Phân loại và phương pháp giải một số bài toán dao động của sợi dây

LỜI CẢM ƠN

Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức
cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường cũng như trong
quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo: ThS. Lê Khắc Quynh
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt
nghiệp này.
Và em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người thân yêu,
bạn bè đã động viên khích lệ em rất nhiều để em có thể hoàn thành tốt khóa
luận của mình.
Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của
em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận được những đóng
góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng năm 2013
Sinh viên

Trần Phương Thúy


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ, chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo:
ThS. Lê Khắc Quynh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận
văn của các tác giả khác.
Nếu sai xót em hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày tháng năm 2013
Sinh viên

Trần Phương Thúy



MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là một ngành của triết học tự nhiên và khoa học tự nhiên.
Vật lý học có liên hệ chặt chẽ với các môn khoa học khác. Từ rất lâu phương
pháp Toán học đã được sử dụng trong Vật lý. Toán học là một công cụ để cho
Vật lý phát triển và đặc biệt là Vật lý lý thuyết. Các lý thuyết vật lý đã sử
dụng ngôn ngữ toán học để nhận được những công thức chính xác miêu tả các
đại lượng vật lý thu được những nghiên cứu chính xác hay những giá trị ước
lượng và tiên đoán những hệ quả. Những kết quả thí nghiệm hay thực nghiệm
của vật lý đều biểu hiện bằng các giá trị số. Càng đi sâu vào nghiên cứu ta
càng thấy toán học và vật lý càng có sự giao thoa với nhau.
Những Phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất đa
dạng bao gồm một khối lượng lớn các kiến thức thuộc các chuyên đề như:
Hàm thực, hàm biến phức, các phương trình vi phân, các phép biến đổi tích
phân, đại số tuyến tính…. Bộ môn Phương pháp toán lý là một ví dụ ta phải
dùng đến rất nhiều công thức toán học để giải về bài tập vật lý. Từ cơ sở là
các phương trình Vật lý toán cơ bản, ứng với từng loại phương trình chúng ta
đã xây dựng được một loạt các phương trình dao động như: Phương trình
sóng một chiều, phương trình dao động màng, phương trình truyên nhiệt…
Kiến thức toán này vô cùng cần thiết cho các bạn sinh viên tiếp thu, thực hành
cũng như nghiên cứu với các môn học khác trong khi học tại trường. Bên
cạnh những cơ sở lý thuyết là những bài tập vận dụng đòi hỏi sinh viên phải
hiểu sâu sắc, nắm chắc được kiến thức. Các dạng bài tập thì vô cùng phong
phú và đa dạng. Chính vì vậy, chúng ta cần phải làm thế nào tìm ra phương
pháp tốt nhất nhằm tạo cho mình niềm say mê yêu thích môn học này. Việc

làm này rất có lợi giúp các bạn sinh viên trong thời gian ngắn đã nắm được
các dạng bài tập, nắm được phương pháp giải và từ đó có thể phát triển hướng
1


tìm tòi lời giải mới cho các dạng bài tập tương tự. Được sự định hướng của
thầy giáo hướng dẫn ThS. Lê Khắc Quynh nên em quyết định chọn đề tài
“Phân loại và phương pháp giải một số bài toán dao động của sợi dây” để
nghiên cứu trong khóa luận tốt nghiệp của mình. Mong rằng đề tài này sẽ là
tài liệu tham khảo giúp cho các bạn sinh viên, đặc biệt là sinh viên mới bắt
đầu khi học về phương trình sóng một chiều và các bạn chuẩn bị thi đầu vào
cao học ngành Vật lý toán.
Mặc dù có sự yêu thích, với sự nỗ lực của bản thân trong việc tìm kiếm
và thu thập tài liệu. Cùng với sự giúp đỡ của thầy hướng dẫn trong khoảng
thời gian ngắn, lượng kiến thức của em còn hạn hẹp nên không tránh khỏi
những sai xót và hạn chế. Vì vậy em rất mong được sự góp ý của hội đồng xét
duyệt, của quý thầy cô và ý kiến của bạn đọc để luận văn càng ngày càng
hoàn thiện hơn. Những đóng góp của quý thầy cô và các bạn sẽ là hành trang
giúp em phát huy và sáng tạo trên con đường sự nghiệp sau này của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về phương trình dao
động sóng một chiều của sợi dây.
3. Giả thuyết khoa học
Dùng các phương pháp toán học để thiết lập và giải các bài tập về
phương trình dao động sóng một chiều của sợi dây.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về phương trình dao động sóng một chiều của sợi dây.
5. Phương pháp nghiên cứu
 Nghiên cứu lí luận:
- Vật lý lý thuyết.

