Bài giảng Một số kĩ năng giải phương trình lượng giác

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trong các đề thi đại học những năm gần đây , đa số các bài toán về giải phương trình lượng giác đều rơi
vào một trong hai dạng :phương trình đưa về dạng tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu . Nhằm giúp
các bạn ôn thi có kết quả tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số kĩ năng quan trọng của dạng toán đó
I.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH
1, Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác : công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích ,
công thức hạ bậc ,…
Bài 1. Giải phương trình : sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1)
Giải
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 sin 6x sin x sin 5x sin 2x sin 4x sin 3x 0
7x 5x x 3x 7x 3x
2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cosx+1 0
2 2 2 2 2 2
k2
7x
x
sin 0
7
2
3x k2
cos 0 x ;k Z
2 3 3
2cosx+1 0
2
x k2
3
⇔ + + + + + =
 

 
⇔ + + = ⇔ =
 ÷
 
 
 
π


=
=




π π


⇔ = ⇔ = + ∈




=
π


= ± + π





*Lưu ý : Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu các
góc bằng nhau
Bài 2 . Giải phương trình :
3 3
2 3 2
cos3xcos x sin 3xsin x
8
−
− =
(2)
Giải
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 3 2
2 cos x cos4x cos2x sin x cos2x cos4x
2 2 8
2 3 2 2 3 2
cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x cos4x cos 2x
4 4
2 k
4cos4x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x k Z
2 16 2
−
⇔ + − − =
− −

⇔ + + − = ⇔ + =
π π
⇔ + + = − ⇔ = ⇔ = ± + ∈
*Lưu ý : Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng công
thức nhân 3
Bài 3 . Giải phương trình :
2 2
2cos 2x 3cos4x 4cos x 1
4
π
 
− + = −
 ÷
 
(3)
Giải
( )
( )
2 2
3 1 cos 4x 3cos4x 4cos x 1 sin 4x 3cos4x 2 2cos x 1
2
x k
1 3
12
sin 4x cos4x cos2x cos 4x cos2x ,k Z
k
2 2 6
x
36 3
π

 
⇔ + − + = − ⇔ + = −
 ÷
 
π

= + π

π
 
⇔ + = ⇔ − = ⇔ ∈

 ÷
π π
 

= +


1
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
2,Phương trình sử dụng một số biến đổi khác
Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử chung
nhanh nhất , sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2

2
sin x 1 cos x 1 cos x , cos x 1 sin x 1 sin x
cos2x cos x sin x cos x sin x
1 cos 2x sin 2x 2cos x(sin x cos x)
1 sin 2x sin x cos x
1 cos2x sin 2x 2sin x(sin x cos x)
1 sin 2x sin x cos x
sin x cos x
1 tan x
cos x
2 sin x
⊕ = − + = − +
= − +
+ + = +
⊕ + = +
− + = +
− = −
+
⊕ + =
⊕ sin x cos x
4
π
 
+ = +
 ÷
 
Bài 4 . Giải phương trình :
2sin x(1 cos2x) sin 2x 1 2cos x+ + = +
(4)
Giải

Cách 1 :
( ) ( ) ( )
2
4 2sin x2cos x 2sin x cos x 1 2cos x 2cos x 1 2sin x cos x 1 0⇔ + = + ⇔ + − =

1
cos x
2
sin 2x 1

= −

⇔

=

phần còn lại dành cho bạn đọc
Cách 2 :
( )
4 2sin xcos2x (1 sin 2x) 2(cos x sin x) 0⇔ − − − − =

( ) ( ) ( ) ( )
2
2sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2 cosx sin x 0⇔ − + − − − − =

( )
( )
2
cos x sin x 2sin x cos x 2sin x cos x sin x 2 0⇔ − + − + − =

( )
( )
2
cos x sin x 2sin x cos x 2cos x cos x sin x 0⇔ − − − + =
phần còn lại dành cho bạn đọc
Bài 5 .Giải phương trình :
cos2x 3sin 2x 5sin x 3cos x 3+ + − =
(5)
Giải
( )
2
5 (6sin x cos x 3cos x) (2sin x 5sin x 2) 0
3cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0
(2sin x 1)(3cos x sin x 2) 0
⇔ − − − + =
⇔ − − − − =
⇔ − − + =
Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản ( dành cho bạn đọc )
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm , điều quan trọng nhất của dạng này
là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại
nghiệm.
Ngoài ra , ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan , cot . Khi đó , có thể sử dụng một số công thức
2
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
( ) ( )
( ) ( )
sin a b sin b a
tan a tan b cota cotb=
cosa cosb cosa cosb

