giải tóan trên máy tính - tìm số dư, tìm số tận cùng, tổng hợp bài toán về số

Ti liu lu hnh ni b GV: Tụn Tht Thỏi Sn

1

Ghi chỳ: Ti liu ny b qua mt s kin thc s ng nh s Hoorner, gii phng trỡnh
bc 2, bc 3 tng quỏt, thm chớ l bc 4 tng quỏt (dy ri nh??), gii h 2 phng trỡnh bc
nht 2 n, h 3 phng trỡnh bc nht 3 n; s dng mỏy tớnh phõn tớch a thc thnh nhõn
t, s dng phộp gỏn gii cỏc pt bc nht vi cỏc h s l cỏc s phc tp Cỏc kon t ụn
li nhỏ! Thy li typing quỏ! (ToT)
DNG 1. Tớnh chớnh xỏc
Hc sinh cn nm vng cỏc hng ng thc ỏng nh vn dng chớnh xỏc. Bớ quyt l tỏch
1 s cú s ch s ln hn 5 thnh tng ca nhiu s cú s ch s t 5 tr xung.
Chng hn s

5
5
10 5
1234567890 1234500000 67890 12345.10 67890
= + = +

chửừ soỏ
chửừ soỏ 5 chửừ soỏ vaứ 5 chửừ soỏ 0 chửừ
soỏ 5 chửừ soỏ

Mt s cụng thc v ly tha cng cn c quan tõm l
( )
.
. ,
n
m n m n m m n
x x x x x

+
= =


Vớ d

minh h

a:
Em hóy vi

t chớnh xỏc k

t qu

c

a phộp tớnh sau
1234554321 2222233333
A
= ì
, ta cú th

lm nh

sau
5
5
1234554321 1234500000 54321 12345.10 54321
2222233333 2222200000 33333 22222.10 33333

= + = +
= + = +

Nh

v

y l
(
)
(
)
5 5
10 5 5
12345.10 54321 22222.10 33333
12345.22222.10 12345.33333.10 54321.22222.
10 54321.33333
A = + +
= + + +

Ti õy, ta s dng mỏy tớnh tớnh cỏc tớch ca 2 s cú 5 ch s m ko s b trn s
trong mỏy:
10 10
12345.22222 .10 274330590.10
chổ baỏm maựy cho 2 soỏ naứy
=

,
5 5
12345.33333 .10 411495885.10

=

chổ baỏm maựy cho 2 soỏ naứy

5 5
54321.22222 .10 1207121262.10
=

chổ baỏm maựy cho 2 soỏ naứy
,
54321.33333 1810681893
=

Vic cui cựng cn lm (khng nht) chớnh l ra nhỏp v lm tớnh cng cho 4 s trờn,
sau khi tớnh toỏn mt mi, ta s cú kt qu nh sau:
2743508913388212483
A
=

Luyn tp:
a. Tớnh
123456789 987654321
B
= ì
S: B = 121932631112635269
b. Tớnh
2
123459876
C
=

S: C = 15242340981935376
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tơn Thất Thái Sơn

2

DẠNG 2. Tìm số dư
Có 3 trường hợp.
• Trường hợp 1: Số nhỏ
Ví dụ: tìm số dư của phép chia sau
3523127 2047
÷

Quy trình bấm máy:
3523127 2047 =
÷
(máy hi
ệ
n

1721.117245
ghi nhớ
)
S
ử
a l
ạ
i trên máy:
3523127 1721 2047 =
− ×
(máy hi

ệ
n
240
)
V
ậ
y s
ố
d
ư
là
240
.
•
Trường hợp 2: Số lớn
(v
ừ
a v
ừ
a :D)
Ta s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp
chia để trị
, t
ứ

c là chia s
ố
b
ị
chia ra làm nhi
ề
u ph
ầ
n có s
ố
ch
ữ

s
ố
ít h
ơ
n 10.
Ví d
ụ
: Tìm s
ố
d
ư
trong phép chia sau
123456789876543210123 247
÷
 
khúc này giữ lại
cắt ra tại đây!

Ta tìm số dư của phép chia sau
123456789 247
÷
(làm tương tự như trường hợp 1, ta ra
được số dư là 14). Bây giờ, ta ghép số 14 vào phía trước “khúc giữ lại” ban nãy, ta được
số
14876543210123
, lúc này, ta thấy số này vẫn còn nhiều hơn 10 chữ số, nên ta lại
tiếp tục “chia để trị”. Tức là

14876543210123 247
÷

giữ lại
cắt ra tại đây
.
Ta lại tìm số dư của phép chia
148765432 247
÷
, số dư tìm được là 49. Lại ghép số 49
vào phía trước số 10123, ta tìm số dư của phép chia sau
4910123 247
÷
, đến đây, khơng
cần “chia để trị” nữa, ta tìm được số dư là 10.
Vậy, số dư của phép chia ban đầu là 10.
• Trường hợp 3: số mũ q lớn!
Ta sử dụng kiến thức đồng dư để trình bày. Định nghĩa:
a chia b được q, dư r thì ta viết

(
)
mod
a r b
≡
(
khơng quan tâm
đế
n s
ố
q
)
C
ầ
n bi
ế
t các tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n sau
:
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

3

( )
( )

( )
mod
. . mod
mod
a c m
a b c d m
b d m
≡

⇒ ≡

≡



( ) ( )
mod mod
n n
a b m a b m
≡ ⇒ ≡

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia
2011
2010 711
÷

Ta có
(
)




( )
670
670
2011 3 670 1 3
2010 2010 2010 . 2010 531 .588 mod 711
chia cho 711
soá dö soá dö
chia cho 711
× +
= = ≡


(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
223
670 3 223 1 3 223
74
223 3 74 1 3 74
18
74 4 18 2 4 2 18
1
531 .588 531 .588 531 . 531 588 333 .99 mod 711
333 .99 333 .99 333 . 333 99 252 .261 mod 711

252 .261 252 .261 252 . 252 261 144 .423 mod 711
144
× +
× +
× +
= = × ≡
= = × ≡
= = × ≡


chia cho 711
chia cho 711
( ) ( )
( )

( )
( )
4
8 4 4 2 4 2 4
4
.423 144 .423 144 . 144 423 180 .423 mod 711
180 .423 495.423 mod 711
495.423 351 mod 711
× +
= = × ≡
≡
≡
chia cho 711

Vậy, số dư của phép chia là 351.