- Phương pháp giải thích toán học.
- Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để hoàn thiện và
kiểm tra tính chính xác của lý thuyết.
2


 Thực hành
Giải các bài tập có liên quan theo các dạng đã chia.
6. Ý nghĩa của đề tài
Nếu những mục tiêu đó được thực hiện một cách hiệu quả thì sẽ mang
lại ý nghĩa rất lớn trong việc giúp sinh viên khoa Vật lý dễ dàng hơn trong
việc giải bài tập có liên quan tới dao động của sợi dây thuộc chuyên ngành
Vật lý lý thuyết.
7. Cấu trúc khóa luận
 Cơ sở lý thuyết
- Đại cương về phương trình vật lý toán cơ bản
- Thiết lập phương trình dao động cơ bản của sợi dây
 Phân loại và giải một số bài tập dao động của sợi dây:
- Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cô-si
- Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt
- Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt
- Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện tổng quát

3


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1. Đại cương về phương trình vật lý toán
Các phương trình mô tả sự biến thiên của các trường theo thời gian
thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa các hàm
chưa biết (hàm nhiều biến), các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập.
Cấp của đạo hàm là cấp cao nhất của hàm chưa biết có mặt trong phương
trình là cấp của phương trình.
Phương trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với
hàm chưa biết và đạo hàm riêng của nó.
Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với
hai biến số độc lập:
A

 2u
 2u
 2u
u
u

2
B

C
 D  E  Fu  Gx, y 
2
2
x
xy
y
x
y

(1-1)

với u  x, t ; A; B; C ; D; E; F ; G là những hằng số của hàm  x , y 
Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp ta có thể đưa phương trình (1-1) về
một trong ba dạng sau:
1) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó, thì ta có thể đưa phương
trình (1-1) trong miền ấy về dạng:
 2u  2u
u
u

 D1
 E1
 F1u  G1 ( , )
2
2





(1-2)

Phương trình này gọi là phương trình loại eliptic. Dạng đơn giản nhất
của phương trình là phương trình Lalapxơ:
2u 2u

0
 2 2

Nghĩa là: D1  E1  F1  G1  0
4

(1-3)


2) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì có thể đưa ra phương
trình (1-1) trong miền ấy về dạng:
2u 2u
u
u
 2  D2  E2
 F2u  G2 ( ,)
2
 



(1-4)

Phương trình này gọi là phương trình hipebolic. Dạng đơn giản nhất
của phương trình hipebolic là phương trình dao động của sợi dây:
 2u  2u

 G2 ( , )
 2  2

(1-5)

Nghĩa là: D2  E2  F2  0
3) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phương trình (1-1) có thể
đưa về dạng:
2u
u
u
 D3  E3  F3u  G3 ( ,)
2




(1-6)

Phương trình này gọi là phương trình parabolic nó có dạng đơn giản
nhất là phương trình truyền nhiệt:
2u
u
 E3  G3 (,)
2



(1-7)

Nghĩa là: D3  F3  0
Trong các phương trình (1-5) và (1-7) ta thường lấy một biến số là thời
gian, còn một biến số kia là tọa độ x , khi đó ta có phương trình dao động của
dây (hay phương trình sóng một chiều):
2

 2u
2  u

a
t 2
x 2

(1-8)

