Một số bài giải lượng giác của một số trường Đại học

CAO ĐẲNG MARKETING
Câu II:
1) Giải phương trình:
6
3cos 4sin 6 (*)
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
2) Với
ABC
∆
đặt: T =
2 2 2
sin sin sin .A B C
+ +
Chứng minh rằng
ABC
∆
có ba góc nhọn
nếu và chỉ nếu T > 2.
Giải
1) Phương trình:
6
3cos 4sin 6 (*)
3cos 4 sin 1
x x
x x
+ + =
+ +

Điều kiện:
3cos 4sin 1 0x x
+ + ≠
Đặt X =
3cos 4sinx x
+
2 2 2 2

3cos 4sin 3 4 cos sin
5
BCS
X x x x x
X
≤
 
= + + +
 ÷
 ÷
⇒ ≤
 
5 5X
⇒ − ≤ ≤
và X + 1
0
≠
(*)
6
6
1
X

X
⇔ + =
+
2
0
5 0
5
X
X X
X
=

⇔ − = ⇔

=

thỏa điều kiện
Ÿ X = 0:
3
3cos 4 sin 0 ,
4
x x tgx tg x K K Z
α α π
+ = ⇔ = − = ⇔ = + ∈
Ÿ X = 5:
cos sin
3cos 4 sin 5
3 4
x x
x x

+ = ⇔ =
(dấu “=” của bất đẳng thức BunhiacốpsKi)
4
cot ( )
3 2
( )
2
tgx g tg
x K K Z
π
α α
π
α π
⇒ = = − = +
⇒ = + + ∈
2) T =
2 2 2
sin sin sinA B C
+ +
2
2
1 cos 2 1 cos 2
1 cos
2 2
2 cos( )cos( ) cos
A B
C
A B A B C
− −
= + + −

= − + − −
[ ]
2 cos cos( ) cos( )
2 2 cos cos cos
C A B A B
A B C
= + − + +
= +
Ÿ
ABC
∆
nhọn
cos 0
cos 0 2
cos 0
A
B T
C
>


⇒ > ⇒ >


>

Đảo lại:
Ÿ T > 2
cos 0
cos cos cos 0 cos 0

cos 0
A
A B C B
C
>


⇒ > ⇒ >


>

Vì giả sử
cos 0
cos 0
cos 0
A
B
C
>


>


>

ABC
⇒ ∆
có hai góc tù (!) (vô lý)

Vậy:
ABC
∆
nhọn
2T
⇔ >
.
CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
Câu II; Cho phương trình:
2
(2sin 1)(2 cos 2 2sin 1) 3 4 cosx x x x− + + = −
1) Giải phương trình khi m = 1
2) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thỏa mãn điều kiện
0 x
π
≤ ≤
.
Giải
2
(2sin 1)(2 cos 2 2sin 1) 3 4 cosx x x x− + + = −
2 2
2
2
2
(2sin 1) 2(1 2sin ) 2sin 3 4(1 sin )
(2sin 1)( 4 sin 2sin 2) (2sin 1)(2sin 1)
1
sin (1)
2sin 1 0
2

1
4sin 2 sin 2 2sin 1
sin (2)
4
x x x m x
x x x m x x
x
x
m
x x m x
x
 
⇔ − − + + = − −
 
⇔ − − + + + = − +

=

− =

⇔ ⇔


+
− + + + = +


=



1. khi m = 1
(1)
2
6
( )
5
2
6
x K
K Z
x K
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= +


(2)
2
1 1 cos2 1
sin cos2 0 2 ( )
2 2 2 2 4 2

x K
x x x K x K Z
π π π
π
−
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
2) Tìm m: phương trình có đúng hai nghiệm thỏa:
0 x
π
≤ ≤
Do (1)
⇒
phương trình luôn có hai nghiệm thỏa
0 x
π
≤ ≤
5
( , )
6 6
x x
π π
= =
Phương trình đúng hai nghiệm thỏa
0 x
π
≤ ≤
Khi: TH1: (2) vô nghiệm
1
1
3

