tiếp tuyến hàm đa thức và hàm phân thức

Bài 5: Tiếp tuyến hàm ña thức và phân thức – Khóa ñảm bảo thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BÀI 5. TIẾP TUYẾN CỦA HÀM ðA HỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC.

Bài 1. Cho ñồ thị
( )
2
2 1
:
1
x x
C y
x
− +
=
−
. CMR trên ñường thẳng
(
)
: 7
y
∆ =
có 4 ñiểm sao
cho từ mỗi ñiểm ñó có thể kẻ ñến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc
45


Lời giải
: L
ấ
y

ñ
i
ể
m b
ấ
t kì
(
)
( ;7) : 7
M m y
∈ ∆ =
.
ð
u
ờ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua
( ;7)
M m v
ớ
i h
ệ
s
ố

góc k có phu
ơ

ng trình:
( ) 7
y k x m
= − +
ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñồ
th
ị
hàm s
ố
(C)

⇔
h
ệ

( )
2
'
2
2 1
( ) ( ) 7(1)
1
2
( ) 2 (2)
1

x x
f x k x m
x
f x k
x

− +
= = − +

−



= − =

−

có nghi
ệ
m
2
2 1
( 1) (1 ) 7
1
2 2
2 1 2( 1) (1 ) 7
1 1
1 4 (1 )
(3)
1 4

x x
k x k m
x
x x k m
x x
k m
x
− +
⇒
= − + − +
−
⇒
+ + = − − + − +
− −
+ −
⇒
=
−

Thay (3) vào (2)
ñượ
c:
2
4 (1 )
2 2
4
k m
k
+ −
 

− =
 
 


2 2
2 2
1
2
2
(1 ) 8 (1 ) 16
2
8
(1 ) 8(2 ) 0
0
8( 2)
( 1)
k m k m
k
m k m k
k
m
k
m
− + − +
⇔ − =
⇔ − + − =
=



−
⇔

=

−


ð
k 2 ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i nhau m
ộ
t góc
45

t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:
( )

( )
( )
2
1 2
2
2
1 2
( 1) 8 2
8 2
tan 45
1
( 1)
( 1) 8 2
m m
m
k k
k k
m
m m

− = −
−
−

= = ⇔
+

−
− = − −



2
2
10 17 0
6 15 0
m m
m m

− + =

⇔

+ − =


Bài 5: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th
ứ
c và phân th
ứ
c – Khóa
ñả
m b
ả
o th

ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
1
2
3
3
5 2 2
5 2 2
3 2 6
3 2 6
m
m
m
m

= +


= −

⇔

= − +


= − −


Vậy có 4 ñiểm M thảo mãn bài toán.

Bài 2. Cho ñồ thị
( )
3 2
: 1
m
C y x mx m
= + − −
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại
các ñiểm cố ñịnh mà
(
)
m
C

ñi qua
Lời giải: Gọi
0 0
( ; )
M x y
là ñiểm cố ñịnh mà
(
)
m
C
ñi qua

3 2
0 0 0
2 3
0 0 0
2
0 0 0
3
0 0
0 0
1,
( 1) 1 0,
1 0 1 1
0 2
1 0
y x mx m m
m x x y m
x x x
y y

x y
⇒ = + − − ∀
⇒ − + − − = ∀

− = = = −
 

⇒ ⇒ ∨
  
= = −
 
− − =



Do ñó có 2 ñiểm cố ñịnh mà
(
)
m
C
ñi qua là
(
)
1
1;0
M
và
(
)
2

1; 2
M
− −

Ta có:
2
3 2
y x mx
′
= +
- Phuơng trình tiếp tuyến tại M
1
là:
(
)
(1)( 1) (2 3) 2 3
y y x m x m
′
= − = + − +

- Phuơng trình tiếp tuyến tại M
2
là:
(
)
( 1)( 1) 2 ( 2 3) 2 1
y y x m x m
′
= − + − = − + − −