Luyện tập: Tìm số dư của các phép chia sau
a.
1234567 23
÷
ĐS: dư 19
b.
321987321987321987 123
÷
ĐS: dư 78
c.
1203
25 84
÷
ĐS: dư 1

DẠNG 3. Tìm n chữ số cuối của số a (thực chất là tìm số dư khi chia số a cho
10
n
)
Ví dụ: Tìm 3 chữ số cuối của
2006
23
(đề có thể hỏi là tìm chữ số hàng trăm, ta vẫn làm như
vậy!)
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

4

Ta sẽ tìm số dư của
2006

23
khi chia cho
3
10

(
)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
286
2006 7 286 4 7 4 286
95
286 3 95 1 3 95
31
95 3 31 2 3 2 31
10
31 3 10 1 3 1
23 23 23 .23 447 .841 mod1000
447 .841 447 .841 447 . 447 841 623 .927 mod1000
623 .927 623 .927 623 . 623 927 367 .583 mod1000
367 .583 367 .583 367 . 367 583 863
× +
× +
× +
× +

= = ≡
= = × ≡
= = × ≡
= = × ≡
(
)
0
.961 mod1000

(
)
( ) ( )
( )
( )
3
10 3 3 1 3 3
3
863 .961 863 .961 863 . 863 961 647 .343 mod1000
647 .343 23.343 mod1000
23.343 889 mod1000
× +
= = × ≡
≡
≡

V
ậ
y, 3 ch
ữ
s

ố
cu
ố
i là 889 (ch
ữ
s
ố
hàng tr
ă
m là 8)
Luy
ệ
n t
ậ
p:
a. Tìm ch
ữ
s
ố
hàng ch
ụ
c c
ủ
a
2005
23

Đ
S: 4
b. Tìm ch

ữ
s
ố
hàng tr
ă
m c
ủ
a
2005
23

Đ
S: 3

DẠNG 4. Phân số tuần hoàn
Ví d
ụ
:
Đư
a s
ố
sau v
ề
d
ạ
ng phân s
ố

0,123123123123123123

Ta có
(
)
0,123123123123123123 0, 123
=

Đặ
t
(
)
0, 123
a
=
Suy ra
(
)
(
)
1000 123, 123 1000 123 0, 123 1000 123
123 41
999 123
999 333
a a a a
a a
= ⇔ = + ⇔ = +
⇔ = ⇔ = =

Ví d
ụ
:

Đư
a v
ề
d
ạ
ng phân s
ố

123,3214545454545454545

Ta có
(
)
123,3214545454545454545 123,321 45
=

Đặ
t
(
)
123,321 45
a =
Suy ra
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

5

(
)
( )

100000 12332145, 45
1000 123321, 45
a
a
 =


=



Lấy pt trên trừ pt dưới ta được
12208824 169567
99000 12208824
99000 1375
a a= ⇔ = =
Luy
ệ
n t
ậ
p:
Đư
a v
ề
phân s
ố

a.
(
)

0, 12

Đ
S:
4
33

b. Tính
2 2 2
0,19981998 0,019981998 0,0019981998
A = + + ĐS: 1111

DẠNG 5. Tìm chữ số thứ n sau dấu phẩy của phân số tuần hoàn
Ví dụ: Tìm chữ số thứ 2011 sau dấu phẩy của phân số
152
333

Dễ thấy rằng
( )
152
0, 456
333
=
: sau dấu phẩy là 1 chu kỳ có 3 chữ số
Như vậy, muốn tìm chữ số thứ 2011 sau dấu phẩy, ta chỉ tìm số dư của phép chia 2011 cho 3,
khi đó, nếu số dư là 1 thì chữ số cần tìm là 4, nếu số dư là 2 thì chữ số cần tìm là 5, nếu chia
hết (số dư là 0) thì chữ số cần tìm là 6. (các em có thấy được quy luật này không?)
Dễ dàng tìm được số dư của phép chia 2011 khi chia cho 3 là 1, như vậy, chữ số thứ 2011 sau
dấu phẩy sẽ là 4.
Ví dụ: Tìm chữ số thứ

2011
sau dấu phẩy của phân số
1037
8325

Dễ thấy
( )
1037
0,12 456
8325
=
: chu kỳ vẫn là 3 chữ số, nhưng trước đó còn có 2 chữ số khác!?
Ta sẽ đưa về bài toán cũ bằng cách: Lấy 100 nhân vào phân số đã cho, khi đó ta ra được
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

6

( )
1037
100 12, 456
8325
× =
: lúc này, chu kỳ đã được đưa về sát dấu phẩy, và bài toán ban đầu sẽ
trở thành “tìm chữ số thứ 2009 sau dấu phẩy của số
(
)
12, 456
” (các em có giả
i thích
đượ

c t
ạ
i
sao l
ạ
i nh
ư
v
ậ
y không?), ngh
ĩ
a là tìm s
ố
d
ư
c
ủ
a phép chia
2009
khi chia cho
3
.
D
ễ
dàng tìm
đượ
c s
ố
d
ư

là
2
, hay ch
ữ
s
ố
c
ầ
n tìm là
5
.
Luy
ệ
n t
ậ
p:
a. Tìm ch
ữ
s
ố
th
ứ
1234 sau d
ấ
u ph
ẩ
y c
ủ
a phân s
ố

5
37

ĐS: 1
b. Tìm chữ số thứ
2011
2011
sau dấu phẩy của
(
)
0, 123456789
ĐS: 1
c. Tìm chữ số thứ
211112
sau dấu phẩy của
7811
33300
ĐS: 6

DẠNG 6. Tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho một đơn thức ax+b
Rất đơn giản! Đáp số của bài toán chính là
b
P
a
 
−
 
 
(Tại sao vậy???)

