Số phức theo sơ đồ tư duy

THANH TÙNG 0947141139

1

CHUYÊN ðỀ : SỐ PHỨC
Bài tập mẫu

Bài 1. Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng số phức
a bi
+

( , )
a b
∈


1.
2(2 3 )
(1 2 )(3 ) 4 2
1
i
A i i i
i
+
= + − − + −
+
2.
1 3 1 2
1 2 1
i i i
B

i i i
+ − +
= + −
− − +

3.
5 6
3 5
(2 ) (1 )
(1 2 ) (1 )
i i
C
i i
+ +
= −
− −
4.
2012 2013 2012 2013
(1 ) (1 )
D i i i i= − − − + +
Giải:
1.
2(2 3 ) 2(2 3 )(1 )
(1 2 )(3 ) 4 2 (3 2) ( 1 6) 4 2
1 (1 )(1 )
i i i
A i i i i i
i i i
+ + −
= + − − + − = + + − + − + −

+ + −


2 2
2(5 )
5 5 4 2 5 5 (5 ) 4 2
1 1
i
i i i i i
+
= + − + − = + − + + − =
+
4 2
i
+

2.
2
1 3 1 2 (1 ) (3 )(2 ) (1 2 )(1 )
1 2 1 (1 )(1 ) (2 )(2 ) (1 )(1 )
i i i i i i i i
B
i i i i i i i i i
+ − + + − + + −
= + − = + −
− − + − + − + + −


2 7 3 7 3 1 1
1

2 5 2 5 2 5 2
i i i
i
+ +
   
= + − = − + + − =
   
   
1 7
10 10
i
− +

3.
3 5
5 6
2
3 5
(2 ) (1 ) 2 1
.(2 ) .(1 )
(1 2 ) (1 ) 1 2 1
i i i i
C i i
i i i i
+ + + +
   
= − = + − +
   
− − − −
   

5
3
2
(2 )(1 2 ) (1 )
.(3 4 ) .(1 )
5 2
i i i
i i
 
+ + +
 
= + − +
 
 
 
 


3 5
3 5
5 2
.(3 4 ) .(1 ) .(3 4 ) (1 ) (3 4 ) (1 )
5 2
i i
i i i i i i i i i i
   
= + − + = + − + = − + − + =
   
   
5 4

i
−

4.
1006 1006
2012 2013 2012 2013 2 1006 2 1006 2 2
(1 ) (1 ) ( ) ( ) . (1 ) (1 ) (1 )
D i i i i i i i i i i
   
= − − − + + = − − − + + +
   


1006 1006 1006 1006 1006 1006 2 503
( 1) ( 1) . ( 2 ) (2 ) .(1 ) 1 (2 ) . 1 2 .( ) .
i i i i i i i i i i
= − − − − − + + = − + = − + =
1006
1 (1 2 )
i
− +

THANH TÙNG 0947141139

2

Bài 2. Cho số phức
1
1
i

z
i
+
=
−
. Tính giá trị của biểu thức:
2013
2
A iz
= +
.

Giải: Ta có:
2
1 (1 ) 2
1 2 2
i i i
z i
i
+ +
= = = =
−
2013 2013 2 1006 1006
( ) . ( 1) .
z i i i i i
⇒ = = = − =


2013 2
2 2 2 1

A iz i
⇒ = + = + = − =
1
. Vậy
1
A
=


Bài tập áp dụng
1) Tính các giá trị biểu thức sau:

1
1 3
2 2
A
i
=
+

(
)
(
)
2 2
1 3 1 3
B i i
= + + −

2 2011 2012

1
C i i i i
= + + + + +


100
(1 )
D i
= −

16 8
1 1
1 1
i i
E
i i
+ −
   
= +
   
− +
   

105 23 2012 34
F i i i i
= + + −

2) Cho số phức
1
1

i
z
i
−
=
+
. Tính giá trị của
2013
z
.
3) Cho số phức
3 1
2 2
z i
= −
. Tính các số phức sau:
(
)
3
2 2
; ; ;1
z z z z z
+ +
.


DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC ðẠI LƯỢNG ðẶC TRƯNG


THANH TÙNG 0947141139

3


Bài tập mẫu
1. (D – 2012) Cho số phức z thỏa mãn
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
+
+ + = +
+
. Tìm môñun của số phức
1
w z i
= + +
.

Phân tích :
+) ðiều kiện
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
+

+ + = +
+
chỉ chứa
z
nên ta thực hiện các phép toán
z a bi
⇒ = +

+) Suy ra
1
w z i
= + +

w
⇒


Giải: Ta có:
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
+
+ + = +
+


2(1 2 )(1 )

(2 ) 7 8
(1 )(1 )
i i
i z i
i i
+ −
⇔ + + = +
+ −


2(3 )
(2 ) 7 8
2
i
i z i
+
⇔ + + = +


(2 ) 4 7
i z i
⇔ + = +


4 7 (4 7 )(2 ) 15 10
3 2
2 5 5
i i i i
z i
i

+ + − +
⇔ = = = = +
+


2 2
1 3 2 1 4 3 4 3 5
w z i i i i w
⇒ = + + = + + + = + ⇒ = + =
.
Vậy
5
w
=




THANH TÙNG 0947141139

4

2. ( A – 2010-NC): Cho số phức z thỏa mãn:
3
(1 3 )
1
i
z
i
−

=
−
. Tìm môñun của số phức
z iz
+
.

