skkn vai trò của đường cao trong việc giải toán hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: VAI TRÒ CỦA ĐƯỜNG CAO TRONG VIỆC
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
<Phần: Quan hệ vuông góc>
Họ và tên tác giả:Lê Đình Thịnh
Chức vụ :Giáo viên
Đơn vị: Trường THPT Nông cống II
SKKN thuộc môn:Toán


Năm học 2012-2013
A.MỞ ĐẦU
1
I.Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất ngại học môn hình
học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu đường lối, thiếu
phương pháp giải quyết. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học
này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến
thức. Qua một thời gian giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số
kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất
lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên.
Dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau, tính góc, tính thể tích khối đa diện trong những
năm gần đây xuất hiện nhiều trong các đề thi đại học, cao đẳng. Đây là một dạng
khó đối với học sinh mặc dù bài toán về hình học không gian không thuộc vào
câu khó trong đề thi.
Việc tính khoảng cách, tính góc, tính thể tích khối đa diện có nhiều
phương pháp giải, một phương pháp điển hình là là sử dụng công thức tính.

Trong phương pháp này, điểm khó nhất lại nằm ở yếu tố đường cao. Khi đường
cao của một hình chóp, lăng trụ được xác định ta dễ dàng thấy được các yếu tố
như: góc giữa cạnh bên và mặt đáy, giữa mặt bên và đáy , từ đó có thể sử dụng
triệt để giả thiết bài toán , giúp định hướng giải quyết bài toán tốt hơn.
Chân đường cao của hình chóp cũng đóng vai trò rất quan trọng, biết được
điểm này, cùng với những kiến thức về tỉ lệ khoảng cách, cho phép ta có thể lựa
chọn vị trí thuận lợi để vẽ hình cũng như để tính gián tiếp các yêu cầu của bài
toán.
Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen
với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra
những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo
gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong
muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không
gian nói riêng.
2
II.Thực trạng của vấn đề
Khi làm bài tập toán nói chung,bài tập Hình học không gian nói riêng, học
sinh thường tự tìm tòi,vận dụng các kết quả ở phần lý thuyết để giải quyết,ưu
điểm là phát huy được tính chủ động, sáng tạo, rèn luyện tư duy.Tuy nhiên,
nhiều học sinh nhận định chưa tốt dẫn đến việc mất phương hướng, mất nhiều
thời gian, sử dụng giả thiết không triệt để và lời giải thì dài dòng,phức tạp.
III.Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Các kiến thức về hình học không gian của trong chương III, hình học lớp 11-
Nâng cao và chương I, hình học 12- Nâng cao.
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.Các kiến thức được đề cập trong bài viết này:
3
1. Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:
Trong không gian cho mp(P) và một điểm M không nằm trên mp(P), để xác
định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm như sau:

Bước 1: Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với mp(P)
Bước 2: Xác định giao tuyến d của mp(P) và mp(Q)
Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H ⇒ MH ⊥ mp(P) ⇒ d(M;(P)) = MH
2. Cách xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau
TH1: a và b vuông góc với nhau
Chọn điểm M nằm trên a, kẻ MH ⊥ b ⇒ mp(a,H) ⊥ b
Kẻ HK ⊥ a ⇒ d(a,b) = HK
TH2: a và b bất kỳ
+ Dựng mp(α) chứa b và song song với a, d(a,b) = d(a,(α)) = d(M,(α)), trong đó
M là 1 điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a.
3. Tỉ lệ khoảng cách:
Cho mp(P) và 2 điểm A, H không nằm trên (P). Gọi I = AH ∩ (P) khi đó ta có:
=
4. Cách xác định hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy của hình chóp:
+ Nếu tồn tại một mặt phẳng đi qua đỉnh vuông góc với mặt đáy thì hình chiếu
của đỉnh lên mặt phẳng đáy trùng với hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến của mặt
phẳng đó và đáy.
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt đáy
một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu
của đỉnh lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy
(trường hợp hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy nằm trong đa giác đáy)
II.Một số dạng toán cụ thể:
1. Dạng toán mà đề bài đã cho sẵn đường cao.
a. Cơ sở lý thuyết.
Một số bài toán về tính thể tích khối đa diện đã có sẵn đường cao, tuy nhiên
cần xác định rõ đường cao đó. Một số dấu hiệu đề bài cho đường cao thường gặp:
- Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy. Có thể cho vuông góc