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia
(
)
3 2
9 35 7
P x x x x
= − − +
khi chia cho các đơn thức sau
3 5
x
+
,
7
x
−
,
2 1
x
−

Các số dư là
( )
5 1
, 7 ,
3 2
P P P
   
−
   
   

, quy trình bấm máy như sau
Ta nhập đa thức P(x) vào máy
3 2
9 35 7
X X X
− − +

Sau đó bấm
CALC
, nhập
5 3
−

=
, máy sẽ ra kết quả là
964
27

Lại bấm
CALC
, nhập 7
=
, máy sẽ ra kết quả là -336
Lại bấm
CALC
, nhập
1 2

=
, máy sẽ ra kết quả là

101
8
−

Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

7

Vậy, các số dư lần lượt là
964
27
, -336,
101
8
−
.
Ví d
ụ
: Tìm a
để

(
)
4 3 2
7 2 13
P x x x x x a
= + + + +
chia hết cho
6
x

+

Ta biết rằng số dư trong phép chia này sẽ là
(
)
6
P
−
. V
ậ
y, mu
ố
n chia h
ế
t thì d
ĩ
nhiên ta
đ
òi s
ố

d
ư
ph
ả
i b
ằ
ng 0, t
ứ
c là

(
)
6 0
P
− =
.
T
ứ
c là
(
)
(
)
(
)
(
)
4 3 2
6 7. 6 2. 6 13. 6 0
a
− + − + − + − + =

222 0
222
a
a
⇔ − + =
⇔ =

V

ậ
y, a = 222 thì th
ỏ
a yêu c
ầ
u bài toán!
Luy
ệ
n t
ậ
p:
a. Tìm s
ố
d
ư
c
ủ
a các phép chia
đ
a th
ứ
c sau
5 4 3 2
5 4 3 2 1
x x x x x
+ + + + +
khi lần lượt chia cho
(
)
(

)
(
)
9 , 3 1 , 2 2
x x x
+ + −

ĐS: -28934,
140
243
, 16
b. Xác định các hệ số a, b, c của đa thức
(
)
3 2
2011
P x ax bx cx= + + − biết:
(
)
P x
chia
(
)
1
x
−
dư 1, chia
(
)
2

x
−
dư 2, chia
(
)
3
x
−
dư 3
ĐS:
2011 22127
, 2011,
6 6
a b c= = − =


DẠNG 7. Cho đa thức với các hệ số chưa biết, tìm giá trị của đa thức đó tại 1 điểm.
Nói chung, cách làm tổng quát (dành cho mọi bài) là đưa về việc giải hệ phương trình. Tuy
nhiên, có vài bài nếu quan sát tốt thì sẽ có 1 lời giải “trí tuệ” hơn! Thầy mong rằng các kon sẽ
thật “trí tuệ”, nhá (gà của thầy Sơn mà!) !
☺

Ví dụ:
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

8

Cho
(
)

5 4 3 2
P x x ax bx cx dx e
= + + + + +

Biết
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
1 1, 2 4 3 9, 4 16, 5 25
P
P P P P
= = = = =

Tính
(
)
(
)
(
)
(
)

6 , 7 , 8 , 9
P P P P .
Cách 1
. Ta l
ầ
n l
ượ
t thay
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
1 1, 2 4 3 9, 4 16, 5 25
P
P P P P
= = = = =
vào
(
)
P x
, s
ẽ

đượ
c h
ệ
5 ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t 5
ẩ
n là
1 1 0
32 16 8 4 2 4 16 8 4 2 28
243 81 27 9 3 9 81 27 9 3 234
1024 256 64 16 4 16 256 64 16 4 1008
3125 625 125 25 5 25 625 125 25
a b c d e a b c d e
a b c d e a b c d e
a b c d e a b c d e
a b c d e a b c d e
a b c d e a b c
+ + + + + = + + + + =


+ + + + + = + + + + = −


+ + + + + = ⇔ + + + + = −



+ + + + + = + + + + = −

+ + + + + = + + +


5 3100
15 7 3 28 28 15 7 3
80 26 8 2 234 50 12 2 178
255 63 15 3 1008 210 42 6 924
624 124 24 4 3100 564 96 12 2988
d e
e a b c d e a b c d
a b c d d a b c
a b c d a b c
a b c d a b c
a b c d a b c







+ = −


= − − − − = − − − −
 
 

+ + + = − = − − − −
 
 
⇔ + + + = − ⇔ + + = −
 
 
+ + + = − + + = −
 
+ + + = − + + = −
 
 

Đến đây, 3 phương trình cuối chính là 1 hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn (máy có thể giải đc!)
Ta bấm máy cho 3 phương trình cuối ra được
15
85
224
a
b
c
= −


=


= −

thay vào 2 ph
ươ

ng trình
đầ
u, ta tìm
đượ
c
274
120
d
e
=


= −


V
ậ
y là lúc này,
(
)
P x

đ
ã
đượ
c xác
đị
nh các h
ệ
s

ố
hoàn toàn! Ta vi
ế
t l
ạ
i
(
)
5 4 3 2
15 85 224 274 120
P x x x x x x= − + − + −

Lúc này, việc tính
(
)
(
)
(
)
(
)
6 , 7 , 8 , 9
P P P P trở nên dễ dàng bằng việc nhập P(x) và sử dụng
phím
CALC
. Ta ra được các kết quả
(
)
(
)

(
)
(
)
6 156, 7 769, 8 2584, 9 6801

P P P P
= = = =

Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

9

Rõ ràng cách làm trên chất chứa nhiều rủi ro! Vì việc rút thế khi giải hệ 5 phương trình khá
mệt mỏi (bản thân thầy khi giải bài này theo cách 1 cũng bị sai 1 lần, phải làm lại lần 2…hix)
Sau đây, là 1 cách “trí tuệ” hơn! Và dĩ nhiên, để hiểu được thì cũng cần phải “trí” một chút! :D
Cách 2. Ta quan sát thấy được
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2
1 1 1 , 2 4 2 , 3 9 3 , 4 16 4 , 5 25 5
P P P P P

= = = = = = = = = =

Tức là:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2
1 1 0, 2 2 0, 3 3 0, 4 4 0, 5 5 0
P P P P P
− = − = − = − = − =

Bằng việc quan sát trên, ta có thể đặt một đa thức mới
(
)
Q x
có dạng:
(
)
(
)
2
Q x P x x
= −

, rõ ràng rằng
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 4 5 0
Q Q Q Q Q
= = = = =

T
ứ
c là
(
)
Q x
nh
ậ
n 1; 2; 3; 4; 5 làm nghi
ệ
m!
H
ơ
n n
ữ

a, ta th
ấ
y v
ớ
i cách
đặ
t nh
ư
v
ậ
y thì
(
)
Q x
s
ẽ
là 1
đ
a th
ứ
c b
ậ
c 5,
đồ
ng th
ờ
i
đứ
ng tr
ướ

c
5
x

s
ẽ
là s
ố

1
(t
ạ
i sao nh
ỉ
??)
V
ậ
y là,
đ
a th
ứ
c b
ậ
c 5, h
ệ
s
ố

đứ
ng tr

ướ
c
5
x
s
ẽ
là s
ố

1,
l
ạ
i còn nh
ậ
n 1; 2; 3; 4; 5 làm nghi
ệ
m,
nên theo
đị
nh lý
Bezout,
ta có th
ể
vi
ế
t
(
)
Q x
thành