4
1 1
0
4
m
m
m m
+

>

>

⇔ ⇔


+ < −


<


TH2: (2) có nghiệm trùng với nghiệm của (1)
2
1 1
( ) 0
2 4
m
m
+

⇒ = ⇒ =
Đảo lại, m = 0 (2)
2
1
sin
4
x
⇔ =
.
1
6
sin
2 5
6
1
sin
2
x
x
x
x
π
π


=



= ⇒




⇔
=





= −


Do
0 x
π
≤ ≤
nên
sin 0x
≥
Kết luận: Khi m < -1 hay m > 3 hay m = 0
Phương trình có đúng hai nghiệm thỏa
0 x
π
≤ ≤
ĐẠI HỌC AN NINH KHỐI A
Câu II:
Giả sử ABC là tam giqc1 có ba góc nhọn
1) Chứng minh đẳng thức sau:

tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + =
2) Chứng minh bất đẳng thức sau:
3 3tgA tgB tgC
+ + ≥
Giải:
1) Chứng minh:
tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + =
Ta có:
( ( )) ( )
1
tgA tgB
tgC tg A B
tgAtgB
π
+
= − + =
−
(do C nhọn
tgC⇒
xác định
1 0tgAtgB
⇒ − ≠
)
( )tgC tgAtgBtgC tgA tgB
tgA tgB tgC tgAtgBtgC
⇒ − = − +
⇒ + + =
2) Do A, B, C nhọn
⇒
tgA, tgB, tgC đều > 0

Ta có:
3

3
Cauchy
tgA tgB tgC tgAtgBtgC
≥
+ +
3
( ) 27( )tgA tgB tgC tgA tgB tgC⇔ + + ≥ + +
(do câu 1)
3 3tgA tgB tgC
⇔ + + ≥
ĐẠI HỌC AN NINH KHỐI C
Câu II:
Giải phương trình:
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
Giải:
Điều kiện:
sin 4 0x
≠
. Ta có:
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
4sin cos 2 2 cos2 2
4sin cos cos 2 2sin 2 cos 2 sin 4
x x x

x x x x x x
⇔ + =
2
2sin cos2 cos2 1 0
2sin cos2 (1 2sin ) 1 0
x x x
x x x
⇔ + − =
⇔ + − − =
2
2sin (cos 2 sin ) 0x x x⇔ − =
2
sin ( 2sin 1) 0
sin 0
sin 1
1
sin sin
2 6
x x simx
x
x
x
π
⇔ − − + =


=

⇔ =



= =


(loại vì làm cho sin4x = 0)
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +


K Z∈
.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHỐI A
Câu II:
1. Giải phương trình :

3 3
1
sin .cos cos .sin
4
x x x x
− =
2. Tìm tất cả các phương trình (1) thỏa mãn
2.cos2 s n4x 0x i
− ≤
Giải
1.
3 3
1
sin cos cos sin
4
x x x x
− =
( )
2 2
1
sin cos sin cos
4
x x x x
⇔ − =
( )
sin2x 1
cos2
2 4
x

 
⇔ − =
 ÷
 
s in4x= 1
4x= 2
2
, k
8 2
k
k
x
π
π
π π
⇔ −
⇔ − +
= − + ∈¢
2.
2 cos2 s in4x 0x
− ≤
s in4x
cos2 (2)
2
x⇔ ≤
Thay nghiệm của (1) vào (2):
1 2
cos2 cos
8 2 4 2
2

k
k
π π π
π
− −
   
− + ≤ ⇔ − + ≤
 ÷  ÷
   
• Khi K chẵn :
2
cos cos ( )
4 4 2
k loïai
π π
π
 
− + = =
 ÷
 
• Khi K lẻ :
2
cos cos ( )
4 4 2
k nhaän
π π
π π
−
   
− + = − + =

 ÷  ÷
   
Vậy ta nhận
( )
2 1 n
8 2
x n
π π
= − + + ∈
¢
1) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
cos 3 sin 2 cos2x x x
+ =
1 3
cos sin cos 2
2 2
cos cos sin cos2 cos( ) cos 2
3 3 3
2
2 2
3
3
( )
2
2 2
9 3
3
x x x
x x x x
x K

x x K
K Z
x K
x x K
π π π
π
π
π
π
π π
π
π
⇔ + =
⇔ + = ⇔ − =


= − +
= − +


⇔ ⇔ ∈




= +
= − +





2) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
3 3
sin cos sin cosx x x
+ = +