một số bài tập lượng giác 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (254.82 KB, 9 trang )
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
1/
9
I. Phương trình
sin
x m
=
.
• Điều kiện có nghiệm:
1 1
m
− ≤ ≤
.
Nghĩa là nếu
1
m
>
hoặc
1
m
< −
thì phương trình sin
x m
=
vô nghiệm.
Chẳng hạn các phương trình sau vô nghiệm :
sin 3
x
= −
;
5
sin
3
x
=
; sin x
π
=
;
•
Đặ
t
sin
m
α
=
(v
ớ
i
1 1
m
− ≤ ≤
).
Ta có ph
ươ
ng trình
2
sin sin sin
2
x k
x m x
x k
α π
α
π α π
= +
= ⇔ = ⇔
= − +
Tr
ườ
ng h
ợ
p góc
;
x
α
ñượ
c
ñ
o b
ằ
ng
ñơ
n v
ị
ñộ
thì ta có công th
ứ
c
0
0 0
360
sin sin
180 360
x k
x
x k
α
α
α
= +
= ⇔
= − +
.
Một số dạng bài tập thường gặp.
Dạng 1: Giải các phương trình ñơn giản với
sin
x
và góc
α
ñặc biệt.
Ví d
ụ
1: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
1
sin
2
x
=
b)
3
sin
2
x = −
Gi
ả
i:
a)
2
1
6
sin sin sin
2 6
2
6
x k
x x
x k
π
π
π
π
π π
= +
= ⇔ = ⇔
= − +
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
(
)
k ∈
ℤ
.
b)
2
3
3
sin sin sin
2 3
2
3
x k
x x
x k
π
π
π
π
π π
= − +
= − ⇔ = − ⇔
= − − +
2
3
4
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= − +
⇔
= +
Chú ý
:
sin 0
x x k
π
= ⇔ =
;
sin 1 2
2
x x k
π
π
= ⇔ = + ;
sin 1 2
2
x x k
π
π
= − ⇔ = − + .
Bài tập 1
: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
2
sin
2
x = − b)
2
sin 1
x
=
c)
3
sin
2
x = d)
sin 0
x
=
.
Dạng 2: Giải các phương trình ñơn giản với
(
)
sin
f x
và góc
α
ñặc biệt.
Cách gi
ả
i:
( ) ( )
(
)
( )
2
sin sin sin
2
f x k
f x m f x
f x k
α π
α
π α π
= +
= ⇔ = ⇔
= − +
Ví d
ụ
2: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
1
sin 2
2
x
= −
b)
3
sin
3 2
x
π
− =
Gi
ả
i:
a)
1
sin 2 sin 2 sin
2 6
x x
π
= − ⇔ = −
2 2
6
2 2
6
x k
x k
π
π
π
π π
= − +
⇔
= − − +
12
7
12
x k
x k
π
π
π
π
= − +
⇔
= +
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
2/
9
b)
3
sin sin sin
3 2 3 3
x x
π π π
− = ⇔ − =
2
3 3
2
3 3
x k
x k
π π
π
π π
π π
− = +
⇔
− = − +
2
2
3
2
x k
x k
π
π
π π
= +
⇔
= +
Đối với các phương trình dạng này, ñầu tiên các em tính
(
)
f x
theo công thức sau ñó mới “rút”
x ra và kết luận.
Bài tập 2: Giải các phương trình sau
a)
sin3 1
x
=
b)
2
sin 2
4 2
x
π
− = −
c)
3
sin 3
6 2
x
π
+ = −
Dạng 3: Giải các phương trình ñơn giản với
(
)
sin
f x
và góc
α
không ñặc biệt.
N
ế
u
1 1
m
− ≤ ≤
thì dùng máy tính c
ầ
m tay b
ấ
m t
ổ
h
ợ
p phím “Shift”, “sin”, “m”
ñể
tính góc
α
sao cho
sin
m
α
=
.
C
ầ
n l
ư
u ý: Máy tính ph
ả
i cài
ñặ
t
ở
‘
radian
” nhé !
Ví d
ụ
3: V
ớ
i ph
ươ
ng trình
3
sin
5
x
= −
.
