3
3 3
sin cos (sin cos )(1 sin cos )
sin cos (sin cos )(1 sin cos )
x x x x x x
x x x x x x
II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Góc I Góc II Góc III Góc IV
sin
x
cos
x
tan
x
cot
x
III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
Hai cung đối nhau
cos( ) cos
x x
sin( ) sin
x x
tan( ) tan
x x
cot( ) cot
x x
Hai cung bù nhau
sin( ) sin
x x
cos( ) cos
x x
tan( ) tan
x x
cot( ) cot
x x
Hai cung phụ nhau
sin( ) cos
2
x x
cos( ) sin
2
x x
tan( ) cot
2
x x
cot( ) tan
2
x x
Hai cung hơn nhau
sin( ) sin
x x
cos( ) cos
x x
tan( ) tan
x x
cot( ) cot
x x
Hai cung hơn nhau
2
CÔNG TH
ỨC L
Ư
ỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
2
sin( ) cos
2
x x
cos( ) sin
2
x x
tan( ) cot
2
x x
cot( ) cot
2
x x
Với
k
là số nguyên thì ta có:
sin( 2 ) sin
x k x
cos( 2 ) cos
x k x
tan( ) tan
x k x
cot( ) cot
x k x
IV. CÔNG THỨC CỘNG
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
x y x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
x y x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
Đặc biệt:
TH1: Công thức góc nhân đôi:
2 2 2 2
2
sin 2 2sin cos
cos2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin
2 tan
tan 2
1 tan
x x x
x x x x x
x
x
x
Hệ quả: Công thức hạ bậc 2:
2 2
1 cos2 1 cos2
sin ;cos
2 2
x x
x x
TH2: Công thức góc nhân ba:
3
3
sin 3 3 sin 4 sin
cos 3 4 cos 3 cos
x x x
x x x
V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG
cos cos 2 cos cos
2 2
x y x y
x y
cos cos 2 sin cos
2 2
x y x y
x y
sin sin 2 sin cos
2 2
x y x y
x y
sin sin 2 cos sin
2 2
x y x y
x y
1
cos cos cos( ) cos( )
2
x y x y x y
1
sin sin cos( ) cos( )
2
x y x y x y
1
sin cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
1
cos sin sin( ) sin( )
2
x y x y x y
Chú ý:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
3
2
sin sin
2
u v k
u v
u v k
2
cos cos
2
u v k
u v
u v k
tan tan
2
u v k
u v
u k
cot cot
u v k
u v
u k
Đặc biệt:
sin 0
sin 1 2
2
sin 1 2
2
x x k
x x k
x x k
cos 0
2
cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k
Chú ý:
Điều kiện có nghiệm của phương trình
sin
x m
và
cos
x m
là:
1 1
m
.
Sử dụng thành thạo câu thần chú " Cos đối - Sin bù - Phụ chéo" để đưa các phương trình dạng sau
về phương trình cơ bản:
sin cos sin sin
2
u v u v
cos sin cos cos
2
u v u v
sin sin sin sin( )
u v u v
cos cos cos cos( )
u v u v
Đối với phương trình
2
2
cos 1 cos 1
sin 1
sin 1
x x
x
x
không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4
phương trình cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào công
thức
2 2
sin cos 1
x x
để biến đổi như sau:
2
2
cos 1 sin 0
sin 2 0
cos 0
sin 1
x x
x
x
x
.
Tương tự đối với phương trình
2
2
2
2
1
cos
2 cos 1 0
2
cos2 0
1
1 2 sin 0
sin
2
x
x
x
x
x
.
Bài 1. Giải các phương trình sau
2
cos
4 2
x
2 sin 2 3 0
6
x
2 cos 2 0
3
x
3 tan 3
3
x
Hướng dẫn giải:
2 3
cos cos cos
4 2 4 4
x x
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
4
Ta xác định ở phương trình này
3
,
4 4
u x v
, nên dựa vào công thức nghiệm ta có
3
2
4 4
x k
hoặc
3
2
4 4
x k
.
Vậy nghiệm của phương trình là:
2
x k
;
2
2
x k
,
( )
k
.
2 sin 2 3 0
6
x
3
sin 2 sin 2 sin
6 2 6 3
x x
2 2
6 3 12
4 3
2 2
6 3 4
x k x k
x k x k
( )
k
.
2 cos 2 0
3
x
2
cos cos cos
3 2 3 4
x x
2
3 4
2
3 4
x k
x k
2
12
7
2
12
x k
x k
( )
k
.
3 tan 3
3
x
3
tan tan tan
3 3 3 6
x x
3 6
x k
6
x k
,
( )
k
.
Chú ý: Đối với phương trình
tan
x m
(
tan
x m
), trong đó
m
là hằng số thì điều kiện
cos 0
x
(
sin 0
x
) là không cần thiết.
Bài 2. Giải các phương trình sau
sin sin 2
4
x x
sin cos 2
6 4
x x
tan 3 tan
4 6
x x
cot 2 tan 0
4 6
x x
Hướng dẫn giải:
sin sin 2
4
x x
2 2
4
2 2
4
x x k
x x k
2
4
2
4 3
x k
x k
,
( )
k
.
PT
2
cos 2 cos
4 3
x x
2
2 2
4 3
2
2 2
4 3
x x k
x x k
5 2
36 3
11
2
12
x k
x k
.
Do PT có dạng
tan tan
u v
nên ta chỉ cần một điều kiện
cos 0
u
hoặc
cos 0
v
. Để đơn
giản ta chọn điều kiện:
cos 0
6 6 2 3
x x k x k
. Khi đó:
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
5
5
tan 3 tan 3
4 6 4 6 24 2
x x x x k x k
,
( )
k
.
Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác thu được nghiệm của PT:
5
24 2
x k
,
( )
k
.
Do có thể biến đổi PT về dạng
tan tan
u v
nên ta chỉ cần một điều kiện
cos 0
u
hoặc
cos 0
v
. Để đơn giản ta chọn điều kiện:
cos 0
6 6 2 3
x x k x k
.
PT
cot 2 tan
4 6
x x
3
tan tan 2
6 4
x x
3
2
6 4
x x k
11
36 3
x k
( )
k
.
Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác thu được nghiệm của PT:
11
36 3
x k
,
( )
k
.
Bài 3. Giải các phương trình sau
2
4 cos 2( 3 1)cos 3 0
x x
2
2 cos 5 sin 4 0
x x
2
3 tan (1 3) tan 1 0
x x
2 2
sin cos
4
x x
Hướng dẫn giải:
PT
1
cos
2
2
3
3
2
cos
6
2
x
x k
x k
x
( ).
k
PT
2
2(1 sin ) 5 sin 4 0
x x
(lo¹i)
(t/m)
2
sin 2
2 sin 5 sin 2 0
1
sin
2
x
x x
x
Vậy phương trình có nghiệm:
2
6
x k
và
5
2
6
x k
,
( )
k
.
PT
tan 1
1
tan
3
x
x
(lo¹i)
2
sin 2
2 sin 5 sin 2 0
1
sin
2
x
x x
x
Vậy phương trình có nghiệm:
2
6
x k
và
5
2
6
x k
,
( )
k
.
PT
1 cos 2
2
1 cos2
2 2
x
x
sin 2 cos 2
x x
tan 2 1
x
.
8 2
x k
Bài 4. Giải các phương trình sau
4 4
1
sin cos sin 2
2
x x x
4 4
sin cos 1 2 sin
2 2
x x
x
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
6
4 4
2(sin cos ) cos 2 0
2
x x x
6 6
sin cos cos 4
x x x
Hướng dẫn giải:
PT
2 2 2
1 1 1
1 2 sin cos sin 2 1 sin 2 sin2
2 2 2
x x x x x
2
sin 2 2 sin 2 3 0
x x
(lo¹i)
sin 2 1
sin 2 3
x
x
2 2
2
x k
,( ).
4
x k k
PT
2
1
1 sin 1 2 sin
2
x x
(lo¹i)
2
sin 0
sin 4 sin 0
sin 4
x
x x
x
( ).
x k k
PT
2
1
2 1 sin 2 sin 2 0
2
x x
2
sin 2 sin 2 2 0
x x
(lo¹i)
sin 2 1
sin 2 2
x
x
2 2
2
x k
,( ).
4
x k k
PT
2 2 2
1 3 sin cos 1 2 sin 2
x x x
2 2
3
1 sin 2 1 2 sin 2
4
x x
sin 2 0 2 ,( ).
2
x x k x k k
Bài 5. Giải các phương trình sau
4 4
sin cos sin cos 0
x x x x
6 6
2(sin cos ) sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
(A06)
4 2
1
cos sin
4
x x
2
(2 3)cos 2 sin ( )
2 4
1
2 cos 1
x
x
x
Hướng dẫn giải:
PT
2
1 1
1 sin 2 sin2 0
2 2
x x
2
sin 2 sin 2 2 0
x x
(lo¹i)
sin 2 1
sin 2 2
x
x
,( ).
4
x k k
(A-2006) Điều kiện:
2
4
2 2 sin 0 sin
3
2
2
4
x k
x x
x k
PT
6 6
2(sin cos ) sin cos 0
x x x x
2
3 1
2 1 sin 2 sin 2 0
4 2
x x
(lo¹i)
2
sin 2 1
3 sin 2 sin 2 4 0
4
sin 2
3
x
x x
x
4
x k
,
( ).
k
Kết hợp nghiệm ta thu được nghiệm của phương trình
5
2 .
4
x k
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
7
PT
4 2 4 2
1
cos 1 cos 4 cos 4 cos 3 0
4
x x x x
(lo¹i)
2
2
1
cos
2
3
cos
4
x
x
2
2 cos 1 0 cos 2 0 2
2 4 2
x x x k x k
,
( )
k
.
Điều kiện:
2 cos 1 2 .
3
x x k
PT
2
(2 3)cos 2 sin ( ) 2 cos 1
2 4
x
x x
3 cos 1 cos 1
2
x x
3 cos cos 0
2
x x
3 cos sin 0
x x
tan 3 ,( ).
3
x x k k
Bài 6. Giải các phương trình sau
sin 3 cos2 sin 0
x x x
(D-2013)
2
sin 5 2 cos 1
x x
(B-2013)
sin 4 cos 2 sin 2
x x x
(A-2014)
cos 3 cos 2 cos 1 0
x x x
(D-2006)
Hướng dẫn giải:
PT
sin 3 sin cos2 0
x x x
2 cos 2 sin cos2 0
x x x
cos 2 (2 sin 1) 0
x x
4 2
cos2 0
2
1
6
sin
2
7
2
6
x k
x
x k
x
x k
.
PT
sin 5 1 cos 2 1
x x
cos 2 sin 5 cos 2 sin 5
x x x x
2 5 2
2
cos2 cos 5
2
2 5 2
2
x x k
x x
x x k
2
6 3
( ).
2
14 7
x k
k
x k
PT
sin 4 cos 2 2 sin cos
x x x x
sin (1 2 cos ) 2(2 cos 1) 0
x x x
(sin 2)(1 2 cos ) 0
x x
(lo¹i)sin 2
2 .