Phương trình truyền nhiệt:
2
u
2 u
a 2
t
x

(1-9)

Phương trình Lalapxơ:
2u 2u

0
x2 y2

5

(1-10)

Nhiều bài toán vật lí và kĩ thuật dẫn đến các phương trình này người ta
gọi chúng là những phương trình vật lí - toán cơ bản.
Các phương trình (1-8), (1,9), (1-10) đều có vô số nghiệm vì vậy ta
phải đặt thêm các điều kiện phụ để xác định nghiệm của chúng.
Các phương trình (1-8) và (1-9) xuất hiện khi các phương trình không
dừng (biến đổi theo thời gian t). Nếu quá trình đó xảy ra trong một khoảng
không gian x hữu hạn (dao động của sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt
trong thanh hữu hạn thì ta có hai loại điều kiện phụ sau:
1) Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t  0
2) Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không
gian. Bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện
ban đầu và điều kiện biên gọi là bài toán hỗn hợp, nếu quá trình xảy
ra trên cả khoảng vô hạn    x  , thì ta chỉ cần điều kiện ban
đầu. Bài toán gọi là bài toán Côsi (Cauchy)
Phương trình (1-10) không chứa thời gian, cả hai biến số x, y đều là
biến số không gian. Nó xuất hiện khi nghiên cứu các phương trình dừng. Để
xác định nghiệm, ta cần các điều kiện, vì vậy bài toán này gọi là bài toán biên.
Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên thường xuất phát do việc đo
đạc thực nghiệm trong vật lí và kĩ thuật nghĩa là mang tính chất gần đúng.
Những sai số nhỏ của các điều kiện đó sẽ kéo theo những sai số nhỏ của
nghiệm. Do đó, ta đòi hỏi nghiệm của bài toán đặt ra phải phụ thuộc liên tục
vào các điều kiện biên và điều kiện ban đầu. Các bài toán được thiết lập sao
cho nghiệm tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục và các điều kiện phụ, gọi là
bài toán được thiết lập đúng.
Trong đề tài này ta đi tìm hiểu phương trình dao động của dây (1-5) hay
(1-8)

6

1.2. Lập phương trình dao động của sợi dây
Bài toán: Xét sợi dây căng là T nghĩa là mỗi điểm của sợi dây có lực T
tác dụng theo phương tiếp tuyến với nó. Giả thiết sợi dây là đàn hồi, dao động
là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây và do đó căng T là như
nhau ở mọi tiết diện trong suốt quá trình dao động.
Giả sử trong trạng thái cân bằng, sợi dây nằm dọc theo trục x , còn dao
động xảy ra sao cho mỗi điểm của sợi dây đều di chuyển vuông góc với trục

x và nằm cùng một mặt phẳng chứa trục x. Lấy trên mặt phẳng này hệ tọa độ
Đềcác vuông góc x , u , trong đó u là kí hiệu độ lệch của dây khỏi vị trí cân
bằng. Trong quá trình dao động, u là hàm của hoành độ x và thời gian t,

u  (x, t) . Ta thiết lập phương trình cho u  ( x, t )

Hình 1. Biểu thức dao động của sợi dây
Xét đoạn dây từ x và x2 . Tách đoạn này ra khỏi sợi dây ở thời điểm t
1

và thay thế ở hai đầu bằng các lực căng T. Ta hãy xác định hình chiếu trên
trục u của các lực tác dụng lên phần đang xét của sợi dây.
Gọi  1 là góc giữa tiếp tuyến của sợi dây với trục x tại điểm x1,  2 là
góc tương ứng ở điểm x2 . Tổng hình chiếu của lực căng T sin 2  T sin1 (*)
Giả sử rằng ngoài tác dụng lên sợi dây song song và ngược chiều với trục u
(chẳng hạn trọng lượng của dây). Mật độ phân bố của lực ngoài dọc theo sợi

