Phương pháp giải phương trình lượng giác

CHUN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A) KI ẾN THỨC CƠ BẢN:
y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx
Tập
xác
đònh
D = R D = R
D = R \ {
2
π
+ kπ}
D = R \ {kπ}
Tập
giá
trò
T = [– 1 ; 1 ] T = [– 1 ; 1 ] R R
Chu
kỳ
T = 2π T = 2π T = π T = π
Tính
chẵn
lẻ
Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ
Sự
biến
thiên
Đồng biến trên:
k2 ; k2
2 2
 

π π
− + π + π
 ÷
 
Nghòch biến trên:
3
k2 ; k2
2 2
 
π π
+ π + π
 ÷
 
Đồng biến trên:
( )
k2 ; k2
−π + π π
Nghòch biến
trên:
( )
k2 ; k2
π π+ π
Đồng biến trên
mỗi khoảng:
k ; k
2 2
 
π π
− + π + π
 ÷

 
Nghòch biến trên mỗi
khoảng:
( )
k ; k
π π+ π
Bảng
biến
thiên
x –π
2
π
−
0
2
π
π
y =
sinx
0
–1
0
1
0
x –π 0
π
y
=cosx
– 1
1

– 1
a
x
2
π
−
2
π
y =
tanx
–∞
+∞
x 0
π
y =
cotx
+∞
–∞
a
Đồ
thò
y = sinx
y = tanx
1
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
……………………………………………………………………………….
y = cosx
…………………………………………………………………………………….
y = cotx
B) BÀI TẬP

1)Tìm tập xác định hàm số: a. y=cos
2
1
x
x
−
b. y=tan(2x+1) c. y=cot(3x-
6
π
)
d. y=sin
2
1
1x −
e.y=
cos 1x +
f. y=
2 2
3
sin cosx x
−
g. y=tan2x +cot(x-
6
π
)
2) Tìm GTLN-GTNN của hàm số: a. y=3-2
sin x
b. y=3cos(3x-1) +2 c. y=cos
2
x-

sin
2
x+2
d. y=cosx+cos(x-
3
π
) e. y=cos
2
x+2cos2x f. y=
2 2
5 2cos .sinx x
−
g.y=sin2x+cos2x
h y= 4cos(x+
3
π
).cosx i.y=2 sin
2
x -3cos2x -5 j.
3
2 sin
3
y
x
π
=
 
+ +
 ÷
 

k.
4
3 1 cos 2
y
x
=
+ +

3)Xác định tính chẵn lẻ hàm số sau: a. y=
cos 2x
x
b. y=x-sinx c. y=sin
2
x+cosx
d.y=
1 cos x−
e. y=sinx.tanx+ cos2x f. y=sin
2
x-3cos2x g. y=sinx- cosx
4)CMR hàm số sau tuần hoàn và tìm chu kì hàm số: a. y=2sin(3x+2) b. y=tan(4x+
3
π
)
c.y=3cot(3x+1)- 2sin(4x-2) d. y=sin
2
2x+1 e. y=cos
2
x- sin
2
x f. y=3cos

2
2x
+sin
2
x
BÀI 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A) KI ẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phương trìng LG cơ bản:
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k
π
π π
= +

⇔

= − +

* cosu=cosv⇔u= ± v+k2
π
* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k
π

( )
Zk

∈
.
Phương trìng LG cơ bản đặc biệt :

* sinu =0
u k
π
⇔ =
*cosu =0
2
u k
π
π
⇔ = +
2
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
* sinu =1
2
2
u k
π
π
⇔ = +
*cosu =1
2u k
π
⇔ =
k
Z∈
* sinu = -1

2
2
u k
π
π
⇔ = − +
*cosu =-1
2u k
π π
⇔ = +
2. Một số phương trình LG thường gặp
2.1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta
dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin
2
x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2
x+b.tanx+c=0, a.cot
2
x+b.cotx+c=0) để giải
các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)
2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
2 2 2
a b c
+ ≥

.
C ách giải : Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b
+
, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt:
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
β β
= =
+ +
. Khi đó phương trình tương đương:

2 2
cos sin sin cos
c
x x
a b
β β
+ =

+
hay
( )
2 2
sin sin
c
x
a b
β ϕ
+ = =
+
.
2.3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).
Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với
2
x k
π
π
= +
.
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được: atan
2
x+btanx+c=0.

