BÀI TẬP NHIỆT HỌC pptx

BÀI TẬP NHIỆT HỌC
Bài 1: Một áp kế đo chênh thủy ngân, nối với một bình đựng nước.
a) Xác định độ chênh mực nước thủy ngân, nếu h
1
= 130mm và áp suất dư trên mặt nước trong bình
40000 N/m
2
.
b) Áp suất trong bình sẽ thay đổi như thế nào nếu mực thủy ngân trong hai nhánh bằng nhau.
Giải
a) Xác định độ chênh mực thủy ngân (tìm h
2
) :
Chọn mặt đẳng áp như hình vẽ :
Ta có :
BA
pp =
).(
21
2
0
hhpp
OHA
++=
γ
2
.hpp
HgaB
γ
+=
221

2
0
.).( hphhp
HgaOH
γγ
+=++⇒
1
2
0
2
2
.)()( hpph
OHaOHHg
γγγ
+−=−⇔
Mà
da
ppp =−
0
Vậy :
)(334,0
98100132890
013,0.981040000
)(
.
2
1
2
2
m

hp
h
HgOH
OHd
=
−
+
=
−
+
=
γγ
γ
b) Áp suất trong bình khi mực thủy ngân trong hai nhánh bằng nhau :
Ta có :
DC
pp =
hpp
OHC
.
2
0
γ
+=
aD
pp =
aOH
php =+⇒ .
2
0

γ
ckaOH
ppph =−=⇔
0
2
.
γ
)(0297,057,2913)334,0.
2
1
13,0.(9810
).(.
2
2
1
1
22
at
hhhp
OHOHck
≈=+=
+==⇔
γγ
Bài 2. Một áp kế vi sai gồm một ống chữ U đường kính d = 5mm nối hai bình có đường kính D =
50mm với nhau. Máy đựng đầy hai chất lỏng không trộn lẫn với nhau, có trọng lượng riêng gần bằng
nhau : dung dịch rượu êtylic trong nước (
3
1
/8535 mN=
γ

) và dầu hỏa (
3
2
/8142 mN=
γ
). Lập quan hệ
giữa độ chênh lệch áp suất
21
ppp −=∆
của khí áp kế phải đo với độ dịch chuyển của mặt phân cách
các chất lỏng (h) tính từ vị trí ban đầu của nó (khi
0=∆p
). Xác định
p∆
khi h = 250mm.
Giải
a) Lập mối quan hệ giữa độ chênh lệch áp suất
21
ppp −=∆
:
Chọn mặt đẳng áp như hình vẽ :
Khi
)(0
21
ppp ==∆
: thì mặt phân cách giữa hai lớp chất lỏng khác nhau ở vị trí cân bằng O :
o
BA
pp =
o

111
.hpp
A
γ
+=
o
222
.hpp
B
γ
+=
Theo điều kiện bình thông nhau :
1
22
12211
.
γ
γ
γγ
h
hhh =⇒=
Khi
)(0
21
ppp >>∆
: thì mực nước trong bình 1 hạ xuống 1 đoạn
h
∆
và đồng thời mực nước bình 2
tăng lên 1 đoạn

h∆
. Khi đó mặt phân cách di chuyển lên trên 1 đoạn h so với vị trí O.
).(
111
hhpp
A
∆−+=
γ
hhhhpp
B
.).(
1222
γγ
+−∆++=
Theo tính chất mặt đẳng áp ta có :
(*)].[).().(
.).().(
.).().(
2211212121
1112221
1222111
hhhhpp
hhhhhhpp
hhhhphhp
γγγγγγ
γγγ
γγγ
−−+∆+−=−⇔
+∆−−−∆+=−⇔
+−∆++=∆−+

Ta thấy thể tích bình 1 giảm một lượng :
h
d
V ∆=
4
.
2
π

Thể tích trong ống dâng lên một lượng :
h
d
V
4
.
2
'
π
=
Ta có
h
D
d
hVV
2
2
'
=∆⇒=
và
2211

. hh
γγ
=
thay vào (*)
Ta được :








++−=
++−=−=∆
).()(
).().(
21
2
2
21
21
2
2
2121
γγγγ
γγγγ
D
d
h

h
D
d
hppp
Tính
p∆
khi h = 250mm
Ta có :
( ) ( )
2
2
2
/14081428535
05,0
005,0
8142853525,0 mNp =








++−=∆
Bài 3. Một bình hở có đường kính d = 500 mm, đựng nước
quay quanh một trục thẳng đứng với số vòng quay không
đổi n = 90 vòng/phút.
a) Viết pt mặt đẳng áp và mặt tự do, nếu mực nước trên
trục bình cách đáy Z

0
= 500mm.
b) Xác định áp suất tại điểm ở trên thành bình cách đáy là
a = 100mm.
c) Thể tích nước trong bình là bao nhiêu, nếu chiều cao
bình là H = 900mm.
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ :
a) Viết phương trình mặt đẳng áp và mặt tự do, nếu mực
nước trên trục bình cách đáy Z
0
= 500mm.
Phương trình vi phân mặt đẳng áp :
0=++ ZdzYdyXdx
Trong đó :
xX
2
ω
=
;
yY
2
ω
=
;
gZ −=
Thay vào phương trình vi phân ta được :
0
22
=−+ gdzydyxdx