7


dây kí hiệu là  g ( x, t ) . Thành thử hợp lực tác dụng lên phần sợi dây đang
x2

xét là:

   g ( x, t )dx
x1

Trong đó    (x) là mật độ khối lượng chiều dài của sợi dây. Ta coi
dây là đồng chất nên  là hằng số.
2
Mặt khác, gia tốc của các điểm của sợi dây là u ' 'tt   u2 nên hợp lực

t

x2

quán tính trên phần đang xét của sợi dây là    u ' 'tt ( x, t )dx
x1

Do đó ở điểm t ta có đẳng thức:
x2

x2

   u ' 'tt ( x, t )dx  T (sin  2  sin 1 )    g ( x, t )dx
x1

(1-11)

x1

Ta đã biết:
u
u
x
sin  ( x ) 


2
x
1  tan 2  ( x )
 u 
1  
 x 
tan  ( x )

Do đó:

x2 2
 u

u
u
T (sin  2  sin 1 )  T 

  T  2 dx
x
x1
 x x  x2 x x  x1 

ở đây ta giả thiết là chiều dài của sợi dây không thay đổi trong suốt thời gian

dao động nên vi phân cung: ds  1  u'2x (x, t )dx  dx
Nghĩa là đại lượng u '2x ( x, t ) là đủ nhỏ để có thể thay 1  u'2x bằng 1 ta coi
u'2x có thể bỏ qua so với 1. Ở đây trong quá trình dao động, độ lệch pha của

sợi dây so với trục x luôn rất nhỏ. Vậy đẳng thức (1-11) có dạng:
x2

u''

tt

(x,t)  Tu' 'xx (x,t)  g(x,t)dx  0

x1

8


Bởi vì đẳng thức này có thể xảy ra đối với bất kì ( x1 , x2 ) của dây, cho
nên biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng không ở một điểm bất kì của dây
tại một thời điểm bất kì, nghĩa là có thể xảy ra đẳng thức:

u''tt (x, t)  Tu' 'xx (x, t)  g(x, t)  0
u' 'tt ( x, t )  a 2u' 'xx ( x, t )   g ( x, t )

Hay:
Trong đó a2 

T



(1-12)

là một hằng số dương

Phương trình dao động của sợi dây (1-12) là một phương trình vi phân
đạo hàm riêng hạng hai có hệ số là hằng số. Nó là một trong các phương trình
vật lý - toán đơn giản nhất.
Nếu không có ngoại lực tác dụng vào sợi dây thì g(x,t)  0 thì phương
trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của dây. Còn phương trình (1-12)
với g(x,t)  0 là không thuần nhất là mô tả dao động cưỡng bức của sợi dây.
Kết luận chương 1
Chương 1 đã tìm hiểu một cách khái quát lý thuyết cơ bản về dao động
sợi dây như việc xây dựng phương trình, xét các điều kiện dao động.

9


Chương 2
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY

Cơ sở để phân loại bài toán dao động của sợi dây của đề tài là dựa vào
vào kích thước sợi dây, trạng thái kích thích dao động và các điều kiện ban
đầu dao động của sợi dây.
Trong khuân khổ của đề tài khóa luận tốt nghiệp dựa trên các bài tập
hay gặp trong quá trình nghiên cứu các dạng bài tập ôn luyện thi đầu vào cao
học, em chia làm bốn dạng lớn bài tập về dao động của sợi dây:
1. Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cô-si

2. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt
3. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt
4. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện tổng quát
2.1. Dạng 1: Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Côsi.
Định nghĩa sợi dây vô hạn: Sợi dây vô hạn là sự trừu tượng hóa sợi dây
có chiều dài rất lớn,đến mức các nút không ảnh hưởng gì đến dao động của
sợi dây đang xét.
Tính chất: Dao động của sợi dây vô hạn không chịu ảnh hưởng của
điều kiện biên mà chỉ chịu ảnh hưởng của điều kiện ban đầu.
Sự xuất hiện dao động của sợi dây vô hạn có thể hình dung như sau: ở
thời điểm ban đầu nào đó t  0 sợi dây có một hình dạng nào đó
u( x, t ) t 0  u( x,0)  f ( x)

và mỗi điểm của sợi dây nhận một vận tốc ban đầu
u't x, t  t0  u't  x,0  F( x)

sau đó sợi dây tự nó chuyển động.
Hàm f (x) và F (x) phải xác định trên toàn bộ trục x