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 4 5
Q x x x x x x
= − − − − −

Và
đừ
ng quên r
ằ
ng,
(
)
Q x
v
ẫ
n là
(
)
(

)
2
Q x P x x
= −

T
ứ
c là
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 2 3 4 5
P x x x x x x x
− = − − − − −

(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
2
1 2 3 4 5
P x x x x x x x
⇔ = − − − − − +

Bây giờ thì có thể tính
(
)
(
)
(
)
(
)
6 , 7 , 8 , 9
P P P P
dễ dàng rồi đúng không? Kết quả như cách 1!
Ví dụ:
Cho
(
)
4 3 2
2

P x x ax bx cx d
= + + + +

Biết
(
)
(
)
(
)
(
)
1 5, 2 7, 3 9, 4 11
P P P P
= = = =
.
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

10
Tính
(
)
(
)
(
)
(
)
10 , 11 , 12 , 13
P P P P .

Th
ầ
y s
ẽ
gi
ả
i theo cách 2 (cách “trí”)!
Quan sát th
ấ
y:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 5 2.1 3, 2 7 2.2 3, 3 9 2.3 3, 4 11 2.4 3
P P P P
= = + = = + = = + = = +

Hay
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2.1 3 0, 2 2.2 3 0, 3 2.3 3 0, 4 2.4 3 0
P P P P
− + = − + = − + = − + =

T
ừ

đ
ó, ta có th
ể

đặ
t
(
)
(
)
(
)
2 3
Q x P x x

= − +
và rõ ràng
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 4 0
Q Q Q Q
= = = =
nên
(
)
Q x
nh
ậ
n
1; 2; 3; 4
làm nghi
ệ
m,
(
)
Q x
là m
ộ
t

đ
a th
ứ
c b
ậ
c 4, ngoài ra h
ệ
s
ố

đứ
ng tr
ướ
c
4
x
là
2
(t
ạ
i sao nh
ỉ
???) nên ta có th
ể
vi
ế
t l
ạ
i là
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 2 3 4
Q x x x x x
= − − − −

Đừ
ng quên r
ằ
ng
(
)
(
)
(
)
2 3
Q x P x x
= − +

Suy ra
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3 2 1 2 3 4
P x x x x x x
− + = − − − −

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 2 3 4 2 3
P x x x x x x
⇔ = − − − − + +

Đế
n
đ
ây, ta nh
ậ
p bi
ể
u th
ứ
c
(
)
P x
vào máy r
ồ
i dùng phím
CALC

để
tính ra k
ế
t qu
ả
:
(
)
(
)
(
)

(
)
10 6071, 11 10105, 12 15867, 13 23789
P P P P
= = = =

Luy
ệ
n t
ậ
p:
a.

Cho
(
)
5 4 3 2
3
P x x ax bx cx dx e
= + + + + +

Biết
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
1 3, 2 9, 3 19, 4 33, 5 51
P P P P P
= = = = =

Tính
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11
P P P P P P
Hướng dẫn:
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
2 2 2 2 2
1 2.1 1, 2 2.2 1, 3 2.3 1, 4 2.4 1, 5 2.5 1
P P P P P
= + = + = + = + = +

b. Cho
(
)
4 3 2
4
P x x ax bx cx d
= + + + +

Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

11
Biết
(
)
(
)
(
)
(
)
1 0,5 2 2 3 4,5 4 8
P P P P
= = = =

Tính
(
)
2011
P
H
ướ
ng d
ẫ
n:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
1 0,5.1 , 2 0,5.2 , 3 0,5.3 , 4 0,5.4
P P P P= = = =
Tóm lại : Mấu chốt của cách làm trên là việc ta phải quan sát ra được
(
)
(
)
(
)
,

1 , 2 , 3P P P
được biểu diễn theo các dạng đặc biệt nào để từ đó đặt
(
)
Q x
cho thích hợp! Các kon có
thắc mắc tại sao thầy có thể quan sát được ra các dạng như trên không? Ví dụ như làm cách
nào mà ở câu a. thầy biết được
(
)
(
)
2 2
1 2.1 1, 2 2.2 1,
P P= + = + ???? Thật ra là có
phương pháp cả đấy! Nếu các kon có thể tự mò ra được cách làm thế nào để biểu diễn cho
đúng các
(
)
(
)
(
)
,
1 , 2 , 3P P P thì …thầy chúc mừng các kon! Các kon thực sự đã rất “trí”
rồi đó! ☺
Còn nếu ai vẫn không mò ra được phương pháp thì hãy tìm đến thầy, thầy sẽ chỉ cho nha!
Lúc đó, kon cũng sẽ “trí” luôn! =))
Ghi nhớ 1 điều là bạn nào không thích “trí” (nghĩa là xài cách 2) thì hoàn toàn có thể sử
dụng cách 1 để giải các bài trên! Thầy cam đoan rằng có thể giải được mọi bài dạng này

bằng cách 1. Nhưng đôi khi đừng “cơ bắp” quá! 

DẠNG 8. Kiểm tra một số có phải là số nguyên tố hay không?
Ta có một định lý như sau: “Nếu n là hợp số thì n có ước nguyên tố không vượt quá
n
”.
Định lý trên cũng tương đương với “Nếu n là số nguyên tố thì n không chia hết cho mọi
số nguyên tố không vượt quá
n
”
Dựa vào định lý trên, ta xây dựng phương pháp kiểm tra 1 số a có là số nguyên tố hay
không, thông qua việc kiểm tra a có chia hết cho các số lẻ không vượt quá
a
hay không?
Nếu a không chia hết cho mọi số lẻ không vượt quá
a
thì a là số nguyên tố!
Ta sẽ minh họa thông qua ví dụ sau:
Ví dụ: kiểm tra xem số 8191 có phải là số nguyên tố hay không!?
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

12
- Bước 1: ta thấy 8191 là số lẻ nên không chia hết cho 2 (số 2 cũng là số nguyên tố)
- Bước 2: Ta tính ra được
8191 90,5041
= l
ấ
y ph
ầ
n