1
3
cos
2
x
x k
x
PT
2
cos 3 cos cos2 1 0 2 sin 2 sin 2 sin 0
x x x x x x
sin (sin 2 sin ) 0
x x x
sin 0 sin 0
sin 2 sin 0 2 cos 1 0
x x
x x x
2
2
3
x k
x k
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
8
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình:
sin cos
a x b x c
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
C1: Đặt
2 2 2 2
cos , sin .
a b
a b a b
Khi đó
2 2
PT sin( ) ?
c
x x
a b
C2: Đặt
2 2 2 2
sin , cos .
a b
a b a b
Khi đó
2 2
PT cos( ) ?
c
x x
a b
Điều kiện có nghiệm của phương trình:
2 2 2
a b c
Chú ý: Khi phương trình có
a c
hoặc
b c
thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng
phép nhóm nhân tử chung.
Bài 1. Giải các phương trình sau
cos 3 sin 2
x x
2 sin 2 cos 6
x x
3 cos 3 sin 3 2
x x
sin cos 2 sin 5
x x x
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: Trong PT này ta xác định các hệ số
1, 3, 2
a b c
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
a b c
do đó phương trình này có nghiệm. Để giải PT ta cần chia cả hai vế cho
2 2 2 2
1 ( 3) 2
a b
.
PT
1 3 2
cos sin
2 2 2
x x
2
sin
6 2
x
2
12
7
2
12
x k
x k
PT
1 1 3
cos sin
2
2 2
x x
3
sin
4 2
x
2
12
5
2
12
x k
x k
PT
3 1 2
cos 3 sin 3
2 2 2
x x
2
sin 3
3 2
x
3
3 4
3
3 2
3 4
x k
x k
36 3
5 2
.
36 3
x k
x k
,
( )
k
.
PT
1 1
sin cos sin 5
2 2
x x x
sin sin 5
4
x x
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
9
5 2
4 16 2
3
5 2
4 8 3
x x k x k
x x k x k
.
Bài 2. Giải các phương trình sau
3 sin 2 sin 2 1
2
x x
( 3 1)sin ( 3 1)cos 3 1 0
x x
3
3 sin 3 cos 3 1 4 sin
x x x
2 6
cos7 3 sin 7 2 0, ;
5 7
x x x
Hướng dẫn giải:
PT
3 1 1
3 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos2
2 2 2
x x x x
1
sin 2
6 2
x
2 2
6 6
5
2 2
6 6
x k
x k
3
x k
x k
( )
k
.
PT
3 1 3 1 1 3
sin cos
8 8 8
x x
Nhận xét: Sử dụng máy tính 570ES PLUS ta bấm SHIFT SIN của
3 1
8
thu được
5
12
, tức là
5 3 1
sin
12
8
. Vậy ta có nên đưa phương trình về dạng
5 5 1 3
cos sin sin cos
12 12
8
x x
ngay lập tức hay chưa? Câu trả lời là chưa. Bởi vì kết quả
5
12
không phải giá trị cung lượng giác đặc
biệt có mặt trong SGK?Vì vậy ta nên làm như sau cho thuyết phục:
Ta có
5 2 3 2 1 3 1
sin sin sin cos cos sin . .
12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2
8
.
Nên PT
5 5 3 1
cos sin sin cos
12 12
8
x x
5 5
sin cos
12 12
x
5 7
sin cos
12 12
x
5
sin sin
12 12
x
5
2
12 12
5 13
2
12 12
x k
x k
Vậy phương trình có nghiệm:
2
2
x k
và
2
2
3
x k
,
( )
k
.
PT
sin 3 3 cos 3 1
x x
1 3 1
sin 3 cos 3
2 2 2
x x
1
sin 3
3 2
x
3 2
3 6
5
3 2
3 6
x k
x k
2
18 3
2
6 3
x k
x k
.
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
10
PT
3 1 2
sin 7 cos 7
2 2 2
x x
2
sin 7
6 2
x
7 2
6 4
3
7 2
6 4
x k
x k
5
7 2
12
11
7 2
12
x k
x k
5 2
84 7
11 2
84 7
x k
x k
( )
k
.
Nhận xét: Để tìm nghiệm
2 6
;
5 7
x
thực chất là ta phải chọn số nguyên
k
thỏa mãn
2 5 2 6
5 84 7 7
k
hoặc
2 11 2 6
5 84 7 7
k
tức là ta phải giải các bất phương trình
2 5 2 6
5 84 7 7
k
;
2 11 2 6
5 84 7 7
k
để tìm các miền giá trị của
k
rồi sau đó chọn
k
là số
nguyên.
KL: Vậy phương trình có các nghiệm thỏa mãn điều kiện là:
53
84
x
,
5
12
x
và
59
84
x
.
Ngoài ra, ta có thể không cần giải các BPT nghiệm nguyên ở trên bằng cách sử dụng 570ES PLUS
như sau:
- Trước tiên ta tìm khoảng gần đúng của
2 6
;
5 7
là
0, 4;0, 857
- Nhập biểu thức thứ nhất
5 2
84 7
X
vào máy tính (vì máy tính không có
k
nên ta coi
X
là
k
) rồi
CALC với các giá trị
0; 1; 2; 3
X
để kiểm tra xem có thỏa mãn hay không. Khi đó ta tìm
được
2
k
, ứng với nghiệm là
53
84
x
.
- Tương tự cho biểu thức thứ 2 thu được
1; 2
k k
, tương ứng với nghiệm
5
12
x
và
59
84
x
.