Ta b
ấ
m
Shift sin (
−
3: 5) =
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
nh
ư
bên.
Ngh
ĩ
a là
( )
3
sin 0,6435
5
− ≈ − (L
ấ
y g
ầ
n
ñ
úng)
V
ậ
y ta có
( )
3
sin sin sin 0,6435
5
x x= − ⇔ ≈ −
0,6435 2
0,6435 2
x k
x k
π
π π
≈ − +
⇔
≈ + +
.
•
••
•
Cách 2:
Bi
ể
u th
ị
góc
α
theo
π
.
L
ấ
y k
ế
t qu
ả
trên màn hình chia cho
π
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
nh
ư
sau
Ngh
ĩ
a là
0,643501108
0204832764
π
−
= −
Hay
0,6435 205 41
0,205
1000 200
π
−
≈ − = − = − . Suy ra
41
0,6435
200
π
− ≈ −
Khi
ñ
ó t
ừ
ph
ươ
ng trình
3
sin
5
x
= −
ta có
41
sin sin
200
x
π
≈ −
41
2
200
41
2
200
x k
x k
π
π
π
π π
≈ − +
⇔
≈ + +
•
••
•
Cách 3:
N
ế
u
1 1
m
− ≤ ≤
ta có
arcsin 2
sin
arcsin 2
x m k
x m
x m k
π
π π
= +
= ⇔
= − +
Ở
ñ
ây, ký hi
ệ
u
arcsin
m
α
=
là m
ộ
t góc mà sin
m
α
=
.
Theo công th
ứ
c trên ta có
3
arcsin 2
5
3
sin
5
3
arcsin 2
5
x k
x
x k
π
π π
= − +
= − ⇔
= − − +
Công th
ứ
c nghi
ệ
m này
ñượ
c l
ấ
y chính xác b
ở
i d
ấ
u “=”, khác v
ớ
i hai cách trên ch
ỉ
l
ấ
y giá tr
ị
g
ầ
n
ñ
úng ! Các em l
ư
u ý nhé !
• Tuy nhiên r
ấ
t c
ầ
n l
ư
u ý v
ớ
i nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
Ch
ẳ
ng h
ạ
n v
ớ
i ph
ươ
ng trình
sin 2
x = −
, nhi
ề
u h
ọ
c sinh vi
ế
t ngay
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
3/
9
(
)
( )
arcsin 2 2
sin 2
arcsin 2 2
x k
x
x k
π
π π
= − +
= − ⇔
= − − +
.
Kết quả trên hoàn toàn sai vì
2 1
m
= − < −
nên phương trình
sin 2
x = −
vô nghiệm.
Nếu các em giải theo cách 1 thì khi bấm máy tính Shift sin (
−
√
√√
√ 2) thì máy cho kết quả là
Math ERROR . Chứng tỏ không tồn tại góc
α
ñể
sin 2
α
= − nên phương trình ñang xét
vô nghiệm.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau
a)
5 1
sin
4
x
−
= b)
6 2
sin 2
4 4
x
π
−
− =
c)
sin3
5
x
π
=
d)
(
)
sin 2 0,12
x + =
Dạng 4: Giải các phương trình ñơn giản dạng
(
)
(
)
sin sin
f x g x
=
Công th
ứ
c nghi
ệ
m
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
sin sin
2
f x g x k
f x g x
f x g x k
π
π π
= +
= ⇔
= − +
Ở
ñ
ây
(
)
(
)
,
f x g x
là các bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ
a
ẩ
n “x”
Ví d
ụ
4: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
sin 2 sin
3
x x
π
= +
b)
sin sin 2 0
4 4
x x
π π
+ + − =
c)
sin cos3 0
x x
+ =
Gi
ả
i :
a)
2 2
3
sin 2 sin
3
2 2
3
x x k
x x
x x k
π
π
π
π
π π
= + +
= + ⇔
= − + +
2
3
2
3 2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
2
3
2 2
9 3
x k
x k
π
π
π π
= +
⇔
= +
b)
Để
ñư
a
ñượ
c ph
ươ
ng trình này v
ề
d
ạ
ng
ñ
ã nêu ta c
ầ
n l
ư
u ý m
ộ
t s
ố
công th
ứ
c
khử dấu “
−
−−
−
”
tr
ướ
c ch
ữ
“sin” ,
ñ
ó là công th
ứ
c
(
)
(
)
(
)
sin sin
g x g x
π
− = +
{công th
ứ
c h
ơ
n kém
π
} ho
ặ
c
(
)
sin sin
u u
− = −
{công th
ứ
c góc
ñố
i nhau}
Ta có
sin sin 2 0 sin 2 sin
4 4 4 4
x x x x
π π π π
+ + − = ⇔ − = − +
sin 2 sin
4 4
x x
π π
π
⇔ − = + +
5
sin 2 sin
4 4
x x
π π
⇔ − = +
5
2 2
4 4
5
2 2
4 4
x x k
x x k
π π
π
π π
π π
− = + +
⇔
− = − + +
6
2
4
3 2
x k
x k
π
π
π
= +
⇔
=
3
2
2
2
3
x k
x k
π
π
π
= +
⇔
=
.