ωω
Tích phân :
Cgzyx =−+
2222
2
1
2
1
ωω

( )
(*).
2
1
.
2
1
22
222
Czgr
Czgyx
=−⇔
=−+⇔
ω
ω
Vậy phương trình mặt đẳng áp là :
C
g
r
z +=

2
22
ω
Đối với mặt tự do cách đáy Z
0
= 500mm
Tại mặt tự do của chất lỏng thì : x = y = 0 và z = z
0
thay vào (*)
0
.zgC −=⇒
Vậy phương trình mặt tự do sẽ là :
0
22
.
2
zg
g
r
z −=
ω
hay
0
22
2
z
g
r
z +=
ω

b) Xác định áp suất tại điểm trên thành bình cách đáy 1 khoảng a = 100mm :
Phương trình phân bố áp suất :
)( ZdzYdyXdxdp
++=
ρ
Trong đó :
xX
2
ω
=
;
yY
2
ω
=
;
gZ −=
Thay vào ta được :
( )
gdzydyxdxdp −+=
22
ωωρ
Tích phân :
Cgzyxp +







−+=
2222
2
1
2
1
ωωρ

( )
(**).
2
1
.
2
1
22
222
Czgrp
Czgyxp
+






−=⇔
+







−+=⇔
ωρ
ωρ
Tại mặt tự do (tại O) ta có : x = y = 0 và z = z
0

a
pp =⇒

Thay vào (**)
a
pzgC +−=⇒
0

ρ
(**)
2

2
1
22
0
22
r
hpzgpzgrp
aa

ω
ργρρωρ
++⇔++−=⇔
Vì





=
+=
−=
g
yxr
zzh
.
222
0
ργ
Điểm trên thành bình cách đáy 100mm có :
srad
n
mzzh
m
d
ratp
a
/42,9
30
90.14,3

30
.
;4,0400100500
25,0
2
5,0
2
;1
0
=====−=−=
====
π
ω
Áp suất tại điểm này sẽ là :
atmN
r
hppp
ad
068,0/6697
2
25,0.42,9
10004,0.9810
2
.
2
2222
==+=+=−=⇔
ω
ργ
Bài 4: Một mol khí lí tưởng thực hiện quá trình giãn nở từ trạng

thái 1 (P
0
, V
0
) đến trạng thái 2 (P
0
/2, 2V
0
) có đồ thị trên hệ toạ độ
P-V như hình vẽ. Biểu diễn quá trình ấy trên hệ toạ độ P-T và xác
định nhiệt độ cực đại của khối khí trong quá trình đó.
Giải
1
2
P
V
P
P / 2
V
2 V
0
0
0
0
- Vì đồ thị trên P-V là đoạn thẳng nên ta có:
P = αV + β
(*); trong đó
α
và
β

là các hệ số phải tìm.
- Khi V = V
0
thì P = P
0
nên:
0 0
P = αV + β
(1)
- Khi V = 2V
0
thì P = P
0
/2 nên:
0 0
P /2 = 2αV + β
(2)
- Từ (1) và (2) ta có:
0 0
α = - P / 2V
;
0
β = 3P / 2
- Thay vào (*) ta có phương trình đoạn thẳng đó :
0 0
0
3P P
P = - V
2 2V
(**)

- Mặt khác, phương trình trạng thái của 1 mol khí :
PV = RT
(***)
- Từ (**) và (***) ta có :
2
0 0
0
3V 2V
T = P - P
R RP
- T là hàm bậc 2 của P nên đồ thị trên T-P là một phần parabol
+ khi P = P
0
và P = P
0
/2 thì T = T
1
=T
2
=
0 0
P V
R
;
+ khi T = 0 thì P = 0 và P = 3P
0
/2 .
- Ta có :
0 0
(P)

0
3V 4V
T = - P
R RP
′

⇒

(P)
T = 0
′

⇔

0
3P
P =
4
;
cho nên khi
0
3P
P =
4
thì nhiệt độ chất khí là T = T
max
=
0 0
9V P
8R

- Đồ thị biểu diễn quá trình đó trên hệ toạ độ T-P là một trong hai đồ thị dưới đây :

Bài 5. Một mol khí lí tưởng thực hiện chu trình 1-2-3-1. Trong đó, quá trình 1 - 2 được biÓu
diễn bởi phương trình T = T
1
(2- bV)bV (với b là một hằng số dương vµ thÓ tÝch V
2
>V
1
). Qúa
trình 2 - 3 cã ¸p suÊt kh«ng ®æi. Qúa trình 3 - 1 biÓu diễn bởi phương trình : T= T
1
b
2
V
2
. Biết
nhiệt độ ở trạng thái 1 và 2 là: T
1
và 0,75T
1.
Hãy tính công mà khối khí thực hiện trong chu trình
đó theo T
1
.
Giải:
+ Để tính công mà khối khí thực hiện , ta vẽ đồ thị biểu diễn chu trình biến đổi trạng thái của
chất khí trong hệ tọa độ hệ tọa độ (PV)
+ Quá trình biến đổi từ 1-2: Tõ T=PV/R và T = T
1

(2- bV)bV
=> P= - Rb
2
T
1
V+2RbT
1

+ Quá trình 2-3 là quá trình đẳng áp P
2
= P
3
+ Quá trình biến đổi từ 3-1 Tõ T=PV/R và T = T
1
b
2
V
2
=>
P= Rb
2
T
1
V
+Thay T=T
1
vào phương trình T = T
1
(2- bV)bV
=> V