Phân tích :
+) ðiều kiện
3
(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
chỉ chứa
z
nên ta thực hiện các phép toán
z a bi z a bi
⇒ = + ⇒ = −

+) Suy ra
z iz
+

z iz
⇒ +

Giải:
Ta có:
3 2 3
(1 3 ) 1 3 3 3( 3 ) ( 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 )
4 4
1 1 1 1 2
i i i i i i i
z i
i i i i
− − + − − − + − − +
= = = = = = − −
− − − −

Vậy
4 4 4 4
z i z i
= − − ⇒ = − +
2 2
4 4 ( 4 4 ) 8 8 8 8 8 2
z iz i i i i⇒ + = − − + − + = − − = + =
hay
8 2
z iz+ =

3. (A, A1 – 2012 – NC): Cho số phức z thỏa mãn
5( )
2
1

z i
i
z
+
= −
+
. Tính môñun của số phức
2
1
w z z
= + +
.

Phân tích :
+) Trong ñiều kiện
5( )
2
1
z i
i
z
+
= −
+
chứa ñồng thời
z
và
z
nên gọi
z a bi

= +

( , )
a b R
∈

+) Từ ñiều kiện
5( )
2
1
z i
i
z
+
= −
+

biến ñổi về dạng
2
1 2
?
1
?
a
z z z w z z w
b
=

= ⇒ ⇒ ⇒ = + + ⇒


=


Giải:
+) Gọi
z a bi
= +

( , )
a b R
∈
,
1
z
≠ −

+) Khi ñó:
5( )
2 5( ) ( 1)(2 ) 5( ) ( 1)(2 )
1
z i
i z i z i a bi i a bi i
z
+
= − ⇔ + = + − ⇔ − + = + + −
+
(*)
(*)
5 5( 1) (2 2 ) ( 1 2 )
a b i a b a b i

⇔ − − = + + − + −
5 2 2 3 2 1
5( 1) 2 1 7 6 1
a a b a b a
b a b a b b
= + + − = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
− = − + − = − =
  


⇒
2 2 2 2
1 1 1 1 (1 ) 2 3 2 3 13
z i w z z i i i w= + ⇒ = + + = + + + + = + ⇒ = + = . Vậy
13
w =
4. ( D – 2010): Tìm số phức z thỏa mãn:
2
z = và
2
z
là số thuần ảo.

Phân tích :
+) Trong ñiều kiện
2
z =

chứa
z
nên gọi
z a bi
= +

( , )
a b R
∈

+) Từ hai ñiều kiện
2
z =

và
2
z
là số thuần ảo
1
2
( , ) 0
?
( , ) 0 ?
f a b
a
z
f a b b
=
=



⇒ ⇔ ⇒
 
= =



Giải:
+) Gọi
z a bi
= +

( , )
a b R
∈
2 2 2 2
2 2 2
z a b a b
⇒ = ⇔ + = ⇔ + =

(1)
+) Ta có:
2 2 2 2
( ) 2
z a bi a b abi
= + = − +
là số thuần ảo
2 2
0
a b

⇒ − =
2 2
b a
⇔ =
(2)
THANH TÙNG 0947141139

Thay (2) vào (1):
2
1 1
2 2
1 1
a b
a
a b
= ⇒ = ±

= ⇔

= − ⇒ = ±

.
Vậy các số phức cần tìm là:
1 ;
i
+

1 ;
i
−

1 ;
i
− +

1
i
− −
.
5. Tìm số phức z thỏa mãn
( 1)( 2 )
z z i
− +
là số thực và
1 5
z − = .

Phân tích :
+) ðiều kiện
( 1)( 2 )
z z i
− +
chứa ñồng thời
z
và
z
và
1 5
z − =

có
1
z
−
nên gọi
z a bi
= +

( , )
a b R
∈

+) Từ hai ñiều kiện
( 1)( 2 )
z z i
− +

là số thực và
1 5
z − =
1
2
( , ) 0
?
( , ) 0 ?
f a b
a
z
f a b b
=

=


⇒ ⇔ ⇒
 
= =



Giải:
+) Gọi
z a bi
= +

( , )
a b R
∈
( 1)( 2 ) ( 1)( 2 ) [( 1) ][ ( 2) ]
z z i a bi a bi i a bi a b i
⇒ − + = + − − + = − + − −


[ ( 1) ( 2)] [ ( 1)( 2)]
a a b b ab a b i
= − + − + − − −


( 1)( 2 )
z z i
− +

là số thực
[ ( 1)( 2)] 0 2 2 0
ab a b a b
⇔ − − − = ⇔ + − =
(1)
Ta có:
2 2 2 2
1 5 1 5 ( 1) 5 ( 1) 5
z a bi a b a b
− = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + =
(2)
Từ (1)
2 2
b a
⇒ = −
thay vào (2) ta ñược:
2 2 2
0 2
( 1) (2 2) 5 2 0
2 2
a b
a a a a
a b
= ⇒ =

− + − = ⇔ − = ⇔

= ⇒ = −


Vậy các số phức cần tìm là:
2
i
;
2 2
i
−
.
6. Trong các số phức thỏa mãn ñiều kiện
2 4 2
z i z i
− − = −
. Tìm số phức z có môñun nhỏ nhất.

