Bài tập bất phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (198.4 KB, 21 trang )
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
BÀI TP BT PHNG TRÌNH
I BT PHNG TRÌNH A THC
A - LÝ THUYT
Phương pháp giải :
• Vân dụng ñịnh lí dấu tam thức bậc 2(ñịnh lí ñảo dấu tam thức bậc 2 )
• Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2
B - BÀI TP
Bài 1: Tìm a ñể bất pt :
ax 4 0
+ >
ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiện
4
x
<
Bài giải :
ðặt f(x) = ax +4
Ta có :
( )
4;4
( ) ax 4 0
∈ −
= + > ∀
x
f x
( 4) 0 4 4 0 1
(4) 0 4 4 0 1
− ≥ − + ≥ ≤
⇔ ⇔ ⇔
≥ + ≥ ≥ −
f a a
f a a
Vậy giá trị cần tìm là :
1 1
a
− ≤ ≤
Bài 2: Cho bpt :
2 2
( 4) ( 2) 1 0
m x m x
− + − + <
(1)
1) Tìm m ñể bpt vô nghiệm
2) Tìm m ñể bpt có nghiệm x = 1
Bài giải :
1)
TH
1
:
2
2
4 0
2
m
m
m
= −
− = ⇔
=
• Với m = -2 :
1
(1) 4 1 0 2
4
x x m
⇔ − + < ⇔ > ⇒ = −
(ktm)
• Với m = 2 :
(1) 1 0
⇔ <
vô nghiệm
2
⇒
=
m
thỏa mãn .
TH
2
:
2
m
≠ ±
(1) vô nghiệm
2 2
( 4) ( 2) 1 0,
⇔ − + − + ≥ ∀
x
m x m x
2
2 2
4 0 2 2
( 2)(3 10) 0
( 2) 4( 4) 0
− > < − ∪ >
⇔ ⇔
− + ≥
∆ = − − − ≤
m m m
m m
m m
2 2 10
3
10
2
2
3
< − ∪ >
≤ −
⇔ ⇔
−
≤ ∪ ≥
>
m m
m
m m
m
Từ 2 trường hợp trên ta thấy giá trị cần tìm là :
10
2
3
m m
≤ − ∪ ≥
2) Bất phương trình (1) có một nghiệm x = 1
2 2
1 21 1 21
( 4).1 ( 2).1 1 0 5 0
2 2
− − − +
⇔ − + − + < ⇔ + − < ⇔ < <m m m m m
Bài 3: ðịnh m ñể bpt :
2 2
2 1 0
x x m
− + − ≤
(1) thỏa mãn
1;2
∈
∀
x
Bài giải:
Cách 1 :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
2 2
(1) 2 1 (2)
⇔ − ≤ −x x m
Xét f(x) = x
2
– 2x trên [1;2]
(2) thỏa mãn với mọi x thuộc [1;2] khi và chỉ khi Max f(x)
2
1
m
≤ −
(3)
Lập bảng bt của f(x) suy ra Maxf(x) = 0:
Vậy (3)
2
1
0 1
1
m
m
m
≤ −
≤ − ⇔
≥
Cách 2 :
ðặt f(x) = x
2
– 2x + 1 – m
2
,
Ta có : f(x)
0
≤
[ ]
1;2
x∈
∀
2
2
2
1. (1) 0 1 2.1 1 0 1
1 0
1. (2) 0 1
4 2.2 1 0
≤ − + − ≤ ≤ −
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ⇔
≤ ≥
− + − ≤
f m m
m
f m
m
Bài 4: Với giá trị nào của a thì bất pt sau nghiệm ñúng với mọi giá trị của x :
2 2
( 4 3)( 4 6) (1)
x x x x a
+ + + + ≥
Bài giải :
ðặt :
2 2
4 3 4 6 3
t x x x x t
= + + ⇒ + + = +
Ta có:
2
( 2) 1 1 1 ( 3) (3)
= + − ≥ − ⇒ ≥ − ⇔ + ≥
t x t t t a
Xét hàm số : f(t) =
2
3 ,( 1)
t t t
+ ≥ −
(3)
inf ( )
M t a
⇔ ≥
Lập bảng biến thiên của f(t):
Suy ra Mìn(t) = -2 Vậy (3)
2
a
≤ −
Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình sau ñúng với mọi x:
2
2
2
3 2(1)
1
x mx
x x
+ −
− ≤ ≤
− +
Bài giải :
Ta có :
2
1 0,
x
x x
− + > ∀
Do ñó (1)
2 2 2
2 2 2
3( 1) 2 4 ( 3) 1 0(2)
2 2( 1) ( 2) 4 0(3)
− − + ≤ + − + − + ≥
⇔ ⇔
+ − ≤ − + − + + ≥
x x x mx x m x
x mx x x x m x
(1) ñúng với mọi x
2
(2)
2
(3)
( 3) 16 0
1 7
1 2
6 2
( 2) 16 0
∆ = − − ≤
− ≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
− ≤ ≤
∆ = + − ≤
m
m
m
m
m
BÀI TP V NHÀ
Bài 1: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiên :
2 1
x
− ≤ ≤
2
( 1) 2( 1) 0
m x m x x
+ + − − >
(1)
Bài giải :
2
(1) ( 2) 2 0(2)
m m x m⇔ + − + + >
ðặt f(x) = (m
2
+ m – 2 )x + m + 2
Bài toán thỏa mãn:
2 2
2 2
3
( 2) 0 ( 2)( 2) 2 0 2 6 0
2
3
0
2
(1) 0