trực tiếp hoặc cho vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt
phẳng đáy.
- Giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc
với đáy.
4
- Đường thẳng qua đỉnh nằm trong mặt phẳng (
α
) vuông góc với đáy,
đồng thời vuông góc với giao tuyến của (
α
) và đáy.
- Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và
hình chiếu của nó là đường cao.
b. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
AB AD 2a= =
, CD = a; góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi
I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải:
Từ
(SIB) (ABCD)⊥
và
(SIC) (ABCD)⊥
ta có
SI (ABCD)⊥
nên SI là đường cao. Kẻ

IK BC⊥
(K BC)∈
đồng thời
BC SI⊥
(vì
( )
SI ABCD⊥
)
bên góc giữa (SBC) và (ABCD) là
·
0
SKI 60 .=
2
ABCD
(AB CD).AD (2a a).2a
S 3a .
2 2
+ +
= = =
Ta có,
ABI CDI
1 1
S S .CD.ID AB.AI
2 2
+ = + =
( ) ( )
2
1 AD 1 2a 3a
. . AB CD . . 2a a
2 2 2 2 2

+ = + =
. Suy ra
( )
2
IBC ABCD ICD IAB
3a
S S S S .
2
= − + =
- Theo định lí Pitago ta có:
( )
·
2
2
IBC
2.S
3 5 a 3 15 a
BC AB CD AD a 5 IK SI IK.tan SKI .
BC 5 5
= − + = ⇒ = = ⇒ = =
- Thể tích khối chóp là:
3
SABCD ABCD
1 3 15a
V S .SI .
3 5
= =
Nhận xét:Nhận thấy SI là giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt (SIK) và
(SIC) cùng vuông góc với đáy do vậy SI là đường cao. Từ đó để thuận lợi cho
giải toán cần vẽ hình sao cho SI thẳng đứng.

Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh
AB 3a, BC 2a
= =
.
Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm
của tam giác BCD, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0.
Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Giải:
Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD
( )
SH ABCD⇒ ⊥
.Kẻ HM//AB,
M BC∈
5
S
A
B
K
C
I
D
Vì
( )
BC SH
BC SMH
BC HM
⊥


⇒ ⊥

⊥

Góc giữa hai mp(SBC)và mp(ABCD) là
·
60SMH =
o
Ta có
1
3
HM CH
HM a
AB CA
= = ⇒ =
;
0
.tan60 3SH HM a= =
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
3
.
1
. 2 3
3
S ABCD ABCD
V S SH a= =
Y
(đvtt)
*Kẻ

HK SM,K SM⊥ ∈
.Vì
( )
BC SMH⊥ ⇒
HKBC ⊥
( )
HK SBC⇒ ⊥ ⇒
( )
( )
,d H SBC HK=
Ta có
2 2 2 2
1 1 1 4
3HK HM HS a
= + =
3
2
a
HK⇒ =
Vì
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
3 3
3 , 3
, 2

d A SBC
AC a
d A SBC HK
d H SBC HC
= = ⇒ = =
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
·
·
ABC=BAD
= 90, BA=CB=a,
AD=2a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Gọi H là hình chiếu của A lên
SB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a.
Giải:
6
Gọi I là trung điểm của AD ta có CI = AD
⇒ ∆ACD vuông tại C hay AC ⊥ CD ⇒ (SAC)
⊥ (SCD).
Kẻ AK vuông góc SC tại K ⇒ AK ⊥ (SCD)
⇒ d(A;(SCD)) = AK
Ta có: AC = AB + BC = 2a và
2
1
AK
= + =
⇒ AK = a ⇒ d(A;(SCD)) = a
Nối AB cắt CD tại M ⇒ B là trung điểm của
AM
⇒ =
BM