Bài 3. Tìm ñiểm
( )
3 2
: 2 3 12 1
M C y x x x
∈ = + − −
sao cho tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M
ñi qua gốc tọa ñộ.
Lời giải: Gọi
0 0
( ; )
M x y
là ñiểm cần tìm
3 2
0 0 0 0
2 3 12 1
y x x x
⇒ = + − −

(1)

PTTT c
ủ
a (C) t
ạ
i M là:

(
)
(

)
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) : ( )( ) 6 6 12 6 6 12
d y y x x x y x x x y x x x
′
= − + = + − + − + −
Vì (d)
ñ
i qua g
ố
c t
ọ
a
ñộ
nên
(
)
2
0 0 0 0
6 6 12
y x x x
= + −
(2)

T
ừ

(1)
và

(2)

(
)
3 2 2
0 0 0 0 0 0
2 3 12 1 6 6 12
x x x x x x
⇒ + − − = + −
Bài 5: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th
ứ
c và phân th
ứ
c – Khóa
ñả
m b
ả
o th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng

Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t

3 2
0 0
2
0 0 0
0 0
4 3 1 0
( 1)(4 1) 0
1 12
x x
x x x
x y
⇒ + + =
⇒ + − + =
⇒ = − ⇒ =

V
ậ
y
( 1;1;2)
M

−

Bài 4
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị

( )
3 2
: 3 2
C y x x
= − +
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n

ñ
ó
vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng:
5 3 4 0
y x
− + =

Lời giải
: Ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng:
5 3 4 0
y x
− + =
có ph
ươ

ng trình d
ạ
ng:

5
(d):y x a
3
= − +

ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
(d) và (C) ti
ế
p xúc nhau là: h
ệ

3 2
2
5
3 2 x a
3
5
3 6
3
x x

x x

− + = − +




− = −


có nghi
ệ
m
T
ừ

2 2
5 29
5
3 27
3 6 9 18 5 0
1 61
3
3 27
x a
x x x x
x a

= → =


− = − ⇒ − + = ⇒


= → =



V
ậ
y có 2 ti
ế
p tuy
ế
n th
ỏ
a mãn bài toán:
1
5 29
( ) : x
3 27
d y = − + và
2
5 61
( ) : x
3 27
d y = − +

Bài 5
. Vi
ế

t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
(
)
0; 1
A
−

ñế
n
3 2
2 3 1
y x x
= + −

Lời giải
: G
ọ
i (d) là ti
ế
p tuy
ế
n

ñ
i qua
(
)
0; 1
A
−

ñế
n
3 2
2 3 1
y x x
= + −
và
0
x
là hoành
ñộ

ti
ế
p
ñ
i
ể
m
(
)
2 3 2

0 0 0 0 0 0 0
( ) : ( )( ) ( ) 6 6 2 3 1
d y y x x x y x x x x x x
′
⇒ = − + = + + + −

Do
( )
A d
∈
nên:
3 2
0 0
1 2 3 1
x x
− = + −


0
3 2
0 0
0
0
2 3 0
3
2
x
x x
x
=



⇒ + = ⇒

= −


V
ậ
y có 2 ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm là:
y 1
= −
và
9
y x-1
2
=
Bài 5: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th

ứ
c và phân th
ứ
c – Khóa
ñả
m b
ả
o th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
Bài 6
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế

p tuy
ế
n
ñ
i qua
(
)
1; 2
A −

ñế
n
3 2
3 2
y x x
= − +

Lời giải
: G
ọ
i (d) là ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
(
)
1; 2

A −

ñế
n
3 2
3 2
y x x
= − +
và
0
x
là hoành
ñộ

ti
ế
p
ñ
i
ể
m
(
)
2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
( ) : ( )( ) ( ) 3 6 3 2
d y y x x x y x x x x x x
′
⇒ = − + = − + − +