2
( 2)(1) 2 0 2 0
2 0
− > + − − + + > − − + >
− < <
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <
>
+ − + + > + >
< − ∪ >
f m m m m m
m
m
f
m m m m m
m m
Bài 2: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x :
2 2
2 1 0
x x m
− + − >
Bài giải :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Do a = 1 > 0 Vậy bài toán thỏa mãn:
2 2
2
' 1 1 0 2 0
2
< −
⇔ ∆ = − + < ⇔ − < ⇔
>
m
m m
m
Bài 3: Tìm a nhỏ nhất ñể bpt sau thỏa mãn
[ ]
0;1
x∈
∀
:
2 2 2
( 1) ( 1)
a x x x x
+ − ≤ + +
(1)
Bài giải :
ðăt :
2
1
t x x
= + +
= f(x)
Lập bbt f(x) trên [0;1] Suy ra f(x)
1 3
t
⇒ ≤ ≤
2 2
1;3 1;3
(1) ( 2) 2 0 (2)
∈ ∈
⇔ − ≤ ∀ ⇔ − + ≥ ∀
t t
a t t t at a
ðặt f(t) = t
2
– at + 2a
2
8 0
2
8 0
(2) 1. (1) 0 1 9
1
2 2
2
8 0
1. (3) 0
3
2 2
∆ = − ≤
∆ = − >
⇔ ≥ ⇔ − ≤ ≤
−
= <
∆ = − >
≥
−
= >
a a
a a
f a
b a
a
a a
f
b a
a
Suy ra a c
ầ
n tìm là : a = -1
BÀI TP TUYN SINH
Bài 1:
Tìm a
ñể
hai bpt sau t
ươ
ng
ñươ
ng :( a-1).x – a + 3 > 0 (1)
và (a+1).x – a + 2 >0 (2)
Bài giải :
TH
1
: a =
1
±
thay tr
ự
c ti
ế
p vào (1) và (2) th
ấ
y không t
ươ
ng
ñươ
ng.
TH
2
:
a
> 1 :
1 2
3 2
(1) ; (2)
1 1
− −
⇔ > = ⇔ > =
− +
a a
x x x x
a a
(1)
1 2
(2) 5
x x a
⇔ ⇔ = ⇔ =
TH
3
:
a < -1 :
1
2
(1)
(2)
x x
x x
⇔ <
⇔ <
ðể
1 2
(1) (2) 5
x x a
⇔ ⇔ = ⇔ =
( lo
ạ
i)
TH
4
:
-1 < a < 1 : (1) Và (2) không t
ươ
ng
ñươ
ng
K
ế
t lu
ậ
n :a = 5 th
ỏ
a mãn bài toán .
Bài 2:
(
ð
HLHN): Cho f(x) = 2x
2
+ x -2 . Gi
ả
i BPT f[f(x)] < x (1)
Bài giải :
Vì f[f(x)] – x = f[f(x)] – f(x) +f(x) – x = [2f
2
(x) + f(x) -2] – (2x
2
+ x – 2) + f(x) – x =
= 2[f
2
(x) – x
2
] + 2 [f(x) – x ] = 2 [f(x) – x ][f(x) + x +1] = 2(2x
2
– 2)( 2x
2
+2x-1)
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Vậy (1)
2 2
1 3
1
2
2(2 2)(2 2 1) 0
1 3
1
2
− −
< < −
⇔ − + − < ⇔
− +
< <
x
x x x
x
Bài 3: (ðHKD-2009). Tìm m ñể ñường thẳng (d) : y = -2x + m cắt ñường cong (C): y =
2
1
x x
x
+ −
tại
2 ñiểm pb A ,B sao cho trung ñiểm I của ñoạn AB thuộc oy
Bài giải :
Xét pt hoành ñộ :
2
1
2 (1)
x x
x m
x
+ −
− + =
ðể (d) cắt (C) tại 2 ñiểm pb
(1)
⇔
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác 0
2
(1) 3 (1 ) 1 0 ( )
x m x f x
⇔ + − − = =
Do a .c = -3 <0 ,f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm phân biêt khác 0 .
ðể I thuộc oy
1 2
1
0 0 1
2 6
x x
m
m
+
−
⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bài 4: Tìm m ñể (d) : y = -x + m cắt (C )y =
2
1
x
x
−
tại 2 ñiểm pb A,B sao cho AB = 4.
Bài giải :
Xét pt hoành ñộ :
2
1
x
x m
x
−
− + =
(1)
ðể (d) cắt (C ) tại 2 ñiểm pb
(1)
⇔
có 2 nghiệm pb khác 0
2
2 1 ( ) 0
x mx f x
⇔ − − = =
có 2 nghiệm pb
khác 0.
Do a.c = -2 < 0 , f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm pb x
1
, x
2
khác 0.
ðể AB = 4
2 2 2
2 1 2 1
16 ( ) ( ) 16
AB x x y y
⇔ = ⇔ − + − =
2
2 2
2 1 2 1 1 2
1
2( ) 16 2 ( ) 4 2( 4.( )) 16 2 6
4 2
⇔ − = ⇔ + − = − − = ⇔ = ±
m
x x x x x x m
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
II BT PHNG TRÌNH CHA TR TUYT I
A - LÝ THUT
1.
2.
3. ( )( ) 0
A B B A B
A B
A B
A B
A B A B A B
< ⇔ − < <
>
> ⇔
< −
> ⇔ − + >
Các tính chất :
,
,
1.