Phân tích :
+) ðiều kiện
2 4 2
z i z i
− − = −
chứa môñun nên gọi
z a bi
= +

( , )
a b R
∈

+) Từ hai ñiều kiện
2 4 2

z i z i
− − = −

và z có môñun nhỏ nhất
1
2
( , ) 0
?
( , ) 0 ?
f a b
a
z
f a b b
=
=


⇒ ⇔ ⇒
 
= =



Giải:
+) Gọi
z a bi
= +

( , )
a b R

∈
2 4 2 ( 2) ( 4) ( 2)
z i z i a b i a b i
⇒ − − = − ⇔ − + − = + −


2 2 2 2
( 2) ( 4) ( 2)
a b a b⇔ − + − = + −


4 8 20 4 4
a b b
⇔ − − + = − +


4
b a
⇔ = −


Khi ñó
2 2 2 2 2 2
( 4) 2( 4 8) 2( 2) 8 8
z a b a a a a a= + = + − = − + = − + ≥

min
2 2
z⇒ =
khi

2 0 2 2
a a b
− = ⇔ = ⇒ =
.
Vậy số phức
2 2
z i
= +


Chú ý: Các em có thể tham khảo thêm cách giải thứ 2 của bài toán này ở Dạng 3 – Loại 1



THANH TÙNG 0947141139
Bài tập áp dụng
1) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a)
3 3
( 1 ) (2 )
z i i
= − + −
. b)
2013
(1 )
1
i
z
i
+

=
−
. c)
2 3 20
1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
z i i i i
= + + + + + + + + +

2) Cho hai số phức
1
1 2
z i
= +
,
2
2 3
z i
= −
. Xác ñịnh phần thực và phần ảo của số phức
1 2
2
z z
−
và
1 2
.
z z

3) ( B – 2011-NC): Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3

1 3
1
i
z
i
 
+
=
 
 
+
 
.
4) ( A – 2010): Tìm phần ảo của số phức z, biết:
(
)
2
2 (1 2 )
z i i
= + −
.
5) (Cð – 2009 – A): Cho số phức z thỏa mãn
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )
i i z i i z
+ − = + + +
. Tìm phần thực, phần ảo của z.
6) (Cð – 2010): Cho số phức z thỏa mãn
2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )

i z i z i
− + + = − +
. Tìm phần thực, phần ảo của z.
7) Tìm phần thực của số phức
(1 )
n
z i
= +
, biết
n N
∈
thỏa mãn phương trình:

4 4
log ( 3) log ( 9) 3
n n
− + + =
.
8) Tìm số phức z, biết: a)
(2 3 ) 1 9
z i z i
− + = −
(D – 2011) b)
5 3
1 0
i
z
z
+
− − =

( B – 2011)
9) (A – 2011): Tìm tất cả các số phức z, biết:
2
2
z z z
= +
.
10) ( B – 2009): Tìm số phức z thỏa mãn:
(2 ) 10
z i− + = và
. 25
z z
=
.
11) Tìm số phức z thỏa mãn:
. 3( ) 4 3
z z z z i
+ − = −
.
12) Tìm số phức z thỏa mãn:
2 2
z i
− + =
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 ñơn vị.
13) Tìm số phức z, biết
2 5
z = và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
14) Tìm số phức z thỏa mãn:
a.

(2 3 ) 1
i z z
+ = −
b.
20
1 3
z i
z
− = −
c.
2
0
z z
+ =
. d.
2
2
2 8
z zz z
+ + =
và
2
z z
+ =
.

15) Tìm môñun của số phức: a.
3
1 4 (1 )
z i i

= + + −
. b.
(1 )(2 )
1 2
i i
z
i
+ −
=
+

16) (A – 2011-NC): Tìm môñun của số phức z, biết:
(2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2
z i z i i
− + + + − = −
.
17) Cho số phức z thỏa mãn
11 8
1 2
.
1 1
i i
i z
i i
+
   
= +
   
− +
   

. Tìm môñun của số phức
z iz
+
.
18) Cho số phức z thỏa mãn
2 2 1
z i
− + =
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
z
.
19) Tìm số phức liên hợp của
1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
= + − +
+
.
20) Cho số phức z thỏa mãn
1
2
z
i
z
z
 =



+ =


. Tìm số phức liên hợp của z.
21) Tìm số nghịch ñảo của số phức
3
2
1 3 2
1 (1 )
i i
z
i i
 
− −
= −
 
+ −
 
.
22) Biết số phức z thỏa mãn
30 7
z z iz i
+ + = −
. Tìm số ñối của z.