cos a b cos a b
tan a cot b tana-cotb=
cosa sin b cosa sin b
2
tan a cot a c
sin 2a
± ±
⊕ ± = ⊕ ±
− − +
⊕ + = ⊕
⊕ + = ⊕
( ) ( )
ot a tan a 2cot 2a
cos a b cos a b
1 tan a tan b 1 tan a tan b
cosa cosb cosa cosb
− =
− − +
⊕ + = ⊕ − =
Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức
Bài 6 . Giải phương trình :
2cos 4x
cot x tan x
sin 2x
= +
(6)
Giải .
ĐK :
sin x 0
k

cos x 0 sin 2x 0 x ,k Z
2
sin 2x 0
≠

π

≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈


≠

( )
x l
2cos4x 2cos 2x 2cos4x
6 cot x tan x cos4x cos2x ,l Z
l
sin 2x sin 2x sin 2x
x
3
= π


⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈
π

=

Kiểm tra điều kiện ta được
x l ,l Z

3
π
= ± + π ∈
Bài 7 . Giải phương trình :
( ) ( )
3 2
2
4cos x 2cos x 2sin x 1 sin 2x 2 sin x cos x
0
2sin x 1
+ − − − +
=
−
(7)
Giải .
ĐK :
2
k
2sin x 1 0 cos2x 0 x ,k Z
4 2
π π
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
7 4cos x sin x cos x 2cos x sin x cos x 2 sin x cos x 0
x m
4
2 sin x cos x cos x 1 2cosx 1 0 x m2 ,m Z
2

x m2
3
⇔ + − + − + =
π

= − + π


⇔ + − + = ⇔ = π ∈


π
= ± + π


Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm
m2
x ,m Z
3
π
= ∈
Bài 8. Giải phương trình :
2
3tan 3x cot 2x 2 tan x
sin 4x
+ = +
(8)
Giải
3
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882

ĐK :
cos3x 0
k
x
sin2x 0
6 3
,k Z
cos x 0
k
x
4
sin 4x 0
≠

π π

≠ +


≠
 
⇔ ∈
 
≠
π
 
≠




≠

(*)
( ) ( ) ( )
( )
2 2sin 2x cos x 2
8 2 tan 3x tan x tan3x cot 2x
sin 4x cos3x cos x cos3x sin 2x sin 4x
4sin 4xsin x 2cos2x cos x 2cos3x 4sin 4xsin x cos3x cos x 2cos3x
4sin 4xsin x cos3x cos x 8sin 2xcos2x sin x 2sin 2x sin x do (*)
cos2x
⇔ − + + = ⇔ + =
⇔ + = ⇔ + + =
⇔ = − ⇔ = −
⇔ =
1 1 1
x arccos m , m Z
4 2 4
−
 
− ⇔ = ± + π ∈
 ÷
 
nghiệm này thoả mãn ĐK
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2
3
1,cos3x cos2x cos x 1 0
2, 2 2 sin x cos x 1
12

3,(1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x
1 1
4,sin 2x sin x 2cot 2x
sin 2x 2sin x
5,sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0
x
6,tan x cos x cos x sin x 1 tan x tan
2
7,2 2cos x 3cos x si
4
+ − − =
π
 
− =
 ÷
 
− + = +
+ − − =
+ + − − =
 
+ − = +
 ÷
 
π
 
− − −
 ÷
 
( )
3 3

2 2
2
n x 0
2 cos x sin x
1
8,
tan x cot 2x cot x 1
1
9,cos x cos 2xcos3x sin x sin 2x sin 3x
2
10,sin x cos x cos2x tan x tan x
4 4
11,tan x tan 2x sin 3x cos 2x
x 7
12,sin x cos 4x sin 2x 4sin
4 2 2
x x
13,sin sin x cos sin
2 2
=
−
=
+ −
+ =
π π
   
− = + −
 ÷  ÷
   
+ = −

π
 
− = − −
 ÷
 
−
( )
2
2
2 3 3 2
x
x 1 2cos
4 2
14,2sin x cot x 2sin 2x 1
sin 3x
15,sin x cos3x sin x sin 3x cos x sin x sin 3x
3sin 4x
π
 
+ = −
 ÷
 
+ = +
+ + =
4