2. . 0
3. ,
4. ( ). 0
A B
A B
A B A B
A B A B A B
A B A B
A B A B A B B
+ ≤ + ∀
+ < + ⇔ <
− ≥ − ∀
− > − ⇔ − >
B - BÀI TP
Bài 1:Giải các bpt sau :
2 2 2
2
2
1) 2 3 3 3 2
) 3 2 2
5 4
3) 2 5 7 4 4) 1
4
− − ≤ − − + + >
− +
+ > − ≤
−
x x x x x x x
x x
x x
x
Bài giải :
2 2
2 2
2 3 3 3 6 0 3 2
(1) 2 5
0 5
2 3 3 3 5 0
− − ≥ − + + − ≥ ≤ − ∪ ≥
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤
≤ ≤
− − ≤ − − ≤
x x x x x x x
x
x
x x x x x
2 2
2
2 2
2 2
3 2 2
2 5 2 0
(2) 3 2 2
2 0
3 2 2
1 1
2
2 2
2 2
− + > −
− + >
⇔ − + > − ⇔ ⇔
− >
− + < −
< ∪ > <
⇔ ⇔
> >
x x x x
x x
x x x x
x
x x x x
x x x
x x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
[
]
[
]
2 2 2 2
(3) (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0 (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 )
0
1
(12 2 )(6 2) 0 (6 )(3 1) 0 6
3
⇔ + > − ⇔ + − − > ⇔ + + − + − − >
⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ < <
x x x x x x x x
x x x x x
(4). ðk: x
2
≠ ±
2 2 2 2 2 2 2
(4) 5 4 4 ( 5 4) ( 4) (8 5 )(2 5 ) 0
8
0
5
5
2
⇔ − + ≤ − ⇔ − + ≤ − ⇔ − − ≤
≤ ≤
⇔
≥
x x x x x x x x x
x
x
Bài 2:Giải các bpt sau :
2
2 2
2
4 3
1) 1 2) 1 2 8
5
− +
≥ − ≤ − +
+ −
x x
x x x
x x
Bài giải:
1) Bảng xét dấu :
x
−∞
0
+∞
4 5
X
2
– 4x + - + +
X - 5 - - - +
+) Xét :
0
4 5
x
x
<
≤ <
2
2 2
4 3 3 2 2
(1) 1 0
5 5 3
− + +
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ −
− + − +
x x x
x
x x x x
(do
2
5 0,
x R
x x
∈
− + > ∀
)
+) Xét :
0 4
x
≤ <
:
2
2
2
4 3 1
(1) 1 2 5 2 0 2
5 2
− + +
⇔ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
− +
x x
x x x
x x
+) Xét :
5
x
≥
:
2
2 2
4 3 5 8 1 21 8 1 21
(1) 1 0
5 5 2 5 2
− + − − − − +
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ∪ ≤ ≤
+ − + −
x x x
x x
x x x x
(ktm)
Vậy nghiệm bpt là :
2
3
1
2
2
x
x
−
≤
≤ ≤
2. ðặt t =
, 0
x t
≥
:
2
2 2
2 2
2 2
2 2 7 0
2 8 1
9
(2) 1 2 8
9
2
1 2 8
2
− + ≥
− + − ≤ −
⇔ − ≤ − + ⇔ ⇔ ⇔ ≤
≤
− ≤ − +
t t
t t t
t t t t
t
t t t
Vì
9 9 9 9
0 0
2 2 2 2
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
t x x
Bài 3: Giải và biện luận bpt sau :
2 2
3 4 (1)
x x m x x m− − ≤ − +
Bài giải:
(
)
(
)
(
)
( ) ( )( )
2 2
2 2 2
(1) 3 4 2 7 2 0 2 7 2 0
⇔ − − ≤ − + ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤
x x m x x m x x x m x x x m
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Ta có :
7
(2 7)( 2 ) 0 2 0
2
x x x m x m x x
− − = ⇔ = ∪ = ∪ =
+) Nếu 2m < 0 : Có trục xác ñịnh dấu:
Kết luận :
2
7
0
2
x m
x
≤
≤ ≤
+) Nếu 2m = 0
Kết luận:
7
2
x
≤
+) Nếu
7 7
0 2 0
2 4
m m
< < ⇔ < <
Kết luận:
0
7
2
2
x
m x
≤
≤ ≤
+) Nếu 2m =
7
2
7
4
m
⇔ =
Kết luận:
0
7
2
x
x
≤
=
+) Nếu
7 7
2
2 4
m m
> ⇔ >
Kết luận:
0
7
2
2
x
x m
≤
≤ ≤
B - BÀI TP V NHÀ
Bài 1: Giải các bpt sau :
2
2 2
2
1) 1 2
2) 1 4 2 1
3) 2 2 2 2
4) 3 3 9 2
− <
− ≥ +
+ − ≤ − −
− − > −
x x
x x
x x x x
x x x
Bài giải :
Kết quả :
1.)
1 2 1 2
x− + < < +
2.)
0
1
x
x
≤
≥
3.)
2
0 1
x
x
= −
≤ ≤
4.)
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
2
2
2
2
2
3 9 2 3
3 3 9 2
3 3 9 2
4 19
3 8 1 0
3
3 10 5 0
4 19
3
− + − < −
⇔ − < − + ⇔
− < − +
−
<
− − >
⇔ ⇔
− + <
+
>
x x x
x x x
x x x
x
x x
x x
x
Bài 2: Giải các bpt sau :
2
2
4
2
1) 1
2 3
2) 1
1
3) ( 3)( 1) 5 ( 1) 11
≤ −
−
≤
+
+ − − ≤ + −
x
x
x
x
x x x
Bài giải :
1.ðặt :
2
, 0
x t t
= >
. Ta ñược :
2 2
2 2
2 2 0
2 2
1 2 0 1
2 2 0
− ≤ − + − ≤
−
≤ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤
− ≥ − + ≤
t t t t
t
t t t t t
t t
t t t t
Vậy
2
1 1
0 1
0
x
x
x
− ≤ ≤
< ≤ ⇔
≠
2.ðk :
1
x
≠ −
TH
1
:
0
≥
x
2 2
2
2 3
(2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 )
1
1 3
8 14 3 0
4 2
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ +
+
⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
x
x x x x
x
x x x
(tm)
TH
2
:
0
1
x
x
<
≠ −
2 2
2
2 3
(2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 )
1
3 1
8 10 3 0
4 2
+
⇔ ≤ ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ +
+
⇔ + + ≤ ⇔ − ≤ ≤ −
x
x x x x
x
x x x
( tm )
3.