Bài 3. Giải các phương trình sau
cos 7 sin 5 3(cos 5 sin7 )
x x x x
tan 3 cot 4(sin 3 cos )
x x x x
3(1 cos 2 )
cos
2 sin
x
x
x
sin sin 2
3
cos cos 2
x x
x x
(CĐ2004)
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: Đối với PT dạng
sin cos
a x b x c
thì chúng ta có thể giải một cách dễ dàng bằng
cách chia cho
2 2
a b
. Nhưng nếu gặp dạng
sin cos sin cos
a mx b mx c nx d nx
trong
đó
2 2 2 2
a b c d
thì làm thế nào? Cứ bình tĩnh quan sát nhé! Chúng ta nhận thấy mỗi vế của
phương trình đều có dạng bậc nhất của sin và cos, ta thử chia mỗi vế cho
2 2
a b
, rất may
2 2 2 2
a b c d
. Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế sao cho mỗi vế có cùng một cung. Từ đó
ta có lời giải như sau:
PT
cos 7 3 sin 7 sin 5 3 cos 5
x x x x
1 3 1 3
cos7 sin7 sin5 cos 5
2 2 2 2
x x x x
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
11
sin 7 sin 5
6 3
x x
7 5 2
6 3
2
7 5 2
6 3
x x k
x x k
12
24 6
x k
x k
Điều kiện:
sin 0
sin 2 0 .
cos 0
2
x
x x k
x
PT
2 2
sin 3 cos
4(sin 3 cos )
sin cos
x x
x x
x x
sin 3 cos
(sin 3 cos ) 4 0
sin cos
x x
x x
x x
sin 3 cos 0
sin 3 cos 2 sin 2
x x
x x x
tan 3
sin sin 2
3
x
x x
Giải và kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được:
; 2 ;
3 3
x k x k
2 2
9 3
x k
,
( )
k
.
Điều kiện:
sin 0
x x k
PT
sin 2 3 cos 2 3
x x
3
sin 2
3 2
x
2 2
3 3
2
2 2
3 3
x k
x k
(lo¹i)
6
x k
x k
. Vậy phương trình có nghiệm:
,( )
6
x k k
.
Điều kiện:
2
cos cos 2 0 2 2
3
x x x x k x k
PT
sin sin 2 3(cos cos2 )
x x x x
sin 3 cos sin 2 3 cos2
x x x x
1 3 1 3
sin cos sin 2 cos 2
2 2 2 2
x x x x
sin sin 2
3 3
x x
2
5 2
9 3
x k
x k
( )
k
.
Vậy phương trình có nghiệm:
5 2
2 ;
9 3
x k x k
.
Bài 4. Giải các phương trình sau
1
cos 3 sin
cos
x x
x
1 tan 2 2 sin
4
x x
(A2013)
3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0
x x x x
(D09)
6
4 sin 3 cos 6
4 sin 3 cos 1
x x
x x
Hướng dẫn giải:
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
12
Điều kiện:
cos 0 .
2
x x k
PT
2
cos 3 sin cos 1
x x x
cos 2 3 sin 2 1
x x
1 3 1
cos2 sin 2
2 2 2
x x
2 2
1
6 6
sin 2
5
6 2
2 2
6 6
x k
x
x k
(t/m)
(t/m)
3
x k
x k
( )
k
.
Vậy phương trình có nghiệm:
;
3
x k x k
.
Điều kiện:
cos 0 .
2
x x k
PT
sin
1 2(sin cos )
cos
x
x x
x
1
(sin cos ) 2 0
cos
x x
x
tan 1
1
cos
2
x
x
Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của PT:
; 2
4 3
x k x k
,
( )
k
.
PT
3 cos5 (sin 5 sin ) sin 0
x x x x
3 cos 5 sin 5 2 sin
x x x
sin 5 sin
3
x x
5 2
3
5 2
3
x x k
x x k
18 3
6 4
x k
x k
,
( )
k
.
Vậy phương trình có nghiệm:
;
18 3 6 4
x k x k
.
Đặt
4 sin 3 cos 1
t x x
,
( 0)
t
PT
6
1 6
t
t
2
1
7 6 0
6
t
t t
t
+ Với
1
t
ta có
4 sin 3 cos 0
x x
4 3
sin cos 0
5 5
x x
cos sin sin cos 0
x x
sin 0
x
x k
.
+ Với
6
t
ta có
4 sin 3 cos 5
x x
4 3
sin cos 1
5 5
x x
cos sin sin cos 1
x x
sin 1
x
2
2
x k
.
Vậy phương trình có nghiệm:
2 ; 2
2
x k x k
trong đó
3
sin
5
và
cos
5
.
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình:
2 2
sin sin cos .cos 0
a x b x x c x d
Cách giải:
Cách 1: + Xét
cos 0
x
có là nghiệm phương trình không?
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
13
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được:
2 2
tan tan (1 tan ) 0 tan
a x b x c d x x x
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với
sin 2
x
và
cos2
x
(dạng 1).
Bài 1. Giải các phương trình sau
2 2
2 sin sin cos 3 cos 0
x x x x
2 2
2 sin 3 sin cos cos 0
x x x x
2 2
sin 10 sin cos 21 cos 0
x x x x
2 2
2 sin 5 sin cos 3 cos 0
x x x x
Hướng dẫn giải:
2 2
2 sin sin cos 3 cos 0
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
2
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
2 0
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được:
2
tan 1
2 tan tan 3 0
3
tan
2
x
x x
x
4
3
arctan
2
x k
x k
( )
k
.
