Giáo trình kỹ thuật mạch điện- Chương 3: Phương pháp số phức phân tích mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập điều hòa ppsx

GIÁO TRÌNH
KỸ THUẬT MẠCH ĐIỆN
Chương 3: Phương pháp số phức phân tích
mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập điều
hòa


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích
mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập điều hồ
§3-1. Bổ túc về số phức
§3-2. Biểu diễn các cặp thơng số của mạch
bằng số phức
§3-3. Biểu diễn đạo hàm và tích phân hàm
điều hồ bằng số phức
§3-4. Các phương pháp giải mạch


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích
mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập điều hồ
§3-1. Bổ túc về số phức
§3-2. Biểu diễn các cặp thơng số của mạch
bằng số phức
§3-3. Biểu diễn đạo hàm và tích phân hàm
điều hồ bằng số phức
§3-4. Các phương pháp giải mạch


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích
mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập điều hồ
§ 3-1. Bổ túc về số phức
1. Định nghĩa

2. Hai dạng viết của số phức
3. Số phức cần lưu ý
4. Đẳng thức hai số phức
5. Hai phức liên hợp
6. Các phép tính về số phức
Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích
mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập điều hồ
§ 3-1. Bổ túc về số phức
1. Định nghĩa
2. Hai dạng viết của số phức
3. Số phức cần lưu ý
4. Đẳng thức hai phức
5. Hai phức liên hợp
6. Các phép tính về số phức
Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

1. Định nghĩa

Số phức là một lượng gồm hai thành phần: a+jb.
Trong đó:

+ a, b - các số thực
+ j = − 1 - số ảo

- a là thành phần thực.
- jb là thành phần ảo.
Hai thành phần này khác hẳn nhau về bản chất: V ới m ọi giá tr ị a, b
khác số 0, không làm cho tổ hợp a+jb triệt tiêu được. Theo nghĩa ấy ta
bảo a và jb là hai thành phần độc lập tuyến tính và trực giao nhau c ủa s ố
phức và coi số phức như một vectơ phẳng.
Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

1. Định nghĩa

Các số phức biểu diễn những lượng biến thiên theo thời gian bằng

U, 
những chữ cái in hoa có dấu chấm (.) ở trên: I...

, còn nh ững s ố ph ức

biểu diễn các lượng khác thì khơng có dấu chấm: Z, Y...

2. Hai dạng viết của số phức
a, Dạng đại số

j

b

V
0

Số phức được viết:


V = a + jb

ψ

a

+1
Hình3-1

V
Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức hình 3-1. Khoảng cách từ

V

điểm

đến gốc toạ độ gọi là mô đun V của số phức, góc hợp giữa trục th ực và
- gọi là argumen của số phức .
Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện
a, Dạng đại số

Ta có:

V = a2 + b2
b
ψ = arctg
a

với

j

a = V . cos ψ
b = V sin ψ
b

V
0

b, Dạng số mũ

ψ

a

+1
Hình3-1

jx
Theo cơng thức Ơle: cos x + j sin x = e

⇔


V = a + jb = V cos ψ + jV sin ψ = V ( cos ψ + j sin ψ ) = V .e jψ

Viết tắt: V = V∠ψ

đọc là V góc , gọi là dạng số mũ.

Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

3. Số phức cần lưu ý
e jψ

- số phức có mơ đun bằng 1, argumen bằng ψ.
± π
π
j
±j
e 2 - số phức có mơ đun bằng 1, argumen bằng ± π/2; e 2 = ± j
e

−j

π
2

=

1
π
ej 2

=

1
= −j
j

⇔

1
= −j
j

4. Đẳng thức hai số phức
Hai số phức gọi là bằng nhau nếu có phần thực, phần ảo thứ tự bằng
nhau.

Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

5. Hai phức liên hợp

Hai số phức gọi là liên hợp nếu chúng có phần thực bằng nhau, phần
ảo trái dấu:
*

V = a + jb = V∠ψ thì phức liên hợp của nó làˆ hoặc V = a − jb = V∠ − ψ
V
Nế u

6. Các phép tính về số
phứổng (hoặc hiệu) hai phức là một phức có phần thực, phần ảo
+ Tc
thứ tự là tổng (hiệu) các phần thực và hiệu thành phần:


V1 = a1 + jb1; V2 = a 2 + jb 2




⇔ V = V1 ± V2 = ( a1 ± a 2 ) + j ( b1 ± b 2 ) = a + jb

Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

6. Các phép tính về số
phức Tích (hoặc thương) hai phức là một phức có mơ đun bằng tích
+

(thương) các mơ đun, argymen bằng tổng (hiệu) các argymen:


V1 = V1∠ψ 1 , V2 = V2 ∠ψ 2 ⇔

 
V = V1 .V2 = V1 .V2 ∠ψ 1 + ψ 2 = V∠ψ ,

 = V1 = V1 ∠ψ − ψ = V∠ψ
V
1
2

V2
V
2

Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích
mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập điều hồ
§ 3-2. Biểu diễn các cặp thông số của mạch
bằng số phức
1. Biểu diễn các biến trạng thái điều hoà
2. Biểu diễn phức tổng trở, tổng dẫn của
nhánh với kích thích có dạng điều hồ
3. Biểu diễn quan hệ dịng điện, điện áp
trong nhánh
4. Biểu diễn các loại công suất trong nhánh

Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích
mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập điều hồ
§ 3-2. Biểu diễn các cặp thông số của mạch
bằng số phức
1. Biểu diễn các biến trạng thái điều hoà
2. Biểu diễn phức tổng trở, tổng dẫn của
nhánh với kích thích có dạng điều hồ
3. Biểu diễn quan hệ dịng điện, điện áp
trong nhánh
4. Biểu diễn các loại công suất trong nhánh
Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

1. Biểu diễn các biến trạng thái điều hoà

Các biến trạng thái điều hồ của mạch như dịng điện, điện áp s ức điện
động có cùng tần số được đặc trưng bởi cặp thơng số (trị hiệu dụng – góc
pha đầu). Do đó ta có thể biểu diễn chúng bằng những số phức có:
- Mơ đun bằng trị số hiệu dụng
- Argymen bằng góc pha đầu

Ví dụ:

{ (

i = I 2 sin ωt + ψ i
cos

{ (

u = U 2 sin ωt + ψ u
cos

E = E∠ ψ e

)

)

⇔


I = I∠ ψ i

⇔


U = U∠ψ u

⇔

e = E 2 sin ωt + ψ e
cos

Đầu chương

{ (

)


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện
2. Biểu diễn phức tổng trở, tổng dẫn

của nhánh
a, Tổng trở phức
Phản ứng của nhánh đặc trưng bởi cặp (tổng trở; góc lệch pha – z; ϕ),
hoặc cặp (điện trở; điện kháng – r; x), ta biểu di ễn chúng bằng m ột s ố
phức có:
- Mơ đun bằng tổng trở z
- Argymen bằng góc lệch pha ϕ
Ta ký hiệu bằng chữ in hoa Z: Z = zejϕ ⇔ cặp số (z; ϕ); và có đơn vị
Ơm (Ω)
Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện
2. Biểu diễn phức tổng trở, tổng dẫn

của nhánh
b, Tổng dẫn phức
Được định nghĩa là nghịch đảo của tổng trở phức, có đơn vị là Simen

(S); ký hiệu Y = 1/Z.

Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
ện
3. Biểu diễn quanđihệ dòng điện, điện

áp trong nhánh
Ta đã biết quan hệ dịng điện, điện áp trong nhánh được mơ t ả:
U = zI và ψu = ϕ + ψi
I=

U
z

và

(3.2)

ψ i = −ϕ + ψ u

(3.3)

jϕ
jψ
jϕ

I

Nếu biểu diễn bằng số phức: U = U.e ;  = I.e ; Z = z.e

Ta có

 = U.e jψ u = z.I.e j( ϕ+ ψi ) = Z.
I
U
⇔


 = U = YU

I
Z

:
(3.4)

Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
4. Biểu diễn các điệại cơng suất trong
lo n

nhánh
Với dịng điện hình sin đã có hai loại cơng suất khác hẳn nhau về b ản
chất là công suất tác dụng P và cơng suất phản kháng Q. Do đó có th ể
biểu diễn cặp số (P; Q) của một nhánh bằng một số phức có: Phần th ực
bằng P, phần ảo bằng Q: P + jQ

Ta có:

mơ đun của (P + jQ) =
Arg của (P + jQ) =

tương đương

~
S = P + jQ = S.e jϕ

cặp số (P; Q).
P2 + Q2 = S
Q
Arctg = ϕ
P

(3.5)
(3.6)