2 4 2 4
(3) 2 3 5 ( 1) 11 ( 1) 9 ( 1) 11
⇔ + − − ≤ + − ⇔ + − ≤ + −
x x x x x
ðặt :
2
( 1) , 0
t x t
= + ≥
. Ta ñược :
2 2
2
2 2
9 11 2 0
9 11
11 9 20 0
1 2 5
5 4 4
− ≤ − − − ≥
− ≤ − ⇔ ⇔
− + ≤ − + − ≥
≤ − ∪ ≥ ≤ −
⇔ ⇔
≤ − ∪ ≥ ≥
t t t t
t t
t t t t
t t t
t t t
Vậy
4
t
≥
( tm )
2
1
( 1) 4 ( 1)( 3) 0
3
≥
⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔
≤ −
x
x x x
x
Bài 3: Giải và biện luận bpt sau theo tham số m.
2 2
2 3
x x m x x m
− + ≤ − −
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Bài giải :
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2
(3) 2 3
2 (2 5 ) 0
(2 5)( 2 ) 0
⇔ − + ≤ − −
⇔ + − ≤
⇔ + + ≤
x x m x x m
x m x x
x x x m
Nếu :
5 5
2
2 4
m m
− < − ⇔ >
thì
2
(3)
5
0
2
x m
x
≤ −
⇔
− ≤ ≤
Nếu :
5 5
2
2 4
m m
− = − ⇔ =
thì
(3) 0
x
⇔ ≤
Nếu
5 5
2 0 0
2 4
m m
− < − < ⇔ < <
thì
5
(3)
2
2 0
x
m x
≤ −
⇔
− ≤ ≤
Nếu
2 0 0
m m
− = ⇔ =
thì
5
(3)
2
x
⇔ ≤ −
Nếu m < 0: thì
0 2
5
2
x m
x
≤ ≤ −
≤ −
Kết luận :
Bài 4: Với giá trị nào của m thì bpt sau thỏa mãn với mọi x :
2
2 2 2 0
x mx x m
− + − + >
Bài giải :
2 2
(4) ( ) 2 2 0
x m x m m
⇔ − + − + − >
ðặt :
, 0
x m t t
− = ≥
Ta ñược : t
2
+ 2t + 2 – m
2
> 0 (5)
ðể tmbt
2 2
0
( ) 2 2
t
f t t t m
≥
⇔ = + > − ∀
2
inf( ) 2(6)
M t m⇔ > −
Lập bbt của f(t) :
Suy ra Minf(t) = 0 :
Vậy
2
(6) 0 2 2 2
m m⇔ > − ⇔ − < <
Bài 5: Với giá trị nào thì bpt sau có nghiệm:
2 2
2 1 0
x x m m m
+ − + + − ≤
Bài giải :
2 2
2 2
2( ) 1 0
( )
(5)
2( ) 1 0
( )
x x m m m
I
x m
x x m m m
II
x m
+ − + + − ≤
≥
⇔
− − + + − ≤
<
(5) có nghiệm khi và chỉ khi (I) có nghiệm Hoặc (II) có nghiệm:
2 2
( )
2 ( ) 1
x m
I
x x f x m m
≥
⇔
+ = ≤ − + +
Có f(m) = m
2
+ 2m
(I) có nghiệm
2 2 2
1
1 2 2 1 0 1
2
⇔ − + ≥ + ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤
m m m m m m m
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
(II)
2 2
2 ( ) 3 1
x m
x x g x m m
<
⇔
− = ≤ − − +
(II) có nghiệm
2 2 2
1
2 3 1 2 1 0 1
2
⇔ − < − − + ⇔ + − < ⇔ − < <
m m m m m m m
Kết luận :
1
1
2
m
− ≤ ≤
Cách 2:
ðặt :
0
t x m
= − ≥
,phải tìm m ñể
f(t) =
2
2 2 1 0
t t mx m
+ + + − ≤
có nghiệm
0
t
≥
.Parabol y = f(t) quay bề lõm lên trên và có hoành ñộ
ñỉnh là t = -1< 0 nên phải có f(0) = 2mx + m - 1
0
≤
.Khi t = 0 thì x = m suy ra
2
1
2 1 0 1
2
m m m
+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Bài 6: Tìm a ñể với mọi x :
2
( ) ( 2) 2. 3
= − + − ≥
f x x x a
Bài giải :
Bài toán thỏa mãn :
2
2
2 1 2 ( ) 0 (2)
6 1 2 ( ) 0 (3)
x a
x a
x x a f x
x x a g x
≥
<
− + − = ≥ ∀
⇔
− + + = ≥ ∀
2
' 0
0
0
' 0
(2)
1. ( ) 0 4 1 0
2 3
1
1
2
a
a o
a
f a a a
a
b a
a
∆ ≤
≤
>
≤
∆ >
⇔ ⇔ ⇔
≥ − + ≥
≥ +
<
− <
(3)
2
' 0
8 2 0
8 2 0
4
' 0
1. ( ) 0 4 1 0
2 3
3
2
a
a
a
g a a a
a
b a
a
a
∆ ≤
− ≤
− >
≥
∆ >
⇔ ⇔ ⇔
≥ − + ≥
≤ −
<
< −
Vậy ñể thỏa mãn bài toán :
0
4
a
a
≤
≥
Bài 7: Tìm a ñể bpt:Ax + 4 > 0 (1) ñúng với mọi giá trị của x thỏa mãn ñiều kiện
4
x
<
Bài giải :
Nhận thấy trong hệ tọa ñộ xoy thì y = ax + 4 với
-4 < x < 4 là một ñoạn thẳng . Vì vậy y = ax + 4 > 0
( 4) 0 1
1 1
(4) 0 1
y a
a
y a
− ≥ ≥ −
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
≥ ≤
Bài 8: Tìm a ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x :
2 2
( 4 3)( 4 6)
x x x x a
+ + + + ≥
Bài giải :
ðặt :
2 2
4 3 ( 2) 1 1 1
= + + = + − ≥ − ⇒ ≥ −
t x x x t
Bài toán thỏa mãn :
1
( 3) ( )
t
t t f t a
≥−
⇔ + = ≥ ∀
Xét f(t) với t
1
≥ −
Suy ra Min f(t) = -2
Vậy bài toán thõa mãn
2
a
⇔ ≤ −
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
III — BT PHNG TRÌNH CHA CN THÚC
A — LÝ THUYT
Phương pháp 1: Sử dụng phép biến ñổi tương ñương :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
2
2
2
2
0
1. 0
0
2. 0
0
0
3.