THANH TÙNG 0947141139


Bài tập mẫu
1. Xét các ñiểm A,B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số

4 2 6
;(1 )(1 2 );
1 3
i i
i i
i i
+
− +
− −
.
a.Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân.
b.Tìm số phức biểu diễn bởi ñiểm D, sao cho ABCD là hình vuông.


Giải: Ta có:
4 4 ( 1 )
2 2
1 2
i i i
i
i
− −
= = −
−
(2; 2)
A
⇒ −
;
(1 )(1 2 ) 3 (3;1)
i i i B

− + = + ⇒


2 6 (2 6 )(3 ) 20
2 (0;2)
3 10 10
i i i i
i C
i
+ + +
= = = ⇒
−

a. Khi ñó :
2 2
10
(1;3)
. 0
(3; 1)
AB CB
AB
AB CB
CB


= =
=
 
⇒
 

=
= −




uuur
uuur uuur
uuur
Suy ra tam giác
ABC
vuông cân tại
B
(ñpcm).
b. Gọi
( ; )
D x y
( ;2 )
DC x y
⇒ = − −
uuur

Vì tam giác
ABC
vuông cân tại
B
nên
ABCD
là hình vuông khi :
DC AB

=
uuur uuur
1 1
2 3 1
x x
y y
− = = −
 
⇔ ⇔
 
− = = −
 

Vậy số phức biểu diễn bởi ñiểm
( 1; 1)
D
− −
là:
1
i
− −

2. Trong các số phức thỏa mãn ñiều kiện
2 4 2
z i z i
− − = −
. Tìm số phức z có môñun nhỏ nhất.

Giải: Cách 1: (Các em xem lại cách giải bài toán này theo phương pháp ñại số Ví dụ thứ 6 ở DẠNG 2)
Cách 2:

+) Gọi ñiểm
( ; )
M x y
biểu diễn số phức
z x yi
= +

( ; )
x y R
∈

+) Ta có:
2 4 2 ( 2) ( 4) ( 2)
z i z i x y i x y i
− − = − ⇔ − + − = + −


2 2 2 2
( 2) ( 4) ( 2) 4 8 20 4 4 4 0
x y x y x y y x y
⇔ − + − = + − ⇔ − − + = − + ⇔ + − =

Vậy
M
thuộc ñường thẳng
d
có phương trình:
4 0
x y
+ − =

(*)

+) Ta có:
z OM
=
min
min
z OM OM d
⇒ ⇔ ⇔ ⊥


. 0 0
d
OM u x y
⇔ = ⇔ − =
uuuur uur
(2*) (với
( ; ), (1; 1)
d
OM x y u
= = −
uuuur uur
)

Từ (*) và (2*) suy ra:
4 0 2
0 2
x y x
x y y
+ − = =

 
⇔
 
− = =
 
(2;2)
M
⇒
hay số phức
2 2
z i
= +

THANH TÙNG 0947141139

Bài tập áp dụng
1) Các ñiểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 1 – i, 2 + 3i, 3 + i
và 3i, 3 – 2i, 3 + 2i. Chứng minh rằng tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
2) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho A và B là hai ñiểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm phức của phương
trình
2
6 18 0
z z
+ + =
. Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân.
3) Tromg mặt phẳng phức, cho ba ñiểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức z,
3 3
3
i
z

 
+
 
 
 
và
3
i
z
.
Chứng minh rằng:
a. Tam giác OMA vuông tại M.
b. Tam giác MAB là tam giác vuông.
c. Tứ giác OMAB là hình chữ nhật.


Bài tập mẫu
1. Cho số phức
z
thỏa mãn
3 2
z i z
− + = +
.
a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức
z
.
b. Trong các số phức
z
thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun bé nhất.

Giải:
a) Gọi
( ; )
M x y
là ñiểm biểu diễn số phức
z x yi
= +

( ; )
x y R
∈
trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

3 2 3 2
z i z x yi i x yi
− + = + ⇔ + − + = − +


( 3) ( 1) ( 2)
x y i x yi
⇔ − + + = + −


2 2 2 2
( 3) ( 1) ( 2)
x y x y
⇔ − + + = + +

6 2 10 4 4 5 3 0
x y x x y
⇔ − + + = + ⇔ − − =

Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
z
là ñường thẳng
d
có phương trình:
5 3 0
x y
− − =

(*)

THANH TÙNG 0947141139

b) Cách 1 (Phương pháp ñại số)
Từ (*) ta có:
5 3
y x
= − ⇒

2 2 2 2 2
(5 3) 26 30 9
z x y x x x x
= + = + − = − +

Nên:
min

z
khi
(
)
2
min
26 30 9x x− +
15
2 26
b
x
a
⇔ = − =
từ ñó suy ra:
3
5 3
26
y x
−
= − =

Vậy số phức có môñun nhỏ nhất là:
15 3
26 26
z i
= −

Cách 2 (Phương pháp hình học)

ðường thẳng

d
có phương trình:
5 3 0
x y
− − =

có véctơ chỉ phương
(1;5)
d
u =
uur

Ta có:
z OM
=
min
min
z OM OM d
⇒ ⇔ ⇔ ⊥

. 0 5 0
d
OM u x y
⇔ = ⇔ + =
uuuur uur
(2*) (với
( ; )
OM x y
=
uuuur

)

Từ (*) và (2*) suy ra:
15
5 3 0
26
5 0 3
26
x
x y
x y
y

=
− − =


⇔
 
+ = −

=


15 3
;
26 26
M
 
⇒ −

 
 
hay số phức
15 3
26 26
z i
= −

2. Cho số phức
z
thỏa mãn
(1 )
2 1
1
i z
i
+
+ =
−

a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức
z
.
b. Trong các số phức
z
thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun lớn nhất và số có môñun nhỏ nhất.