Chú ý:
2
2
1
tan 1
2
cos
x x k
x
π
π
 
= + ≠ +
 ÷
 
2.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx. Điều kiện | t |
2
≤
.
B/ BÀI TẬP
Dạng 1. Phương trình bậc nhất,bậc hai.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx -
2
= 0 2)
3
tanx – 3 = 0 3) 3cot2x +
3
= 0

4)
2
sin3x – 1 = 0 5)
2
cosx + sin2x = 0
Bài 2. Giải các phươn trình sau:
1) 2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0 2) cos
2
x + sinx + 1 = 0 3) 2cos
2
x +
2
cosx – 2
= 0
4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos
2
x - 4
3
cosx
+ 3 = 0
7) 2sin
2
x – cosx +
7
2
= 0 8) 2sin
2
x – 7sinx + 3 = 0 9) 2sin

2
x + 5cosx = 5.
Bài 3. Giải các phương trình:
3
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
1) 2sin
2
x - cos
2
x - 4sinx + 2 = 0 2) 9cos
2
x - 5sin
2
x - 5cosx + 4 = 0 3)5sinx(sinx - 1) -
cos
2
x = 3
4) cos2x + sin
2
x + 2cosx + 1 = 0 5) 3cos2x + 2(1 +
2
+ sinx)sinx – (3 +
2
) = 0
6) tan
2
x + (
3
- 1)tanx –
3

= 0
Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx -
3
cosx = 1
3)
3
sin3x + cos3x = 1 4) sin4x +
3
cos4x =
2
5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
3 cos3 sin3 2x x
+ =
2)
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x
− = +

3)
cos7 cos5 3sin 2 1 sin7 sin5x x x x x
− = −
4)
cos7 3sin7 2x x
− =−
Dạng 3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin.
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0.

3) 4
3
sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x +
5
2
. 4)
1
3sin cos
cos
x x
x
+ =
;
5)
5
2
3sin (3 ) 2sin( )cos( )
2 2
x x x
π π
π
− + + +
3
2
5sin ( ) 0
2
x
π
− + =
.

6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2.
8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0.
10)
2 2
sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 5+
.
Dạng 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
(2 2)
+
(sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2
2
+ 1
2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6 3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
2
(sinx + cosx) - sinxcosx = 1. 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) =
2
2
.
3) sin
3
x + cos
3
x =
2
2

. 4) sinx – cosx + 7sin2x = 1. 5)sinxcosx + 2sinx + 2cosx
= 2.
C.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) cos2x = -
2
2
2) tan(3x + 2) + cot2x = 0 3) tan(x + 60
o
) = -
3

4) sin3x = cos4x
Bài 2. Giải các phương trình: 1) sin
2
x =
1
2
2) sin
2
x + sin
2
2x = sin
2
3x
3) cos
2
3x = 1
4
CHUN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11

4)sinx + sin2x + sin3x = 0 5)cosx.cos3x =
cos5x.cos7x 6)cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
Bài 3. Giải các phương trình:
1) 2sin
2
x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin
2
x + 4cosx - 1 = 0 3) cot
2
x - 4cotx + 3 = 0
4)cos
2
2x + sin2x + 1 = 0 5)sin
2
2x - 2cos
2
x +
3
4
= 0 6)4cos
2
x - 2(
3
- 1)cosx
+
3
= 0
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x =
2

3) 2sin
4
x
π
 
+
 ÷
 
+ sin
4
x
π
 
−
 ÷
 
=
3 2
2
4) 2sin17x +
3
cos5x + sin5x = 0
Bài 5. Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos
3
x + sin
3
x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3

3
(sinx + cosx) + 5 = 0
Bài 6. Giải các phương trình
1) sin
2
x - 10sinxcosx + 21cos
2
x = 0 2) cos
2
x - 3sinxcosx + 1 = 0
3) cos
2
x - sin
2
x -
3
sin2x = 1 4) 3sin
2
x + 8sinxcosx + (8
3
-
9)cos
2
x = 0
5) 4sin
2
x + 3
3
sin2x - 2cos
2

x = 4 6) 2sin
2
x + (3 +
3
)sinxcosx + (
3
- 1)cos
2
x = 1
Bài 7. Tìm tập xác đònh của mỗi hàm số sau:
a)y =
3 sinx
−
b) y =
1 cosx
sinx
−
c)y =
tan 2x
3
 