• Cách khác: Áp dụng công thức góc ñối nhau, ta có
sin sin 2 0 sin 2 sin
4 4 4 4
x x x x
π π π π
+ + − = ⇔ − = − +
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
4/
9
sin 2 sin
4 4
x x
π π
⇔ − = − −
2 2
4 4
2 2
4 4
x x k
x x k
π π
π
π π
π π
− = − − +
⇔
− = − − − +
3 2
3
2
2
x k
x k
π
π
π
=
⇔
= +
2
3
3
2
2
x k
x k
π
π
π
=
⇔
= +
c) Một số công thức chuyển cos thành sin là
cos sin
2
u u
π
= −
;
cos sin
2
u u
π
− = −
{công
thức góc phụ nhau}.
Áp dụng ta có
sin cos3 0
x x
+ =
sin cos3 sin sin 3
2
x x x x
π
⇔ = − ⇔ = −
3 2
2
3 2
2
x x k
x x k
π
π
π
π π
− = +
⇔
− = − +
2 2
2
3
4 2
2
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
4
3
8 2
x k
x k
π
π
π π
= +
⇔
= +
.
Bài tập 4
: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
sin 3 sin 5
3 6
x x
π π
− = +
b)
sin sin 3 0
4 6
x x
π π
+ + − =
c)
3
sin cos 0
4 4
x x
π π
+ − − =
d)
3 5
sin 2 cos 0
4 12
x
π π
+ + =
Dạng 5: Giải các phương trình bậc cao ñưa về dạng ñơn giản
Chú ý s
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c
( )
2
1
sin 1 cos2
2
u u
= −
;
( )
2
1
cos 1 cos2
2
u u
= +
Sau
ñ
ó v
ậ
n d
ụ
ng bi
ế
n
ñổ
i sau
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
cos cos
2
f x g x k
f x g x
f xx g x k
π
π
= +
= ⇔
= − +
Ví d
ụ
5: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
2
1
sin
4
x
=
b)
2
3
sin
6 4
x
π
+ =
c)
( )
2 2
sin 2 sin 0
3
x x
π
− + =
Gi
ả
i:
a) Ta có
2
1
sin
4
x
=
( )
1 1
1 cos2
2 4
x
⇔ − =
(nhân 2 vào hai v
ế
ñể
gi
ả
n
ướ
c)
1 1 1
1 cos2 cos2 1
2 2 2
x x
⇔ − = ⇔ = − =
(rút
cos2
x
)
cos2 cos
6
x
π
⇔ =
2 2
6
x k
π
π
⇔ = ± +
12
x k
π
π
⇔ = ± +
Chú ý: Khi h
ạ
b
ậ
c, thì góc s
ẽ
t
ă
ng g
ấ
p
ñ
ôi. Nh
ớ
nhé !