Giải: a) Gọi
( ; )

M x y
là ñiểm biểu diễn số phức
z x yi
= +

( ; )
x y R
∈
trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

2
(1 ) (1 )
2 1 2 1 2 1
1 2
i z i z
iz
i
+ +
+ = ⇔ + = ⇔ + =
−


2 2
( ) 2 1 ( 2) 1 ( 2) 1
i x yi y xi y x
⇔ + + = ⇔ − + + = ⇔ − + =


2 2
( 2) 1

y x
⇔ − + =
(*)
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức
z
là ñường tròn tâm
(2;0)
I
có bán kính
1
R
=
.
b) Cách 1 (Phương pháp ñại số)
Từ (*)
2
( 2) 1 1 2 1 1 3
y y y
⇒ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤
(1) Mặt khác từ (*) ta có:
2 2
4 3
x y y
+ = −
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
1 9
x y
≤ + ≤

hay
2
1 9 1 3
z z
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Do ñó:
min
1
z
=
khi
1
y
=
và
0
x
=
hay số phức có môñun nhỏ nhất là:
z i
=


max
3
z
=
khi
3

y
=
và
0
x
=
hay số phức có môñun lớn nhất là:
3
z i
=
.

THANH TÙNG 0947141139

Cách 2 (Phương pháp hình học)


3. Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2 2( ) 2
z z z i
− = − −

a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức
z
.
b. Trong các số phức
z

thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun lớn nhất và số có môñun nhỏ nhất.



Giải:
a) Gọi
( ; )
M x y
là ñiểm biểu diễn số phức
z x yi
= +

( ; )
x y R
∈
trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

2
2 2( ) 2
z z z i
− = − −
2
2 2[ ( )] 2
x yi x yi x yi i
⇔ − − = + − − −
2
2
( 2) 4 2
x yi yi
⇔ − − = −

⇔
2 2
( 2) 4 2
x y y
− + = − −


2 2
( 2) ( 2) 2
x y
⇔ − + + =

(*)

Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức
z
là ñường tròn tâm
(2; 2)
I
−
có bán kính
2
R =
.
b)

Ta có:
2 2
z x y OM
= + = nên

min
z
khi
min
OM
.
Có:
(2; 2)
OI
= −
uur
nên phương trình
OI
:
2 2
x y
y x
= ⇔ = −
−
(2*)
Ta tìm giao ñiểm của
OI
với ñường tròn (*) bằng cách thay (2*) vào (*):

( )

2
1
2 2
2
(1; 1)
2 1 1 1
( 2) 2 2 ( 2) 1
2 1 3 3 (3; 3)
M
x x y
x x x
x x y M
−
− = − = ⇒ = −

 
− + − + = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇒

 
− = = ⇒ = − −
 

1
2
2
3 2
OM
OM

=


⇒

=



Mặt khác ñiểm thuộc ñường tròn có khoảng cách tới gốc tọa ñộ
O
lớn nhất, nhỏ nhất phải thuộc một trong
2 ñiểm
1 2
,
M M
. Do ñó
1
min
z OM
=
hay
1
(1; 1)
M M
≡ −
nên số phức có môñun nhỏ nhất là:
1
1
z i
= −

2
max
z OM
=
hay
2
(3; 3)
M M
≡ −
nên số phức có môñun lớn nhất là:
2
3 3
z i
= −


THANH TÙNG 0947141139

4
.

(
B
–

2010

–

CB
):

Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a ñ
ộ

Oxy, tìm t
ậ
p h
ợ
p ñi
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố

ph
ứ
c
z

th
ỏ
a mãn:



(1 )
z i i z
− = +


Giải:
Gọi
( ; )
M x y
là ñiểm biểu diễn số phức
z x yi
= +

( ; )
x y R
∈
trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

(1 ) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )
z i i z x yi i i x yi x y i x y x y i
− = + ⇔ + − = + + ⇔ + − = − + +

2 2 2 2 2 2 2 2
( 1) ( ) ( ) 2 1 2 2
x y x y x y x y y x y
⇔ + − = − + + ⇔ + − + = +


2 2
( 1) 2
x y
⇔ + + =

Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
z
là ñường tròn tâm
(0; 1)
I
−
bán kính
2
R = .
5
.

(D
–

2009

–

CB
):
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:


(3 4 ) 2
z i
− − =
.

