CHƯƠNG VI.
LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a. A = sin 50° cos (–300°) b. B = sin 215° tan
21π
7
c. C =
4π π 4π 9π
cos .sin .tan .cot
5 3 3 5
Bài 2. Cho 0° < α < 90°. Xét dấu của các biểu thức sau:
a. sin (α + π/2) b. cos (α – 45°) c. cos (270° – α)
d. cos (2α + 90°) e. sin (α + 270°)
Bài 3. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức
a. A = sin A + sin B + sin C b. B = sin A sin B sin C
c. C =
A B C
cos .cos .cos
2 2 2
d. D =
A B C
tan tan tan
2 2 2
+ +
Bài 4. Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.
a. cos a = 4/5; với 270° < a < 360°, tính các giá trị sin a, tan a, cot a
b. sin a = 5/13; với π/2 < a < π, tính các giá trị cos a, tan a, cot a
c. tan a = 3; với π < a < 3π/2, tính các giá trị sin a, cos a, cot a
d. cot a = 2; với π < a < 3π/2, tính các giá trị sin a, cos a, tan a
e. Cho cos α = –12/13; và π/2 < α < π. Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α.
f. Cho cot α = 2 và 0 < α < π/4 . Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α.
g. Cho sin 2α = –5/9 và π/2 < α < π. Tính sin α, cos α, tan α.
h. Cho cos 2α = 5/13 và 3π/2 < α < 2π. Tính sin α, cos α, tan α.
Bài 5. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức
a. Tính
cot a tan a
A
cot a tan a
+
=
−
với sin a = 3/5 và 0 < a < π/2
b. Tính
2 2
2 2
sin a 2sin a.cosa 2cos a
B
2sin a 3sin a.cosa 4cos a
+ −
=
− +
với cot a = –3
c. Tính
3 3
sin a 5cosa
C
sin a 2cos a
+
=
−
với tan a = 2
d. Tính
cot a 3tan a
D
2cot a tan a
+
=
+
với cos a = –2/3
Bài 6. Cho sin a + cos a = 5/4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A = sin a cos a b. B = sin³ a + cos³ a
Bài 7. Cho tan a + cot a = 5. Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A = tan² a + cot ² a b. B = tan³ a + cot³ a
Bài 8. Cho
4 4
3
3sin x cos x
4
+ =
. Tính A = sin
4
x + 3cos
4
x
Bài 9. Cho
4 4
1
3sin x cos x
2
− =
. Tính B = sin
4
x + 3cos
4
x
Bài 10. Cho sin x + cos x =
1
5
. Tính sin x, cos x, tan x, cot x
Bài 11. Cho tan x + cot x = 4. Tính sin x, cos x, tan x, cot x
Bài 12. Rút gọn các biểu thức sau:
a. A = cos (π/2 + x) + cos (3π + x) + sin (x + π/2)
b. B = 2cos x – 3cos (π – x) + 5sin (7π/2 – x) + tan (π + x)
c. C = 2sin (π/2 + x) + sin (5π – x) + sin (3π/2 + x) + cos (π/2 + x)
d. D = cos (5π – x) – sin (3π/2 + x) + tan (3π/2 – x) + cot (3π – x)
e. E =
2sin 2a sin 4a
2sin 2a sin 4a
−
+
Bài 13. Tính giá trị các biểu thức
a.
sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )
A
cot 572 tan( 212 )
− − −
= −
−
° ° ° °
° °
b. B = cos 20° + cos 40° + cos 60° + + cos 160° + cos 180°
c. C = cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + + cos² 180°
d. D = sin 20° + sin 40° + sin 60° + + sin 360°
Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin
4
x + cos
4
x = 1 – 2cos² x sin² x
b. sin
6
x + cos
6
x = 1 – 3cos² x sin² x
c. sin
8
x + cos
8
x = 1 – 4sin² x cos² x + 2 sin
4
x cos
4
x
d. (cot² x – cos² x)(tan² x – sin² x) = cos² x sin² x
e. 1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x)(1 + tan x)
f.
sin x cos x 1 2cos x
1 cos x sin x cosx 1
+ −
=
− − +
g.
2 2 4
2 2 2 2
tan a 1 cot a 1 tan a
.
1 tan a cot a tan a cot a
+ +
=
+ +
h.
2
2
sin a cosa 1 cot a
sin a cosa cosa sin a
1 cot a
+
− =
− −
−
i.
2 2
sin a cos a
1 sin a.cosa
1 cot a 1 tan a
− − =
+ +
j.