1
= 1/b => P
1
= RbT
1

+Thay T
2
= 0,75T
1
vào phương trình T = T
1
(2- bV)bV =>
T
P
P / 2
0
P
0
3 P / 4
0
3 P / 2
0
0
1
2
9 V P / 8 R
V P / R
0
0

0 0
L
Hình 2
V
2
= 3/2b=1,5V
1
vµ V
2
=0,5V
1
(vì V
2
> V
1
nên loại nghiệm V
2
=
0,5V
1
)
+ Thay V
2
= 1,5/b vào P= -Rb
2
T
1
V + 2RbT
1
=> P

2
= P
3
= 0,5RbT
1
=0,5P
1
=> V
3
= 0,5V
1
=1/2b .
+Ta có công A = 0,5(P
1
- P
2
).(V
2
-V
3
) = 0,25RT
1

Bài 6: Một bình có thể tích V chứa một mol khí lí tưởng và có
một cái van bảo hiểm là một xilanh (có kích thước rất
nhỏ so với bình) trong đó có một pít tông diện tích S,
giữ bằng lò xo có độ cứng k (hình 2). Khi nhiệt độ của
khí là T
1
thì píttông ở cách lỗ thoát khí một đoạn là L.

Nhiệt độ của khí tăng tới giá trị T
2
thì khí thoát ra
ngoài. Tính T
2
?
Giải
Kí hiệu
1
P
và
2
P
là các áp suất ứng với nhiệt độ
1
T
và
2
T
;
l
∆
là độ co ban đầu của lò xo, áp dụng điều kiện cân bằng của piston ta luôn có:

Splk
1
. =∆
;
SpLlk
2

).(
=+∆
=>
SppLk )(.
12
−=
; (1) ;
Vì thể tích của xilanh không đáng kể so với thể tích V của bình nên có thể
coi thể tích của khối khí không đổi và bằng V ;…………………………….
áp dụng phương trình trạng thái ta luôn có:

=>
)(
1212
TT
V
R
PP −=−
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình





−=
−=−
SPPkL
TT
V

R
PP
)(
)(
12
1212

Như vậy khí thoát ra ngoài khi nhiệt độ của khí lên đến:
RS
kLV
TT +=
12
Bài 7: Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực hiện một chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1
được biểu diễn trên giản đồ P-T như hình 1. Cho P
0
= 10
5
Pa; T
0
= 300K.
1) Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.
2) Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình nào. Vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V và
trên giản đồ V-T (cần ghi rõ giá trị bằng số và chiều biến đổi của chu trình).
3) Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình.
Giải:
a) Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng tích, vậy thể tích ở trạng thái
1 và 4 là bằng nhau: V
1
= V
4

. Sử dụng phương trình C-M ở trạng thái 1 ta có:
; => ; .
=> ; .
P
T
0
T
0
2P
0
1 2
3
4
2T
0
P
0
Hỡnh 1
1 1 1
m
P V RT=
µ
, suy ra:
1
1
1
RTm
V
P
=

µ
Thay số: m = 1g; µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T
1
= 300K và P
1
= 2.10
5
Pa ta được:
3 3
1
5
1 8,31.300
3,12.10
4 2.10
V m
−
= =

b) Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau:
1 – 2 là đẳng áp; 2 – 3 là đẳng nhiệt;
3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích.
Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình b) như
sau:
c) Để tính công, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính được các thể tích: V
2
=
2V
1
= 6,24.10
– 3

m
3
; V
3
= 2V
2
= 12,48.10
– 3
m
3
.
Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:
5 3 3 2
12 1 2 1
( ) 2.10 (6,24.10 3,12.10 ) 6,24.10A p V V J
− −
= − = − =
5 3 2
3
23 2 2
2
ln 2.10 .6,24.10 ln2 8,65.10
V
A p V J
V
−
= = =
5 3 3 2
34 3 4 3
( ) 10 (3,12.10 12,48.10 ) 9,36.10A p V V J

− −
= − = − = −
41
0A =
vì đây là quá trình đẳng áp.
Bài 8 : Có 0,4g khí Hiđrô ở nhiệt độ , áp suất Pa, được biến đổi trạng thái qua 2 giai
đoạn: nén đẳng nhiệt đến áp suất tăng gấp đôi, sau đó cho dãn nở đẳng áp trở về thể tích ban
đầu.
a. Xác định các thông số (P, V, T) chưa biết của từng trạng thái .
b. Vẽ đồ thị mô tả quá trình biến đổi của khối khí trên trong hệ OPV.
Bài giải
- Tóm tắt
P(10
5
P
a)
Hình a
V(l)
0
3,12
2
1 2
3
4
12,4
8
1
6,24
V(l)
Hình b