Giải:
Gọi
( ; )
M x y
là ñiểm biểu diễn số phức
z x yi
= +

( ; )
x y R
∈
trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

(3 4 ) 2 (3 4 ) 2 ( 3) ( 4) 2
z i x yi i x y i
− − = ⇔ + − − = ⇔ − + + =


2 2 2 2
( 3) ( 4) 2 ( 3) ( 4) 4

x y x y
⇔ − + + = ⇔ − + + =


Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
z
là ñường tròn tâm
(3; 4)
I
−
bán kính
2
R
=
.

6. Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng số phức
1 2
w z i
= − −
biết số phức
z
thay ñổi thỏa mãn



1 1
z i
+ + =
.

.
Giải:
Gọi
( ; )
M x y
là ñiểm biểu diễn số phức
w x yi
= +

( ; )
x y R
∈
trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

1 2
w z i
= − −

⇒
1 2 1 2 ( 1) ( 2)
z w i x yi i x y i
= + + = + + + = + + +
( 1) ( 2)
z x y i
⇒ = + − +

Do ñó
1 1 ( 1) ( 2) 1 1
z i x y i i

+ + = ⇔ + − + + + =
2 2
( 2) ( 1) 1 ( 2) ( 1) 1
x y i x y
⇔ + − + = ⇔ + + + =


2 2
( 2) ( 1) 1
x y
⇔ + + + =

Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
w
là ñường tròn tâm
( 2; 1)
I
− −
bán kính
1
R
=
.
Bài tập áp dụng
1) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z nếu như thỏa mãn một trong các
ñiều kiện :
a.
3 4
z z i
= − +

. b.
1 2
z i
− + =
c.
2
z i z
+ = −
. d.
4
z i z i
− + + =
.
e.
4 4 10
z i z i
− + + =
f.
2 2
z i z z i
− = − +
. g.
(
)
2
2
z z
=
h.
1

z i
z i
−
=
+
.
2) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn các số phức z sao cho:
z i
z i
+
+
là số thực.
3) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn các số phức z sao cho:
2
z
là số ảo.
4) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng số phức z biết
(2 )( )
z i z
− +
là số thuần ảo.
THANH TÙNG 0947141139

DẠNG 4 : CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC,PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài tập mẫu
1. (A – 2009): Gọi
1
z
và

2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 10 0
z z
+ + =
.
Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
A z z
= +
.

Giải : Phương trình
2
2 10 0
z z
+ + =

có biệt thức
2
' 1 10 9 9
i
∆ = − = − =
nên phương trình có hai nghiệm :

1
1 3

z i
= − +
và
2
1 3
z i
= − −

2 2 2 2
1 2
1 3 1 3
A z z i i
⇒ = + = − + + − −
2 2 2 2
(1 3 ) (1 3 ) 20
= + + + =

Vậy
20
A
=

2. Cho số phức
z
có phần ảo âm và thỏa mãn
2
6 13 0
z z
− + =
. Tính môñun của số phức:

6
w z
z i
= +
+

Giải : Phương trình
2
6 13 0
z z
− + =

có biệt thức
2
' 9 13 4 4
i
∆ = − = − =
nên phương trình có hai nghiệm :


6 6
3 2
3
w z i
z i i
⇒ = + = − +
+ −


6(3 ) 24 7

3 2
10 5 5
i
i i
+
= − + = −

2 2
24 7
5
5 5
w
   
⇒ = + =
   
   


Vậy
5
w
=

THANH TÙNG 0947141139

3. (D – 2012 – NC) Giải phương trình
2
3(1 ) 5 0
z i z i
+ + + =

trên tập hợp các số phức.
Giải :
Cách 1 : Phương trình
2
3(1 ) 5 0
z i z i
+ + + =
có biệt thức
2 2
' 9(1 ) 20 2 (1 )
i i i i
∆ = + − = − = −

nên phương trình có nghiệm :
1
2
3(1 ) (1 )
1 2
2
3(1 ) (1 )
2
2
i i
z i
i i
z i
− + + −

= = − −



− + − −

= = − −




Chú ý : Việc viết ñược :
2
2 (1 )
i i
− = −
ở phần tính
∆
trong bài toán trên có thể hiểu theo 3 hướng
+) Hướng 1 : Vì ta khá quen thuộc với công thức :
2
(1 ) 2
i i
± = ±

+) Hướng 2 : Ta chọn
,
a b
thỏa mãn
2 2
2 2 2
0
2 ( ) 2

1
a b
i a bi a b abi
ab

− =
− = + = − + ⇔

= −

và “ñoán”:
1
1
a
b
=


= −


+) Hướng 3 : (ðây là hướng ñi tổng quát – khi không nhìn thấy luôn theo Hướng 1, Hướng 2)
Gọi
a bi
+
là căn bậc hai của
2 2 2
2 ( ) 2 2 2
i a bi i a b abi i
− ⇒ + = − ⇔ − + = −

2 2 2 2
1; 1
0
1 1; 1
2 2 1
a b a b
a b a b
ab a b
ab ab
= ± = = −
 
− = =
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
  

= − = − =
= − = −
 
 

Vậy căn bậc hai của
2
i
−
là :
1
i

−
và
1
i
− +
nên phương trình có nghiệm :