b)
2
3
sin
6 4
x
π
+ =
1 3
1 cos 2
2 6 4
x
π
⇔ − + =
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
5/
9
3 3 1
1 cos 2 cos 2 1
3 2 3 2 2
x x
π π
⇔ − + = ⇔ + = − = −
5
cos 2 cos
3 6
x
π π
⇔ + =
5
2 2
3 6
5
2 2
3 6
x k
x k
π π
π
π π
π
+ = +
⇔
+ = − +
4
12
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
7
= − +
c)
( )
2 2
sin 2 sin 0
3
x x
π
− + =
( )
1 1 2
1 cos4 1 cos 2 0
2 2 3
x x
π
⇔ − − − + =
2
1 cos4 1 cos 2 0
3
x x
π
⇔ − − + + =
2
cos4 cos 2
3
x x
π
⇔ = +
2
4 2 2
3
2
4 2 2
3
x x k
x x k
π
π
π
π
= + +
⇔
= − + +
3
9 3
x k
x k
π
π
π π
= +
⇔
= − +
Bài tập 5: Giải các phương trình sau
a)
2
sin 1
4
x
π
+ =
b)
2
1
sin 3
3 2
x
π
− =
c)
(
)
2
cos2 2sin 1 0
x x
+ + =
d)
3
2 1
sin
3 8
x
π
+ = −
e)
4
9
sin
16
x = f)
2 2
sin 2 cos 1 0
4
x x
π
+ − − =
Dạng 6: Giải các phương trình ñơn giản có ñiều kiện, tìm nghiệm trên một ñoạn.
Ví d
ụ
6: Tìm các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
1
sin
3 2
x
π
− = −
trên
ñ
o
ạ
n
17
;
3 4
π π
−
.
Gi
ả
i:
•
Đầ
u tiên ta gi
ả
i ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho nh
ư
các d
ạ
ng trên (d
ạ
ng 2)
Ta có
1
sin
3 2
x
π
− = −
sin sin
3 6
x
π π
⇔ − = −
2
3 6
2
3 6
x k
x k
π π
π
π π
π π
− = − +
⇔
− = + +
2
6
3
2
2
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
.
• Tìm nghi
ệ
m trên
ñ
o
ạ
n
17
;
3 4
π π
−
* V
ớ
i
2
6
x k
π
π
= + ta có
17
;
3 4
x
π π
∈ −
17
2
3 6 4
k
π π π
π
⇔ − ≤ + ≤ (
k
∈
ℤ
)
17
2
3 6 4 6
k
π π π π
π
⇔ − − ≤ ≤ −
49
2
2 12
k
π π
π
⇔ − ≤ ≤
1 49
4 24
k⇔ − ≤ ≤
.
Vì
k
∈
ℤ
nên ta có
0; 1; 2
k k k
= = =
. Thay vào công thức
2
6
x k
π
π
= + ta ñược ba nghiệm
13 25
; ;
6 6 6
x x x
π π π
= = =
* V
ới
3
2
2
x k
π
π
= + ta có
17
;
3 4
x
π π
∈ −
3 17
2
3 2 4
k
π π π
π
⇔ − ≤ + ≤ ( k
∈
ℤ
)
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
6/
9
3 17 3
2
3 2 4 2
k
π π π π
π
⇔ − − ≤ ≤ −
11 11
2
6 4
k
π π
π
⇔ − ≤ ≤
11 11
6 4
k
⇔ − ≤ ≤
.
Vì
k
∈
ℤ
nên ta có
1; 0; 1; 2
k k k k
= − = = =
. Thay vào công thức
3
2
2
x k
π
π
= + ta ñược bốn
nghiệm là
3 7 11
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
π π π π
= − = = =
• Kết luận: Trên ñoạn
17
;
3 4
π π
−
, ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho có t
ậ
p nghi
ệ
m
3 13 7 25 11
; ; ; ; ; ;
2 6 2 6 2 6 2
T
π π π π π π π
= −
Bài tập 6
:
Tìm các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình sau trên
ñ
o
ạ
n
ñ
ã ch
ỉ
ra
a)
1
sin 2
6 2
x
π
+ =
trên
ñ
o
ạ
n
11
;
2 3
π π
−
b)
sin 2 sin 0
3
x x
π
+ − =
trên kho
ả
ng
3
;
2
π
π
−
Dạng 7: Giải các phương trình ñơn giản có ñiều kiện ràng buộc
Ví dụ 7: Giải phương trình
a)
sin 4
0
cos
4
x
x
π
=
−
b)
sin
0
cos 1
x
x
=
−
Giải:
a) Điều kiện xác ñịnh:
cos 0
4 4 2
x x k
π π π
π
− ≠ ⇔ − ≠ +
3
4
x k
π
π
⇔ ≠ +
Khi ñó ta có
sin 4
0
cos
4
x
x
π
=
−
sin 4 0
x
⇒
=
4
4
x l x l
π
π
⇒
=
⇒
=
,
(
)
l ∈
ℤ
.