2
2
sin a sin a cosa
sin a cosa
sin a cosa
tan a 1
+
− = +
−
−
Bài 15. Cho
4 4
sin x cos a 1
a b a b
+ =
+
với a, b > 0. Chứng minh rằng
8 8
3 3 3
sin x cos x 1
a b (a b)
+ =
+
Bài 16. Rút gọn các biểu thức sau:
a. A = (tan x + cot x)² – (tan x – cot x)² b. B =
2 2 2
2 2 2
cos x cos x.cot x
sin x sin x.tan x
+
+
c. C = (x sin a – y cos a)² + (x cos a + y sin a)²
Bài 17. Chứng minh các biểu thức độc lập đối với x.
a. A = (sin
4
x + cos
4
x – 1)(tan² x + cot² x + 2)
b. B =
4 4
6 6 4
sin x 3cos x 1
sin x cos x 3cos x 1
+ −
+ + −
c. C =
2 2 2 2
2 2
tan x cos x cot x sin x
sin x cos x
− −
+
Bài 18. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a.
A B C
sin cos
2 2
+
=
b. cos (A + B – C) = –cos 2C
c.
3A B C
cos sin 2A
2
− + +
= −
d.
A B 2C 3C
tan cot
2 2
+ −
=
Bài 19.
a. Tính tan (α + π/3) nếu sin α = 3/5 và π/2 < α < π
b. Tính cos (π/3 – α) nếu sin α = –12/13 và 3π/2 < α < 2π
c. Tính sin (a – b), cos (a + b), tan (a + b) biết sin a = 8/17, tan b = 5/12, 0 < a, b < π/2.
d. Tính tan a + tan b, tan a, tan b nếu 0 < a, b < π/2; a + b = π/4 và tan a tan b = 3 – 2
2
. Từ đó suy
ra giá trị a và b.
Bài 20. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a. A = sin² 20° + sin² 90° + sin² 100° + sin² 140°
b. B = tan 20° tan 80° + tan 80° tan 140° + tan 140° tan 20°
c. C =
cot 225 cot 79 .cot 71
cot 259 cot 251
°− °
+
°
° °
d. D = tan 15° + cot 15°
Bài 21. Chứng minh
a.
2sin(x y)
tan x tan y
cos(x y) cos(x y)
+
+ =
+ + −
b.
π π 2π 2π
tan x tan(x ) tan(x ) tan(x ) tan(x ) tan x 3
3 3 3 3
+ + + + + + = −
c.
π π π 3π 2
cos(x )cos(x ) cos(x )cos(x ) (1 3)
3 4 6 4 4
− + + + + = −
d.
o o o o
(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ +
o o o o
(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + =
e.
2 2
2 2
tan 2x tan x
tan x.tan3x
1 tan 2x.tan x
−
=
−
Bài 22. Chứng minh
a. 2tan a = tan(a + b) nếu sin b = sin a cos (a + b)
b. tan a tan b =
1
3
−
nếu cos (a + b) = 2cos (a – b)
Bài 23. Cho tam giác ABC. Chứng minh
a.
sin C
tan A tan B
cosA.cosB
= +
với A, B ≠ 90°.
b. tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C với ABC không là tam giác vuông
c. cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
d.
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + =
e.
A B C A B C
cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
+ + =
f.
A B C A B C A B C A B C
cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + +
Bài 24. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a. tan A + tan B + tan C ≥
3 3
với ABC nhọn
b. tan² A + tan² B + tan² C ≥ 9 với ABC nhọn
c.
A B C
tan tan tan 3
2 2 2
+ + ≥
Bài 25.
a. Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x biết cos x =
5
13
−
; π < x < 3π/2
b. Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x nếu tan x = 2
Bài 25. Tính giá trị của biểu thức.
a. A = cos 20° cos 40° cos 60° cos 80°
b. B = sin 10° sin 50° sin 70°
c.
π 4π 5π
C cos .cos .cos
7 7 7
=
d. D = cos 10° cos 50° cos 70°
e. E = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°
f. F =
2π 4π 8π 16π 32π
cos .cos .cos .cos .cos
31 31 31 31 31
g. G = sin 5° sin 15° sin 25° sin 75° sin 85°
h. H = cos 10° cos 20° cos 30° cos 70° cos 80°
i. I =
π 2π 3π 4π 5π 6π 7π
cos cos cos cos cos cos cos
15 15 15 15 15 15 15
j.
π π π
J sin cos cos
16 16 8
=
Bài 27. Chứng minh
a.
2 3 n
n
n
a a a a sin a
P cos cos cos cos
a
2
2 2 2
2 .sin
2
= =
b.
n
π 2π nπ 1
Q cos .cos cos
2n 1 2n 1 2n 1
2
= =
+ + +
c.
2π 4π 2nπ 1
R cos .cos cos
2n 1 2n 1 2n 1 2
= = −
+ + +
Bài 28. Chứng minh các hệ thức:
a.
3 3
1
sin x.cos x cos x.sin x sin 4x
4
− =
b.
6 6 2
x x 1
sin cos cos x(sin x 4)
2 2 4
− = −
c.
π 1 sin 2x
tan( x)
4 cos 2x
+
+ =
d.
2
cot x tan x
sin 2x
+ =
e.
1 1 1 1 1 1 x
cos x cos
2 2 2 2 2 2 8
+ + + =
với 0 < x < π/2
Bài 29. Chứng minh:
a.
