Chương 1: Xác suất của biến cố ngẫu nhiên

Chương 1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
NGẪU NHIÊN
Bài 1
PHÉP THỬ, BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP
TÓAN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN CỐ
1.1. Khái niệm phép thử và biến cố:
Phép thử: được hiểu là một nhóm các hành
động, hoặc thí nghiệm để nghiên cứu một
đối tượng hay một hiện tượng nào đó.


Biến cố (hay sự kiện): là kết qủa của một
phép thử.
Ví dụ:
1) Gieo một con xúc sắc là một phép thử.
Sự kiện con xúc sắc xuất hiện mặt “1
chấm”, hay mặt “2 chấm”… gọi là biến
cố.
Hoặc sự kiện con xúc sắc xuất hiện
mặt chấm chẵn cũng là một biến cố.


2) Mua một món hàng là một phép thử.
Sự kiện gặp “lọai hàng tốt” là một
biến cố.
3) Bắn một viên đạn vào một mục tiêu là
một phép thử.
Sự kiện viên đạn “không trúng mục
tiêu” là một biến cố.
4) Quan sát khách hàng ra vào ở một Bưu
điện trong một ngày là một phép thử.

Kết qủa số người ra vào sử dụng trong
ngày đó là một biến cố.
1.2. Các lọai biến cố:
a) Biến cố chắc chắn:
Là biến cố nhất định xảy ra khi thực
hiện phép thử.
Ví dụ:
Gieo một con xúc xắc, biến cố “xuất hiện
mặt có số chấm nhỏ hơn 7” là chắc chắn
Ký hiệu của biến cố chắc chắn là Ω .


b) Biến cố rỗng (hay biến cố không thể)
Là biến cố nhất định khơng xảy ra khi
thực hiện phép thử.
Ví dụ:
Gieo một con xúc xắc, biến cố “xuất hiện
mặt có số chấm 7” là rỗng.
Ký hiệu của biến cố rỗng là ∅
c) Biến cố ngẫu nhiên:
Là biến cố có thể xảy ra hay không xảy
ra khi thực hiện một phép thử.


Ví dụ:
Gieo 1 con xúc xắc. Sự kiện con xúc
sắc xuất hiện mặt có số chấm bằng 1 là một
biến cố ngẫu nhiên.

Gieo 1 con xúc xắc. Sự kiện con xúc
sắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn là một
biến cố ngẫu nhiên.
Một hộp đựng 10 viên bi như nhau,
trong đó có 3 bi trắng và 7 bi đen. Lấy ngẫu
nhiên 2 viên bi từ hộp. Sự kiện để lấy được
một bi trắng và một bi đen là một b. cố nn .


1.3. Quan hệ giữa các biến cố:
Cho hai biến cố A, B. Biến cố A được
gọi là con của biến cố B nếu:
A xảy ra thì B xảy ra.
Ký hiệu: A ⊂ B .
Ví dụ: Gieo 1 con xúc xắc. Gọi B là biến
cố con xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm
chẵn , và A là biến cố con xúc sắc xuất
hiện mặt có số chấm bằng 2 . Khi đó

A⊂ B


Chú ý: Trong một phép thử, biến cố rỗng là
con của mọi biến cố, và mọi biến cố ngẫu
nhiên đều là con của biến cố chắc chắn.

∅⊂ A⊂Ω

1.4. Các phép tóan trên tập các biến cố
ngẫu nhiên:

Xét trong một phép thử. Gọi A, B…là các
biến cố ngẫu nhiên, ta có một số định nghĩa
1.4.1. Tổng (hợp) của hai biến cố:


Tổng của hai biến cố A, B là một biến
cố (ký hiệu A+B) có tính chất:
A+B xảy ra khi A xảy ra hay B xảy ra.
Ví dụ:
Có hai xạ thủ cùng bắn vào một mục
tiêu, và mục tiêu bị phá hũy khi cả hai cùng
bắn trúng. Gọi A, B lần lượt là biến cố
trúng đích của các xạ thủ.
Khi đó A+B là biến cố “mục tiêu bị
trúng đạn”.


1.4.2. Tích (giao) của hai biến cố:
Tích của hai biến cố A, B là một biến
cố (ký hiệu AB) có tính chất:
AB xảy ra khi A và B đồng thời xảy ra.
Ví dụ:
Trở lại ví dụ ở trên thì AB chính là biến
cố mục tiêu bị phá hũy.
1.4.3. Hiệu của hai biến cố:
Hiệu của hai biến cố A, B là một biến
cố (ký hiệu A-B) có tính chất:


A-B xảy ra khi A xảy ra và B không

xảy ra.
Ví dụ: Gieo một con xúc sắc, gọi
A là biến cố con xúc sắc xuất hiện
mặt chấm chẵn.
Ai là biến cố con xúc sắc xuất hiện
mặt có số chấm là i.
B là biến cố con xúc sắc xuất hiện
mặt có số chấm chia hết cho 3. Khi đó
B=A-A2


Nếu A − B = Ω − B thì biến cố Ω − B
được gọi là biến cố đối lập của biến cố B.
Và được ký hiệu B = Ω − B
Ví dụ: Trong một hộp có 10 sản phẩm,
trong đó có 3 phế phẩm. Rút ngẫu nhiên từ
hộp 4 sản phẩm.
Gọi A là biến cố rút được ít nhất một
phế phẩm.
Khi đó A là biến cố khơng rút được
phế phẩm nào cả.


1.4.4. Hai biến cố xung khắc:
Hai biến cố A, B được gọi xung khắc
với nhau nếu AB là biến cố rỗng.
Ví dụ: Gieo một con xúc sắc, gọi
A là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt
chấm chẵn.
Ai là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt

có số chấm là i.
Khi đó A xung khắc với A1, A2, A3
Và các biến cố Ai xung khắc với nhau đôi


1.4.5. Biến cố sơ cấp:
Là biến cố không thể biểu diễn thành
tổng của các biến cố khác.
Về mặt hình học có thể hình dung, đó
là phần nhỏ nhất khơng thể phân chia nhỏ
hơn nữa.
Ví dụ:
Gieo một con xúc xắc. Gọi Ai là biến
cố “xuất hiện mặt i chấm”, i=1,..,6. Các
biến cố A là các biến cố sơ cấp.


+ Biến cố chắc chắn Ω là tổng của mọi
biến cố sơ cấp có thể có, nên Ω cịn gọi là
không gian các bcsc hay không gian mẫu.
+ Bcsc là bcnn, ngược lại bcnn nói
chung khơng là bcsc.
Ví dụ: Trong vd về con xúc sắc, ta có
Ω = { A1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 }
A1 ,..., A 6 là các biến cố sơ cấp.
B = A 2 ∪ A 4 ∪ A 6 là biến cố ngẫu nhiên
nhưng không là biến cố sơ cấp.


BT: Cho 3 bc A, B, C. Sử dụng các ký

hiệu biến cố tổng, biến cố tích và biến
cố đối lập để diễn tả các bc sau đây:
a) A, B, C đều xảy ra.
b) Có ít nhất 1 biến cố xảy ra.
c) Có đúng 2 biến cố xảy ra.
d) Chỉ có 1 trong 3 biến cố xảy ra.
e) Khơng có biến cố nào xảy ra.


a) A, B, C đều xảy ra là ABC
b) có ít nhất 1 bc xảy ra là: A+B+C
c) có đúng 2 bc xảy ra

ABC + ABC + ABC
d) chỉ có 1 trong 3 bc xảy ra

ABC + ABC + ABC
e) khơng có bc nào xảy ra

ABC