Bây giờ ta dùng ñường tròn lượng giác, biểu diễn các ñiểm ngọn của nghiệm và ñiều kiện. Từ
ñó lấy nghiệm của phương trình.
•
Trên
ñườ
ng tròn l
ượ
ng giác,
ñ
i
ể
m ng
ọ
n c
ủ
a các
cung
4
x k
π
π
3
= +
g
ồ
m 2
ñ
i
ể
m
D, H
;
ñ
i
ể
m ng
ọ
n
c
ủ
a các cung
4
x l
π
=
g
ồ
m 8
ñ
i
ể
m
A, B, C, D, E,
F, G, H
.
•
Nh
ư
v
ậ
y các cung có
ñ
i
ể
m ng
ọ
n
D, H
là không
th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki
ệ
n do
3
4
x k
π
π
≠ +
.
Suy ra các cung có
ñ
i
ể
m ng
ọ
n thoa
ñ
i
ề
u ki
ệ
n g
ồ
m
A, B, C
và
E, F, G
.
•
Các cung có
ñ
i
ể
m ng
ọ
n
A, C, E, G
ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i công th
ứ
c
2
x k
π
=
(
vì các ñiểm
ngọn này hơn kém nhau một lượng là
2
π
)
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
7/
9
• Các cung có ñiểm ngọn B, F ñược biểu diễn bởi công thức
4
x k
π
π
= + (vì các
ñ
i
ể
m
ng
ọ
n này h
ơ
n kém nhau m
ộ
t l
ượ
ng là
π
)
•
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ta có các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho là
2
x m
π
= và
4
x m
π
π
= + ,
(
)
m∈
ℤ
♣
Chú ý: Có th
ể
dùng máy tính c
ầ
m tay
ñể
ñố
i chi
ế
u
ñ
i
ề
u ki
ệ
n qua
ñ
ó lo
ạ
i nghi
ệ
m s
ẽ
d
ễ
dàng h
ơ
n. Các em th
ấ
y th
ế
nào ?
b)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n xác
ñị
nh:
cos 1 0 cos 1 2
x x x k
π
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
.
Khi
ñ
ó ta có
sin
0
cos 1
x
x
=
−
sin 0
x x l
π
⇒ = ⇒ =
• Trên
ñườ
ng tròn l
ượ
ng giác,
ñ
i
ể
m ng
ọ
n c
ủ
a các cung
2
x k
π
=
g
ồ
m 1
ñ
i
ể
m A ;
ñ
i
ể
m ng
ọ
n c
ủ
a các cung
x l
π
=
g
ồ
m 2
ñ
i
ể
m A, B.
• Nh
ư
v
ậ
y các cung có
ñ
i
ể
m ng
ọ
n B là không th
ỏ
a
ñ
i
ề
u
ki
ệ
n do
2
x k
π
≠
.
Suy ra các cung có
ñ
i
ể
m ng
ọ
n thoa
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ch
ỉ
còn B.
Công th
ứ
c bi
ể
u di
ễ
n nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
i
ể
m ng
ọ
n B là
2
x m
π π
= +
,
(
)
m∈
ℤ
•
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ta có các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho là
2
x m
π π
= +
,
(
)
m∈
ℤ
Cách khác
:
sin
0
cos 1
x
x
=
−
2
sin 0
sin 0
cos 1 0
cos 1
x
x
x
x
=
=
⇔ ⇔
− ≠
≠
2
cos 1
1 cos 0
cos 1
cos 1
cos 1
x
x
x
x
x
= ±
− =
⇔ ⇔ ⇔ = −
≠
≠
2
x m
π π
⇔ = +
,
(
)
m∈
ℤ
.