10


Thành thử ta có bài toán vật lí - toán sau đây:
2
2
Tìm nghiệm u( x, t ) của phương trình  u2  a 2  u2  0

t

x

(2-1)

với    x  , t  0
u t  0  f ( x )

 u
 F ( x)
 t
 t 0

Thỏa mãn các điều kiện ban đầu

(2-2)

Đây là bài toán Côsi đối với phương trình (2-1). Điều kiện (2-2) gọi là
điều kiện ban đầu.
Muốn tìm nghiệm của phương trình (2-1) ta hãy đưa nó về dạng dễ
dàng hơn bằng cách đổi biến số.
Đặt   x  at ;   x  at ta có:
u u u


;
x  

 u u 
u
 a 


t
   

 2u  2u
 2u
 2u


2

x 2  2
  2
2
 2u
 2u
 2u
2  u


a

2

  2
y 2
  2







2
2
 2u
2  u
2  u

a


4
a
t 2
x2


Vậy phương trình (2-1) có dạng

 2u
  u 
u
 0 vì
   0 nên
 1 ( )

   


trong đó 1 là hàm tùy ý. Từ đó: u( , )   1 ( )d   ( ) trong đó  là hàm

tùy ý. Vì 1 là một hàm tùy ý nên tích phân của nó  cũng là một hàm tùy ý.
Vậy: u ( x, t )   ( )   ( )
Trở về các biến số cũ x, t ta được:
u(x, t)  (x  at)  ( x  at)

(2-3)

Trong đó  ,  là các hàm tùy ý, khả vi liên tục hai lần để cho phép
biến đổi biến số trên luôn đúng. Nghiệm (2-3) được gọi là nghiệm tổng quát
của phương trình (2-1).
11


Ta thấy nghiệm tổng quát u( x, t ) tổng của hai hàm. Nếu coi hai hàm này
là chồng chập hai sóng, một sóng truyền sang trái, một sóng truyền sang phải
với vận tốc là a. Thật vậy, hàm  ( x  at) lấy tại điểm

x

tại thời điểm t có giá

trị bằng giá trị mà nó lấy tại điểm x  at ở thời điểm 0. Vậy đồ thị của hàm
  x  at  suy ra từ đồ thị của hàm  x  bằng phép tịnh tiến tọa độ một đoạn

+at song song với trục hoành. Vậy   x  at  biểu diễn một sóng truyền sang
phải với vận tốc a. Tương tự như vậy hàm  x  at  biểu diễn một sóng truyền
sang trái với vận tốc a, a gọi là vận tốc truyền sóng. Sóng truyền sang phải là
sóng thuận, sóng truyền sang trái là sóng nghịch.

Hình 2. Biểu diễn hàm sóng

Bây giờ ta dựa vào các điều kiện ban đầu (2-2) để xác định các hàm
 ;  . Trong (2-1) ta thay t  0

  x    x   f  x 

(2-4)

u
 x 
  x
a
a
 F x
t t 0
 x 
 x 

(2-5)

Lấy tích phân 2 vế của (2-5) từ 0 đến x ta được:
x

a   x    0   a   x    0    F  d 
0

Hay nếu đặt C   0  0 , ta được:
x

  x   x  

1
F  d  C
a 0

12

(2-6)


Giải hệ phương trình (2-4) và (2-6) ta được:
x

 x  

1
1
C
f x  
F  d  

2
2a 0
2

 x  

1
1
C
f x  

F  d  
2
2 a 0
2

a

Thay biểu thức vào (2-3) ta được:
u x, t  

1
 f x  at   f x  at   1
2
2a

x  at

(2-7)