π π
4cos x.cos( x)cos( x) cos3x
3 3
− + =
b.
π π
4sin x.sin( x)sin( x) sin 3x
3 3
− + =
Áp dụng tính:
A = sin 10° sin 50° sin 70° và B = cos 10° cos 50° cos 70°.
Bài 30. Biến đổi thành tích:
a. 1 – 3 tan² x b. sin 2x + sin 4x + sin 6x
c. 3 + 4 cos 4x + cos 8x d. sin 5x + sin 6x + sin 7x + sin 8x
e. 1 + sin 2x – cos 2x – tan 2x f. cos 2x + sin 2x + 1
Bài 31. Rút gọn các biểu thức sau:
a.
cos7x cos8x cos9x cos10x
A
sin 7x sin8x sin9x sin10x
− − +
=
− − +
b.
sin15x 2sin12x sin9x
B
cos15x 2cos12x cos9x
+ +
=
+ +
c.
2
1 cos x cos2x cos3x
C
cos x 2cos x 1
+ + +
=
+ −
Bài 32. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a.
π 7π
B tan tan
24 24
= +
b. B =
1 3
sin10 cos10
−
° °
c. C = tan 9° – tan 27° – tan 63° + tan 81°
Bài 33. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. A =
π 7π 13π 19π 25π
sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
b. B = 16 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90°
c. C =
2π 4π 6π 1
cos cos cos
7 7 7 2
+ + +
d. D = 2(
π 2π 3π
cos cos cos
7 7 7
− +
)
e. E =
2π 4π 6π 8π
cos cos cos cos
5 5 5 5
+ + +
f. F =
π 3π 5π 7π 9π
cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11
+ + + +
Bài 34. Chứng minh
a. tan 20° – tan 40° + tan 80° = 3
3
b. tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° =
8 3
3
cos 20°.
Bài 35. Tính các tổng sau:
a. A = cos α + cos 3α + cos 5α + + cos (2n – 1)α; với α ≠ kπ
b. B =
π 2π 3π (n 1)π
sin sin sin sin .
n n n n
−
+ + + +
c. C =
π 3π 5π (2n 1)π
cos cos cos cos .
n n n n
−
+ + +
d. D =
1 1 1
cosa.cos2a cos2a.cos3a cos4a.cos5a
+ + +
với a = π/5
e. E =
n 1
1 1 1 1
(1 )(1 )(1 ) (1 )
cos x cos 2x cos3x
cos2 x
−
+ + + +
Bài 36. Tính
n
2 n
x x x
P cos cos cos .
2
2 2
=
ĐS:
n
n
sin x
x
2 sin
2
Bai 37. Tính
2 2 n 1 2
n
2 n n 1
a a a a a
S tan .tan a 2 tan .tan 2 tan .tan
2 2
2 2 2
−
−
= + + +
ĐS:
n
n
n
a
S tan a 2 tan
2
= −
Bài 38. Chứng minh các đẳng thức sau:
a.
2
1 2sin 2x 1 tan 2x
1 sin 4x 1 tan 2x
− +
=
− −
b.
1 sin 2x cos2x
tan 4x
cos4x sin 2x cos2x
−
− =
+
c. tan 6x – tan 4x – tan 2x = tan 2x tan 4x tan 6x
d.
sin 7x
1 2cos 2x 2cos4x 2cos6x
sin x
= + + +
e. cos 5x cos 3x + sin 7x sin x = cos 2x cos 4x
Bài 39. Cho sin (2a + b) = 5 sin b. Chứng minh:
2 tan(a b)
3
tan a
+
=
.
Bài 40. Cho tan (a + b) = 3 tan a. Chứng minh: sin (2a + 2b) + sin 2a = 2 sin 2b.
Bài 41. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a.
A B C
sin A sin B sin C 4cos cos cos
2 2 2
+ + = × ×
b.
A B C
cos A cos B cosC 1 4sin sin sin
2 2 2
+ + = +
c. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
d. cos² A + cos² B + cos² C = 1 – 2 cos A cos B cos C
e. sin² A + sin² B + sin² C = 2 + 2 cos A cos B cos C
Bài 42. Tìm các góc của tam giác ABC biết B – C = π/3 và 2 sin B sin C = 1.
Bài 43. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC vuông là
a. cos 2A + cos 2B + cos 2C = –1 b.
b c a
cosB cosC sin B.sin C
+ =
Bài 44. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC cân tại C là
sin A sin B 1
(tan A tan B)
cos A cos B 2
+
= +
+
Bài 45. Chứng minh bất đẳng thức
a. sin A + sin B + sin C ≤
3 3
2
HD: cộng thêm sin (π/3)
b. cos A + cos B + cos C ≤ 3/2 HD: cộng thêm cos (π/3)
c. 8cos A cos B cos C ≤ 1 HD: Biến đổi cos A cos B cos C – 1/8 về dạng hằng đẳng thức.