T(K
)
0
3,12
1
2
3
4
12,4
8
6,24
300 600150
- Vậy ta sẽ tìm
+ Tìm : đề cho m, P1, T1, ta sử dụng phương trình Cla-pê-rôn – Men-đê-lê-ép
, với R=8,31J/K.mol
+ Tìm : Từ TT1 sang TT2 biến đổi đẳng nhiệt, ta sử dụng định luật Bôi -lơ – Ma-ri-ốt
+ Tìm : Từ TT2 sang TT3 biến đổi đẳng áp, ta áp dụng định luật Gay-luy-xắc
+ Vẽ đồ thị trong hệ OPV
- Xác định các điểm , , (với các giá trị đề cho và vừa tìm ra) trên hệ OPV
- Nối điểm (1) và (2) bằng đường hyperbol.
- Nối điểm (2) và (3) là đường thẳng vuông góc với OP
Bài 9. Hai xi lanh cách nhiệt giống hệt nhau được nối với nhau
bằng một ống cách nhiệt có kích thước nhỏ, trên ống nối có lắp
một van K. Lúc đầu K đóng. Trong xi lanh 1, dưới pit-tông khối
lượng M, chứa một lượng khí lý tưởng đơn nguyên tử có khối
lượng mol µ, nhiệt độ T
0
. Trong xi lanh 2 có pit-tông khối lượng
m = M/2 và không chứa khí. Phần trên của pit-tông trong hai xi
lanh là chân không. Sau đó van K được mở để khí từ xilanh 1 tràn

qua xi lanh 2. Xác định nhiệt độ của khí sau khi khí đã cân bằng,
1 2
K
Hình 1
biết rằng khi đó phần trên của pit-tông trong xi lanh 2 vẫn còn khoảng trống. Cho νµ/M = 0,1,
với ν là số mol khí; ma sát giữa pit-tông và xi lanh là rất nhỏ.
Giải
Khi K mở, toàn bộ lượng khí chuyển qua xi lanh 2.
Kí hiệu: H
0
– độ cao cột khí trong bình 1 khi K chưa mở;
H và T – độ cao và nhiệt độ cột khí trong xi lanh 2 khi K mở và khí đã cân bằng.
Áp dụng nguyên lí thứ nhất nhiệt động lực học có:

0 0 0
3
( ) ( )
2 2
g
R T T MgH mgH H H
νµ
ν
− = − + −
Trước khi K mở, ở xi lanh 1:
0 0 0
;
Mg
P V H S
S
= =

 MgH
0
= νRT
0

0 0
gH RT
M
ν
=
Sau khi K mở và khí đã cân bằng, ở xi lanh 2:
gH RT
m
ν
=
Vậy:
0 0 0
3
( ) ( ) ( )
2 2
R T T R T T RT RT
M m
νµ ν ν
ν ν
− = − + −
Hay:
0 0
1
5
0,98

2
1
5
M
T T T
M
νµ
νµ
+
= =
+
Bài 10 Một xi lanh cách nhiệt nằm ngang được chia thành hai phần
nhờ một pit-tông mỏng dẫn nhiệt. Pit-tông được nối với một thành ở
đầu xi lanh bằng một lò xo nhẹ. Ở hai bên của pit-tông đều có ν mol khí
lí tưởng đơn nguyên tử. Xi lanh có chiều dài 2ℓ, chiều dài của lò xo lúc
chưa dãn là ℓ/2. Ở trạng thái ban đầu lò xo bị dãn một đoạn là X và
nhiệt độ của khí trong hai phần của xi lanh là T. Sau đó, người ta đục
một lỗ nhỏ qua thành của pit-tông. Xác định độ biến thiên nhiệt độ của
khí trong xi lanh ΔT sau khi khí trong xi lanh đã cân bằng. Bỏ qua nhiệt
lượng hấp thụ bởi xilanh, pit-tông, lò xo và ma sát giữa pit-tông và xi
lanh.
Giải:
Ở trạng thái đầu, lực đàn hồi của lò so cân bằng với lực tác động lên pit-tông gây ra bởi
độ chênh lệch về áp suất ở hai bên của pit-tông.

3
( ) ( )
2 2
RT RT
kx

l l
x x
ν ν
− = −
− +

1 1
3
2 2
RT
k
l l
x
x x
ν
 
 ÷
⇒ = −
 ÷
 ÷
+ −
 
Sau khi pit-tông thủng, áp suất hai bên pit-tông cân bằng, độ dãn của lò xo bằng không.
Toàn bộ năng lượng từ thế năng đàn hồi dự trữ trong lò xo biến thành nội năng của khí, nên:
2
3
2
2 2
kx
vR T= ∆

Vậy:
2
1 1 2 2
3
6 6 3 ( 2 )(3 2 )
2 2
kx x x l x
T T T
l l
R l x l x
x x
ν
 
 ÷
−
∆ = = − =
 ÷
+ −
 ÷
+ −
 
Hình 2
Bài 11. : Trong một xilanh cách nhiệt khá dài nằm ngang có nhốt
1 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử có khối lượng m nhờ hai pittông
cách nhiệt có khối lượng bằng nhau và bằng M có thể chuyển
động không ma sát trong xilanh (Hình 4). Lúc đầu hai pittông
đứng yên, nhiệt độ của khí trong xilanh là T
o
. Truyền cho hai
pittông các vận tốc v

1
, v
2
cùng chiều (v
1
=3v
o
, v
2
=v
o
). Tìm nhiệt độ cực đại mà khí trong xilanh
đạt được, biết bên ngoài là chân không.
Giải:
- Đối với pittông (1): lực tác dụng vào pittông theo phương ngang là lực đẩy F
1
ngược chiều v
1
nên pittông (1) chuyển động chậm dần đều.
- Đối với pittông (2): tương tự, lực đẩy F
2
cùng chiều v
2
nên pittông (2) chuyển động nhanh dần
đều.
- Trong quá trình hai pittông chuyển động, khối khí nhốt trong
xi lanh chuyển động theo.
- Chọn hệ quy chiếu gắn với pittông (2), vận tốc của pittông (1)
đối với pittông (2) là:
2112

vvv −=
→ pittông (1) chuyển động về phía pittông (2) chậm
dần rồi dừng lại lúc t
o
, sau đó t>t
o
thì pittông (1) chuyển động
xa dần với pittông (2) và khí lại giãn nở.
- Gọi G là khối tâm của khối khí trong xi lanh lúc t<t
o
: khí bị nén, G chuyển động về phía
pittông (2).
- Lúc t>t
o
: khí bị giãn, G chuyển động ra xa dần pittông (2). Vậy ở nhiệt độ t
o
thì v
G
=0 → cả hai
pittông cùng khối khí chuyển động cùng vận tốc v.
- Định luật bảo toàn động lượng ta có:
M3v
o
+Mv
o
=(2M+m)v→ v=4Mv
o
/(2M+m).
- Động năng của hệ lúc đầu: W
đ1