đứ
ng tr
ướ
c d
ấ
u ph
ẩ
y là s
ố

90

Nh
ư
v
ậ
y là ta s
ẽ
ki
ể
m tra xem s
ố
8191 có chia h
ế
t cho các s
ố
l
ẻ
nh
ỏ

h
ơ
n
90
hay không!
-
Bước 3
: L
ậ
p trình
1
2 :8191
A AC
A A A
− →
+ → ÷ =
⊲

Sau khi l
ậ
p trình xong, ta b
ấ
m d
ấ
u
=
liên t
ụ
c và
để

í k
ế
t qu
ả
cho t
ừ
ng s
ố
A, ví d
ụ
nh
ư
khi
b
ấ
m d
ấ
u
=
l
ầ
n
đầ
u, ta th
ấ
y A nh
ậ
n giá tr
ị
là

3
, r
ồ
i b
ấ
m
=
ti
ế
p ta th
ấ
y
đượ
c k
ế
t qu
ả
c
ủ
a
phép chia
8191
khi chia cho A là
8191
3
(t
ức là không chia hết). Tiếp tục bấm
=
liên tục
và để í xem có trường hợp nào chia hết hay không?! Đến khi A nhận giá trị vượt quá số 90

thì ta dừng lại. Nếu từ đầu đến giờ không có trường hợp nào chia hết thì ta kết luận 8191 là
số nguyên tố. Còn trong quá trình bấm, nếu thấy có trường hợp chia hết thì ta dừng lại, kết
luận ngay 8191 không là số nguyên tố!
Trong ví dụ này, ta kiểm tra được 8191 là số nguyên tố!
Luyện tập: Kiểm tra xem các số sau có phải là số nguyên tố hay không?
a. 99873 ĐS: không
b. 113 ĐS: là số nguyên tố

DẠNG 9. Tìm UCLN, BCNN của hai số a và b
Ta có công thức sau
( )
( )
;
;
a b
BCNN a b
UCLN a b
×
=

Do
đ
ó ta ch
ỉ
quan tâm
đế
n vi
ệ
c tìm
(

)
;
UCLN a b
, còn vi
ệ
c tìm
(
)
;
BCNN a b
thì ch
ỉ
vi
ệ
c s
ử

d
ụ
ng công th
ứ
c trên!
Có 2 tr
ườ
ng h
ợ
p x
ả
y ra khi tìm
(

)
;
UCLN a b
:
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

13
• Trường hợp 1. Khi ta bấm máy có thể tối giản phân số
a
b
được!
( )
;
toái giaûn
a c
UCLN a b a c
b d
= ⇔ = ÷

Ví dụ: Tìm UCLN, BCNN của 1481472 và 1604928
Ta nhập
12
0 13
1481472
16 4928
=

Suy ra
(
)

0 12 123456
1481472;16 4928 1481472
UCLN = ÷ =
T
ừ

đ
ó,
( )
0
0 19259136
123456
1481472 16 4928
1481472;16 4928BCNN
×
= =

• Trường hợp 2. Khi ta bấm máy không thể tối giản phân số
a
b
được!
Lúc này, ta sử dụng thuật toán Euclid để tìm UCNN:
“Nếu a chia b có dư là r thì
(
)
(
)
; ;
UCLN a b UCLN b r
=

”
Ví d
ụ
: Tìm UCLN, BCNN c
ủ
a 2871298379 và 1276181
S
ử
d
ụ
ng máy tính, ta th
ấ
y không th
ể
t
ố
i gi
ả
n phân s
ố

2871298379
1276181
, ta s
ẽ
áp d
ụ
ng thu
ậ
t

toán Euclid:
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

14
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1167310 mod1276181
1276181 108871 mod1167310
1167310 78600 mod108871
108871 30271 mod 78600
78600 18058 mod 30271
30271 12213 mod18058
18058 5845 mod12213
12213 523 mod 5845 *
5845 92 mod 523
523 63 mod 92
92 29 mod 6
2871298379 ≡
≡
≡
≡

≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
( )
( )
( )
( )
( )
3
63 5 mod 29
29 4 mod 5
5 1 mod 4
4 0 mod1
≡
≡
≡
≡

Khi ta thấy số dư cuối cùng là 0 thì kết luận UCLN là 1
Lưu ý: ở bài trên, nếu cắm đầu làm đến khi ra số dư là 0 như vậy thì cũng được, nhưng nếu
ở bước (*), ta kiểm tra thì sẽ thấy
5845
523
là phân số
t
ố

i gi
ả
n, suy ra
(
)
(
)
; 5845;523 1
2871298379 1276181
UCLN UCLN
= =
.

Nhanh h
ơ
n ch
ứ
h
ả
?
☺

Vì v
ậ
y, khi làm d
ạ
ng này,
ở
m
ỗ

i b
ướ
c tìm
đồ
ng d
ư
, ta nên th
ử
xem phân s
ố

b
r
(
ở
lý thuy
ế
t)
có th
ể
t
ố
i gi
ả
n b
ằ
ng máy tính
đượ
c không? N
ế

u t
ố
i gi
ả
n
đượ
c b
ằ
ng máy tính thì ta s
ẽ
tìm
UCLN theo cách c
ủ
a tr
ườ
ng h
ợ
p 1.
Lúc này
( )
( )
; 3664296436610599
;
2871298379 1276181
2871298379 1276181
2871298379 1276181
BCNN
UCLN
×
= =

Luyện tập: Tìm UCLN, BCNN của các cặp số sau
a. 1501234536 và 40498263 ĐS: UCLN = 9876543, BCNN = 6155735976
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

15
b. 24614205 và 10719433 ĐS: UCLN = 21311, BCNN = 12380945115

DẠNG 10. Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho trước
Ví dụ:
Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất có dạng
1 2 3 4
x y z
thỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n chia h
ế
t cho 7.
Ta d
ự

đ
oán, s
ố
l

ớ
n nh
ấ
t th
ỏ
a ycbt có d
ạ
ng
19293 4
z
v
ới
{
}
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
z
∈

Nh
ư
v
ậ
y là, ch
ỉ
vi
ệ
c th
ử
l
ầ

n l
ượ
t các giá tr
ị
c
ủ
a z,
để
xem z b
ằ
ng bao nhiêu thì th
ỏ
a ycbt là
xong!
Ở
ví d
ụ
này, ta
đượ
c
5
z
=
.
T
ươ
ng t
ự
, d
ự