AM
= ⇒ d(B;(SCD)) =
= = = = ⇒ d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) = .
2. Dạng toán cần phải dựng đường cao.
a. Cơ sở lý thuyết.
Trong nhiều bài toán tính thể tích khối đa diện đường cao không dễ thấy
đòi hỏi cần kẻ thêm hình để xác định đường cao. Điểm mấu chốt trong việc
dựng đường cao là việc xác định chân đường cao, có một số hướng như sau:
Với hình chóp:
- Hình chóp có 3 cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng
nhau thì chân đường cao là chân đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy.
- Hình chóp có 3 mặt bên cùng tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường
cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy (nếu nằm ở miền trong của đáy ).
- Hình chóp có đỉnh nằm trên một mặt phẳng vuông góc với đáy thì chân
đường cao nằm trên giao tuyến của mặt đó và đáy.
Với hình lăng trụ:
Với hình lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một
hình chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên.
b. Ví dụ minh họa.
- Ví dụ 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh
bằng a, SA=a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB).
Giải:
7
S.ABCD là hình chóp đều nên
SO ⊥ (ABCD). Qua O kẻ OI
vuông góc với AB
⇒ (SOI) ⊥ (SAB). Kẻ OH ⊥
SI ⇒ OH ⊥ (SAB) ⇒ d(O;
(SAB)) = OH
Ta có: AC = BD = a, OI = .

Xét ∆SAO ta có:
SO = SA - AO =
Xét ∆SOI:
= + = ⇒ OH = a
Vậy: d(O; (SAB)) = a.
Nhận xét:
-Nếu đề yêu cầu tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta có thể tính gián tiếp
như sau: Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng tỉ lệ khoảng
cách để suy ra d(C;(SAB))
Ta có: = = 2 ⇒ d(C;(SAB)) = 2a
- Nếu đề yêu cầu tính khoảng cách từ trung điểm K của SC đến (SAB) ta có thể
tính gián tiếp như sau: Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng tỉ
lệ khoảng cách :OK∥(SAB) ⇒ d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a
Vậy, để tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến mặt bên của khối chóp như sau:
Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mặt bên đó rồi sử
dụng tỉ lệ khoảng cách để suy ra khoảng cách cần tính.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a,
BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB=2a,
·
0
SBC=30
. Tính
khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a.
Giải:
8
Kẻ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC). Xét ∆SHB ta
có: SH = SB.sin30 = a;
BH = SB.cos30 = 3a
Qua H kẻ HI ⊥ AC tại I
⇒ (SHI) ⊥ (SAC). Kẻ HK ⊥ SI tại K

⇒ HK ⊥ (SAC)
⇒ d(H;(SAC)) = HK
Ta có ∆CHI∽∆CAB(g-g)
⇒ HI = =
= + = ⇒ HK =
⇒ d(H;(SAC)) =
Mà = = 4 ⇒ d(B;(SAC)) =
Ví dụ 6.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB a
=
,
3AC a=
, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng
tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng
(A’BC).
Giải:
Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có:
·
0
2 2
2 , ; ' 60
3 3
a
BC a AG AI A AG= = = =
0
2 3

' .t an60
3
a
A G AG⇒ = =
Thể tích V của khối lăng trụ được tính bởi:
3
1 1 2 3
. ' . . ' . 3.
2 2 3
ABC
a
V S A G AB AC A G a a a= = = =
(đvtt
)
Dựng AK ⊥ BC tại K và GI ⊥ BC tại I
⇒ GI // AK
1 1
3 3
GI MG
CI AK
AK MA
⇒ = = ⇒ =
1 . 1 . 3 3
.
3 3 2 6
AB AC a a a
BC a
= = =
Dựng GH ⊥ A’I tại H (1)
Do:

(2)
'
BC GI
BC GH
BC A G
⊥

⇒ ⊥

⊥

. Từ (1) và (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC)
Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’. Từ đó:
9
N
I
C'
B'
M
A
B
C
A'
G
K
H
[ ', ( ' )] [ , ( ' )] 3 [ , ( ' )] 3d B A BC d A A BC d G A BC GH= = =
2 2 2 2
2 3 3
3. .