0
0
0
4.
0
A
A B B
A B
A
A B B
A B
B
B
A B
A
A B
B
B
A B
A
A B
≥
< ⇔ >
<
≥
≤ ⇔ ≥
≤
≥
<
> ⇔ ∪
≥
>
>
≤
≥ ⇔ ∪
≥
≥
Bài 1: Giải các bpt sau :
2
2
1) 3 2 1
2) 1 3
3) 3 2 4 3
4) 3 4 1
− < −
− + ≤ +
− > −
+ − ≥ +
x x
x x x
x x
x x x
Bài giải :
1.
2 2
1
2 1 0
2
3 0 3 3
3 (2 1) 4 5 4 0
>
− >
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
− < − − + >
x
x
x x x
x x x x
2.
2
2 2
1 0
8
3 0
7
1 ( 3)
x x
x x
x x x
− + ≥
⇔ + ≥ ⇔ ≥ −
− + ≤ +
3.
2
2 3
4 3 0
4 3 0
2
3 4
1
3 2 0
3
3
3 2 (4 3)
1
4
≤ <
− ≥
− <
⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ <
− ≥
− > −
≤ <
x
x
x
x
x
x x
x
4.
2
2 2
1 0
4
3 4 0
3
1 0
1 41
4
3 4 ( 1)
x
x
x x
x
x
x x x
+ ≤
≤ −
+ − ≥
⇔ ⇔
+ >
+
≥
+ − ≥ +
Bài 2: Giải các bpt sau :
2
2 2
1) 1 2( 1)
2) ( 5)(3 4) 4( 1)
3) 2 3 5 2
4) ( 3) 4 9
+ ≥ −
+ + > −
+ − − < −
− − ≤ −
x x
x x x
x x x
x x x
Bài giải :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
1.
2
2 2 2
2( 1) 0 1 1
1
1 0 1
1 3
2( 1) ( 1) 2 3 0
− ≥ ≤ − ∪ ≥
= −
⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔
≤ ≤
− ≤ + − − ≤
x x x
x
x x
x
x x x x
.
2.
2
2
1
4( 1) 0
5
4
( 5)(3 4) 0
5
4
3
1
31 0
1
1 4
( 5)(3 4) 16( 1)
13 51 4 0
<
− <
≤ −
+ + ≥
≤ − ∪ ≥ −
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
− ≥
≥
≤ <
+ + > −
− − <
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x x x
x x
Kết luận :
4
5 4
5
x x
≤ − ∪ − ≤ <
3. ðk:
2 0
5
3 0 2
2
5 2 0
x
x x
x
+ ≥
− ≥ ⇔ − ≤ ≤
− ≥
2
5 2 3 2 2 11 15 2 3
Bat phuong trinh
⇔ − + − > + ⇔ − + > −
x x x x x x
(*)
+) Xét :
3
2
2
x
− ≤ <
(*) luôn ñúng.
+) Xét :
3 5
2 2
x
≤ ≤
2 2 2
3
; (*) 2 11 15 (2 3) 2 6 0 2
2
⇔ − + > − ⇔ − − < ⇔ − < <
x x x x x x
Do
3 5
2 2
x
≤ ≤
nên nghiệm của bpt là :
3
2
2
x
≤ <
Kết luận :
2 2
x
− ≤ <
4. ðk:
2
4 0 2 2
x x x
− ≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥
Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt .
+) Xét x > 3:
( )
2
2 2
13
4 3 4 3
6
Bat phuong trinh
⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ + ⇔ ≥ −
x x x x x
Suy ra x > 3 là nghi
ệ
m bpt
+)
Xét :
2 2 3
x x
≤ − ∪ ≤ <
( )
2
2
2
2
3 0
3 0
4 3
4 0
4 3
3
3 3
13
13
2 2 6 13 0
6
3
6
Bat phuong trinh
+ >
+ ≤
⇔ − ≥ + ⇔ ∪
− ≥
− ≥ +
≤ −
≤ − > −
⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ −
≤ − ≥ + ≤
− < ≤ −
∪
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x x
x
V
ậ
y kêt lu
ậ
n :
13
6
3
x
x
≤ −
≥
BÀI TP V NHÀ
Bài 1:
Gi
ả
i các bpt sau :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
2
2
1) 2 1 8
2) 2 6 1 2 0
3) 6 5 8 2
4) 3 2 8 7
5) 2 1
− ≤ −
− + − + >
− + − > −
+ ≥ − + −
+ − + <
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
Bài giải :
1.