Cách 2: PT
2(1 cos2 ) sin 2 3(1 cos 2 ) 0
x x x
sin 2 5 cos 2 1
x x
Đặt
tan
t x
khi đó
2
2 2
2 1
sin 2 ; cos2
1 1
t t
x x
t t
. Phương trình trở thành
2
2 3 0
t t
1
3
2
t
t
.
2 2
2 sin 3 sin cos cos 0
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
2
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
2 0
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được:
2
tan 1
2 tan 3 tan 1 0
1
tan
2
x
x x
x
4
1
arctan
2
x k
x k
( )
k
.
2 2
sin 10 sin cos 21 cos 0
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
2
sin 1
x
): Khi đó phương trình trở thành
1 0
nên
cos 0
x
không t/m.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được:
2
tan 3
tan 10 tan 21 0
tan 7
x
x x
x
arctan 3
arctan 7
x k
x k
( )
k
.
2 2
2 sin 5 sin cos 3 cos 0
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
2
sin 1
x
): Khi đó phương trình trở thành
2 0
nên
cos 0
x
không t/m.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được:
2
tan 1
2 tan 5 tan 3 0
3
tan
2
x
x x
x
4
3
arctan
2
x k
x k
( )
k
.
Bài 2. Giải các phương trình sau
2 2
sin (1 3)sin cos 3 cos 0
x x x x
2 2
3 sin 4 sin 2 4 cos 0
x x x
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
14
2 2
3 sin 4 sin cos 5 cos 2
x x x x
2 2
3 sin 4 sin 2 (8 3 3)cos 3
x x x
Hướng dẫn giải:
2 2
sin (1 3)sin cos 3 cos 0
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
2
sin 1
x
): Khi đó phương trình trở thành
1 0
nên
cos 0
x
không t/m.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được:
2
tan 1
tan (1 3) tan 3 0
tan 3
x
x x
x
4
3
x k
x k
( )
k
.
PT
2 2
3 sin 8 sin cos 4 cos 0
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
2
sin 1
x
): Khi đó phương trình trở thành
3 0
nên
cos 0
x
không t/m.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được:
2
tan 2
3 tan 8 tan 4 0
2
tan
3
x
x x
x
arctan( 2)
2
arctan
3
x k
x k
( )
k
.
2 2
3 sin 4 sin cos 5 cos 2
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
2
sin 1
x
): Khi đó phương trình trở thành
3 2
nên
cos 0
x
không t/m.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được:
2 2
tan 1
3 tan 4 tan 5 2(1 tan )
tan 3
x
x x x
x
4
arctan 3
x k
x k
( )
k
.
PT
2 2
3 sin 8 sin cos (8 3 3)cos 3
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
2
sin 1
x
): Khi đó phương trình trở thành
3 3
nên
cos 0
x
thỏa mãn.
Tức là
2
x k
là nghiệm của phương trình.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được:
2 2
3 tan 8 tan 8 3 3 3(1 tan ) tan 3
x x x x
3
x k
( )
k
.
Vậy phương trình có nghiệm:
, .
2 3
x k x k
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình:
3 3 2 2
a sin cos sin cos cos sin sin cos 0
x b x c x x d x x e x f x
Cách giải:
+ Xét
cos 0
x
có là nghiệm phương trình không?
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
với chú ý:
2
2
1
1 tan
cos
x
x
.
Bài 1. Giải các phương trình sau
3
sin 4 sin cos 0
x x x
3
2 sin cos
x x
3
2 cos sin 3
x x
3 3
4 cos 2 sin 3 sin 0
x x x
Hướng dẫn giải:
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
15
3
sin 4 sin cos 0
x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
3 0
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
2 3 2
tan (1 tan ) 4 tan (1 tan ) 0
x x x x
3 2
3 tan tan tan 1 0
x x x
2
(tan 1)(3 tan 2 tan 1) 0
x x x
tan 1
x
4
x k
( )
k
.
Nhận xét: Khi giải phương trình bậc 3 các em thường bấm máy tính để ra nghiệm ngay, nên các em
biến đổi phương trình
3 2
3 1 0
t t t
1
t
. Như thế liệu đã đầy đủ chưa? Câu trả lời là
chưa đủ vì chúng ta không hề học công thức nghiệm phương trình bậc 3. Các em cần phải phân tích
thành nhân tử trước khi đưa ra nghiệm. Vậy làm thế nào để phân tích nhanh nhất?
Bước 1: Dùng máy tính 570ES PLUS thu được nghiệm như sau
1
t
,
1
0, 47
3
t i
(1 nghiệm
thực và 2 nghiệm phức). Chú ý đến số
1
3
nhé!
Bước 2: Viết nhân tử: do PT có nghiệm
1
t
nên có một nhân tử
( 1)
t
, vậy nhân tử còn lại là gì?
Dựa vào hệ số đầu tiên và cuối cùng trong phương trình bậc 3 ta thu được hệ số đầu tiên và cuối cùng
của nhân tử còn lại, tức là có nhân tử nữa
2
(3 1)
t Bt
. Để tìm
B
ta dựa vào phần thực của
nghiệm phức còn lại
1
3 2
B
A
từ đó suy ra
2
B
. Vậy ta lập tức phân tích phương trình thành
2
( 1)(3 2 1) 1
t t t t
.
3
2 sin cos
x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
2 0
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
3 2
2 tan 1 tan
x x
3 2
2 tan tan 1 0
x x
2
(tan 1)(2 tan tan 1) 0
x x x
tan 1
x
4
x k
( )
k
.
3 3 3
2 cos sin 3 2cos 3 sin 4 sin
x x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
0 1
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
2 3
2 3 tan (1 tan ) 4 tan
x x x
3
tan 3 tan 2 0
x x
2
(tan 1) (tan 2) 0
x x
tan 1
tan 2
x
x
4
arctan( 2) .
x k
x k
( )
k
.