đ
oán s
ố
nh
ỏ
nh
ấ
t th
ỏ
a ycbt có d
ạ
ng
10203 4
z
v
ớ
i
{
}
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
z
∈

C
ũ
ng b
ằ
ng phép th
ử

, ta có
đượ
c
3
z
=

V
ậ
y, s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t c
ầ
n tìm là 1929354 và 1020334.
(Nếu thử hết các giá trị của
z mà không có giá trị nào thỏa thì sao nhỉ? Các kon hãy tự trả lời xem?
☺
☺☺
☺
)
Ví d
ụ

:
Tìm s
ố
t
ự
nhiên l
ớ
n nh
ấ
t, nh
ỏ
nh
ấ
t có 10 ch
ữ
s
ố
bi
ế
t khi chia s
ố

đ
ó cho 2009; 2011 thì
đượ
c s
ố
d
ư
l

ầ
n l
ượ
t là 1228; 913
Đặ
t s
ố
N là s
ố
c
ầ
n tìm, ta có
1000000000 9999999999
N
≤ ≤

Ngoài ra, ta còn có
2009 1228 2011 913
N u v
= + = +
(
,
u v
∈
ℕ
) (t
ạ
i sao th
ầ
y vi

ế
t
đượ
c nh
ư

v
ậ
y??)
Suy ra
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2009 1228 2011 913 mod2009
1228 2 913 mod2009
2 315 mod2009
1005 2 1005 315 mod2009
2010 316575 mod2009
1162 mod2009
u v
v
v
v
v
v
+ ≡ +

⇔ ≡ +
⇔ ≡
⇔ × ≡ ×
⇔ ≡
⇔ ≡

Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

16
Nghĩa là
2009 1162
v k
= +

Ta có:
9
10 9999999999
N
≤ ≤

497265 4972649
247 2474
v
k
⇔ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤

V
ậ
y:

(
)
( )
min
max
2011 2009 247 1162 913 1000242148
2011 2009 2474 1162 913 9997542621
N
N
= × + + =
= × + + =

Luyện tập:
Tìm số tự nhiên lớn nhất, nhỏ nhất có dạng
1 2 3 4
x y z
thỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n chia h
ế
t cho 13

Đ
S: l
ớ

n nh
ấ
t là 1929304, nh
ỏ
nh
ấ
t là 1020344

DẠNG 11. Tính tổng
Mấu chốt của dạng này là nhìn ra đươc dạng tổng quát của các số hạng của tổng, rồi sau đó
sử dụng phím
∑

Ví d
ụ
: Tính t
ổ
ng
1 2 3 2011
A = + + + +

Ta có thể thấy được số hạng tổng quát của tổng trên là
X
, với X lấy giá trị từ 1 đến 2011
Do đó, ta bấm
2011
1X
X
=
=

∑
(đợi hơi lâu nhỉ? Chắc ram của casio FX còn yếu!)
Ta ra được tổng sẽ bằng 60143,30528.
Luyện tập:
a. Tính tổng
1 2 3 99

2 3 4 100
A = + + + +
ĐS: A = 652,8733433
b. Tính tổng
1 2 3 4 99

2 3 4 5 100
B = − + − + +
ĐS: B = 5,187418749
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

17
c. Tính tổng
1 3 5 99

2 4 6 100
C = + + +
ĐS: C = 329,030381

DẠNG 12. Liên phân số
Ta định nghĩa
Phân số
[ ]

0 0 1
1
2
1
1
; ; ;
1
1
1

1
n
n
n
a
a a a a
b
a
a
a
a
−
= + =
+
+
+
là d
ạ
ng liên phân s
ố

Ví d
ụ
:
Đư
a phân s
ố

2011
20
v
ề
d
ạ
ng liên phân s
ố

Ta có
2011 11 1 1 1 1
100 100 100 100 100
20 9 1 1
20 20
1 1 1
11 2
11 11
1
9 9
1 1
100 100
1 1

1 1
1 1
1 1
9 1
4
2 2
= + = + = + = + = +
+ + +
+
= + = +
+ +
+ +
+

V
ậ
y,
[ ]
2011 1
100 100;1;1;4;2
1
20
1
1
1
1
4
2
= + =
+

+
+

Ví d
ụ
: Tính
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tơn Thất Thái Sơn

18
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
9
A = +
+
+
+

+
+
+
+

Bài tốn q đơn giản! Ta chỉ việc nhập đúng phân số trên vào máy, máy sẽ ra kết quả. Tuy
nhiên, bài này thì khơng làm ngay như vậy được vì máy khơng đủ chỗ. Vì vậy, ta nhập từ
từ, cụ thể:
1 1
1 1 1,433127427
1 1
2 2
1 1
3 3
1 1
4 4
1 16485
5
1
3193
6
1
7
1
8
9
Đây la økết quả
Nhập phần này vào trước
A = + = + =
+ +

+ +
+ +
+
+
+
+



Ví d
ụ
: Tìm x bi
ế
t
2
1 1
1 2
1 1
3 4
5 6
x x
= +
+ +
+ +

Ta s
ử
d
ụ
ng phép gán:

1 1
1 , 2
1 1
3 4
5 6
A B
+ → + →
+ +

Khi
đ
ó,
đề
bài tr
ở
thành ph
ươ
ng trình
1 1 2
2 2 2
1 1
x x x x
x x
A B A B A B
A B
 
= + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
 
 
−

Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

19
Đến đây, ta nhập biểu thức x vào máy tính, ra được kết quả
336
53
x =

Luy
ệ
n t
ậ
p:
a. Cho
12
30
5
10
2003
A = +
+
, vi
ế
t l
ạ
i A
ở
d
ạ

ng liên phân s
ố

Đ
S:
[
]
31;5;133;2;1;2;1;2
A =
b. Tìm x biết
4
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2
x x
+ =
+ +
+ +
+ +

Đ
S:
12556
1459
x = −

DẠNG 13. Dãy số
• Trường hợp 1: Dãy chỉ có 1 biến chạy là n, khj đó ta lập trình thay n là X rồi dung
phím
CALC
để tính.
Ví dụ: Cho dãy số
n n
n
1 1 5 1 5
u
2 2
5
 
   
+ −
 
= −
   
   
 
   
 