 F  d
x  at

Công thức này gọi là nghiệm Đalambe của bài toán Côsi đối với
phương trình dao động của sợi dây.
Bây giờ ta sẽ nghiên cứu ý nghĩa vật lí của nghiệm này. Muốn vậy, đầu
tiên ta giả sử rằng F  x   0 và f  x  0 trong một quãng hữu hạn  l, l  . Điều
đó có nghĩa là dao động xuất hiện chỉ là do độ lệch ban đầu của dây khỏi vị
trí cân bằng trong quãng  l, l  . Khi đó phương trình dao động (2-7) có dạng:
u

1
 f x  at  f x  at
2

(2-8)

Để dựng đồ thị ở thời điểm tiếp theo t , ta dịch chuyển đồ thị ban đầu
một đoạn at sang phải, và sang trái và cộng tung độ của đồ thị này lại.
Các đồ thị (Hình 3.b,c,d) ứng với các thời điểm t 

13

l l 3l
, ,
2a a 2a


Bắt đầu từ thờ
ời điểm t 

l
hai sóng không cộng lại vớ
ới nhau nữa mà lan
a

truyền về hai phía và sau khi sóng đi qua, các điểm của sợii dây lại
l trở lại vị trí
nằm yên trên trụcc hoành.

Hình 3. Dao động sóng ở các thời điểm

m khác nhau
Ta có thể kếtt luận
lu như sau: Một điểm nằm
m ngoài quãng  l , l   x  l 
vẫn giữ nguyên trạng
ng thái nnằm yên cho đến khi mộtt trong các sóng đến
đ truyền
tới (sóng thuận nếu x  l, nghịch nếu x  l ).
Điều kiện xảy
y ra ở thời điểm t1 
này, nghĩa làà sau thời
th điểm t 2 

x l
. Khi sóng tương ứng đi qua điểm
a

x l
, một lần nữa nó lạại trở về trạng thái
a

đứng yên.
Ta nói rằng ở thời
th điểm t1 mặc dầu sóng đi tới điểm x , còn ở thời điểm
t2 là mặt cuốii sóng đi tới
t điểm x . Giữa các thời điểm t1 và t2 sóng đi qua x

làm cho nó lệch khỏii vị
v trí cân bằng.

14


Bây giờ ta xét trường
trư
hợp ngược lại, khi dao động
ng xxảy ra do vận tốc
ban đầu không có độ
ộ lệch ban đầu nghĩa là f x   0 . Khi đó nghi
nghiệm có dạng:
xat

1
u
F  d
2a xat

(2-9)

Ta giả sử rằng
ng F  x   0 chỉ trong quãng  l, l  nghĩa
ĩa là:
l
F x  H t  l   H t  l v0

Trong đó H   là hàm Heevisai (Heaviside)
0;   0
H    
1;   0

v 0 là một hằng số.

Khi t  0 thì u  0 . Khi tăng thời gian t , miền lấy
y tích phân trong (2-9)
mở rộng ra. Trên Hình
H
4 biểu diễn dạng của sợii dây ở các thời điểm
t  0,

l l 3l 2l
, , , .
2a a 2 a a

Hình 4. Biểu
u di
diễn dạng của sợi dây ở các thời điểm
m khác nhau

15


Độ lệch cực đại về phía trên, nếu coi F  x là va chạm xung từ phía dưới
lên là:
l

1
vl
v0 d  0

2a l

a
l
a

Điểm x  0 đạt tới độ cao này sớm nhất khi t  . Sau đó, các điểm
l
a

khác của sợi dây lần lượt đạt tới độ lệch này. Ở thời điểm t  , tất cả các
điểm của sợi dây mà x  at  l đạt được độ lệch này. Mỗi điểm x , nhận được
vận tốc ban đầu (nghĩa là x  l ) ở thời điểm t  0 bắt đầu nâng lên được độ
cao cực đại ở các thời điểm t 

x l
a

sau nó vẫn trên độ cao này.