Nhận xét: Khi bấm máy tính giải phương trình
3
3 2 0
t t
, chúng ta thu được 2 nghiệm
1, 2
t t
. Khi đó phân tích phương trình thành
3
3 2 ( 1)( 2)
t t t t
. Như thế liệu đầy
đủ chưa? Các em hãy để ý bậc ở hai vế để tự đưa ra câu trả lời nhé. Như vậy là đa thức này còn có 1
nhân tử nữa, theo các em nhân tử này là
1
t
hay
2
t
. Câu trả lời là
1
t
, vì sao lại như vậy?
Rất dễ dàng thôi nhân tử thứ ba này là
2
t
thì số hạng tự do của đa thức ban đầu phải là
4
,
không ổn rồi. Vậy kết quả là
3 2
3 2 ( 1)( 2)(t 1) (t 1) ( 2)
t t t t t
.
3 3
4 cos 2 sin 3 sin 0
x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
1 0
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
3 2
4 2 tan 3 tan (1 tan ) 0
x x x
3
tan 3 tan 4 0
x x
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
16
2
(tan 1)(tan tan 4) 0
x x x
tan 1
x
4
x k
( )
k
.
Bài 2. Giải các phương trình sau
3
sin sin 2 sin 3 6 cos
x x x x
3 3
cos sin sin cos
x x x x
3
6 sin 2 cos 5 sin2 cos
x x x x
3 2
cos sin 3 sin cos 0
x x x x
Hướng dẫn giải:
3 2 3 3
sin sin 2 sin 3 6 cos 2 sin cos 3 sin 4 sin 6 cos
x x x x x x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
1 0
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
2 2 3
2 tan 3 tan (1 tan ) 4 tan 6
x x x x
3 2
tan 2 tan 3 tan 6 0
x x x
2
(tan 2)(tan 3) 0
x x
tan 1
tan 3
tan 3
x
x
x
4
3
3
x k
x k
x k
( )
k
.
PT
3 3
cos sin sin cos 0
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
2 0
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
3 2
1 tan (tan 1)(1 tan ) 0
x x x
3 3 2
1 tan (tan tan tan 1) 0
x x x x
2
tan tan 0
x x
tan 0
tan 1
x
x
4
x k
x k
( )
k
.
3
6 sin 2 cos 5 sin2 cos
x x x x
3 2
6 sin 2 cos 10 sin cos
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
6 0
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
2
6 tan (1 tan ) 2 10 tan
x x x
3
6 tan 4 tan 2 0
x x
2
(tan 1)(6 tan 6 tan 2) 0
x x x
tan 1
x
4
x k
( )
k
.
3 2
cos sin 3 sin cos 0
x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
1 0
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
2 2
1 tan (1 tan ) 3 tan 0
x x x
3
2 tan tan 1 0
x x
2
(tan 1)(2 tan 2 tan 1) 0
x x x
tan 1
x
4
x k
( )
k
.
Bài 3. Giải các phương trình sau
3 3 2
cos 4 sin 3cos sin sin 0
x x x x x
1 3 tan 2 sin 2
x x
3 1
2 sin 2 3 cos
cos sin
x x
x x
2 2
tan sin 2sin 3(cos2 sin cos )
x x x x x x
Hướng dẫn giải:
3 3 2
cos 4 sin 3cos sin sin 0
x x x x x
+ Xét
cos 0
x
(tức
sin 1
x
): Khi đó PT trở thành
1 0
nên
cos 0
x
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0
x
, chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
17
3 2 2
1 4 tan 3 tan tan (1 tan ) 0
x x x x
3 2
3 tan 3 tan tan 1 0
x x x
2
(tan 1)(3 tan 1) 0
x x
tan 1
3
tan
3
3
tan
3
x
x
x
4
6
6
x k
x k
x k
( )
k
.
Điều kiện:
cos 0
x
. Khi đó phương trình trở thành:
2
cos 3 sin 4 sin cos
x x x x
Chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
2
(1 3 tan )(1 tan ) 4 tan
x x x
3 2
3 tan tan tan 1 0
x x x
2
(tan 1)(3 tan 2 tan 1) 0
x x x
tan 1
4
x x
(t/m),
( )
k
.
Điều kiện:
cos 0
x
. PT trở thành:
2 2
2 sin cos 2 3 cos sin 3 sin cos
x x x x x x
Chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
2 2
2 tan 2 3 tan ( 3 tan 1)(tan 1)
x x x x
3 2
3 tan tan 3 tan 1 0
x x x
2
(tan 1)( 3 tan 1) 0
x x
tan 1
tan 1
3
tan
3
x
x
x
4
4
6
x k
x k
x k
(t/m),
( )
k
.
Điều kiện:
cos 0
x
. PT trở thành:
3 2 3 2
sin 2 sin cos 3(2 cos sin cos cos )
x x x x x x x
Chia hai vế phương trình cho
3
cos
x
ta được:
3 2 2
tan 2 tan 3(2 tan 1 tan )
x x x x
3 2
tan tan 3 tan 3 0
x x x
2
(tan 1)(tan 3) 0
x x
tan 1
tan 3
tan 3
x
x
x
4
3
3
x k
x k
x k
(t/m),
( )
k
.