2
2
8
8 0
1 1
(1) 2 1 0 5
2 2
2 1 (8 )
18 65 0
≤
− ≥
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤
− ≤ −
− + ≥
x
x
x x x
x x
x x
2.
( )
( )
2
2
2
2
2
2 0
2 0
(2) 2 6 1 2
2 6 1 2
2 6 1 0
2
3 7
2
3 7
3
2
2
2 3 0
3 7
2
− ≥
− <
⇔ − + > − ⇔ ∪
− + > −
− + ≥
<
−
≥
−
≤
⇔ ∪ ⇔ ≤ ∪ >
− − >
+
≥
x
x
x x x
x x x
x x
x
x
x
x x
x x
x
3.
Tương tự :
3 5
x
< ≤
4.
ðk:
3 0
2 8 0 4 7
7 0
x
x x
x
+ ≥
− ≥ ⇔ ≤ ≤
− ≥
(
)
( )( ) ( )( )
2
2 2
(4) 3 2 8 7 3 1 2 2 8 7 2 2 8 7
5
4 2 22 56 11 30 0
6
⇔ + ≥ − + − ⇔ ≥ − + − − ⇔ ≥ − −
≤
⇔ ≥ − + − ⇔ − + ≥ ⇔
≥
x x x x x x x
x
x x x x
x
Kết luận :
4 5
6 7
x
x
≤ ≤
≤ ≤
5.
ðkiện :
2 0
1 0 0
0
x
x x
x
+ ≥
+ ≥ ⇔ ≥
≥
( )
2
(5) 2 1 2 2 1 2 ( 1) 1 2 ( 1)
3 2 3 3 2 3
1 0
1
3 3
1
0
1 4 ( 1)
3 2 3 3 2 3
1
3 3
⇔ + < + + ⇔ + < + + + ⇔ − < +
+ +
< − < −
− ≥
− <
⇔ ∪ ⇔ > ∪ ⇔
≥
− < +
− + − +
< ≤ <
x x x x x x x x x x
x x
x
x o
x
x
x x x
x x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Kết luận :
3 2 3
3
x
− +
>
Bài 2: Giải các bpt sau :
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1) ( 3 ). 2 3 2 0
2
2) 21
3) 4
3 9 2 1 1
− − − ≥
< + > −
− + + +
x x x x
x x
x x
x x
Bài giải :
1.
2
2
2
1
2
2 3 2 0
2
1
(1) 2
2 3 2 0
2
3
3 0
1
2
2
0 3
=
≤ −
− − =
⇔ ⇔ = − ⇔ =
− − >
≥
− ≥
< −
>
≤ ∪ ≥
x
x
x x
x x
x x
x
x x
x
x
x x
2.
ðk :
9
9 2 0
2
3 9 2 0
0
x
x
x
x
+ ≥
≥ −
⇔
− + ≠
≠
Khi ñó :
(
)
2
2
2
2 3 9 2
7
(2) 21 9 2 4
4 2
+ +
⇔ < + ⇔ + < ⇔ <
x x
x x x
x
Kết luận :
9 7
2 2
0
x
x
− ≤ <
≠
3.
ðk:
1 0 1
x x
+ ≥ ⇔ ≥ −
Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt
+) Xét
0
x
≠
:
(
)
( )
2
2
2
2
1 1
(3) 4 1 1 4 2 2 1 4
1 3 1 9 8
− +
⇔ > − ⇔ − + > − ⇔ − + > −
⇔ + < ⇔ + < ⇔ <
x x
x x x x
x
x x x
Kết luận :
1 8
x
− ≤ <
Chú ý : Dạng
( ) 0
( ). ( ) 0
) ) 0
( ) 0
=
≥ ⇔
>
≥
g x
f x g x
g x
f x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Bài 3: Giải bpt sau :
2
3 4 2
2
− + + +
<
x x
x
Bài giải :
ðk :
4
1
3
0
x
x
− ≤ ≤
≠
:
+) Xét :
4
0
3
x
< ≤
:
2
2
3 4 2
2 3 4 2 2
Bpt
− + + +
⇔ < ⇔ − + + < −
x x
x x x
x
( )
2
2
2
2 2 0
1
9
7
7 9 0
3 4 2 2
− ≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ >
− >
− + + < −
x
x
x
x x
x x x
Vậy bpt có nghiệm :
9 4
7 3
x
< ≤
+) Xét:
1 0:
x
− ≤ <
bpt luôn ñúng
Kết luận nghiệm của bpt:
1 0
9 4
7 3
x
x
− ≤ <
< ≤
Bài 4:
2 2 2
2 2 2
2
1) 3 2 4 3 2 5 4
2) 8 15 2 15 4 18 18
3) 1 1 2
4
− + + − + ≥ − +
− + + + − ≤ − +
+ + − ≤ −
x x x x x x
x x x x x x
x
x x
Bài giải :
1.