1
2
3(1 ) (1 )
1 2
2
3(1 ) ( 1 )
2
2
i i
z i
i i
z i
− + + −

= = − −


− + + − +

= = − −



Cách 2
(mang tính chất tham khảo : Chỉ chứng tỏ một ñiều có một con ñường khác dẫn tới ñáp số - nhưng khá dài )
Gọi
z a bi
= +
(
,
a b R
∈
)
Khi ñó :
2
3(1 ) 5 0
z i z i
+ + + =

trở thành :
2
( ) 3(1 )( ) 5 0
a bi i a bi i
+ + + + + =


2 2
2 3[( ) ( ) ] 5 0
a b abi a b a b i i
⇔ − + + − + + + =


2 2

[ 3( )] (2 3 3 5) 0
a b a b ab a b i
⇔ − + − + + + + =


2 2
( )( 3) 0 (1)
3( ) 0
2 3( ) 5 0 (2)
2 3( ) 5 0
a b a b
a b a b
ab a b
ab a b
− + + =

− + − =

⇔ ⇔
 
+ + + =
+ + + =



(1)
3
a b
b a
=


⇔

= − −


+) Với
a b
=
thay vào (2) ñược :
2
2 6 5 0
a a
+ + =
( vô nghiệm với
a R
∈
)
+) Với
3
b a
= − −
thay vào (2) ta ñược :
2 ( 3) 4 0
a a
− − − =


2
3 2 0

a a
⇔ + + =


1 2
2 1
a b
a b
= − ⇒ = −

⇔

= − ⇒ = −


Vậy
1 2
z i
= − −
hoặc
2
z i
= − −
.


THANH TÙNG 0947141139

4. (Cð – 2010) Giải phương trình
2

(1 ) 6 3 0
z i z i
− + + + =
trên tập hợp các số phức.
Giải :
Phương trình
2
(1 ) 6 3 0
z i z i
− + + + =
có biệt thức
2 2
(1 ) 4(6 3 ) 2 24 12 24 10 (1 5 )
i i i i i i
∆ = + − + = − − = − − = −

(Làm ra nháp: Nhẩm
,
a b
thỏa mãn
2 2
24
1; 5
5 (2 10)
a b
a b
ab ab

− = −
⇒ = = −


= − = −

)
nên phương trình có hai nghiệm :
1
2
(1 ) (1 5 )
1 2
2
(1 ) (1 5 )
3
2
i i
z i
i i
z i
+ + −

= = −


+ − −

= =



5. (Cð – 2009) Giải phương trình sau trên tập số phức :
4 3 7

2
z i
z i
z i
− +
= −
−
.
Giải :
+) ðiều kiện :
z i
≠

+) Với ñiều kiện trên :
4 3 7
2
z i
z i
z i
− +
= −
−
4 3 7 ( )( 2 )
z i z i z i
⇔ − + = − −


2
(4 3 ) 1 7 0
z i z i

⇔ − + + + =

phương trình có biệt thức
2 2
(4 3 ) 4(1 7 ) 7 24 4 28 3 4 (2 )
i i i i i i
∆ = + − + = + − − = − = −

(Làm ra nháp: Nhẩm
,
a b
thỏa mãn
2 2
3
2; 1
2 (2 4)
a b
a b
ab ab

− =
⇒ = = −

= − = −

)
nên phương trình có hai nghiệm :
1
2
(4 3 ) (2 )

3
2
(4 3 ) (2 )
1 2
2
i i
z i
i i
z i
+ + −

= = +


+ − −

= = +


(thỏa mãn ñiều kiện).

Bài tập áp dụng
1) Tìm căn bặc hai của số phức z biết :
a)
5 12
z i
= − +
. b)
8 6
z i

= +
. c)
4 6 5
z i
= + . d)
1 2 6
z i
= − − .
2) Giải các phương trình trên tập hợp các số phức:
a)
2
3 2 0
x x
+ + =
. b)
2
1 0
x x
+ + =
. c)
3
1 0
x
− =
.
d)
2
(3 4 ) 5 1 0
x i x i
− + + − =

. e)
2
(1 ) 2 0
x i x i
+ + − − =
.
3) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là
1 2
4 3 ; 2 5
z i z i
= + = − +
.
4) Tìm m ñể phương trình :
2
3 0
x mx i
+ + =
có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
5) Tìm số thực b, c ñể phương trình
2
0
z bz c
+ + =
nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm.
6) Cho
1
z
và
2
z

là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0
z z
− + =
. Tính giá trị biểu thức


2 2
1 2
2
1 2
( )
z z
A
z z
+
=
+

THANH TÙNG 0947141139

7) Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình

2
2 4 0
z z
+ + =
. Tính giá trị của


2 2 3
1 2 1 2
3
A z z z z
= + − +

8) Cho
1 2
;
z z
là hai nghiệm của phương trình
2
(1 2 ) (3 2 ) 1 0
i z i z i
+ − + + − =
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
2 2
1 2
A z z
= +
; b.