Bài 4. Giải các phương trình sau
3 3 2 2
cos sin cos sin
x x x x
3 3
cos sin cos 2
x x x
6 6 2
13
cos sin cos 2
8
x x x
4 4
7
sin cos cot cot
8 3 6
x x x x
Hướng dẫn giải:
PT
3 3 2 2
cos sin cos sin
x x x x
(cos sin )(1 sin cos cos sin ) 0
x x x x x x
cos sin (1)
1 sin cos sin cos 0 (2)
x x
x x x x
Giải (1):
cos cos 2
2 2 4
x x x x k x k
.
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
18
Giải (2): Đặt
sin cos
t x x
2
1
sin cos
2
t
x x
. Khi đó (2)
2
2 ( 1) 2 0
t t
2
2 1 0 1
t t t
1
sin cos 1 sin
4
2
x x x
2
2
4 4
3
2
2
2
4 4
x k
x k
x k
x k
( )
k
.
Vậy phương trình có nghiệm:
; 2 ; 2 ( ).
4 2
x k x k x k k
PT
2 2
(cos sin )(1 sin cos ) cos sin
x x x x x x
(cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0
x x x x x x
sin cos 0 tan 1
4
x x x x k
1 sin cos sin cos 0
x x x x
Đặt
sin cos
t x x
2
1
sin cos
2
t
x x
ta có:
2
2 1 2 0 1
t t t
1
sin cos 1 sin
4
2
x x x
2
2
4 4
3
5
2
2
2
4 4
x k
x k
x k
x k
Vậy phương trình có nghiệm:
3
; 2 ; 2 ( ).
4 2
x k x k x k k
PT
2 2 4 4 2 2 2
13
(cos sin )(cos sin sin cos ) cos 2
8
x x x x x x x
2 2 2
13
cos 2 (1 sin cos ) cos 2
8
x x x x
2
1 13
cos 2 1 sin 2 cos2 0
4 8
x x x
cos 2 0 2
2 4 2
x x k x k
2
8 2 sin 2 13 cos2 0
x x
2
2 cos 2 13 cos2 6 0
x x
1
cos 2
2
x
,
cos2 6
x
(loại)
6
x k
.
Vậy phương trình có nghiệm:
; ( ).
4 2 6
x k x k k
Điều kiện:
2
sin sin 0 sin cos 0 sin 2 0
3 6 3 3 3
x x x x x
2 2
7
1 2 sin cos
8
x x
2 2
1 7 1
1 sin 2 sin 2
2 8 4
x x
1
sin 2
2
x
Vậy phương trình có nghiệm:
5 7
; ; ; ( ).
12 12 12 12
x k x k x k x k k
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
19
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình:
(sin cos , sin cos ) 0
f x x x x
Cách giải:
+ Đặt
2
1
sin cos sin cos
2
t
t x x x x
+ Đặt
2
1
sin cos sin cos
2
t
t x x x x
. Đưa về phương trình ẩn
t
.
Chú ý: Nếu
sin cos 2 sin
4
t x x x
thì
2 2
t
.
Bài 1. Giải các phương trình sau
2(sin cos ) sin 2 1 0
x x x
sin cos 6(sin cos 1)
x x x x
sin 2 2 sin( ) 1
4
x x
tan 2 2 sin 1
x x
Hướng dẫn giải:
2(sin cos ) sin 2 1 0
x x x
2(sin cos ) 2 sin cos 1 0
x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
Phương trình trở thành:
2
2 ( 1) 1 0
t t
(t/m)
(lo¹i)
2
0
2 0
2
t
t t
t
Khi đó
sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
Vậy phương trình có nghiệm:
sin cos 6(sin cos 1)
x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
Phương trình trở thành:
(t/m)
(lo¹i)
2 2
1
1 12( 1) 12 13 0
13
t
t t t t
t
Vì vậy
1
sin cos 1 sin
4
2
x x x
Vậy phương trình có nghiệm:
; 2 ( ).
2
x k x k k
sin 2 2 sin( ) 1 2sin cos sin cos 1
4
x x x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
Phương trình trở thành:
(t/m)
(t/m)
2 2
0
1 1 0
1
t
t t t t
t
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
20
sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
2
1
sin cos 1 sin
2
4
2
2
x k
x x x
x k
Vậy phương trình có nghiệm:
; 2 ; 2 ( ).
4 2
x k x k x k k
tan 2 2 sin 1 sin cos 2 2 sin cos 0
x x x x x x
(
cos 0
x
)
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
PT trở thành:
(t/m)
(t/m)
2 2
2
2(1 ) 0 2 2 0
2
2
t
t t t t
t
5
2
2 1
12
sin cos sin
13
2 4 2
2
12
x k
x x x
x k
sin cos 2 sin 1 2
4 4
x x x x k
Kết hợp với điều kiện, PT có nghiệm:
5 13
2 ; 2 ; 2 ( ).
12 12 4
x k x k x k k
Bài 2. Giải các phương trình sau
1
1 tan 2 sin
cos
x x
x
2 2
sin cos
tan cot
x x
x x
1 1 10
sin cos
sin cos 3
x x
x x
2 sin cot 2 sin 2 1
x x x
Hướng dẫn giải:
1
1 tan 2 sin cos sin 2 sin cos 1
cos
x x x x x x
x
,
cos 0
x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
PT trở thành:
(t/m)
(t/m)
2 2
1
( 1) 1
0
t
t t t t
t
sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
2
1
sin cos 1 sin
4
2
2
2
x k
x x x
x k
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
21
Vậy phương trình có nghiệm:
; 2 ; 2 ( ).
4 2
x k x k x k k
Điều kiện:
sin 0
cos 0
x
x
. Khi đó:
PT
2 2
cos sin
sin cos 2 (sin cos )(sin cos 2 sin 2 cos ) 0
sin cos
x x
x x x x x x x x
x x
sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
(t/m)
sin cos 2sin 2 cos 0
x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
PT trở thành:
(lo¹i)
(lo¹i)
2 2
2 5
(1 ) 4 0 4 1 0
2 5
t
t t t t
t
Vậy phương trình có nghiệm:
( ).