' . 3. ' . 6 2 51
3 6
3.
' 17
51
' 12 3
9 36
a a
A G GI A G GI a a
A I
A G GI a a
= = = = =
+
+

Nhận xét: Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I nào đó
đến mp(α) chứa đường cao của khối chóp như sau:
+ Xác định giao tuyến d của mp(α) và mặt đáy
+ Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính khoảng cách từ điểm
M đến mp(α), bằng cách kẻ MH ⊥ d tại M ⇒ MH ⊥ (α) ⇒ d(M;(α)) = MH
+Sử dụng tỉ lệ khoảng cách .
Ví dụ 7.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A,
AB=a. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC)
thỏa mãn IA = -2 , góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60. Tính khoảng cách từ
trung điểm E của SB đến mp(SAH).
Giải:
BC = AB + AC = 4a ⇒ BC = 2a ⇒ BI = a
Kẻ BK vuông góc với AH tại K ⇒ BK ⊥
(SAH)

⇒ d(B;(SAH)) = BK
Mà = + =
⇒ d(B;(SAH)) = BK =
= = ⇒ d(E;(SAH)) =
Ví dụ 8.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM.
Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH=a. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng DM và SC.
10
Giải:
Ta có: ∆CDN = ∆DAM ⇒ CN ⊥ DM; mặt khác SH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ (SCN)
⇒ DM ⊥ SC.
Kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ DM
⇒ d(HK, DM) = HK
Ta có S = S - S - S =
Mặt khác S = CH.DM
⇒ CH = =
= + =
⇒ HK = ⇒ d(DM, SC) =
Ví dụ 9 . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi
M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và SN theo a.
Giải:
Vì (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC)
AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒
·
SBA

là góc giữa mp(SBC) và (ABC)
⇒
·
SBA
= 60 ⇒ SA = AB.tan60 = 2a
Mặt phẳng qua SM ∥ BC cắt AC tại N⇒ MN ∥ BC và N là trung điểm AC
MN = = a
Kẻ đường thẳng ∆ đi qua N song song AB, gọi (α) là mp chứa SN và ∆
⇒ AB ∥ (α) ⇒ d(AB, SN) = d(A;(α))
11
Kẻ AD ⊥ ∆ tại D ⇒ (SAD) ⊥ (α), Kẻ
AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (α) ⇒ d(A,(α)) =
AH
Ta có AD = MN = a ⇒ = + = ⇒
AH =
Vậy: d(AB,SN) =
Ví dụ 10.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB.
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích của khối
chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải:
Gọi M là trung điểm AB, ta có
a a a
MH MB HB
2 3 6
= − = − =
2

2
2
2
3 28 7
2 6 36 3
a a a a
CH CH
 
 
= + = ⇒ =
 ÷
 ÷
 
 
2 7
2
3
a
SC HC= =
; SH = CH.tan60
0
=
21
3
a
2 3
.
1 7 7
3 4 12
S ABC

a a
V a= =
Dựng D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC
Vẽ HK vuông góc với AD. Và trong tam giác
vuông
SHK, ta kẻ HI là chiều cao của SHK.
Vậy khoảng cách d(BC,SA) chính là khoảng cách 3HI/2 cần tìm.
12
B A
C
S
H
M
K
D
I
2 3 3
3 2 3
a a
HK = =
, hệ thức lượng
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
21 3
3 3
HI HS HK
a a
⇒ = + = +
   