=
22
2
2
1
5)(
2
1
o
MvvvM =+
.
- Động năng của hệ lúc ở t
o
là: W
đ2
=
2
)2(
2
1
vmM +
.
→ Độ biến thiên động năng: ∆W=W
đ2
-W
đ1
=
mM
mMMv
o

+
+
2
)52(
2
.
- Nội năng của khí:
)(
2
3
2
3
2
3
2
max o
TTnRTnRUnRTnRT
i
U −=∆=∆→==
.
- Vì ∆U=∆W nên
mM
mMMv
R
TT
o
o
+
+
+=

2
)52(
3
2
2
max
(do n=1)
Bài 12. Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực
hiện một chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1 được biểu diễn trên giản đồ
P-T như hình 1. Cho P
0
= 10
5
Pa; T
0
= 300K.
1) Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.
2) Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình nào. Vẽ
lại chu trình này trên giản đồ P-V và trên giản đồ V-T (cần
ghi rõ giá trị bằng số và chiều biến đổi của chu trình).
3) Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu
trình.
Giải:
M
M
m
V
1
V
2

Hình 4
M
M
m
V
1
F
2
(1)
(2)
V
2
F
1
P
T
0
T
0
2P
0
1 2
3
4
2T
0
P
0
Hình 1
a) Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng tích, vậy thể tích ở trạng thái

1 và 4 là bằng nhau: V
1
= V
4
. Sử dụng phương trình C-M ở trạng thái 1 ta có:
1 1 1
m
P V RT=
µ
, suy ra:
1
1
1
RTm
V
P
=
µ
Thay số: m = 1g; µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T
1
= 300K và P
1
= 2.10
5
Pa ta được:
3 3
1
5
1 8,31.300
3,12.10

4 2.10
V m
−
= =

b) Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau:
1 – 2 là đẳng áp; 2 – 3 là đẳng nhiệt;
3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích.
Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình b) như
sau:
c) Để
tính
công,
trước
hết sử
dụng
phương trình trạng thái ta tính được các thể tích:
V
2
= 2V
1
= 6,24.10
– 3
m
3
; V
3
= 2V
2
= 12,48.10

– 3
m
3
.
Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:
5 3 3 2
12 1 2 1
( ) 2.10 (6,24.10 3,12.10 ) 6,24.10A p V V J
− −
= − = − =
5 3 2
3
23 2 2
2
ln 2.10 .6,24.10 ln2 8,65.10
V
A p V J
V
−
= = =
5 3 3 2
34 3 4 3
( ) 10 (3,12.10 12,48.10 ) 9,36.10A p V V J
− −
= − = − = −
41
0A =
vì đây là quá trình đẳng áp.
Bài 13. Một xylanh đặt thẳng đứng, bịt kín hai đầu, được chia làm hai phần bởi một pittông
nặng cách nhiệt. Cả hai bên pittông đều chứa cùng một lượng khí lý tưởng. Ban đầu khi nhiệt

độ khí của hai phần như nhau thì thể tích phần khí ở trên pittông gấp n = 2 lần thể tích khí ở
phần dưới pittông. Hỏi nếu nhiệt độ của khí ở phần trên pittông được giữ không đổi thì cần phải
tăng nhiệt độ khí ở phần dưới pittông lên bao nhiêu lần để thể tích khí ở phần dưới pittông sẽ
gấp n = 2 lần thể tích khí ở phần trên pittông ? Bỏ qua ma sát giữa pittông và xylanh.
Giải:
P(10
5
P
a)
Hình a
V(l)
0
3,12
2
1 2
3
4
12,4
8
1
6,24
V(l)
Hình b
T(K
)
0
3,12
1
2
3

4
12,4
8
6,24
300 600150
Lng khớ 2 phn xylanh l nh nhau nờn:
2
'
2
'
2
1
'
1
'
1
1
22
1
11
T
VP
T
VP
T
VP
T
VP
R.
m

====
à
Vỡ
1 2
V nV=
nờn
2 1
P nP=

Theo gi thit:
' '
1 2
/V V n=
, suy ra:
'
2 2
'
1 1
T P
n
T P
=
(1)
tớnh
'
'
1
2
P
P

ta da vo cỏc nhn xột sau:
1. Hiu ỏp lc hai phn khớ lờn pittụng bng trng lng Mg ca pittụng:

S)PP(MgS)PP(
12
'
1
'
2
==

' '
2 1 2 1 1
( 1)P P P P n P = =
' '
2 1 1
( 1)P P n P= +
(2)
2. T phng trỡnh trng thỏi ca khớ lớ tng phn trờn ca pittụng:
P
1
V
1
= P
1