Bài tập 7
: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
sin
0
1 cos
x
x
=
+
b)
sin 2
3
0
cos
3
x
x
π
π
−
=
−
Đ
áp s
ố
: a)
2
x m
π
=
b)
2 5
2 ; 2 ; 2
3 3 6
x m x m x m
π π π
π π π
= + = − + = − +
Dạng 8: Giải các phương trình ñơn giản có tham số
♣
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
ph
ươ
ng trình
(
)
sin
f x m
=
có nghi
ệ
m là
1 1
m
− ≤ ≤
.
Ví d
ụ
8: Tìm giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m, tìm các nghi
ệ
m
ñ
ó.
a)
( )
1
sin 1
1
x
m
+ =
+
b)
2
sin 2
x m
= +
Gi
ả
i:
a)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho có nghi
ệ
m là
1
1 1
1
m
− ≤ ≤
+
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
8/
9
1 1
1 1 0
1 1
1 1
1 1 0
1 1
m m
m m
≤ − ≤
+ +
⇔ ⇔
≥ − + ≥
+ +
0
1
2
0
1
m
m
m
m
≤
+
⇔
+
≥
+
(
]
(
]
( )
1;0
; 2 1;
m
m
∈ −
⇔
∈ −∞ − ∪ − +∞
(
]
1;0
m⇔ ∈ −
(Giải các bất phương trình này (ở bước thứ ba) bằng cách lập bảng xét dấu tử và mẫu rồi
chọn miền nghiệm theo chiều của bất phương trình)
♣ Với mọi
(
]
1;0
m∈ −
ta có
( )
1
sin 1
1
x
m
+ =
+
1
1 arcsin 2
1
1
1 arcsin 2
1
x k
m
x k
m
π
π π
+ = +
+
⇔
+ = − +
+
1
1 arcsin 2
1
1
1 arcsin 2
1
x k
m
x k
m
π
π π
= − + +
+
⇔
= − + − +
+
b)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m là
2
1 2 1
m
− ≤ + ≤
2 2
2 2
2 1 3
2 1 1
m m
m
m m
+ ≥ − ≥ −
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
+ ≤ ≤ −
( Vì
2
0
m
≥
nên t
ừ
ch
ỗ
2
1 0
m
≤ − <
suy ra
m
∈∅
)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho vô nghi
ệ
m v
ớ
i m
ọ
i
m
.
♥
Có th
ể
l
ậ
p lu
ậ
n g
ọ
n h
ơ
n nh
ư
sau:
V
ớ
i m
ọ
i
m
ta có
2 2
0 2 2 1
m m
≥ ⇔ + ≥ >
suy ra ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho vô nghi
ệ
m.
Bài tập 8
: Tìm giá tr
ị
c
ủ
a
m
ñể
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m, tìm các nghi
ệ
m
ñ
ó
a) sin
1
m
x
m
=
−
b)
2
1
sin
1
x
m
=
+
c)
2
sin 1
3
x m
π
+ = +
d)
2
2
sin 2
2
x
m
−
=
+
e)
(
)
2
1 sin 1
m x m
− = +
f)
(
)
2 sin 2
m x
+ =
Đ
áp s
ố
:
a)
1
2
m
≤
b) m
∈
ℝ
c)
0
m
=
d)
0
m
=
e)
2
m
≥
ho
ặ
c
0
m
≤
f)
0
m
≥
ho
ặ
c
4
m
≤ −
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
9/
9
Yêu cầu:
- Để nắm vững ñược kiến thức cơ bản về các dạng phương trình này các em cần nắm chắc
các dạng từ dạng 1 ñến dạng 4 và các dạng tiếp theo. Mỗi lần làm xong một dạng cần
chú ý ñặc ñiểm của dạng ñó, ghi nhớ những ñiểm riêng và ñiểm chung giữa các dạng ñể
tự giúp mình ghi nhớ kiến thức cơ bản cần vận dụng.
- Có gì không hiều có thể liên lạc và trao ñổi cùng thầy trên weblog
, hoặc là
- Có thể liên lạc qua Yahoo Mail (nick: longdocao)
- Chúc các em có những niềm vui khi tiếp cận với chuyên ñề này.
- Trong quá trình biên soạn có thể có sai sót, mong các em phát hiện, góp ý ñể thầy chỉnh
sửa lại. Cảm ơn !