 ÷  ÷

   
( )
42 3 3 42 42
,
12 2 2 12 8
a a a
HI d BC SA HI⇒ = ⇒ = = =
Ví dụ 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB=BC=a, cạnh bên A’A=a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng B’C và AM theo a.
Giải:
Ta có: AM = AB + BM =
⇒ AM =
Qua C kẻ đường thẳng ∆
song song với AM, gọi (α)
là mặt phẳng chứa B’C và ∆
⇒ AM∥(α) ⇒ d(AM,B’C)
= d(M,(α)) = d(B,(α))
Kẻ BI ⊥ ∆ tại I ⇒ (B’BI) ⊥
(α), kẻ BK ⊥ B’I tại K ⇒
BK ⊥ (α) ⇒ d(B,(α)) = BK
Ta có:
·
·
sin = sinBCI BMA
= = ⇒ BI = BC.
·
sin BCI
=
⇒ = + = ⇒ HK =

⇒ d(B,(α)) = ⇒ d(M,(α)) =
Vậy: d(B’C,AM) = .
Ví dụ 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N, P lần lượt là
trung điểm B’C’; C’D’ và CC’; O là tâm của ABCD.
a. Chứng minh
AC' (MNP)⊥
.
b. Tính thể tích khối tứ diện O.MNP theo a.
Giải:
a. Từ giả thiết ta có
MN / / B'D'
nên
MN / /BD
;
MP / / B'C
nên
MP / / A 'D
do vậy
( ) ( ) ( )
MN P / / A'BD 1 .
13
Kẻ AC’ cắt (A’BD) tại H và cắt (MBP) tại K; lấy
I là trung điểm A’C khi đó H là trọng tâm
AOA'∆
. Nên
2
AH AI
3
=

1
AC'
3
=

( )
a 3
2
3
=
.
2 2
a 6
1 1
OH OA' OA AA'
3 3 6
= = + =
Ta có,
2 2
2
2 2 2
a 3 a 6
a
AH OH OA .
3 6 2
   
+ = + = =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

Theo
định lý Pitago ta có tam giác AHO vuông tại H
AH OA,⇒ ⊥
mặt khác
( )
BD ABC'A' BD AC'⊥ ⇒ ⊥
nên
( )
AC' BDA'⊥
từ (1) ta
cũng có
( )
AC' MNP (3)⊥
. (đpcm)
b. Từ (1) và (3) ta có chiều cao hình chóp O.MNP
( )
( )
h d O; MNP= =
( )
( )
d H; MNP

HK.=
Lấy
MN A'C' J∩ =
, do M, N lần lượt là trung điểm của B’C’, C’D’ nên ta
có
1
C'J A'C'
4

=
; xét
C'AH∆
có JK // A’H áp dụng định lý Talets ta có
CK C'J 1
CH AC' 4
= =
. Mặt khác theo (2)
1
AH AC'
3
=
nên
2
HC' AC'
3
=
vậy
a 3
1
CK AC' .
6 6
= =
( )
a 3 a 3 a 3
HK AC' AH C'K a 3 .
3 6 2
 
= − + = − + =
 ÷

 ÷
 
MN là đường trung bình của
B’C’D’
∆
ứng với cạnh B’D’ nên
a 2
1
MN B'D'
2 2
= =
; tương tự
a 2
MP NP
2
= =
. Vậy
MNP∆
là tam giác đều cạnh
a 2
2
, nên
2
MNP
3 a 2
S
4 2
 
=
 ÷

 ÷
 

2
a 3
.
8
=

Thể tích khối chóp O.MNP là
2
3
MNP
a 3 a 3
1 1 a
V HK.S .
3 3 2 8 16
= = =
Nhận xét: Việc xác định và tính độ đường cao từ O xuống (MNP) khá phức tạp.
Mặt khác do (A’BD) // (MNP) nên nghĩ đến hướng xét khoảng cách từ một điểm
khác trên (A’BD đến (MNP). Trong quá trình phân tích ta chọn được điểm H.
Ví dụ 13.
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O,c¹nh a,gãc
·
60
o
BAD =
,
14
J

SA SB SD= =
,
2SC a=
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ O
đến mặt phẳng (SCD) theo a.
Gii:
Gọi H là trọng tâm tam giác ABD .Vì tam giác ABD đều nên
HA HB HD= =
,
mà
SA SB SD
= =

SH là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD
( )SH ABD
.
3
2
a
AO =
;
3AC a=
mà
2
3
CH AC=
2 3
3
a

CH =
2
2 2 2
24 2 6
9 3
a a
SH SC CH SH= = =
Diện tích hình thoi ABCD:
2
1 3
.
2 2
ABCD
a
S AC BD= =
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
2 3
1 1 2 6 3 2
. . .
3 3 3 2 3
ABCD
a a a
V SH S= = =
Kẻ
,HK SD K SD
(1) Ta có
( )
(2)
CD SH
CD SDH CD HK

CD HD






Từ (1) và (2)
( )HK SCD
( )
;( )d H SCD HK =
Trong tam giác SHD vuông tại H có HK là đờng cao
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3 27
8 8HK HD HS a a a
= + = + =
2 6
9
a
HK =
.
Ta có
( )
( )
( )
;( )
3 3 6
;( )
;( ) 4 4 6
d O SCD

OC a
d O SCD HK
d H SCD HC
= = = =
Vậy ,
( )
6
;( )
6
a
d O SCD =
III.BI TP NGH
Bi tp 1. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v
D, AB=AD=a, CD=2a, SA=a, hai mp (SCD) v (SAD) cựng vuụng gúc vi
15
mặt đáy. Gọi G là trọng tâm ∆BCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng
cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a.
Bài tập 2.Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh
huyền bằng 3a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, SG vuông góc
mp(ABC), SB= . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến
mp(SAC) theo a.
Bài tập 3.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a,
·
ABC
=30 và thể
tích lăng trụ bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a.
Bài tập 4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB
đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a.
Bài tập 5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B

với AB=BC=a
AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc
tạo bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SB và CD theo a.
Bài tập 6.Cho hình chóp S.ABCD có SA=a và SA vuông góc với mặt đáy. Biết
ABCD là thang vuông tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vuông góc với BD. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM
theo a với M là trung điểm của BC.
Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC cân tại B,
·
0
ABC 120 ;=
AB = Bc
= a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB;
SC a 2=
. Tính thể tích
khối chóp trên.
Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M, N là
trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp biết rằng
( ) ( )
AMN SBC .⊥
Bài tập 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Đáy ABC cân tại A,
·
0
BAC 120 ;=
lấy M là trung điểm của B’C’ ta có
·
0
AA'M 120 .=
Biết

BC AA ' 2a 3;= =
tính
thể tích khối lăng trụ trên theo a.
Bài tập 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B và
B’; hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC, cạnh bên
tạo với đáy góc 30
0
, biết rằng
AC AB 3 a 3.= =
Tính thể tích khối chóp C’ABC
theo a.
C- KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ ĐỀ XUẤT KIẾN NGHỊ
1-Kết quả đạt được
16
Với cách định hướng xác định các yếu tố quan trọng của bài toán hình học
không gian, chủ yếu là đường cao và chân đường cao của hình đó, tôi đã tiến
hành dạy ở lớp 11A6 năm học trước và l2A6 năm nay. Qua khảo sát thực tế học
tập, tôi thấy các em rất tự tin, không còn tâm lí e ngại khi gặp các bài toán về
hình học không gian như các em học sinh khóa trước, tinh thần, thái độ học tập
của các em tốt hơn.
2- Kết luận
Trong việc tính khoảng cách, tính góc, tính thể tích khối đa diện thì đường
cao, chân đường cao là các yếu tố rất quan trọng.Chú trọng vấn đề này, ta có thể
giúp học sinh phân tích, vẽ hình, sử dụng triệt để giả thiết bài toán, giúp định
hướng giải quyết bài toán tốt hơn.Tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra
những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo
gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong
muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không
gian nói riêng.
Như vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho công việc