ðk:
2
2
2
3 2 0
4 3 0 1 4
5 4 0
x x
x x x x
x x
− + ≥
− + ≥ ⇔ ≤ ∪ ≥
− + ≥
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 2 1 3 2 1 4
Bpt
⇔ − − + − − ≥ − −
x x x x x x
(*)
Nh
ậ
n xét x = 1 là nghi
ệ
m
+)
Xét x <1 :
( )( ) ( )( ) ( )( )
(*) 1 2 1 3 2 1 4 2 3 2 4
⇔ − − + − − ≥ − − − + − ≥ −
x x x x x x x x x
Ta có :
1
2 3 4 4 2 4 ,
<
− + − < − + − = − ∀
x
x x x x x
Suy ra x < 1 bpt vô nghi
ệ
m .
+) Xét :
4:
x
≥
(*) 2 3 2 4
⇔ − + − ≥ −
x x x
Ta có :
4
2 3 4 4 2 4,
≥
− + − ≥ − + − = − ∀
x
x x x x x
Suy ra :
4:
x
≥
, b
ấ
t pt luôn
ñ
úng .
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a bpt là :
1
4
x
x
=
≥
2.
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
ðiều kiện:
2
2
2
8 15 0
3
2 15 0
5 5
4 18 18 0
x x
x
x x
x x
x x
− + ≥
=
+ − ≥ ⇔
≤ − ∪ ≥
− + ≥
( )( ) ( )( )
5 3 5 3 (4 6)( 3)
Bpt
⇔ − − + + − ≤ − −
x x x x x x
(*)
Nh
ậ
n xét x = 3 là nghi
ệ
m c
ủ
a bpt
+) Xét :
5
x
≤ −
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
2
2 2 2
(*) 5 3 5 3 6 4 3 5 5 6 4
17
5 5 2 25 6 4 25 3 25 3
3
⇔ − − + − − − ≤ − − ⇔ − + − − ≤ −
⇔ − − − + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Suy ra :
5
x
≤ −
là nghi
ệ
m c
ủ
a bpt
+) Xét :
5
≥
x
2 2
17
(*) 5 5 4 6 5 5 2 25 4 6 25 3
3
⇔ − + + ≤ − ⇔ − + + + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤x x x x x x x x x x
Suy ra :
17
5
3
x≤ ≤
là nghi
ệ
m c
ủ
a bpt .
K
ế
t lu
ậ
n : Nghi
ệ
m c
ủ
a bpt
ñ
ã cho là :
5
3
17
5
3
x
x
x
≤ −
=
≤ ≤
3.
ðk:
1 0
1 1
1 0
x
x
x
+ ≥
⇔ − ≤ ≤
− ≥
:
Khi ñó :
(
)
(
)
[ ]
4 4
2 2 2 2
4
2
2
1;1
1 1 2 1 4 1 2 1 1 0
16 16
1 1 0
16
Bpt
∈ −
⇔ + + − + − ≤ − + ⇔ − − − + + ≥
⇔ − − + ≥ ∀
x
x x
x x x x x x
x
x
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a bpt là :
1 1
x
− ≤ ≤
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
PHNG PHÁP T N PH
Bài 1: Giải bpt sau :
( )( )
2
1 4 5 5 28 (1)
+ + < + +x x x x
Bài giải :
ðặt :
2
5 28, 0
t x x t
= + + >
( Do
2
5 28 0, )
x R
x x
∈
+ + > ∀
Khi ñó :
2 2
(1) 24 5 5 24 0 0 8
⇔ − < ⇔ − − < ⇔ < <
t t t t t
( do t> 0 )
2 2
0 5 28 8 5 36 0 9 4
⇔ < + + < ⇔ + − < ⇔ − < <
x x x x x
Kết luận : -9 < x < 4
Bài 2: Giải bpt sau :
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 (1)
+ + − + + − < −x x x x x
Bài giải :
ðk:
7 7 0
6
7 6 0
7
x
x
x
+ ≥
⇔ ≥
− ≥
:
ðặt :
( )( )
( )( )
2
2
7 7 7 6, 0 7 7 7 6 2 7 7 7 6
14 2 7 7 7 6 1
= + + − ≥ ⇒ = + + − + + −
⇒ + + − = −
t x x t t x x x x
x x x t
Khi ñó :
2 2
2
2
(1) 7 7 7 6 14 2 49 7 42 181 1 181
182 0 0 13( 0) 7 7 7 6 13
6
12
6
49 7 42 84 7 6
7
7
6
⇔ + + − + + + − < ⇔ + − <
⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ⇔ + + − <
≤ <
⇔ + − < − ⇔ ⇔ ≤ <
<
x x x x x t t
t t t t x x
x
x x x x
x
Kết luận :
6
6
7
x
≤ <
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Bài 3: Giải bpt sau :
3 1
3 2 7 (1)
2
2
+ < + −x x
x
x
ðk : x > 0:
1 1
(1) 3 2 7(2)
4
2
x x
x
x
⇔ + < + −
ðặt :
2 2
1 1 1 1
2 . 2 1 1
4 4
2 2
= + ≥ = ⇒ = + + ⇒ + = −
t x x t x x t
x x
x x
Khi ñó :
( )
2 2
1
(2) 3 2 1 7 2 3 9 0 3( 2) 3(3)