Tuy nhiên, quá trình dao động mô tả ở đây có tính lí tưởng vì ta không thể
bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực và ảnh hưởng của các đầu mút của sợi dây.
Để hiểu rõ ta đi xét bài toán cụ thể:
Bài toán: Vẽ dạng của sợi dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban
đầu bằng không, còn độ lệch ban đầu được cho bởi

u  x , t  t 0

0 khi x  1
 x  1 khi 1  x  2



3  x khi 2  x  3
0 khi x  3

1
2

Tại các thời điểm t0  0, t1  , t 2  1, t3  2,5 . Xét dao động của các điểm x  0,
x  1, x  1, biết vận tốc truyền sóng a  2 .

Giải
Ta có nghiệm tổng quát của bài toán cho sợi dây dài vô hạn theo công
thức Đalambe
u  x, t  

x  at

1
1




f
x

at

f
x


at

F  d 


2
2a xat


16


Điều kiện để xét bài toán là:
 u

u
 F x 
t t 0

1
 f x  at   f x  at 
2

a) Tại t0  0  at0  0
0 khi x  1
 x  1 khi 1  x  2

 u  x, 0   f  x   
3  x khi 2  x  3
0 khi x  3

b) Tại t1 

1
 at1  1
2

0 khi x  0
 x khi 0  x  1

f  x  1  
2  x khi 1  x  2
0 khi x  2

0 khi x  2
 x  2 khi 2  x  3

f  x  1  
3  x khi 3  x  4
0 khi x  4

Vậy
0 khi x  0
x
 khi 0  x  1
2
2  x
khi 1  x  2

 1  2

 u  x,   
 2   2  x khi 2  x  3
 2
4  x

khi 3  x  4
 2
0 khi x  4

c) Tại thời điểm t2  1  at2  2
0 khi x  1
 x  1 khi  1  x  0

f x  2  
 x  1 khi 0  x  1
0 khi x  1

0 khi x  3
 x  3 khi 3  x  4

f  x  1  
5  x khi 4  x  5
0 khi x  5

17


Vậy
0 khi x  1
 x 1


khi  1  x  0
 2
1  x
khi 0  x  1

 2
 u x,1  0 khi 1  x  3
x 3

khi 3  x  4
 2
x 5
khi 4  x  5

 2
0 khi x  5

d) Tại thời điểểm t3  2,5  at3  5
0 khi x  4
 x  4 khi  4  x  3

f  x  5  
 x  2 khi  3  x  2
0 khi x  2

0 khi x  6
 x  6 khi 6  x  7

f  x  5  

8  x khi 7  x  8
0 khi x  8

Vậy
0 khi x  4
x  4

khi  4  x  3
 2
 2  x
khi  3  x  2

 2
 u x,2,5  0 khi  2  x  6
x 6

khi 6  x  7
 2
x 8
khi 7  x  8

 2
0 khi x  8

Dạng của sợi dây đượ
ợc biểu diễn như sau:

18

1

Giả sử lúc t  0 sợi dây có dạng như hình vẽ

ở mỗi thời điểm t chỉ

việc vẽ các sóng thuận
thu và sóng nghịch rồi cộng tung độộ các sóng ấy ta sẽ
1
2

được dạng của sợii dây ở các thời điểm t0  0, t1  , t 2  1, t3  2,5 . Các sóng
,

thuận và nghịch đượ
ợc vẽ ở các hình
dây được vẽ ở các hình

,

,

,

19

,

,

. Còn ddạng của sợi


 Nhận xét
Sau khi hai sóng đi qua thời điểm t1 

1
thì hai sóng không cộng nhau
2

nữa mà lan truyền về hai phía.
Sau khi sóng đi qua, các điểm của sợi dây lại trở về vị trí nằm yên trên
trục hoành.
 Xét dao động tại các điểm
a) Tại x  0
Bắt đầu dao động: t 