. Hãy tính
4 6
,
u u

Quy trình bấm máy như sau:
Ta chỉ việc nhập
1 1 5 1 5

2 2
5
X X
 
   
+ −
 
−
   
 
   
 
sau đó ấn phím
CALC

Ấn
4
=
để tìm
4
u
và máy ra được là 3.
Ấn
6
=
để
tìm
6
u
và máy ra

đượ
c là
8
.
•
Trường hợp 2
: dãy
đượ
c cho theo d
ạ
ng cho 2 s
ố
h
ạ
ng
đầ
u và 1 h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a 3
s
ố
h
ạ
ng liên ti

ế
p
1 2
1 1
,
. .
+ −
= =


= +

n n n
u a u b
u u u
α β
trong đó
, , ,
a b
α β
là 4 số cho trước
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tơn Thất Thái Sơn

20
Ta lập trình các bước như sau:
( )
( )
( )
( )
,

. . . ,
. . . ,
1
2
2 1 3
3 2 4
a A Lúc này, A là u
b B Lúc này B là u
B A A Tức là .u u A vậy A đóng vai trò l
à u
A B B Tức là .u u B vậy B đóng vai trò l
à u
→
→
α +β → α + β →
α +β → α + β →

Đế
n
đ
ây, trong máy
đ
ã có s
ẵ
n
4
u
, v
ậ
y mu

ố
n tính
n
u
b
ấ
t k
ỳ
, ta b
ấ
m t
ổ
h
ợ
p phím
∆ =

(n – 4)
l
ầ
n.
Ví d
ụ
: Cho dãy
1 2
1 1
8 13
3 2
+ −
= =



= +

n n n
u , u
u u u
, Tính
7
u
?
Ta l
ậ
p trình nh
ư
sau
8
13
3 2
3 2
→
→
+ →
+ →
A
B
.B .A A
.A .B B
và sau
đ

ó b
ấ
m t
ổ
h
ợ
p phím
∆ =

3
l
ầ
n
để
tính
7
u
.
K
ế
t qu
ả
thu
đượ
c:
7
8659
=
u
• Mở rộng 1

:
Đề
bài có th
ể
cho dãy
ở
d
ạ
ng khó h
ơ
n, nh
ư
sau
1 2
1 1
,
. .
+ −
= =



= +


h k
n n n
u a u b
u u u
α β

trong
đ
ó
, , , , ,
a b h k
α β
là 6 s
ố cho trước
Ta lập trình như sau
(
)
( )
( )
( )
1
2
2 1 3
3 2 4
→
→
+ → + →
+ → + →
h k h k
h k h kh k h k
h k h k
h k h k
h k h kh k h k
h k h k
a A Lúc này, A là u
a A Lúc này, A là ua A Lúc này, A là u

a A Lúc này, A là u
b B Lúc này B là u
b B Lúc này B là ub B Lúc này B là u
b B Lúc này B là u
B A A Tức là .u u A vậy A đóng vai trò l
B A A Tức là .u u A vậy A đóng vai trò lB A A Tức là .u u A vậy A đóng vai trò l
B A A Tức là .u u A vậy A đóng vai trò là u
à uà u
à u
A B B Tức là .u u B vậy B đóng vai trò l
A B B Tức là .u u B vậy B đóng vai trò lA B B Tức là .u u B vậy B đóng vai trò l
A B B Tức là .u u B vậy B đóng vai trò l
à u
à uà u
à u
,
. . . ,
. . . ,
α β α β
α β α βα β α β
α β α β
α β α β
α β α βα β α β
α β α β

Đến đây, trong máy đã có sẵn
4
u
, vậy muốn tính
n

u
bất kỳ, ta bấm tổ hợp phím
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tơn Thất Thái Sơn

21
∆ =
(n – 4) lần.
Ví dụ: Cho dãy
+
= =



= +


1 2
2 3
1 2 1
1 2
3 2
n
nn
n
u u
u uu u
u u
u u u
u u uu u u
u u u

,
. .
Tính
5
u
?
Ta lập trình như sau
→
→
+ →
+ →
. .
. .
2 3
2 3
1 A
2 B
3 B 2 A A
3 A 2B B
và sau đó bấm tổ hợp phím
∆ =
2 lần để tính
5
u

Kết quả thu được:
6
1099936
=
u

•
M
ở
r
ộ
ng 2
: Đề bài còn có thể cho ở dạng như sau
1 2 3
1 1 2
+ − −
= = =



= + +


α β γ
h k l
h k lh k l
h k l
n n n n
n n n nn n n n
n n n n
u a u b u c
u a u b u cu a u b u c
u a u b u c
u u u u
u u u uu u u u

u u u u
, ,
. . .
trong đó
, , , , , , , ,
α β γ
a b c h k l
là 9 số cho trước
Ta lập trình như sau
(
)
( )
( )
( )
1
2
3
3 2 1 4
4 3 2
→
→
→
+ + → + + →
+ + → + + →
h k l h k l
h k l h k lh k l h k l
h k l h k l
h k l h k l
h k l h k lh k l h k l
h k l h k l

a A Lúc này, A là u
a A Lúc này, A là ua A Lúc này, A là u
a A Lúc này, A là u
b B Lúc này, B là u
b B Lúc này, B là ub B Lúc này, B là u
b B Lúc này, B là u
c C Lúc này, C là u
c C Lúc này, C là uc C Lúc này, C là u
c C Lúc này, C là u
C B A A Tức là u u u A vậy A đóng vai trò
C B A A Tức là u u u A vậy A đóng vai trò C B A A Tức là u u u A vậy A đóng vai trò
C B A A Tức là u u u A vậy A đóng vai trò
là u
là ulà u
là u
A C B B Tức là u u u B vậy B đóng v
A C B B Tức là u u u B vậy B đóng vA C B B Tức là u u u B vậy B đóng v
A C B B Tức là u u u B vậy B đóng v
. . . . . . ,
. . . . . . ,
α β γ α β γ
α β γ α β γα β γ α β γ
α β γ α β γ
α β γ α β γ
α β γ α β γα β γ α β γ
α β γ α β γ
(
)
(
)

5
5 4 3 6
+ + → + + →
h k l h k l
h k l h k lh k l h k l
h k l h k l
ai trò là u
ai trò là uai trò là u
ai trò là u
B A C C Tức là u u u C vậy C đóng vai trò
B A C C Tức là u u u C vậy C đóng vai trò B A C C Tức là u u u C vậy C đóng vai trò
B A C C Tức là u u u C vậy C đóng vai trò
là u
là ulà u
là u
. . . . . . ,
α β γ α β γ
α β γ α β γα β γ α β γ
α β γ α β γ