2
⇔ < − − ⇔ − − > ⇔ > ≥ + >t t t t t t x
x
ðặt :
, 0
= >
u x u
( )
2
1 3 7 3 7
3 3 2 6 1 0 0
2 2 2
3 7 3 7 8 3 7 8 3 7
0 0
2 2 2 2
− +
⇔ + > ⇔ − + > ⇔ < < ∪ >
− + − +
⇔ < < ∪ > ⇔ < < ∪ >
u u u u u
u
x x x x
Kết luận :
8 3 7 8 3 7
0
2 2
x x
− +
< < ∪ >
BÀI TP V NHÀ
Bài 1: Giải các bpt sau :
2 2
2 2
2 2
1) 3 6 4 2 2
2) 2 4 3 3 2 1
3) 3 5 7 3 5 2 1
+ + < − −
+ + − − >
+ + − + + ≥
x x x x
x x x x
x x x x
Bài giải :
1.ðặt :
2
2 2 2 2 2
4
3 6 4, 0 3 6 4 3( 2 ) 4 2
3
−
= + + ≥ ⇒ = + + = + + ⇒ + =
t
t x x t t x x x x x x
Khi ñó :
( )
2
2 2
4
1 2 3 10 0 0 2( 0) 0 3 6 4 2
3
−
⇔ < − ⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ≤ + + <
t
t t t t t x x
2 2 2
3 6 4 4 ( 3 6 4 0) 3 6 0 2 0
⇔ + + < + + > ⇔ + < ⇔ − < <
x x do x x x x x
2.ðặt :
2 2 2 2 2
3 2 , 0 3 2 2 3
= − − ≥ ⇒ = − − ⇒ + = −
t x x t t x x x x t
Khi ñó :
( )
( )
2 2
5
2 2 3 3 1 2 3 5 0 0 (do t 0)
2
⇔ − + > ⇔ − − < ⇔ ≤ < ≥
t t t t t
2
2
3 1
5
0 3 2 3 1
25
2
3 2
4
− ≤ ≤
⇔ ≤ − − < ⇔ ⇔ − ≤ ≤
− − <
x
x x x
x x
3. ðặt :
2 2 2
3 5 2, 0 3 5 2
= + + ≥ ⇒ + = −
t x x t x x t
Ta ñược :
( )
2
2 2 2 2
5 1 5 1 5 1 2 4 2 0 3 5 2 2
+ − ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + ≤
t t t t t t t t x x
2
2
2
2 1
1
3 5 2 0
3
2 1
1
3 5 2 4
2
3 3
3
−
− ≤ ≤ −
≤ − ∪ ≥
+ + ≥
⇔ ⇔ ⇔
−
≤ ≤
+ + ≤
− ≤ ≤
x
x x
x x
x
x x
x
Bài 2: Giải các bpt sau :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
3
1) 2 1 2 1
2
5 1
2) 5 2 4
2
2
1
3) 2 3
1
+ − + − − >
+ < + +
+
− >
+
x x x x
x x
x
x
x x
x x
Bài giải :
1.
( )
( ) ( )
2 2
3
1 1 1 1 1
2
x x
⇔ − + + − − >
ðk :
1
x
≥
:
3
Bpt 1 1 1 1
2
⇔ − + + − − >
x x
ðặt :
1, 0
t x t
= − ≥
Khi ñó :
3
1 1 (2)
2
3 3
) 1: (2) 2 1 1 (do t 1) 2
2 4
3
) 0 1: (2) 2
2
⇔ + + − >
+ ≥ ⇔ > ⇔ > ⇔ − ≥ ≥ ⇔ ≥
+ ≤ < ⇔ >
t t
t t t x x
t
Vậy :
1
0 1 1
2
x
x
x
≥
≤ − ≤ ⇔
≤
Kết luận :
1
x
≥
2. ðk : x > 0.
( )
1 1
2 5 2 4(3)
2
2
x x
x
x
⇔ + < + +
ðặt :
2
1 1 1
2 . 2, 2 1
4
2 2
= + ≥ = ≥ ⇒ + = −
t x x t x t
x
x x
Khi ñó :
( )
( )
2 2
1
3 5 2 1 4 2 5 2 0
2
2
<
⇔ < − + ⇔ − + > ⇔
>
t
t t t t
t
Do ñk: Ta có
1
2 2 4 1 0
2
+ > ⇔ − + >
x x x
x
ðặt :
, 0
u x u
= >
Ta ñược : 2u
2
– 4u + 1> 0
2 2 2 2 3 2 2
0 0
2 2 2
2 2 2 2 3 2 2
2 2 2
− − −
< < < < <
⇔ ⇔ ⇔
+ + +
> > >
u x x
u x x
3. ðk:
1 0:
x x
< − ∪ >
ðặt:
2
1 1
, 0
1
+
= > ⇒ =
+
x x
t t
x x t
Ta ñược :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
( )
( )
3 2 2
2
1
2 3 2 3 1 0 1 2 1 0
1 1 1 4
0 (do t 0) 0 1
2 2 3
− > ⇔ + − < ⇔ + + − <
+
⇔ < < > ⇔ < < ⇔ − < < −
t t t t t t
t
x
t x
x
Bài 3: Giải bpt sau:
2
35
12
1
x
x
x
+ >
−
Bài giải :
ðk:
2
1
1 0
1
x
x
x
< −
− > ⇔
>
+) Xét x < -1 :bpt VN
+) Xét x > 1 :
( )
2 2 4 2
2
2 2
2 2
1225 1225
1 2. 2. 0 (2)
1 144 1 144
1 1
⇔ + + > ⇔ + − >
− −
− −
x x x x
x
x x
x x
ðặt :
2
, 0
2
1
= >
−
x
t t
x
2
1225 25 25
2 4 2
(2) 2 0 (do t 0) 144 625 625
144 12 12
2
1
25 5
2
0
1
16
4
4 2
144 625 625 0 (do x 1)
5
25
2
39
⇔ + − > ⇔ > > ⇔ > ⇔ > −
−
≤ <
< <
⇔ − + > ⇔ ⇔ >
>
>
x
t t t x x
x
x
x
x x
x
x
****************HẾT***************