π
+
 ÷
 
d) y =
cot x
6
 
π

+
 ÷
 
e)y =
3
2cosx
f) y =
cot x
cosx 1−
Bài 8 Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:
a)y = x – sinx b) y = sinx – cosx c)y = sinxcosx + tanx d)y =
cosx
x
e)y =
1 cosx
−
f)y = x
3
sin2x
Bài 9.Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a)y =
2
1 sin(x ) 1
− −
b) y=
2 cosx 1
+
c)y = 3–2sinx d) y =
2(1 cosx) 1
+ +

e) y = 2 + 3cosx f) y = 3 – 4sin
2
xcos
2
x g) y = cos
2
x +
2cos2x
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCTRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
5
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
KHỐI A
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2
π
) của p t:
3 3
5 2 3
1 2 2
 
+
+ = +
 ÷
+
 
cos sin
sin cos
sin
x x
x x
x

(2002)
2.
2
2 1
1 2
1 2
− = + −
+
cos
cot sin sin
tan
x
x x x
x
(2003 )
3.
2 2
3 2 0
− =
cos cos cosx x x
(2005)
4.
( )
6 6
2
0
2 2
+ −
=
−

cos sin sin cos
sin
x x x x
x
(2006)
5.
3 sin2x+cos2x=2cosx-1
( 2012)
6.
1 tan x 2 2 sin x
4
π
 
+ = +
 ÷
 
( 2013)
7.
(1 sin cos 2 ).sin( )
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x
π
+ + +
=

+
(2010)
8.
( ) ( )
2 2
1 1 1 2+ + + = +sin cos cos sin sinx x x x x
(Khối A_2007)
9.
1 1 7
4
4
3
2
 
π
+ = −
 ÷
 
π
 
−
 ÷
 
sin
sin
sin
x
x
x
(2008)

10.
( )
( ) ( )
1 2
3
1 2 1
−
=
+ −
sin cos
sin sin
x x
x x
. (2009)
11.
2
1 2 2
2 2
1
sin cos
sin sin
cot
x x
x x
x
+ +
=
+
(2011)
12.

1 tan x 2 2 sin x
4
π
 
+ = +
 ÷
 
(2013)
KHỐI B
13.
2 2 2 2
3 4 5 6
− = −
sin cos sin cosx x x x
(Khối B_2002)
14.
2
4 2
2
− + =
cot tan sin
sin
x x x
x
(2003)
15.
( )
2
5 2 3 1
− = −

sin sin tanx x x
(2004)
16.
1 2 2 0
+ + + + =
sin cos sin cosx x x x
(Khối B_2005)
17.
1 4
2
cot sin ( tan tan )
x
x x x
+ + =
( 2006)
18.(sin2x+cos2x)cosx+2cos2x-sinx
=0(2010)
19.
2
2 2 7 1
+ − =
sin sin sinx x x
(Khối B_2007)
20.
3 3 2 2
3 3− = −sin cos sin cos sin cosx x x x x x
(Khối B_2008)
21.
( )
3

2 3 3 2 4+ + = +sin cos sin cos cos sinx x x x x x
.
(Khối B_2009)
22.
2 2sin cos sin cos cos sin cosx x x x x x x
+ = + +
(2011)
23.
2(cos 3 sin )cos cos 3 sin 1
+ = − +
x x x x x

( 2012)
24
2
sin 5 2cos 1x x+ =
(2013)
KHỐI D
23.Tìm x∈[0;14]
3 4 2 3 4 0cos cos cosx x x
− + − =
(Khối D_2002)
24.
2 2 2
0
2 4 2
sin ( )tan cos
x x
x
π

− − =
(Khối D_2003)
25.
( ) ( )
2 1 2 2− + = −cos sin cos sin sinx x x x x
(Khối D_2004)
26.
4 4
3
3 0
4 4 2
   
π π
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
cos sin cos sinx x x x
29.
3 3 3 2 2− =sin cos sinx x x
(CĐ-2008)
30. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx(K
D_2008)
31.(1+2sinx)
2
cosx=1+sinx+cosx (CĐ-
2009)
32.
3 5 2 3 2 0− − =cos sin cos sinx x x x
( D_200
9)

33.
2 2 1
0
3
sin cos sin
tan
x x x
x
+ − −
=
+

(KhốiD_2011)
6
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
(Khối D_2005)
27.
cos3 cos2 cos 1 0
+ − − =
x x x
( D_2006)
28.
2
3 2
2 2
 
+ + =
 ÷
 
sin cos cos

x x
x
(KhốiD_2007)
34. sin3x + cos3x – sinx + cosx =
2
cos2x
(KD 2012)
35. 2cos2x + sinx = sin3x. (CĐ 2012)
36.
sin 3 cos 2 sin 0
+ − =
x x x
(2013)
37.
sin2x-cos2x +3sinx-cosx-1=0 (2010)
7