Đến đây, trong máy đã có sẵn
6
u
, vậy muốn tính
n
u
bất kỳ, ta bấm tổ hợp phím
∆ ∆ =
(n - 6) lần.
Ví dụ: Cho dãy

1 2 3
1 1 2
1 1 2
+ − −
= = =


= + +

, ,
n n n n
u u u
u u u u
, tính
10
u
?
Ta lập trình như sau
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

22
1
1
2
→
→
→
+ + →
+ + →
+ + →

A
B
C
C B A A
A C B B
B A C C

Và ấn tổ hợp phím tổ hợp phím tổ hợp phím
∆ ∆ =
4 lần để tính
10
u
.
Ta ra được kết quả
10
149
=
u
.
Tóm lại: Dạng này thuộc loại khó nhai nhất! Vì thật khó để nhớ tất cả các bước lập trình
phải không? Vấn đề ở đây là các kon phải hiểu được từng bước, từng bước lập trình có ý
nghĩa như thế nào (thầy đã mở ngoặc giải thích ở kế bên mỗi dòng lập trình). Sau khi đã
hiểu rồi thì việc “viết” lại có gì là khó đâu, đúng không? Bản thân thầy cũng không hề nhớ
được, nhưng mỗi lần gặp bài này, thầy lại từ từ lập trình từng bước, và suy luận từ từ, thế
nào cũng ra! Không phải lúc nào cũng xài đến memory, cần phải tập cho trí não suy luận
nhiều hơn! Nhé! ☺
Phần này, các kon cứ luyện tập lại các ví dụ của thầy, các kon có thể tự đặt ra 1 dãy theo
các dạng trên rồi tự tìm số hạng theo ý muốn. Xem như là tự luyện tập nha! (tự đặt dãy thì
cho mấy cái
1 2

,
u u
có giá trị bé bé thui, nói chung là mấy số
, , , , , , , ,
α β γ
a b c h k l
các kon đặt
nhỏ nhỏ thui, ko là khi lập trình xong máy sẽ tràn số đó!)
Cuối cùng, cho dạng bài này, thầy đặt ra cho các kon 1 bài toán mở, các kon hãy thử mày
mò (tương tự như cách lập trình các dạng trên) để lập trình cho dãy như sau:
1 2
2
1
1
4 5
5 1 2
3 5
−
+
= =



+ +
= −


,
n n
n

u u
u u
u
hãy thử tính
6
u
xem? Good luck! ☺
DẠNG 14. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 1 biểu thức biến x
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bậc hai
(
)
2
0
= + + ≠
A ax bx c a

Nếu
0
>
a
, đề bài sẽ hỏi là tìm GTNN
Nếu
0
<
a
thì đề bài sẽ hỏi là tìm GTLN
Và đáp án chung cho cả hai trường hợp là :
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

23

GTLN (hay GTNN tùy theo đề bài) của
4
∆
= −
A
a
trong đó
2
4
∆ = −
b ac

Lúc đó,
2
= −
b
x
a

Ví dụ: Tìm GTLN của
2
1 69 325 1
= − − +
, .
A x x
và cho biết khi đó x bằng bao nhiêu?
Ta thấy
1 69
= −
,

a
,
3 25
= −
,
b
và
1
=
c

( ) ( )
2
2
6929
4 3 25 4 1 69 1
400
∆ = − = − − − =, . , .
b ac

Suy ra GTLN của
( )
6929
41
400
4 4 1 69 16
∆
= − = − =
−. ,
A

a

Khi đó,
( )
3 25 25
2 2 1 69 26
−
= − = − = −
−
,
. ,
b
x
a


DẠNG 15. Hình học
• Công thức sin, cos, tan, cot trong tam giác vuông (dùng cho 2 góc nhọn trong tam
giác vuông)
“Sin đi học, Cứ khóc hoài, Thôi đừng khóc, Có kẹo đây”
Trong tam giác ABC, vuông tại A, khi đó, giả sử ta xét góc nhọn

B
, như vậy, đối với góc
nhọn

B
thì cạnh AC là cạnh đối, cạnh AB là cạnh kề, còn cạnh BC hiển nhiên là cạnh
huyền.
Ta có

Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tơn Thất Thái Sơn

24




= = =
= = =
= = =
= = =
sin
cos
tan
cot
đi đối AC
B
học huyền BC
khóc kề AB
B
hoài huyền BC
đừng đối AC
B
khóc kề AB
kẹo kề AB
B
đây đối AC

• Hệ thức lượng trong tam giác vng
Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH (

∈
H BC
), khi đó ta có các hệ thức sau
2 2 2
2
2
2
2 2 2
1 1 1
+ =
=
=
=
=
= +
.
.
.
. .
AB AC BC
AB BH BC
AC CH BC
AH BH CH
AH BC AB AC
AH AB AC

• Hệ thức lượng trong tam giác thường
Cho tam giác ABC bất kỳ, ta quy ước gọi tên như sau:
- A, B, C lần lượt là các góc




, ,
BAC CBA ACB
.
- a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các góc A, B, C.
-
, ,
a b c
h h h
lần lượt là độ dài các đường cao xuất phát từ A, B, C.
-
, ,
a b c
m m m
lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C.
-
, ,
a b c
l l l
lần lượt là độ dài các đường phân giác trong, xuất phát từ A, B, C.
-
,
R r
lần lượt là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác.
- S là diện tích tam giác
Tài liệu lưu hành nội bộ GV: Tôn Thất Thái Sơn

25
- p là nửa chu vi tam giác

Khi đó, ta có các công thức sau
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
= + −
= + −
= + −
. . .cos
. . .cos
. . .cos
a b c bc A
b a c a c B
c a b a b C

2
2 2 2
= = =
⇔ = = =
.
sin sin sin
sin , sin , sin
a b c
R
A B C
a R A b R B c R C

2 2 2

2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 4
2 4
2 4
+
= −
+
= −
+
= −
a
b
c
b c a
m
a c b
m
a b c
m

2
2
2
2
2
2

 
 
 
=
+
 
 
 
=
+
 
 
 
=
+
. . .cos
. . .cos
. . .cos
a
b
c
A
b c
l
b c
B
a c
l
a c
C

a b
l
a b