1
2

Kết thúc dao động: at  3  t 

3
2

b) Tại x  1
Bắt đầu dao động: t  0
Kết thúc dao động: t  1
c) Tại x  1
Bắt đầu dao động: t  1

Kết thúc dao động: t  2
2.2. Dạng 2: Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc
biệt
Dao động tự do của sợi dây hữu hạn là bài toán đi tìm nghiệm u x, t 
2
2
0  x  l
của phương trình  u2  a 2  u2  0 trên miền D  

t

ban đầu

u t  0  f ( x )

 u
 g ( x)
 t
 t 0

0  t  

x

với điều kiện biên

và với các điều kiện biên khác nhau.

Ta sử dụng phương pháp tách biến Furiê
Ta có thể chia ra một số bài toán với các điều kiện biên hay gặp, cụ thể

như sau:
20


Bài toán 1:
Tìm nghiệm u x, t  của phương trình
2
 2u
2  u

a
0
t 2
x 2

với điều kiện ban đầu:

0  x  l
0  t  

trên miền D  

u t  0  f ( x )

 u
 g ( x)
 t
 t 0

u x  0  0

u x  l  0

và điều kiện biên: 

trong đó a là hằng số  0 , các hàm f x  và g x  giải tích trên D
Giải
Ta hãy xét một sợi dây hữu hạn chiều dài l , chiếm đoạn 0, l  của trục
x khi cân bằng. Sử dụng phương pháp tách biến, ta sẽ tìm nghiệm u x, t  của
bài toán dưới dạng:
u x, t   X  x T t 

(1.1)

2
2
Thay (1.1) vào phương trình  u2  a 2  u2  0 ta được:

t

x

XT ' ' a 2TX ' '  0  a 2

X '' T ''

X
T

(1.2)

Từ (1.2) ta thấy vế trái chỉ phụ thuộc vào biến x, còn vế phải phụ thuộc
vào t nên để đẳng thức xảy thì:
a2

X '' T ''

 const  c
X
T



 X ' 'cX  0 (1.3)

2
T ' ' ca T  0 (1.4)

Giải phương trình (1.3)
Đặt X  erx rồi thay (1.3) vào phương trình đặc trưng sau:
r2  c  0



r2  c

 Nếu c  0 thì r   c phương trình (1.3) có nghiệm X (x ) dạng
X  x   a1e

cx

 a2 e 

cx

(trong đó a1; a2 là các hằng số tích phân)
u x  0

u x l

Từ điều kiện biên 

21

 X x x 0  0

 X x x l  0

(1.5)




a1  a2  0

a1e ce  a2e

ce

a  0
 1

 0 a2  0

(1.6)

Thay (1.6) vào (1.5) thì X x  0  ux, t   0
 Nếu c  0 thì r  0 và phương trình (1.3) có nghiệm X x  dạng:
X  x   b1 x  b2

(1.7)

(trong đó b1;b2 là các hằng số tích phân)
 X x x 0  0

 X x x l  0

u x  0

u x l

Từ điều kiện biên 
b  0
 2
b1l  b2  0

b1  0

b2  0



(1.8)

Thay (1.8) vào (1.7) thì X x   0  ux, t   0


Nếu c  0 thì đặt c  2  0  r  i và phương trình (1.3) có nghiệm

X  x  dạng:

X  x   c1 sin x  c2 cos x

(1.9)

(trong đó c1;c2 là các hằng số tích phân)
u x  0

Từ điều kiện biên 

u x l

 X x  x 0  0

 X x  x l  0



c  0
c sin x  0
 2
 1

c1 sin x  c2 cos x  0
c2  0

Để hệ phương trình có nghiệm không thuần nhất thì:
sinl  0




k
l

l  k k  N 
(1.10)

Thay c2  0 và (1.10) vào (1.9) thì tương ứng với mỗi giá trị của k ta có
2

 k 
một giá trị tương ứng của c ( c  ck    ) và hàm X k x  tương ứng dạng:
 l 

X k ( x)  ck sin

k
x
l
22

(1.11)