V
1

1
'
1
'
11
V
V
.PP =
Thay vo (2), ta suy ra:

' '
2 1
'
1 1
1 ( 1)
P V
n
P V
= +
(3)
3. tỡm
1
'
1
V
V
ta chỳ ý l tng th tớch 2 phn khớ l khụng i:
V
1
+V

2
= V
1

+V
2


' '
1
1 1 1
V
V V nV
n
+ = +

'
1
1
1V
V n
=
Thay vo (3) ta c:
'
2
'
1
1 2 1
1 ( 1)
P n

n
P n n

= + =
Thay vo (1) ta cú kt qu:
'
2 2
'
1 1
2 1 3
T P
n n
T P
= = =
.
Bi 14: Một lợng khí lý tởng ở 27
0
C đợc biến đổi qua 2 giai đoạn: Nén đẳng nhiệt đến áp suất
gấp đôi, sau đó cho giãn nở đẳng áp về thể tích ban đầu.
1)Biểu diễn quá trình trong hệ toạ độ p-V và V-T.
2)Tìm nhiệt độ cuối cùng của khí.
Gii:
1)Theo bài ra ta vẽ đợc đồ thị nh 2 hình dới đây
2)Từ (1) đến (2) là quá trình đẳng nhiệt nên ta có:
p
1
V
1
=p
2

V
2
Với p
1
=p
2

Từ (2) đến (3) là quá trình giãn đẳng áp nên ta có: V
1
=V
3
và:
2
2
1
2
2
3
3
2
2
3
3
T
V
V
T
V
V
T

T
V
T
V
===

V
1
, P
1

V
2
,
P
2

V
1
,
P
1
V
2
, P
2
KÕt hỵp (a) vµ (b) ta cã:T
3
=
1

2
p
p
T
2
=2.300=600
0
K
Bài 15: Bơm pittông ở mỗi lần bơm chiếm một thể tích khí xác đònh. Khi hút khí ra khỏi
bình nó thực hiện 4 lần bơm. p suất ban đầu trong bình bằng áp suất khí quyển P
0
. Sau đó,
cũng bơm này bắt đầu bơm khí từ khí quyển vào bình và cũng thực hiện 4 lần bơm. Khi đó,
áp suất trong bình lớn gấp đôi áp suất khí quyển. Tìm hệ thức giữa thể tích làm việc của
bơm và thể tích bình.
Gi ải:
Khi hút khí trong bình sau lần bơm đầu tiên áp suất trong bình trở thành P
1
.
Ta có: P
0
. V = P1 (V+V
0
) 
Với V là thể tích của bình, V
0
là thể tích làm việc của bơm pittông.
Vậy sau 4 lần bơm áp suất trong bình là:
Khi bơm khí vào trong bình sau 4 lần bơm trong bình thiết lập một áp suất bằng P.
Theo điều kiện của bài toán: P = 2P

0
, đặt
Ta có phương trình: (0,5đ)
Dựng đồ thò của các hàm: y = 2 - 4x và y = như hình vẽ.
V
V
1
=V
3
1 3
2
T
0 T
1
=T
2
p
2 3
p
2
=2p
1

p
1
1
0 V
1
=V
3

0
01
VV
V
PP
+
=
2
0
0
0
12








+
=
+
=
VV
V
P
VV
V

PP
4
0
0
'








+
=
VV
V
PP













+












+
=








+









+
=+=
V
V
V
V
P
V
V
VV
V
P
V
VP
PP
0
4
0
0
0
4
0
0
00
4
1
1
4

4
'
V
V
x
0
=
44
1
1
424
1
1
2






+
=−⇔+






+
=

x
xx
x
4
1
1






+
x
Từ giao điểm của hai đồ thò ta tìm được x ≈ 0,44 nghóa là
Bài 16 . Trªn gi¶n ®å pV ®èi víi mét khèi lỵng khÝ lý tëng nµo ®ã, gåm hai qu¸ tr×nh ®¼ng nhiƯt
c¾t hai qu¸ tr×nh ®¼ng ¸p t¹i c¸c ®iĨm 1, 2, 3, 4 (xem h×nh vÏ). H·y x¸c ®Þnh tû sè nhiƯt ®é T
3
/T
1
cđa chÊt khÝ t¹i c¸c tr¹ng th¸i 3 vµ 1, nÕu biÕt tû sè thĨ tÝch V
3
/V
1
= α. Cho thĨ tÝch khÝ t¹i c¸c
tr¹ng th¸i 2 vµ 4 b»ng nhau.

Gi¶i:
XÐt hai ®o¹n ®¼ng ¸p víi ph¬ng tr×nh cã d¹ng T/V = const. NghÜa lµ ta cã:
2

2
1
1
V
T
V
T
=
vµ
4
4
3
3
V
T
V
T
=
(1)
Nhng do T
2
= T
3
; T
1
= T
4
(do qu¸ tr×nh 2-3 vµ 4-1 lµ ®¼ng nhiƯt) vµ V
2
=V

4
(theo gi¶ thiÕt), ta cã:
2
1
4
4
3
3
V
T
V
T
V
T
==
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
1
2
1
3
V
V
T
T
=
vµ
2
3
1

3
V
V
T
T
=
Nh©n hai ph¬ng tr×nh trªn víi nhau, ta ®ỵc:
α
==








1
3
2
1
3
V
V
T
T
44,0
0
≈
V

V
x
y
0
0,1
•
0,44
0,5
0,8
1
4
1
1






+
=
x
y
Từ đó suy ra:

=
1
3
T
T

Baứi 17: Trên hình vẽ cho chu trình thực hiện bởi n mol khí lý tởng, gồm một quá trình đẳng áp
và hai quá trình có áp suất p phụ thuộc tuyến tính vào thể tích V. Trong quá trình đẳng áp 1-2,
khí thực hiện một công A và nhiệt độ của nó tăng 4 lần. Nhiệt độ tại 1 và 3 bằng nhau. Các điểm
2 và 3 nằm trên đờng thẳng đi qua gốc toạ độ. Hãy xác định nhiệt độ khí tại điểm 1 và công mà
khối khí thực hiện trong chu trình trên
.
Giải:
Công do khí thực hiện trong quá trình đẳng áp 1-2 bằng:
)(
121
VVpA =
Vì
111
nRTVp =
và
1222
4nRTnRTVp ==
nên
1
3nRTA =
Suy ra:
nR
A
T
3
1
=
Công mà khí thực hiện trong cả chu trình đợc tìm bằng cách tính diện tích tam giác 123 và bằng:
))((
2

1
1231
VVppA
ct
=
Từ các phơng trình trạng thái ở trên ta tìm đợc:
11
1
1
3p
A
p
nRT
V ==
và
11
1
2
3
4
4
p
A
p
nRT
V ==
Do đó :

=
1
3
1
2 p
p
A
A
ct
Vì các điểm 2 và 3 nằm trên đờng thẳng đi qua gốc toạ độ nên:
2
3
1
3
V
V
p
p
=

Mặt khác, cũng từ phơng trình trạng thái ta có:
33
1
3
3p

A
p
nRT
V ==
và
1
2
3
4
p
A
V ==
Từ đây suy ra:
3
1
1
3
4p
p
p
p
=

hay
2
1
1
3
=
p

p
Vậy công mà khối khí thực hiện trong chu trình là:
4
A
A
ct
=
.
Baứi 15: . Một mol khí hêli thực hiện một chu trình nh hình vẽ gồm các quá trình: đoạn nhiệt 1-2,
đẳng áp 2-3 và đẳng tích 3-1. Trong quá trình đoạn nhiệt hiệu nhiệt độ cực đại và cực tiểu của
khí là T. Biết rằng trong quá trình đẳng áp, khí toả ra một nhiệt lợng bằng Q. Hãy xác định
công A do khối khí thực hiện trong chu trình trên.

Gii:
Trong quá trình đoạn nhiệt 1-2, T
1
là nhiệt độ cực đại, T
2
là nhiệt độ cực tiểu, bởi vậy có thể viết:
TTT =
21

Trong quá trình đẳng áp 2-3, áp dụng nguyên lý I nhiệt động lực học, ta có:
)()(
23223
VVpTTCQ
V
+=
(1)
với C

V
= 3R/2. Từ (1) và các phơng trình trạng thái của các trạng thái 2 và 3, ta có:
R
Q
RC
Q
TT
V
5
2
32
=
+
=
Trên đoạn đẳng tích 3-1, khí không thực hiện công, còn độ tăng nội năng của khí là do nhiệt l-
ợng mà khí nhận đợc:
( ) ( )
[ ]
32213113
)( TTTTCTTCQ
VV
+==


)
5
2
(
R
Q

TC
V
+=
Vậy công mà khối khí thực hiện sau một chu trình là:
QTRQQA
5
2
2
3
13
==

.
Baứi 18: Một khối khí hêli ở trong một xilanh có pittông di chuyển đợc. Ngời ta đốt nóng khối
khí này trong điều kiện áp suất không đổi, đa khí từ trạng thái 1 tới trạng thái 2. Công mà khí
thực hiện trong quá trình này là A
1-2
. Sau đó, khí bị nén theo quá trình 2-3, trong đó áp suất p tỷ
lệ thuận với thể tích V. Đồng thời khối khí nhận một công là A
2-3
(A
2-3
> 0). Cuối cùng khi đợc
nén đoạn nhiệt về trạng thái ban đầu. Hãy xác định công A
31
mà khí thực hiện trong quá trình
này.

Giải:
Trong quá trình đẳng áp 1-2, công do khối khí thực hiện là:

)()(
1212121
TTnRVVpA ==

(1)
Trong quá trình 2-3, công do chất khí nhận vào có trị số bằng:
2
)(
2
33322322
32
32
32
VpVpVpVp
VV
pp
A
+
=
+
=

Vì trên giản đồ pV hai điểm 2 và 3 nằm trên đờng thẳng đi qua gốc toạ độ, nên ta có:
3
2
3
2
V
V
p

p
=
hay
0
3223
= VpVp
Do đó:
2
)(
2
323322
32
TTnRVpVp
A

=

=

(2)
Trong quá trình đoạn nhiệt 3-1, độ tăng nội năng của khối khí bằng công mà khối khí nhận đợc:
)(
2
3
3113
TTnRA =

(3)
Từ (1) và (2) suy ra:
nR

AA
TT
2132
31
2


=

Thay biểu thức trên vào (3), ta đợc:
).2(
2
3
)(
2
3
21323113
== AATTnRA
Baứi 19: Cho một máy nhiệt hoạt động theo chu trình gồm các quá trình: đẳng nhiệt 1-2, đẳng
tích 2-3 và đoạn nhiệt 3-1 (xem hình vẽ). Hiệu suất của máy nhiệt này là

và hiệu nhiệt độ cực
đại và cực tiểu của khí trong chu trình bằng

T. Biết rằng chất công tác trong máy nhiệt này là n
mol khí lý tởng đơn nguyên tử. Hãy xác định công mà khối khí đó thực hiện trong quá trình
đẳng nhiệt.