Do
( )
A d
∈
nên:
(
)
3 2 2
0 0 0 0
2 3 2 3 6
x x x x
= − + − −

3 2
0 0 0
0
2
0 0 0 0
0
6 6 0
0
( 6 6) 0 3 3
3 3
x x x
x
x x x x
x
⇒ − + =
=



⇒ − + = ⇒ = −


= +


V
ậ
y có 3 ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm là:
y 2
=
và
Bài 7
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
ñ

i qua
(
)
2; 6 3
A
ñế
n
3 2
3 6 8
y x x x
= − − +

Lời giải
: Làm t
ươ
ng t
ự
Bài 5 và Bài 6
Bài 8
. Cho
( )
3 2
: 2 3 12 5
C y x x x
= − − −
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti

ế
p tuy
ế
n bi
ế
t
a, Ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
6 4
y x
= −

b, Ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó vuông góc v

ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
2
3
y x
= +

c, Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
5
2
y x
= − +

góc
45


Lời giải
: a, Ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
ñ
t:
6 4
y x
= −
có d
ạ
ng
(
)
: 6
d y x b
= +
v
ớ
i
4
b

≠ −

ð
K
ñể

(
)
d
và
(
)
C
ti
ế
p xúc là h
ệ
sau có nghi
ệ
m:
3 2
2
2 3 12 5 6
6 6 12 6
x x x x b
x x

− − − = +



− − =



T
ừ

2 2
1
6 6 12 6 2 3 0
3
x
x x x x
x
= −

− − = ⇔ − − = ⇔

=


- V
ớ
i
1 8
x b
= − ⇒ =

- V
ớ

i
3 32
x b
= ⇒ = −

V
ậ
y có 2 ti
ế
p tuy
ế
n th
ỏ
a mãn bài toán là:
(
)
1
: 6 8
d y x
= +
và
(
)
2
: 6 32
d y x
= −

b, Ti
ế

p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
2
3
y x
= +
s
ẽ
có h
ệ
s
ố
góc
3
k
= −
.
Bài 5: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm

ñ
a th
ứ
c và phân th
ứ
c – Khóa
ñả
m b
ả
o th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
Ph
ươ
ng trình hoành
ñộ
ti

ế
p
ñ
i
ể
m là:

1
2 2
2
1 7
2
6 6 12 3 2 2 3 0
1 7
2
x
y x x x x
x

+
=


′
= − − = − ⇔ − − = ⇔

−
=



- PTTT tại
1
1 7
2
x
+
= là:
(
)
1 1
3( ) ( ) 3 4 3 7
y x x y x x= − − + = − + −
- PTTT t
ạ
i
2
1 7
2
x
−
= là:
(
)
2 2
3( ) ( ) 3 4 3 7
y x x y x x= − − + = − − +
c, G
ọ
i k là h

ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm. Theo gi
ả
thi
ế
t ta có:

1
1
2 1
2
tan 45 2 1 2
1
1
2
1
2
k
k
k

k k
k
k
k
+
=

+
= = ⇔ + = + ⇔

= −
+

+


- V
ớ
i
1
k
=
ta có pt hoành
ñộ
ti
ế
p
ñ
i
ể

m:
1
2 2
2
3 87
6
6 6 12 1 6 6 13 0
3 87
6
x
y x x x x
x

+
=


′
= − − = ⇔ − − = ⇔

−
=



PTTT t
ạ
i
1
3 87

6
x
+
= là
1 1
5 87
( ) ( ) 12
3
y x x y x x
 
= − + = − +
 
 
 

PTTT tại
2
3 87
6
x
−
= là
2 2
5 87
( ) ( ) 12
3
y x x y x x
 
= − + = − −
 

 
 

- Với k = -1 ta có pt hoành ñộ tiếp ñiểm:

3
2 2
4
3 5 3
6
6 6 12 1 6 6 11 0
3 5 3
6
x
y x x x x
x

+
=


′
= − − = − ⇔ − − = ⇔

−
=



PTTT tại

3
3 5 3
6
x
+
= là
3 3
20 3
( ) ( ) 11
3
y x x y x x
 
= − − + = − − +
 
 
 

PTTT tại
2
3 87
6
x
−
= là
4 4
20 3
( ) ( ) 11
3
y x x y x x
 

= − − + = − − −
 
 
 

Bài 5: Tiếp tuyến hàm ña thức và phân thức – Khóa ñảm bảo thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán

Bài 9. Tìm các ñiểm trên trục hoành mà từ ñó kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số
( )
3 2
: 3
C y x x
= +
trong ñó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
Lời giải: Lấy
(
)
,0
M m
bất kì thuộc trục hoành Ox. ðường thẳng ñi qua M với hệ số góc
k có phương trình ( )
y k x m kx km
= − = −
tiếp xúc với
(
)
C

⇔
hệ
3 2
2
3 (1)
3 6 (2)
x x kx km
x x k

+ = −


+ =


có nghiệm.
Thế (2) vào (1) ta có:
(
)
( )
3 2 2
3 3 6
x x x x x m
+ = + −

( )
(
)
( )
2

2
2 3 3 6 0
0
2 3 3 6 0
x x m x m
x
x m x m
⇔ + − − =
=

⇔

+ − − =



ðể từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến
(
)
C
trong ñó có 2 tiếp tuyến vuông góc thì phương
trình
( )
2
( ) 2 3 3 6 0
g x x m x m
= + − − =
phải có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;

x x
khác 0 sao cho
1 2
1
k k
= −
(k xác ñịnh theo x trong (2))

( )
( )( )
( )( )
2
2
2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
3 3 48 0
9 30 9 0
(0) 6 0 0
9 2 1 2 1 1
3 6 3 6 1
m m
m m
g m m
x x x x
x x x x


∆ = − + >
+ + >




⇔ = − ≠ ⇔ ≠
 
 
+ + = −
+ + = −





( )( )
3 6
1 3
27
0
3 6
9 3 12 3 3 1 1
27
m m
m
m
m m m
m

− −

> − ∨ < −

=



⇔ ≠ ⇔


− +

− − + − + = −
=




Vậy có 2 ñiểm thỏa mãn là:
1
3 6
;0
27
M
 
− −
 
 
 
và
2
3 6
;0

27
M
 
− +
 
 
 

Bài 10. Cho ñồ thị
( )
3 1
:
3
x
C y
x
+
=
−
và ñiểm M bất kì thuộc
(
)
C
. Gọi I là giao của 2 tiệm
cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR:
Bài 5: Tiếp tuyến hàm ña thức và phân thức – Khóa ñảm bảo thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
a, M là trung ñiểm của AB
b, Diện tích tam giác IAB không ñổi
Lời giải:

a, ðồ thị
(
)
C
có TCN:
(
)
1
: y 3
d
=
và TCð:
(
)
2
: x 3
d
=
⇒
tọa ñộ ñiểm
(
)
3;3
I

Lấy ñiểm bất kì
( )
10
3 ;3 , 0
M m C m

m
 
+ + ∈ ≠
 
 
. Tiếp tuyên tại M có dạng:

( ) ( ) ( )
( )
2 2
10 10 20 30
: 3 3 3 3d y y m x m y x
m m
m m
 
′
= + − + + + ⇔ = − + + +
 
 

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của
(
)
C
và
(
)
d
là:

2
2 2 2 2 2
10 20 30 3 1 1 1 3 6 9
3 2 1 0
3
x
x x x
m x m m
m m m m m
     
+
− + + + = ⇔ − + + − + + =
     
−
     

Dễ thấy pt trên có 2 nghiệm phân biệt
1 2
x x
<
. Gọi
(
)
1 1
;
A x y
và
(
)
2 2

;
B x y
. Ta có:

2
1 2
2
2 6
2 6 2
1
M
m
m
x x m x
m
+
+ = = + =


( )
1 2 1 2
2 2
10 20 30 20
2 3 6 2
M
y y x x y
m m
m m
 
+ = − + + + + = + =

 
 

V
ậ
y m là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB (
ñ
pcm)
b, Do tam giác IAB vuông t
ạ
i I, mà có M là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB nên ta có:

( )
( )
( )
( )
1 2
1 10

. 2 ; ; 2 20
2
IAB
S IA IB d M d M d m
m
∆
= = = =

V
ậ
y di
ệ
n tích
IAB
∆
không
ñổ
i.


………………… Hết……………………


Nguồn:
hocmai.vn