4
x k k
Điều kiện:
sin 0
cos 0
x
x
.
PT
sin cos 10
sin cos
sin cos 3
x x
x x
x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
PT trở thành:
3 2
3 10 3 10 0
t t t
2
2 19
( 2)(3 4 5) 0
3
t t t t
Khi đó
2 19
sin cos
3
x x
2 19
sin sin
4
3 2
x
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là:
3
2 ; 2 ( ).
4 4
x k x k k
Điều kiện:
sin 0
x
PT
2 2
2 sin cos 4 sin cos sin
x x x x x
2
sin (2sin 1) cos (4 sin 1)
x x x x
(2 sin 1) cos (2 sin 1) sin 0
x x x x
t/m
2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
2 sin cos (sin cos ) 0
x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
22
PT trở thành:
(t/m)
(lo¹i)
2 2
1 5
2
(1 ) 0 1 0
1 5
2
t
t t t t
t
Khi đó
1 5
sin cos
2
x x
1 5
sin sin
4
2 2
x
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là:
5
2 ; 2
6 6
x k x k
;
2 ;
4
x k
5
2 ( ).
4
x k k
Bài 3. Giải các phương trình sau
3 3
sin cos 2 sin cos sin cos
x x x x x x
3 3
1 sin cos sin 2
x x x
2 sin cos tan cot
x x x x
(1 sin )(1 cos ) 2
x x
Hướng dẫn giải:
PT
(sin cos )(1 sin cos ) 2sin cos sin cos
x x x x x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
PT trở thành:
2 2
(2 1) 2( 1) 2
t t t t
(t/m)
(t/m)
(lo¹i)
1
( 1)( 1)( 2) 0 1
2
t
t t t t
t
2
1
sin cos 1 sin
4
2
2
2
x k
x x x
x k
2
1
sin cos 1 sin
2
4
2
2
x k
x x x
x k
Kết hợp nghiệm ta thu được:
; ( ).
2
x k x k k
Chú ý: Ở đây hai họ nghiệm
2
x k
và
2
x k
được gộp thành họ nghiệm
x k
. Còn
hai họ nghiệm
2
2
x k
và
2
2
x k
được gộp thành họ nghiệm
2
x k
.
PT
1 (sin cos )(1 sin cos ) 2 sin cos
x x x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
PT trở thành:
2 2
2 (2 1 ) 2(1 )
t t t
(t/m)
(t/m)
(lo¹i)
1
( 1)( 3) 0 0
3
t
t t t t
t
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
23
2
1
sin cos 1 sin
2
4
2
2
x k
x x x
x k
sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
Vậy phương trình có nghiệm là:
2 ; 2 ; ( ).
2 4
x k x k x k k
Điều kiện:
sin 0
cos 0
x
x
. Phương trình
1
2(sin cos )
sin cos
x x
x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
PT trở thành:
2
2
2
1
t
t
3
2 2 2 0
t t
2
( 2 2)( 2 1) 0 2
t t t t
Khi đó
sin cos 2
x x
sin 1 2
4 4
x x k
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là:
2 ( ).
4
x k k
(1 sin )(1 cos ) 2
x x
sin cos sin cos 1
x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
PT trở thành:
2
1 2 2
t t
2
2 3 0
t t
(t/m)
(lo¹i)
1
3
t
t
Khi đó
2
1
sin cos 1 sin
4
2
2
2
x k
x x x
x k
Vậy phương trình có nghiệm là:
2 ; 2 ( ).
2
x k x k k
Bài 4. Giải các phương trình sau
sin cos sin cos 1
x x x x
2 2
(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin2
x x x x x
2 sin 2 (sin cos ) 2
x x x
sin cos 4 sin 2 1
x x x
2 sin 2 3 6 sin cos 8 0
x x x
Hướng dẫn giải:
sin cos sin cos 1
x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
0 2
t
PT trở thành:
2
1 2 2
t t
2
2 3 0
t t
(t/m)
(lo¹i)
1
3
t
t
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam
24
2
1
sin cos 1 sin
4
2
2
2
x k
x x x
x k
2
1
sin cos 1 sin
2
4
2
2
x k
x x x
x k
Kết hợp nghiệm ta thu được:
; ( ).
2
x k x k k
PT
sin cos sin cos (sin cos ) 1 2 sin cos
x x x x x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
PT trở thành:
2 2
2 ( 1) 2 2( 1)
t t t t
3 2
2 0
t t t
2
0
( 1) 0
1
t
t t
t
2
1
sin cos 1 sin
4
2
2
2
x k
x x x
x k
sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
Vậy phương trình có nghiệm:
2 ; 2 ; ( ).
2 4
x k x k x k k
PT
2 2 sin cos (sin cos ) 2
x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
2 2
t
PT trở thành:
2
2 1 2
t t
3
2 2 2 0
t t
2
( 2 2)( 2 1) 0 2
t t t t
Khi đó
sin cos 2
x x
sin 1 2
4 4
x x k
Vậy phương trình có nghiệm là:
2 ( ).
4
x k k
PT
sin cos 8 sin cos 1
x x x x
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
2
1
sin cos
2
t
x x
0 2
t
PT trở thành:
2
4(1 ) 1
t t
2
4 3 0
t t
(t/m)
(lo¹i)
1
3
4
t
t
2
1
sin cos 1 sin
2
4
2
2
x k
x x x
x k