giảng dạy của tôi, góp một phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ hơn và vận dụng tốt
hơn vào giải toán, nâng cao chất lượng học môn toán hơn trước. Đối với bản
thân tôi, là một giáo viên đứng lớp viết SKKN này cũng giúp ích rất nhiều trong
việc tự học và trau dồi chuyên môn, nghiệp vụ của mình.
Từ quá trình áp dụng SKKN tôi thấy bài học kinh nghiệm được rút ra là khi
giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và
tự nhiên, không nên gò ép, áp đặt, phải đưa ra được phương pháp giải đối với
từng loại toán có như vậy học sinh mới hứng thú học tập và yêu thích môn toán.
Trong quá trình thực hiện SKKN, tôi đã nhận được những góp ý quý báu của
các đồng nghiệp trong tổ toán trường THPT Nông Cống 2, rất mong nhận thêm
những đóng góp quý báu khác từ các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3-Đề xuất ,kiến nghị
17
1. Đối với tổ chuyên môn cho phép tôi được áp dụng SKKN với một số
lớp tôi không được phân công giảng dạy bằng cách cho học sinh đi học phụ đạo
buổi chiều.
2. Tổ chuyên môn thường xuyên đóng góp ý kiến cho SKKN của tôi trong
quá trình tôi thực hiện SKKN này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nông Cống ,ngày 04 tháng 04 năm 2013
Người thực hiện
Lê Đình Thịnh
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập- Tự do- Hạnh phúc
18
BẢN CAM KẾT
I. THÔNG TIN TÁC GIẢ
Họ và tên: Lê Đình Thịnh
Ngày, tháng, năm sinh: 22/08/1981
Đơn vị: Trường THPT Nông Cống 2

Địên thoại: 0988625156
II. TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên SKKN:Vai trò của đường cao trong việc giải toán hình học không gian.
III. NỘI DUNG CAM KẾT
Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã áp dụng thành công trong
giảng dạy tại trường THPT Nông Cống 2.Trong trường hợp có xảy ra tranh chấp
về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm
này mà tôi là người vi phạm, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn
vị, lãnh đạo sở GD&ĐT. Sáng kiến kinh nghiệm này tôi cũng đã phổ biến cho
đồng nghiệp nên nếu có bạn đọc học tập, nghiên cứu, sử dụng, áp dụng sáng
kiến này tôi cũng không khiếu nại hay đòi hỏi quyền sở hữu.
Người viết
Lê Đình Thịnh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
19
[ ]
1
. Giải toán hình học 11:Trần Thành Minh, (2006), NXBGD.
[ ]
2
. Phương pháp giải toán hình không gian 11:Nguyễn Văn Dự, Trần Quang
Nghĩa, Nguyễn Anh Trường, (2002), NXB Đà Nẵng.
[ ]
3
. Phân loại và phương pháp giải toán hình không gian lớp 11:Trần Văn
Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Văn Đức , (2001), NXB ĐHQGTPHCM.
[4] .Các bài giảng luyện thi môn toán : Phan Đức Chính, (1999) NXBGD.
[5]. Hình học 11 nâng cao, NxbGD-2010.
[6]. Bài tập Hình học 11 nâng cao, NxbGD-2010.
[7].WWW.Violet.vn, Các đề thi, kiểm tra thử của các trường THPT

[8].Bộ đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2012. Bộ
GD&ĐT.

Mục lục
A.Mở đầu 1
20
I. Lí do chọn đề tài 1
II. Thực trạng của vấn đề 2
III.Giới hạn và phạm vi nghiên cứu đề tài 2
B.Giải quyết vấn đề 3
I.Các kiến thức được đề cập 3
II.Một số dạng toán cụ thể 3
III.Bài tập đề nghị 15
C.Kết quả đạt được và đề xuất, kiến nghị 16
Bản cam kết 18
Tài liệu tham khảo 19
21