Gii:
Trong đề bài đã cho hiệu suất của chu trình, nên trớc hết ta phải tìm hiểu xem quá trình nào là

nhận nhiệt và quá trình nào toả nhiệt. Trong quá trình đẳng nhiệt 1-2, khí thực hiện công A (thể
tích tăng), và vì nội năng không đổi, nên quá trình này toả nhiệt lợng mà ta ký hiệu là Q
1
(Q
1
=A). Trong quá trình đẳng tích 2-3, khi thể tích không đổi, áp suất giảm. Điều này xảy ra là
do nhiệt độ khí giảm và trong trờng hợp đó khí toả một nhiệt lợng là Q
2
. Trong quá trình đoạn
nhiệt 3-1, khí không nhận cũng không toả nhiệt và do thể tích giảm nên khí nhận công và nhiệt
độ của nó tăng. Do đó, tại 3 khí có nhiệt độ nhỏ nhất là T
mim
, còn nhiệt độ lớn nhất T
max
của khối
khí đạt đợc ở quá trình đẳng nhiệt 1-2. Do đó:
TTT =
minmax

Theo định nghĩa, hiệu suất của chu trình bằng:

1
2
1
21
1
Q
Q
Q
QQ

=

=

Mà nh trên đã nói Q
1
= A. Mặt khác, trong quá trình 2-3, nhiệt lợng toả ra đúng bằng độ tăng
nội năng:
TnRTTnRQ ==
2
3
(
2
3
min)max2

Thay Q
1
và Q
2
vào công thức tính hiệu suất, ta đợc:
A
TnR
2
3
1

=

Suy ra:

.
)1(2
3



=
TnR
A
Baứi 20: Cho hiệu suất của chu trình 1-2-4-1 bằng
1
và của chu trình 2-3-4-2 bằng
2
(xem hình
vẽ). Hãy xác định hiệu suất của chu trình 1-2-3-4-1, biết rằng các quá trình 4-1, 2-3 là đẳng tích,
quá trình 3-4 là đẳng áp, còn trong các quá trình 1-2; 2-4 áp suất p phụ thuộc tuyến tính vào thể
tích V. Các qúa trình nói trên đều đợc thực hiện theo chiều kim đồng hồ. Biết rằng chất công tác
ở đây là khí lý tởng.

Gii:
Xét chu trình 1-2-4-1. Trong quá trình 1-2, khí nhận một nhiệt lợng mà ta ký hiệu là Q
1
. Trong
quá trinh 2-4, khí toả một nhiệt lợng là Q
2
. Trong quá trình đẳng tích 4-1, khí nhận một nhiệt l-
ợng là Q
3
. Công do khí thực hiện trong cả chu trình là A
1

. Theo định nghĩa hiệu suất:
31
1
1
QQ
A
+
=


Mặt khác,
31
2
1
1
QQ
Q
+
=

, suy ra:
))(1(
3112
QQQ +=

Xét chu trình 2-3-4-2, trong các quá trình 2-3 và 3-4, khí đều toả nhiệt. Khí chỉ nhận nhiệt trong
quá trình 4-2 và lợng nhiệt nhận vào này hiển nhiên là bằng Q
2
. Vậy hiệu suất của chu trình này
bằng:

2
2
2
Q
A
=


trong đó A
2
là công do khí thực hiện trong chu trình này. Dùng biểu thức của Q
2
nhận đợc ở trên
ta có thể viết:
))(1(
311
2
2
QQ
A
+
=


Hiệu suất của chu trình 1-2-3-4-1 bằng:
31
21
3
QQ
AA

+
+
=

Rút A
1
và A
2
từ các biểu thức của
1

và
2

, rồi thay vào biểu thức trên, ta đợc:
21213

+=
.
Bài tập
Bi1. Chu trình thực hiện bởi n mol khí lý tởng gồm hai quá trình trong đó áp suất p phụ thuộc
tuyến tính vào thể tích V và một quá trình đẳng tích (xem hình vẽ). Trong quá trình đẳng tích 1-
2, ngời ta truyền cho khí một nhiệt lợng Q và nhiệt độ của nó tăng 4 lần. Nhiệt độ tại các trạng
thái 2 và 3 bằng nhau. Các điểm 1 và 3 nằm trên đờng thẳng đi qua gốc toạ độ. Hãy xác định
nhiệt độ của khí ở trạng thái 1 và công mà khí thực hiện trong chu trình trên.
Bi 2. Một khối khí hêli ở trong một xilanh dới một pittông di chuyển đợc. Ngời ta nén khí theo
quá trình đoạn nhiệt đa nó từ trạng thái 1 tới trạng thái 2 (xem hình vẽ). Trong quá trình đó, khối
khí nhận một công là A
12
(A

12
> 0). Sau đó khí đợc giãn đẳng nhiệt từ 2 tới 3. Và cuối cùng, khí
đợc nén từ 3 về 1 theo quá trình trong đó áp suất p tỷ lệ thuận với thể tích V. Hãy xác định công
A
23
mà khí thực hiện trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt 2-3, nếu trong chu trình 1-2-3-1 khí thực
hiện một công bằng A.