- Gọi là công suất biểu kiến phức – nó cho biết rõ 4 lượng P, Q, S và ϕ của
~  *
nhánh, có đơn vị vơn ampe - VA. Và S = U. I
Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích
mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập điều hồ
§3-3. Biểu diễn đạo hàm và tích phân hàm điều
hồ bằng số phức
1. Các phép biểu diễn

2. Sơ đồ phức

Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích
mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập điều hồ
§3-3. Biểu diễn đạo hàm và tích phân hàm điều
hồ bằng số phức
1. Các phép biểu diễn
2. Sơ đồ phức

Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

1. Các phép biểu diễn

x=
Giả sử ta có hàm điều hồ: X 2 sin(ωt + ψ x )

này dưới dạng số phức:

biểu diễn hàm điều hoà

jψ

X = X.e x = X∠ψ x

- Đạo hàm hàm x theo thời gian:
dx
dt

=

d
dt

2 X sin( ωt + ψ x ) = ω 2 X cos(ωt + ψ x ) = 2 Xω sin( ωt + ψ x +

Xω
ta biểu diễn kết quả này dưới dạng số phức được:.e

Tức:

dx
dt

j( ψ x +


⇔ jω.X

π
2

)

= ωe

j

π
2

π
2

)


.Xe jψ x = jω.X

(3.8)

Đạo hàm hàm điều hoà theo thời gián sẽ tương ứng biểu diễn bởi
phép nhân số phức biểu diễn hàm điều hồ với tích (jω).
Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

1. Các phép biểu diễn
- Tích phân hàm x theo thời gian:
1

π

1

∫ x.dt = ∫ X 2 sin( ωt + ψ x ) = − ω X 2 cos(ωt + ψ x ) = ω X 2 sin(ωt + ψ x − 2 )

X

∫ x.dt ⇔ jω

Vậy:

(3.9)

Tích phân hàm điều hồ theo thời gian sẽ biễu diễn bằng phép chia s ố
phức biễu diễn hàm điều hồ cho tích (jω).
+ Phần tử điện trở:

ir

r

⇔

Zr

Ur

ur

u r = r .i r

r
I

⇔

Đầu chương




U r = r .I r = Z r .I r


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

1. Các phép biểu diễn
iL

+ Phần tử điện cảm:

u L = L.

L

⇔

uL

di L
dt
iC

+ Phần tử điện dung:


U L = jωL. L = ZL . L
I
I

L

C
I

⇔

⇔

r

L

C

ZC

UC

 = 1 . = − jX . = Z .
UC
IC
C IC
C IC
j ωC

+ Nhánh gồm r-L-C nối tiếp:
i

ZL

UL

⇔

uC

1
u L = .∫ i cdt
C

L
I

⇔


I

Z


U

u

Đầu chương


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

1. Các phép biểu diễn
+ Nhánh gồm r-L-C nối tiếp:
u=u +u +u
r

L

C





U=U +U +U
r

L

C

[

⇔

] [ (


= r + j(ωL − 1 ) I = r + j x − x
ωC

Ví dụ: Cho mạch điện hình 3-2
Hệ phương trình vi phân mơ tả trạng
thái của mạch theo các luật Kirhof 1 và 2

( 1)

i c:
đ1ộ− i 2 − i 3 = j
r1i 1 + L 1

di
di 1
1
+ r3 i 3 + L 3 3 +
i 3 dt = e 1
dt
dt C 3 ∫



di
1
1
 r3 i 3 + L 3 3 +
r2 i 2 +
∫ i 2dt − 
∫ i 3dt  = e 2

C2
dt C 3


Đầu chương

( 2)
( 3)

L

C

)] I = ( r + jx) I = Z I


Chương 3 Phương pháp số phức phân tích mạch
điện

1. Các phép biểu diễn

Chuyển hệ phương trình sang dạng phức ta có hệ phương trình đ ơn
giản:

( 1′ )





I1 − I 2 − I 3 = J










( r1 + jωL 1 ) I 1 + r3 + j  ωL 3 −


1  

  I 3 = E1

ωC 3  






1 
1  

 I 3 = E 2
 r2 − j
 I 2 − r3 + j  ωL 3 −




ωC 2 
ωC 3  





Hay :




( 1′ )
I1 − I 2 − I 3 = J




( 2′ )
Z 1 I 1 + Z 3 I 3 = E1



( 3′ )
Z 2I 2 −Z 3 I 3 = E 2

Đầu chương

( 2′ )
( 3′ )

3-11