2 2
1 2 1 2
B z z z z
= +
; c.
1 2
2 1
z z
C
z z
= +
.
9) Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a.
2 2 2
( ) 4( ) 12 0
z z z z
+ + + − =
. b.
2 2 2 2
( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0
z z z z z z
+ + + + + − =

c.
4 2
6 25 0
z z
− + =
. c.

4 3 2
2 2 1 0
z z z z
− − − + =
.
10) Giải các hệ sau trên tập số phức :
a.
2 2
1 2
1 2
5 2
4
z z i
z z i

+ = +

+ = −

b.
( )
3 5
1 2
4
2
1 2
0
1
z z
z z


+ =


=


.
11) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức :
2
2
2 2 2 2
6
5
( ) 6 0
a a
a a
a b ab b a a

+ − =

+


+ + + − =

.

DẠNG 5 : DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Ban Nâng Cao)

THANH TÙNG 0947141139


Bài tập mẫu
(B – 2012 – NC) Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 3 4 0
z iz
− − =
.
Viết dạng lượng giác của
1
z
và
2
z
.

Giải :
Phương trình
2
2 3 4 0

z iz
− − =
có biệt thức
2
' ( 3 ) 4 3 4 1
i
∆ = + = − + =

Suy ra phương trình có hai nghiệm :
1
1 3
z i
= + và
2
1 3
z i
= − +
+) Với
1
1 3
z i
= +
1 3 2
1 3
cos ;sin
2 2 3
r
π
ϕ ϕ ϕ


= + =

⇒

= = ⇒ =


.Vậy dạng lượng giác của
1
2 cos sin
3 3
z i
π π
 
= +
 
 

+) Với
2
1 3
z i
= −
1 3 2
1 3 2
cos ;sin
2 2 3
r
π
ϕ ϕ ϕ


= + =

⇒

= − = ⇒ =


.Vậy dạng lượng giác :
2
2 2
2 cos sin
3 3
z i
π π
 
= +
 
 


Bài tập áp dụng

1) Viết các số phức z sau dưới dạng lượng giác
a.
(1 3)(1 )
z i i
= − +
. b.
1 3

1
i
z
i
−
=
+
. c.
sin cos
z i
ϕ ϕ
= +
.
d.
5
tan
8
z i
π
= +
e.
2
( 3 )
z i
= −
. f.
1
2 2
i
+

.
2) Tính
10 5
10
(1 ) ( 3 )
( 1 3)
i i
z
i
− +
=
− −
.
3) Viết dưới dạng lượng giác của số phức z biết
2
z = và một acgumen của
1
z
i
+
là
3
4
π
−
.
4) Viết dưới dạng lượng giác của số phức z biết
1 3
z z i
− = − và

iz
có một acgumen là
6
π
.
5) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z sau :
a.
10
9
(1 )
( 3 )
i
z
i
+
=
+
. b.
5 7
(cos sin ) (1 3 )
3 3
z i i i
π π
= − +
.
6) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết
2
2 2 3
z i
= − + .

7) Tìm số n là số nguyên dương và
[1;10]
n
∈
sao cho số phức
(1 3)
n
z i= +
là số thực.
8) Tìm n ñể số phức
3 3
3 3
n
i
i
 
−
 
 
−
 
là số thực, là số ảo ?.
9) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
2013
2013
1
z
z
+
. Biết

1
1
z
z
+ =
.

THANH TÙNG 0947141139

DẠNG 6 : CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG SỐ PHỨC (tham khảo thêm)
1) Chứng minh rằng:
2012 2010 2008
5(1 ) 7 (1 ) 6(1 )
i i i i
+ = + − + .
2) Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất ñẳng thức sau xảy ra :

1
1
2
z + ≥ hoặc
2
1 1
z
+ ≥
.
3) Cho số phức
0
z
≠

thỏa mãn
3
3
1
2
z
z
+ ≤
. Chứng minh rằng :
1
2
z
z
+ ≤
.
4) Cho số phức
1 3
2 2
z i
= − +
. Chứng minh rằng :
2
1 0
z z
+ + =
;
2
1
z z
z

= =
và
3
1
z
=
.
5) Cho
1 2
,
z z C
∈
. Chứng minh rằng :
1 2 1 2
. .
E z z z z R
= + ∈
.
6) Chứng minh rằng
7 7
(2 5) (2 5)
E i i R
= + + − ∈
.
7) Cho z và z’ là hai số phức bất kì. Chứng minh rằng :
a.
' '
z z z z
+ = +
b.

' '
z z z z
− = −
c.
. ' . '
z z z z
=
d.
'
'
z z
z
z
 
=
 
 
(
' 0
z
≠
) e.
. ' . '
z z z z
=
f.
' '
z
z
z z

= (
' 0
z
≠
)

Cảm ơn các em và các bạn ñã ñọc tài liệu !
Mọi ý kiến ñóng góp các em và các bạn gửi qua E- mail:
hoặc ñịa chỉ : số 9 – Ngõ 880 – Bạch ðằng – Hai Bà Trưng – Hà Nội
ðiện thoại : 043.9871450 hoặc Dð: 0947141139
Các em có thể tham khảo thêm các chuyên ñề khác trên web: